Островський А.Л. Геодезія. Частина перша. Топографія

Подождите немного. Документ загружается.

Розділ I

Підставимо значення 0 з (1.1.16) в (1.1.15). Матимемо

З R З R

Отже, запишемо остаточну формулу

AS = ^

. (1.1.17)

З R

Нагадаємо, в цій формулі S - радіус, що описує площу ділянки на кулі,

у можна вважати площиною. Розв'яжемо (1.1.17) відносно S

S = \jAS-3 R

. (1.1.18)

Найбільший масштаб топографічного знімання, що виконується в Украї-

, - 1:500. Його точність AS, як відомо, дорівнює 0,05 м. Знайдемо S за

>рмулою (1.1.18), знаючи відомий середній радіус Землі R =

6371,11

км.

-римаємо S = 18,26 км. Відповідь: сторона квадрата ділянки, вписаної в коло

діусом S, дорівнює 25,82 км.

Такі ділянки вважатимемо плоскими, оскільки їх зображення на площині

:нтичні зображенню на кулі.

Не важко довести, що за першим методом проектування спотворення дуги

буде

Дст = -^

. (1.1.19)

6-і?

Порівняємо формули (1.1.17) та (1.1.19) Отже, якщо дуги рівні, тобто

= S, тоді за першим методом проектування спотворення буде вдвічі меншим,

.ілянку, що приймається за площину, можна відповідно подвоїти.

1.1.10. Системи координат, що використовуються

в топографії та геодезії

Координати точок - це числа, які визначають положення точок на лінії,

нцині, поверхні або в просторі.

В топографії, як і в геодезії, користуються системами координат, що

шачають положення точки на площині, на криволінійних поверхнях та в

зсторі. Щоб знайти положення точок на площині, найчастіше використовують

:артові або прямокутні координати. Проте в топографії застосовується не

а, а права система прямокутних координат.

Щоб визначити положення будь-якої точки, наприклад, точки А,

носно осей координат, опускають з неї на обидві осі перпендикуляри Am і

і, (рис

1.1.

ІЗ). Відрізки осей координат От - абсциса і От, ордината ви-

Загальні відомості з топографії

-У

Рис. 1.1.13. Система прямокутних

координат

її

ініічаїоті. положення точки А на

плоїціші. їх позначають відповідно

(

та У

. Для того щоб кожній парі

'іиеел X та У відповідала на площині

одна і тільки одна точка, прийнято

иіачепня координат записувати зі

шахами плюс чи мінус.

Відрізки осей вверх і праворуч

іч

початку координат вважаються

іоцатпіми, а вниз і ліворуч -

від'ємними.

Так, точка А має додатні коор-

динати, а точка В - від'ємні. Вісь

ли пне в топографії збігається з на-

прямом меридіана, що проходить че-

рг

точку, прийняту за початок

координат; за додатний напрям прий-

мають північний напрям меридіана.

Інколи напрям осі абсцис беруть не в

ющині меридіана, а в деякій

попільній площині. Такі осі координат

ми

іпвають умовними.

Доволі широко використовують

\ юпографії полярну систему коор-

іипат па площині (рис. 1.1.14). Полярні

координати - це полярна віддаль точки

під фіксованого початку координат та

ніііімрний кут між вибраною полярною віссю і напрямом на точку.

На рис. 1.1.14 точка Р - полюс, PN

—

полярна вісь, a - полярний кут,

s горизонтальна віддаль від полюса Р до точки А. Отже, точка А має

і оординати: кут а та віддаль S. За полярну вісь на площині часто приймають

напрям, паралельний до осі абсцис прямокутної системи координат.

Як відомо, в топографії використовують такі поверхні, як: куля, еліпсоїд,

поїд (квазігеоїд). Залежно від цього координати поділяють на географічні

(і фернчні) - на кулі; геодезичні - на еліпсоїді; астрономічні - на геоїді (квазігеоїді).

Розглянемо спочатку геодезичні координати на еліпсоїді (рис. 1.1.15).

Ігчаіі РСР' меридіанний еліпс, що проходить через точку нульових довгот

початковий (Гринвіцький) меридіан. PM'DP' - меридіан точки М'. Точка М'

проекція точки М па еліпсоїді по нормалі МК до поверхні еліпсоїда.

