Новиков А.И., Орлов Г.С. Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Подождите немного. Документ загружается.

150

Умножим второе уравнение (относительно параметров

)

на 4 и вычтем из первого. Получим

3b12



, или



Тогда, например, из первого уравнения получаем

143a4



16a



Теперь можем записать каноническое уравнение эллипса:



Найдем фокусы эллипса. Так как

32416c 

то

 

0;32F



 

0;32F

. Далее находим эксцентриситет

e 

и, используя формулы (3.52), фокальные

радиусы точки

342



;



Ответ:



;

34r



;

34r



3.4.2. Гипербола

Каноническое уравнение гиперболы



0b,a 

(3.53)

определяет линию, состоящую из двух ветвей, симметричную

относительно координатных осей (рис. 3.30).

Точки

 

o;aA



;

 

o;aA

называются вершинами гиперболы,

а точки

 

o;cF



;

 

o;cF

- фокусами гиперболы. При этом

151

bac 

Точка 0 – центр

гиперболы.

Гипербола

как геометриче-

ское место точек

характеризуется

тем, что модуль

разности рассто-

яний от любой ее точки М до фокусов

есть величина

постоянная, равная

AAa2 

, т.е.

a2MFMF



. (3.54)

Параметры

b,a

называются полуосями, а оси

действительной и мнимой осями гиперболы. Если в (3.53)

ba 

, то такая гипербола называется равносторонней. Число

ace 

 

 e1

называется эксцентриситетом гиперболы и

характеризует меру «сплюснутости» ее ветвей. При большом

ветви гиперболы «раскрываются», приближаются к оси

, при

, близком к 1, «сплющиваются», приближаются к оси

Числа

MFr 

называются фокальными

радиусами точки

 

y,xM

и определяются формулами:

exar,exar



. (3.55)

Прямые

x:D



;

x:D



называются дирек-

трисами гиперболы. Они перпендикулярны к оси

и прохо-

дят между точками

 

и точками

 

152

Гипербола имеет асимптоты:

y 

y 

Для построения гиперболы необходимо:

1) построить прямоугольник с центром в точке

 

0;0O

со сторонами

, параллельными осям

;

2) через противоположные вершины провести прямые –

асимптоты гиперболы;

3) провести ветви гипербол.

Пример 3.15. Для гиперболы

144y9x16



найти:

а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет;

г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис.

Решение. Разделив обе части уравнения

144y9x16



на 144, получим каноническое уравнение



. В ре-

зультате:

35e;5169c;4b;3a 

; уравнения

асимптот:

x34y 

x34y 

; уравнения директрис:

59x 

;

59x 

Ответ: а)

4b,3a 

; б)

   

0;5F,0;5F



; в)

e 

;

г)

y 

y 

; д)

x:D



x:D



Пример 3.16. Определить

траекторию точки

 

y;xM

, кото-

рая при своем движении остается

вдвое ближе к прямой

1x 

, чем

к точке

 

0;4F

153

Решение. В соответствии с условием задачи имеем (рис. 3.31)

MFAM2 

Поскольку

1xAM 

;

 

,y4xMF



то

 

y4x1x2 

или, при возведении обеих частей в квадрат,

222

y16x8x4x8x4 

откуда

12yx3



, или



Получили каноническое уравнение гиперболы.

Ответ:



3.4.3. Парабола

Каноническое уравнение

0p,px2y



(3.56)

определяет параболу (рис. 3.32).

Число

называется парамет-

ром параболы. Парабола сим-

метрична относительно оси Ох,

называемой осью параболы.

154

Точка

 

0;0O

- вершина параболы;













 фокус па-

раболы, а число

xFMr 

называется фокальным ра-

диусом точки М параболы.

Прямая

x:D 

называется директрисой параболы.

Парабола как геометрическое место точек характеризуется

тем, что расстояние от любой точки М до фокуса равно расстоя-

нию от этой точки до директрисы, т.е.

MAMF 

Замечание 1. Уравнение

px2y



определяет параболу,

симметричную относительно оси

с вершиной в точке

ветви направлены влево.

Замечание 2. Уравнение

py2x



0p 

 

0p,py2x



, определяет параболу, симметричную отно-

сительно оси

с вершиной в точке

и направленную ветвя-

ми вверх (вниз).

