Новиков А.И., Орлов Г.С. Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Подождите немного. Документ загружается.

    

3;0;430;11;22AС 

 

   

2;6;41;3;22AB2BA2BA2 

Теперь найдем длины сторон треугольника. Поскольку ко-

ординаты векторов

известны, то длины сторон АВ,

АС и

находим по формуле (2.10):

 

14132AB



;

   

5304AC



     

29402102BС



Ответ:

 

;1;3;2AB 

;

 

2;6;4BA2 

;

 

;;3;0;4AC 

29BC;5AC;14AB 

2.6.2. Решение типовых задач

Задача 2.1. В прямоугольнике

ABCD

(рис. 2.19) даны век-

торы

ABa 



BCb 



. Найти векторы

FC,EA,BD

, если



середина стороны

, а

 середина стороны

Решение. Вектор

можно

найти двумя способами. По правилу

параллелограмма как сумму векторов

 

abABBCBABCBD





С другой стороны, можно рассуждать так: вектор

направ-

лен из конца вектора

в конец вектора

 

BCADAD 

и то-

гда по определению разности векторов

abABADBD





Аналогично

 

ba21BCA21EFEDEA



 B

ba21BCA21BCFBFC



 B

Ответ:

abBD





;





;





Задача 2.2. Вектор

 

1;2;3a 



приложен в точке

 

4;2;1A 

. Найти координаты точки

 конца вектора

ABa 



, а также орт

вектора



Решение. Пусть точка

имеет координаты

z;y;x

. В со-

ответствии с формулой (2.9) получаем

    

4z,2y,1x1,2,3 

откуда, по определению равенства двух векторов, имеем

1x3 

2y2 

4z1 

или

3z,4y,2x 

Первая часть задачи решена. Найдем

Поскольку

222

123a 





















то















Ответ:

 

3;4;2B















Задача 2.3. Выяснить, можно ли из векторов

     

6;7c;0;2b;2;1a 





выделить базис на плоскости.

Если такой базис существует, разложить третий вектор по бази-

су.

Решение. Как известно (п.2.4), всякие три вектора на плос-

кости линейно зависимы, т.е. заданные векторы

c,b,a



в сово-

купности линейно зависимы. Базис на плоскости образуют два

неколлинеарных вектора. Проверим, образуют ли базис векторы



. По определению линейной независимости векторов в

этом случае равенство

0ba





должно выполняться

только для нулевых



. Проверим, так ли это.

     

0,00,22,1



или

   

0,002,2

2121



откуда











.02

,02

Эта система имеет только нулевое решение:



. Значит, векторы

b,a





линейно независимы, т.е. образуют базис

на плоскости. Разложим теперь вектор



по базису

 

b,a



. Пусть

bac







, где





 числа, подлежащие определению.

Перепишем линейную комбинацию

bac







в координат-

ной форме

     

0,22,16,7 

или

   

 2,26,7

откуда получаем систему











6.2

,72

Решая ее, находим

.2,3 

Итак,

b2a3c







Ответ: базис

b,a



;

b2a3c







2.6.3. Задачи для самостоятельной работы

1. В треугольнике

ABC

даны векторы

aAB





bBC





cAC





. Выразить через

c,b,a



векторы, совпадающие с медиа-

нами

CL,BN,AM

треугольника.

2. В прямоугольнике

АВСD

даны векторы

aAC





bBD





, совпадающие с диагоналями параллелограмма. Выра-

зить через



векторы

, совпадающие

со сторонами прямоугольника.

3. Определить начало вектора

 

1;3;2a 



, если его ко-

нец совпадает с точкой

 

2;1;1B 

. Найти также модуль и орт



вектора



4. В пространстве в прямоугольной декартовой системе ко-

ординат даны точки

 

1;1;1A

 

0;2;3B 

. Найти расстояние от

этих точек до начала координат и проекции вектора

на ко-

ординатные оси.

5. Даны две координаты



12a



вектора



Определить третью координату



при условии, что

13a 



6. На плоскости даны два вектора

 

3;2p 



 

4;9q 



Проверить, образуют ли они базис и, если образуют, найти раз-

ложение вектора

 

14;49d 

по базису

q,p



7. Проверить, образуют ли базис векторы

c,b,a



а)

 

3;1;2a 



 

1;2;0b 



 

0;4;6c 



б)

 

1;0;1a 



 

1;2;1b 



 

3;2;1c 



Если векторы

c,b,a



не образуют базис, то найти линейную за-

висимость между ними.