' S

Рис. 1.1.14. Полярна система координат

Розділ I

Геодезичною широтою В точки М називається кут, утворений

площиною екватора ECDE' і нормаллю МК .

Геодезичною довготою L точки М називається двогранний кут між

площиною початкового меридіана РСР' та площиною меридіана РМТ>Р', що

проходить через точку М .

Широти точок, розташованих у північній півкулі, називають північними, а

широти точок південної півкулі - південними.

Залежно від того, де розташовані точки - на схід чи на захід від

початкового меридіана, вони мають східні або західні довготи відповідно. На

території України координати всіх точок мають північні широти та східні

довготи.

Щоб перейти від геодезичних координат до астрономічних, потрібно

еліпсоїд замінити геоїдом, а нормаль до еліпсоїда - прямовисною (лінією

виска).

Якщо допустити, що на рис. 1.1.15 зображено геоїд, а лінія виска не

збігається з нормаллю МК, то зрозуміло, що величина кута В зміниться. Крім

того, оскільки площина меридіана РМТ)Р' збігається з нормаллю, а площина

астрономічного меридіана збігається з прямовисною лінією, то зміниться

положення площини PM'DP', а це означає, що зміниться і довгота L. Тому

потрібно дати визначення астрономічних широт та довгот.

Астрономічна широта - це кут між площиною екватора та прямовисною

пінією у певній точці.

Астрономічна довгота - це двогранний кут між площиною початкового

меридіана та площиною астрономічного меридіана цієї точки. Площина

істрономічного меридіана - це площина, що проходить через лінію виска в

іевній точці й паралельна до осі обертання Землі. Астрономічні широти і

іовготи позначають відповідно (р та Я.

У геодезичних роботах різницею між астрономічними і геодезичними

соординатами ніколи не нехтують. Ця різниця, спричинена відхиленнями

ірямовисних ліній і неправильним вибором розмірів та орієнтування референц-

ліпсоїда в тілі Землі, є предметом вивчення вищої геодезії.

У географії за фігуру Землі звичайно приймають кулю й нехтують

іідхиленням прямовисних ліній. В результаті астрономічна та геодезична

истеми координат перетворюються на єдину географічну систему координат.

Ірямовисні лінії й нормалі збігаються і стають радіусами, які перегинаються в

[снтрі кулі. Географічні широти і довготи також прийнято позначати (р та Я.

Загальні відомості з топографії

У зв'язку з широким застосуванням супутникової геодезії не тільки для

сіворення геодезичних мереж, але й в топографії великого значення набуваг

.ч-оцентрична система прямокутних просторових координат (рис. І.1.16).

Початок координат точку О вибирають у центрі мас Землі. Тому система

тримала назву "геоцентрична", на відміну від топоцентричної, у якій початок

мюрдинат на поверхні Землі. Вісь OZ спрямована вздовж осі обертання Землі

іо Північного полюса. Вісь ОХ лежить на лінії перетину площини початкового

меридіана з площиною екватора. Вісь ОУ - лінія перетину площини меридіана,

перпендикулярного до початкового меридіана з площиною екватора.

Гоордипати довільної точки М в цій системі визначаються

мі іріїками X = ОМ і = М

; У = ОМ

= М

; Z = ОМ

= М

М .

Щоб побудувати відрізок М

М, що дорівнює Z, спроектуємо точку М

на площину екватора. В площині екватора матимемо точку М

. Далі з точки

Л/„ проведемо в площині екватора лінії, паралельні до осей ОХ та ОУ. Тоді на

них осях агримаємо точки М, та М

, а також матимемо відрізки М

=Х та

/'ис. 1.1.15. Гєодезичнікоординати BiL Рис. 1.1.16. Геоцентрична система

точок земної поверхні на еліпсоїді прямокутних просторових координат

Л/..Л/, = у.

Розділ I

1.2. Картографічні проекції, карти та плани

1.2.1.

Загальні відомості про картографічні проекції'

Коли ведуть мову про зображення поверхні Землі на площині (на карті

або плані), то мають на увазі зображення контурів різних предметів та

нерівностей місцевості (рельєфу). Кожний контур та об'єкт місцевості - це

безперервна низка точок, прямих і кривих ліній. Отже, зображення Земної

поверхні на площині можна виконати, зобразивши множину точок та ліній цієї

поверхні. Методів зображення поверхні Землі на площині дуже багато.

