Орленок В.В. Основы геофизики

Подождите немного. Документ загружается.

нулю снизу. В плане магнитное поле ∆z шара имеет форму концентри-

ческих окружностей. Вектор напряженности ∆H направлен к центру

шара (рис. 47). В отличие от поля стержня бесконечной длины для по-

ля шара характерно присутствие отрицательных значений ∆z.

§3. Магнитное поле вертикального тонкого пласта

Рассмотрим поле (вдоль

оси x), создаваемое вертикаль-

но намагниченным тонким пла-

стом бесконечной длины и

мощностью l. Предположим,

что l << h и пласт простирается

в направлении оси y (рис. 48).

В этом случае влиянием

магнитных масс, сосредоточен-

ных на нижней кромке пласта,

можно пренебречь и рассмат-

ривать лишь магнитные массы,

сосредоточенные вдоль по-

верхностной кромки пласта в

виде линейных полюсов.

Магнитная масса единицы

длины dy будет равна:

Il= . (VII.16)

Точка, лежащая на оси x, имеет координаты x, 0, R, точка N, лежащая

на кромке пласта – 0, y, 0. Поэтому rxyh

2222

=++, и потенциал эле-

ментарного столба, вырезанного из данного пласта (рис. 48), будет ра-

вен:

Ildy

xyh

222

. (VII.17)

Вертикальная ∆z и горизонтальная ∆H – составляющие этого элемен-

тарного столба – будут равны соответственно:

()

Ilhdy

xyz

=− =

∂

()

222

; (VII.18)

Рис. 48. К определению магнитного

поля тонкого пласта

()

Ilxdy

xyh

=− =

∂

()

222

. (VII.19)

Для того чтобы найти значения ∆z и ∆H от всей пластины, необходимо

полученные выражения проинтегрировать в бесконечных пределах:

()

∆z

Ilhdy

xyh

−∞

∞

∫

222

; (VII.20)

()

∆H

Ilxdy

xyh

−∞

∞

∫

222

. (VII.21)

Для решения этих интегралов воспользуемся подстановкой Эйлера:

222

+=;

; −≤≤

Тогда

222

= tg

; dy

cos

. (VII.22)

Подставим полученное выражение (VII.22) в (VII.20):

() ()

()

tg1cos

tgcostg

cos

232

2222

222

∫

∫∫

−

−−

+⋅

=∆

ϕϕ

rdr

Ilh

Ilhz

Учитывая, что

cos

, после подстановки в последний инте-

грал получаем:

∆zIlh

Ilh

===

−

∫

cos

sin

ϕϕ

188

Итак, для вертикальной составляющей ∆z вертикального тонкого пла-

ста имеем:

∆z

Ilh

. (VII.23)

Решая аналогичным образом интеграл (VII.21), получаем выражение

для горизонтальной составляющей ∆H:

∆H

Ilx

. (VII.24)

При x = 0, ∆H = 0,

∆z

, т.е. график ∆z имеет максимум над цен-

тром пласта и ассимтотически стремится к нулю при удалении от

кромки пласта (рис. 48).

График ∆H имеет минимум под центром пласта и два смещенных

экстремума – положительный и отрицательный с ассимтотическим

стремлением к нулю вдали от кромки пласта (рис. 48).

Поле изодиан ∆z тонкого пласта имеет изометрическую, вытяну-

тую вдоль простирания пласта форму. Вектор ∆H направлен к осевой

линии пласта.

§4. Магнитное поле

вертикального толстого

пласта

Если вертикальный пласт

имеет ширину l, большую

глубины его залегания h,

(l > h), то такой пласт можно

аппроксимировать пачкой

тонких пластов (рис. 49).

Интегрируя выражение

для ∆z и ∆H, полученные для

тонкого пласта (VII.23) и

(VII.24) по всей ширине l

(вдоль оси x), найдем значе-

ния поля вертикальной и го-

Рис. 49. К определению магнитного поля

пласта большой мощности

189

ризонтальной составляющих магнитного поля для пласта большой

мощности:

∆z

Ihldx

−

∫

; ∆H

Ixldx

−

∫

. (VII.25)

Оба интеграла табличные и легко вычисляются:

∆zIhl

−













−

2arctg arctg arctg .

Применив известные формулы преобразования:

arctg arctg arctgAB

−=

−

получим:

∆zI

−

222

arctg ; (VII.26)

(

)

()

∆HIl

hxl

+−

. (VII.27)

Формулы (VII.26) и (VII.27) справедливы в том случае, если про-

дольные размеры пласта больше, чем глубина залегания верхней гра-

ни. В этом случае влиянием нижней грани можно пренебречь. Графи-

ки, показывающие ход кривых ∆z и ∆H для толстого пласта, приведены

на рис. 49.