ОТВЕТЫ

aAM









bCL







 





 





 





 

DA 

 

3;2;1A 

14a 



 

1;3;2



 

3A,O 

 

13B,O 

4ABПр



1ABПр



1ABПр



3

. 6.

q5p2d







7. а)

c,b,a



образуют базис;

б)

c,b,a



линейно зависимы:

0cba2 



2.7. Скалярное произведение векторов

2.7.1. Определение и свойства

Определение. Скалярным произведением двух векторов



называется число (скаляр), равное произведению моду-

лей этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается

скалярное произведение

 

b,a



или



 

















b,a

cosbab,a



. (2.14)

Скалярное произведение можно записать еще в одной форме

 

aПрbbПрab,a







. (2.15)

Действительно,

 

bПрb,acosb







;

aПр

b,a

cosa





















Из (2.15) следуют формулы для вычисления алгебраических

проекций векторов

 

b,a

bПр





;

 

b,a

aПр





. (2.16)

Скалярное произведение обладает следующими свойствами.

Алгебраические свойства

   

a,bb,a









   

b,ab,a







- действительное число.

   

 

c,ab,acb,a











 

aa,a





Замечание. Скалярное произведение

 

a,a



называется

скалярным квадратом вектора



и обозначается



, т.е.

 

aaa,a





Геометрические свойства

5. Если векторы



перпендикулярны, то

 

0b,a 



Действительно,

 

00ba2cosbab,a 



Скалярное произведение равно нулю и для нулевых векторов,

т.е. если





или





6. Если векторы



ненулевые, то

 

0b,a 



, если

b,a

0 



















 

0b,a 



, если



















b,a



Алгебраические свойства используются при нахождении

скалярного произведения двух линейных комбинаций несколь-

ких векторов.

Пример 2.6. Вычислить

 

b4a,ba2





, если





2a 



3b 



Решение. Используя распределительное свойство 3, полу-

чаем

 

     

 b4,bb4,a2a,ba,a2b4a,ba2











   

 





b4b,a7a21свойствупо

b4b,a8a,ba22свойствупо





 

 4свойствупоbaкактак,0b,a



289442b4a2





Ответ:

28

2.7.2. Скалярное произведение в координатной форме

Утверждение. Если векторы



заданы своими ко-

ординатами:

 

zyx

a,a,aa 



;

 

zyx

b,b,bb 



в ортонормированном базисе

k,j,i





, то скалярное произ-

ведение

 

b,a



определяется формулой

 

zzyyxx

bababab,a 



. (2.17)

Доказательство. Предварительно заметим, что

 

1ii,i



. Аналогично

   

1k,kj,j 



. Для других комби-

наций векторов

k,j,i

с учетом их взаимной перпендикулярно-

сти имеем

     

0k,jk,ij,i 

используя эти результаты и алгебраические свойства 1-3, полу-

чаем

 

   



yxxxzyxzyx

bai,ibakbjbib,kajaiab,a



       

 j,jbai,jbak,ibaj,i

yyxyzx

       

 k,kbaj,kbai,kbak,jba

zzyzzzzy

 0ba1ba0ba0ba0ba1ba

zyyyxyzxyxxx

zzyyxxzzyzxz

bababa1ba0ba0ba 

. ■

Замечания. 1. Формула (2.17) позволяет записать в коор-

динатной форме условие перпендикулярности двух векторов

  

0b,a 



0babababa

zzyyxx





2. Из (2.14) с учетом (2.17) следует формула для нахожде-

ния угла между двумя векторами, заданными своими координа-

тами в ортонормированном базисе

 

zzyyxx

bbb:aaa

bababa

b,a

b,aсos













. (2.18)

Заметим, что

 

a,aa





3. В ортонормированном базисе формулы (2.16) для алгеб-

раических проекций векторов переписываются в виде

aaa

bababa

bПр

zzyyxx





zzyyxx

bbb

bababa

bПр





.(2.19)

Пример 2.7. Найти угол между векторами

j4i3a 



k3j2i6b 

, а также

bПр



Решение. Поскольку

 

0;4;3a 



;

 

3;2;6b 

, то в

соответствии с формулой (2.17) имеем

   

326043

302463

b,a

сos

222





























;

   

 

302463

bПр,

arccos

b,a

























В механике скалярное произведение находит

применение при вычислении работы

силы



при перемещении материальной точки

из начала вектора перемещения



в его конец

(рис. 2.20):

 

S,FA





2.7.3. Решение типовых задач

Задача 2.4. Векторы



образуют угол

2



. Зная,

что

3a 



4b 



, вычислить

 

b2a,b2a3





Решение

 

     

 b;b4a;b2b;a6a;a3b2a,b2a3











 







cosba416493b;a4b4a3



 

61214346427 

Ответ: -61.

Задача 2.5. Дано:

3a 



5b 



. Определить, при каком

значении



векторы









будут перпендикулярны.

Решение. Предположим, что

   

baba





, тогда

 

     

 0b,ba,bb,aa,a0ba,ba