Детальним вивченням цих методів займається математична картографія. Зв'язок

між прямокутними координатами (X, У) положення точки на площині та гео-

дезичними координатами (широтою В, довготою L ) на еліпсоїді можна подати

в загальному вигляді

Знаючи геодезичні координати (B,L) точки на еліпсоїді і математичні

залежності, можна визначити відповідні координати цієї точки (Х,У) на

площині.

Ми розглянемо лише питання, необхідні, щоб зрозуміти суть картогра-

фічних проекцій, які використовують у топографії. Для спрощення міркувань

припустимо, що поверхня Землі (меридіани, паралелі, контури материків,

океанів, озер, населених пунктів) зображається спочатку на глобусі певного

розміру, а потім поверхню глобуса переносять на площину за певним законом.

Закони проектування географічної мережі меридіанів і паралелей на площину

називають картографічними проекціями. Зображаючи поверхню Землі на

глобусі, ми зменшуємо всі лінійні розміри на цій поверхні в однакову кількість

разів. Ступінь такого зменшення називається масштабом. Якщо йдеться про

оденшення лінійних розмірів, то масштаб в такому разі називають масштабом

довжин; якщо порівнюють площі, то масштаб називається масштабом площ.

Звернемо увагу, що за такої постановки картографічної задачі необхідно

зорівнювати відповідні величини на карті і на глобусі; на карті і на поверхні

Землі та, нарешті, на глобусі і на поверхні Землі.

Відношення деякої лінії на глобусі (наприклад, радіус глобуса - R

,) до

відповідної лінії на земній кулі (наприклад, радіус земної кулі - R

)

зазивається головним, або загальним, масштабом карги і позначається бук-

ЮЮ /J .

(1.2.1)

Загальні

відомості

з топографії

Достатньо точне зображення поверхні Землі, прийнятої за поверхню кулі,

можна отримати на глобусі. Проте на маленькій кулі, якою і є глобус, можна

юЬрачити поверхню Землі тільки в загальних рисах. Великі глобуси

—

громіздкі

п незручні у користуванні, а для інженерного проектування вони взагалі

непридатні. Немає альтернативи детальному зображенню поверхні Землі на

миощині.

Зображаючи поверхню глобуса на площині, намагаються зберегти розміри

<и\ чи інших фігур, прямих та інших ліній. Але повністю зберегги їх

неможливо, тому що сферичну поверхню не можна розгорнути на площину.

'Інше в деяких випадках вдається досягти того, щоб деяка лінія або навїіь

іік іема ліній на глобусі зберегли свою довжину на площині. У такому разі

ні піоніення відрізків ліній карти до відповідних відрізків на глобусі дорівшо-

іііішмс одиниці. Це означає, що масштаб цих ліній відносно відповідних ліній

н.і поверхні Землі дорівнює масштабу глобуса, тобто головному масштабу. М

інших' випадках це відношення буде або більшим, або меншим за одиницю. Як

мчимо, зображаючи глобус на площині, не можна добитись, щоб масштаб

мнщи дорівнював головному. Масштаб довжини на карті безперервно

імпногться під час переходу від точки до точки.

Раніше було показано, що невелику ділянку поверхні Землі певних роз-

мірів можна вважати площиною і тому її зображення на папері зберігає повну

мі

і.піміість всіх контурів місцевості. Таке зображення називається планом.

Отже, планом називається зменшене, подібне зображення на площині

"|чі тіпальної проекції порівняно невеликої ділянки місцевості. На карті дов-

І HUH ліній і кути не відповідають їх фактичним значенням, але, знаючи

проекцію, за якою складена карта, можна отримати їхні істинні значення за

інііомогою обчислень та додаткових побудов. Навпаки, план у межах точності

ч" п.ових та креслярських робіт дає подібне зображення місцевості: на плані

• 111 її

пропорційні, а кути - дорівнюють їх дійсним величинам.

Картографічна мережа є зовнішньою ознакою, яка відрізняє карту від

и і,шу. Між планом та картою є істотні відмінності:

план дає зображення проекцій невеликих ділянок поверхні Землі на

•

чризон іальну площину, карта дає зображення проекцій значних ділянок або

н і поверхні Землі на площину;

довжини, кути, площі контурів на плані не спотворюються, а на карії

її

ворюються.