Приведенные кривые ∆z и ∆H представляют собой сумму кривых

∆z и ∆H для бесконечного числа тонких пластов, на которые можно

разбить пласт. Поэтому они мало отличаются и по форме и по ампли-

туде от кривых для тонкого вертикального пласта (рис. 48, с. 185), и

лишь в плане аномалия ∆z будет иметь большую ширину по сравне-

нию с тонким пластом.

§5. Магнитное поле горизонтального цилиндра

Поле цилиндра эквивалентно полю бесконечного числа вертикаль-

ных магнитных диполей, центры которых расположены на оси цилин-

дра. Магнитный потенциал V в точке Р земной поверхности (ось x ) от

элемента цилиндра равен (рис. 50):

190

cos

Ihdsdy

(VII.28)

где

rxyh=++

222

, cosΘ=

Для нахождения потенциала V

по всей длине цилиндра нуж-

но выражение (VII.28) проин-

тегрировать в бесконечных

пределах:

()

VIhds

xyh

−∞

∞

∫∫∫

222

Поскольку двойной интеграл

определяет площадь поверх-

ности сечения цилиндра

ds s

∫∫

а второй интеграл нами уже был решен в §3, где он был равен

()

xyh

222

−∞

∞

∫

то для потенциала цилиндра имеем:

Ish

. (VII.29)

Дифференцируя полученное выражение по h и x найдем вертикальную

и горизонтальную составляющие ∆z и ∆H магнитного поля цилиндра:

()

∆z

=− =

−

∂

; (VII.30)

()

∆H

Isx

=− =

∂

. (VII.31)

Рис. 50. К определению магнитного

поля горизонтального цилиндра

191

Графики функций ∆z и ∆H приведены на рис. 50.

§6. Магнитное поле уступа

Уступ – это вертикальный контакт двух

различных пород, сильно различающихся по

намагниченности (рис. 51). Это может быть

сброс вдоль линии разлома, контакт кри-

сталлических и осадочных пород и т.п.

Отнесем нижнюю кромку центра в бес-

конечность. Тогда положительные магнит-

ные массы будут сосредоточены на поверх-

ности правой плоскости уступа в виде тон-

кой намагниченной пластины (простран-

ственная задача) или намагниченной нити

(плоская задача, см. рис. 51).

Разобьем уступ на бесконечно большое количество тонких верти-

кальных слоев длиной dx. Тогда магнитная масса элемента слоя будет:

Значения ∆z вертикальной и ∆H горизонтальной составляющей та-

кого тонкого слоя мы уже определяли в §3:

∆z

; ∆H

Для нахождения этих компонентов в случае уступа необходимо проин-

тегрировать ∆z и ∆H в пределах от 0 до ∞ вдоль оси x:

∆z

Ihdx

∞

∫

; ∆H

Ixdx

∞

∫

. (VII.32)

Оба интеграла табличные и легко находятся:

∆zI

==−













∞

arctg arctg

. (VII.33)

Над уступом (x = 0)

∆zI=

, вдали от него:

∆zI

=−













arctg

; (VII.34)

Рис. 51. К определению

магнитного поля уступа

192

()

∆HI x h Ih I

=+−=+ln ln ln

22 2

1. (VII.35)

Максимум ∆H будет располагаться над уступом (рис. 51).

§7. Интерпретация магнитных аномалий

Анализируя полученные в предыдущем параграфе формулы для

∆z, ∆H и V и соответствующие им графики, нетрудно увидеть, что тела

различной формы нередко создают весьма сходные магнитные анома-

лии. Это обусловливает неоднозначность количественных решений

обратной задачи магнитометрии в целом и геологической интерпрета-

ции магнитных наблюдений в частности. Тем не менее в ряде случаев

удается оценить размеры и глубину залегания верхней, а иногда и

нижней кромки магнитовозмущающих тел. При этом для упрощения

вычислений приходится чаще всего исходить из предположения о вер-

тикальном намагничении тел.

Определение элементов залегания вертикального стержня бес-

конечной длины. Изометрические аномалии ∆z и ∆T одного знака

(см. рис. 46, с. 183) являются указанием на то, что глубина залегания

нижнего края намагниченного тела весьма значительна, а поперечные

размеры тела примерно соответствуют размерам и конфигурации изо-

дианам или изолиний ∆T. Для интерпретации таких аномалий можно

использовать формулы для вертикального стержня бесконечной дли-

ны:

() ()

max

. ;

ISx

ISh

=∆

(VII.36)

Откуда легко определить глубину до верхней кромки:

∆

max

. (VII.37)

Так как величина IS обычно неизвестна, то удобнее пользоваться дру-

гой формулой:

193

∆

max













, (VII.38)

где ∆z

– текущее значение кривой ∆z на пикетах профиля.