Пример 3.17. Написать уравнение параболы с вершиной в

точке

 

0;0O

а) симметричной относительно оси

и проходящей

через точку

 

3;1M 

;

б) симметричной относительно оси

и проходящей

через точку

 

4;2M 

Решение: а) так как парабола симметрична относительно

оси

и имеет вершину в точке

 

0;0O

, то ее каноническое

уравнение

px2y



. Подставляя в него координаты точки M,

155

находим параметр

 

1p23:p



29p 

. В результате

имеем



, или

x9y



;

б) так как парабола симметрична относительно оси

проходит через точку

 

0;0O

, то ее уравнение

py2x



или

py2x



. Поскольку ордината

точки

отрицательна

 



, то уравнение параболы

py2x



. Теперь находим

значение параметра

и искомое уравнение параболы

 

4p22



p 



, или

xy 

Ответ: а)

x9y



; б)

xy 

3.4.4. Задачи для самостоятельной работы

1. Построить эллипс

64y4x



и найти для него

а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет;

г) уравнения директрис; д) фокальные радиусы точки

 

32;4M 

2. Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что:

а)

3b;4c 

; б)

5,0e;6a 

3. В эллипс



вписан прямоугольник со сторо-

нами, параллельными координатным осям. Вычислить площадь

прямоугольника, если длина одной его стороны равна 3. Рас-

смотреть оба варианта расположения прямоугольника в эллипсе.

4. Построить гиперболу

16y4x



и найти для нее:

а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет;

г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис;

156

е) фокальные радиусы точки

 

32;8M 

5. Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что:

а)

5c;4a 

; б)

52a 

;

2,1e 

6. Гипербола симметрична относительно координатных

осей, проходит через точку

 

22;6M 

и имеет мнимую полу-

ось

2b 

. Написать ее уравнение и найти фокальные радиусы

точки М.

7. Построить параболы:

а)

x9y



; б)

x9y



; в)

;y9x



г)

;y9x



найти координаты их фокусов и составить уравнения директрис.

8. На параболе

x6y



найти точку, фокальный радиус ко-

торой равен 4,5.

Ответы

1. а)

8a 

4b 

; б)

 

0;34F



 

0;34F

;

в)

23e 

; г)

316x:D



;

316x:D



;

д)

328r



;

328r



2. а)



; б)



312S



;



4. а)

4a 

;

2b 

; б)

 

0;52F



 

0;52F

; в)

e 

;

г)

y 

y 

; д)

x:D



;

58x:D



;

157

е)

 

154r



 

514r



5. а)



; б)



;

36r



;

32r



7. а)













x:D 

; б)













 0;

x:D 

;

в)













;0F

y:D 

; г)















;0F

y:D 

 

23;3M



 

23;3M

158

3.5. Поверхности второго порядка

По аналогии с кривыми второго порядка уравнения алгеб-

раических поверхностей второго порядка рассмотрим в канони-

ческих системах координат.

1. Эллипсоид

0c,b,a,1



Параметры

c,b,a

- полуоси

эллипсоида (рис. 3.33). Эллип-

соид симметричен относитель-

но всех координатных плоско-

стей.

В сечении эллипсоида

плоскостями, параллельными координатным плоскостям, полу-

чаются эллипсы.

2. Гиперболоиды:

а) однополостный



Симметричен относительно ко-

ординатных плоскостей. В сечении

однополостного гиперболоида плоско-

стями, параллельными плоскости

Oxy

, получаются эллипсы, а в сечении

плоскостями, параллельными плоско-

159

стям

Oxz

Oyz

, - гиперболы (рис. 3.34);

б) двуполостный



Симметричен относительно

координатных плоскостей. В се-

чении двуполостного гиперболои-

да плоскостями, параллельными

плоскости

 

hzOxy 

, получают-

ся эллипсы (при

cz 

), а в сече-

нии плоскостями, параллельными

плоскостям

Oxz

Oyz

,  гиперболы (рис. 3.35).

3. Конус



В сечении конуса плоскостями

hz 

получаются эллипсы, плоско-

стями

0x 

0y 

- пары прямых,

проходящих через начало координат

(рис. 3.36).