Інакше кажучи, масштаб плану залишається постійним для усіх частин

імаму. На картах, особливо на тих, що зображають усю Землю або велику її

і u піну, масштаб змінюється не тільки в різних частинах карти, але й за

рипими напрямами, що виходять з однієї точки. Встановлений для карти

Розділ I

ласштаб точно зберігається тільки в її окремих частинах, звичайно вздовж

іеяких меридіанів та паралелей. Такий масштаб називається головним. Масш-

аби в інших частинах карти відрізняються від головного і називаються

іастковими. Чим менша частина поверхні Землі, яку охоплює карта, тим більше

;арта за властивостями наближена до плану. Найбільші відхилення часткових

іасштабів від головного мають карти, на яких зображені цілі континенти або

ся поверхня Землі. Це географічні карти.

За масштабами карти умовно поділяють на:

а) великомасштабні - 1:100 000 і більших масштабів;

б) середньомасштабні - від 1:200 000 до 1:1 000 000;

в) дрібномасштабні - дрібніші за 1:1 000 000.

Великомасштабні карти називають топографічними; середньомасштабні

асто називають оглядовими або штурманськими. Інколи плани або карти

спадають, не зображаючи на них рельєфу. Такі плани чи карти називають

ітуаційними, або контурними.

Топографічні карти мають багатоцільове призначення, тому на них

шосять усі елементи місцевості. Це відрізняє їх від спеціальних карт, на яких

греважає зображення одного або кількох елементів (наприклад геологічні,

уганічні та інші). В інженерно-геодезичних роботах найчастіше використо-

тоть карти масштабів 1:10000 і більших масштабів.

Щоб краще зрозуміти відмінність між картою та планом, повернемося до

(вчення спотворень зображень. Як уже зазначалося, спотворюється тут не

іьки масштаб довжини, але й масштаб площ безперервно змінюється від

чки до точки. Абсолютно так само і кути між напрямками в різних точках

рти не дорівнюють відповідним кутам на глобусі.

Припустимо, що в деякій точці О

глобуса з широтою ф та довготою Я

исане нескінченно мале коло А

. У тій чи іншій проекції на площині коло

завжди зобразиться колом, воно може зобразитись еліпсом. Цей еліпс

зивається еліпсом спотворень. Напрями великої а і малої в півосей є саме

ми напрямами, за якими у певній точці карти масштаби мають найбільше й

йменше значення.

Два взаємно перпендикулярні напрями у довільній точці глобуса і

довідні їм два взаємно перпендикулярні напрямки на еліпсі спотворень, за

ши масштаби мають найбільше й найменше значення, називаються голов-

VIи напрямками. Зауважимо, що головні напрямки не обов'язково збігаються

іапрямками меридіанів та паралелей. Між головними напрямками існує

:кінченна множина напрямків, за якими масштаб має проміжне значення,

перервно зменшуючись від найбільшого до найменшого і навпаки.

Загальні

відомості

топографії

Отже, масштаб карти безперервно змінюється не тільки з переходом під

точки до точки, але й у певній точці, при переході від напрямку до напрямку.

Ось чому масштабом g карти відносно до глобуса у певній точці за певним

напрямком називають відношення нескінченно малого відрізка ds карій до

відповідного нескінченно малого відрізка ds

глобуса.

f \

карта

(1.2.2)

глобус ^

Головний масштаб карти /J. (за визначенням) є відношенням нескінченно

малого відрізка ds

на глобусі до нескінченно малого відрізка на поверхні

Чемної кулі - dS

ds„

""dS,

( жовУ

\ (1.2.3)

І земна куля І

Щоб визначити масштаб с карти в заданій точці і в заданому напрямку

відносно земної кулі, очевидно, потрібно g помножити на головний масш-

таб jl

ds ds

•

[і

— 2-

= . (1.2.4)

Величину g називають збільшенням або модулем масштабу, оскільки

g - це множник, на який потрібно помножити загальний, головний масштаб,

щоб отримати масштаб с карти.