Для отношения (VII.38) можно рассчитать таблицы, из которых

легко определить x

/h.

∆

max

0,8

0,5

0,25

0,4

0,75

1,2

Например, на абсциссе x

1/2

, где величина

∆∆zz=

max

138

. (VII.39)

По полученным таким образом значениям h и ∆z

max

можно оценить

величину IS z h=∆

max

. Если же интенсивность намагничивания I из-

вестна, например, по определениям на образцах (IHI

), то

можно вычислить площадь верхней кромки намагниченного тела:

∆

max

. (VII.40)

Определение элементов залегания намагниченного шара. Интен-

сивная положительная изотермическая аномалия, вокруг которой рас-

полагается слабая отрицательная аномалия (см. рис. 47 на с. 184), сви-

детельствует о том, что нижняя кромка намагниченного тела залегает

на сравнительно небольшой глубине. Для интерпретации таких анома-

лий можно использовать формулы для шара:

()

∆z

IW h x

−

;

()

∆H

IWhx

При x = 0 получаем

∆z

, откуда нетрудно определить глубину

над центром шара:

194

max

. (VII.41)

При известном I можно оценить радиус шара и примерный объем на-

магниченного тела:

IW z

=∆

max

;

max

;

Wr=

π . (VII.42)

Определение элементов залегания тонкого пласта бесконечной

длины. Вытянутые аномалии одного знака свидетельствуют о большой

глубине залегания нижней кромки намагниченного тела, форма кото-

рого, очевидно, близка к вертикальному пласту бесконечного прости-

рания (см. рис. 48 на с. 185). Для ∆z и ∆H имеем выражение:

∆z

Ilh

; ∆H

Ilx

Решая оба уравнения относительно h, получим:

x= . (VII.43)

Произвольно беря x

и соответствующие им значения ∆z

и ∆H

, легко

определяем глубину залегания верхней кромки пласта. Если кривые ∆z

и ∆H были действительно обусловлены такой формой тела, то все h,

рассчитанные в нескольких точках профиля x, совпадут с небольшим

разбросом. В противном случае этот разброс будет велик.

Интерпретацию можно производить также, пользуясь лишь кривой

∆z. Решая совместно два уравнения, полученные для ∆z

max

и любого

текущего значения ∆z

∆z

max

, ∆z

Ihl

;

получим:

−













∆

max

. (VII.44)

В точке профиля, где

∆

zz=

max

, h = x

1/2

, т.е. абсциссе этой точки. Ес-

ли по образцам или каким-либо иным способом определена интенсив-

195

ность намагничивания I, то по полученным значениям h и I можно

оценить ширину намагниченного тела:

∆

max

. (VII.45)

Зная ∆z и h, легко определить намагниченность:

∆

max

. (VII.46)

Графические способы интерпретации. В отличие от рассмотрен-

ных выше аналитических способов определения параметров геологи-

ческого объекта, где для расчетов используются лишь отдельные экс-

тремальные значения аномалий, в графических способах реализуется

большая часть аномальной кривой ∆z, ∆H или ∆T. Это повышает точ-

ность интерпретации, что с учетом относительной простоты операций

вычисления h делает графические способы предпочтительнее аналити-

ческим.

Одним из таких способов является так называемый способ каса-

тельных, реализующий в первом приближении связь ширины анома-

лии с глубиной залегания намагниченного тела. В первоначальном ва-

рианте, предложенном Ю. И. Грачевым, определение глубины залега-

ния верхней кромки магнитовозмущающих тел проводилось следую-

щим образом:

xx xx

−













−

























22 2

12 12

. (VII.47)

Значения x

, x

, x´

и x´

видны из рис. 52.

Эта формула дает весьма приблизи-

тельную оценку h для тел, близких к вер-

тикальному пласту большой мощности (l

≥ 2h), нижняя кромка которого не оказы-

вает влияние на величину потенциала V.

В общем виде формула Грачева име-

ет вид:

(

)

hkx x=−

, (VII.48)

где k – коэффициент, зависящий от фор-

мы тела. У Грачева k = 1, однако дальнейшие исследования показали,

Рис. 52. К определению глу-

бины залегания верхних кро-

мок намагниченных тел

методом касательных