Масштаб с, як видно з формули (1.2.4), є відношенням нескінченно малого

відрізка ds на карті до нескінченно малого відрізка dS

на земній кулі.

Масштаб с називається частковим масштабом.

Чим меншим є відхилення часткових масштабів с від головного

масштабу Ц, тобто чим ближчі модулі g до одиниці в усіх точках карти, тим

краще вибрана проекція для цієї карти. Для планів модуль g завжди дорівнює

одиниці. В цьому, між іншим, важлива відмінність між планом та картою.

Різниця ds-ds

є абсолютним спотворенням довжини елемента dS

при

. v. . ds-ds„

перенесенні його з глобуса на карту, а відношення - відносне

спотворення цієї довжини. Усе сказане відносно масштабів довжин майже

дослівно можна повторній відносно масштабів площ. Спогворсння кутів

визначаються безпосередньо різницею кутів на карії та на глобусі. Міри для

оцінки відносного спотворення кугів не вводять.

Розділ I

1.2.2.

Класифікація картографічних проекцій

Для систематичного вивчення картографічних проекцій їх класифікують

а деякими властивостями, з яких на найбільшу увагу заслуговує характер

лотворень. В попередньому пункті показано, що у разі зображення глобуса на

шощині взагалі спотворюються і довжини, і кути, і площі. Однак, можливі

іроекції, в яких збігаються (для малих ділянок) розміри тих чи інших елементів.

Іалежно від цього розрізняють такі проекції:

1. Рівнокутні (конформні) проекції, в яких зображення нескінченно малих

зігур на картах подібні до відповідних фігур на земній поверхні (або на глобусі,

цо не змінює суті). Назва "рівнокутні проекції"" пояснюється тим, що в

юдібних фігурах відповідні кути рівні між собою. Тільки в цих проекціях

іескінченно мале коло на глобусі зобразиться також колом на карті.

2. Рівновеликі проекції, в яких зображення на картах зберігають площі

ідносно глобуса такого самого масштабу.

3. Рівнопроміжні проекції, в яких у кожній точці зберігаються довжини на

дному з головних напрямів еліпса спотворень.

4. Довільні проекції, яким не притаманна ні одна з вищеназваних власти-

остей. Взагалі розрізняють такі картографічні проектування: на площини,

онуси, циліндри. Залежно від орієнтування поверхні проектування відносно

лобуса (земної кулі) поділяють на: нормальне, поперечне, похиле (рис. 1.2.1).

Детально ці питання вивчає математична картографія.

Зауважимо, що в топографічному картографуванні найчастіше застосо-

ується проекція Гаусса-Крюгера, яка є рівнокутною, циліндричною, попе-

ечною проекцією еліпсоїда на поверхню циліндра, вісь якого перпендикулярна

;о осі обертання Землі.

Широке використання саме цієї проекції можна пояснити тим, що

івнокутність можна зберігати тільки за умови, коли віддалі вздовж напрямків

авколо точки циліндра у межах малої ділянки будуть пропорційними до

ідповідних віддалей на кулі.

Це можливо, якщо в деякій точці масштаб не залежить від напрямку

інійного елемента. В результаті, без цієї проекції, модуль g (див. формулу

2.2.) буде близьким до одиниці для доволі значної ділянки.

Проекцію Гаусса-Крюгера детальніше описано далі.

В наш час широко застосовують цифрові карти та плани, в яких дані в

ифровому вигляді запам'ятовуються в пам'яті комп'ютера і можуть бути

еретворені на зображення на дисплеях комп'ютерів. Цс і будуть цифрові

одслі місцевості (ЦММ) та цифрові моделі рельєфу (ЦМР).

Загальні відомості з топографії

Рис. 1.2.1. Геометрична інтерпретація різних

методів картографічного проектування

Крім планів та карт, складають профілі місцевості, які є зменшеним

•ображенням прямовисного (вертикального) розрізу земної поверхні в деякому,

наперед заданому напряму. Профілі місцевості необхідні для виконання

ііаі атьох практичних інженерних завдань.

1.2.3. Масштаби планів і карт.

Числовий, лінійний і поперечний масштаби

Розміри земельних ділянок та їхніх горизонтальних проекцій на площину

і.ніадіо нелпкі та їх зображають на папері не в дійсному, а в зменшеному вигляді.