Никифоров В.О. и др. Интеллектуальное управление в условиях неопределенности
Подождите немного. Документ загружается.
140
произвольной матрицы
M
собственных векторов следует
положить
{
}
1CM = , что приводит (3.131) к виду
[]
I
R
A
F
Δ
Λ≥
δ
. (3.133)
5. Конструирование окончательной версии матрицы
Λ
состояния
модальной модели из условия
()
[
]
0
arg max ,
IR
A
F
⎧
⎫
Δ
⎪
⎪
Λ= Λ = Λ π Λ ≥
⎨
⎬
δ
⎪
⎪
⎩⎭
. (3.134)
6. С использованием SVD-процедуры произвольной
невырожденной
()
nn×
-матрицы формирование матрицы
{
}
{
}
arg 1MCM==
. (3.135)
7. Решение уравнение Сильвестра
0
M
AM BH
Λ
−=−
относительно матрицы
H
в форме
()
1
0
HB AMM
−
=−Λ
. (3.136)
8. Формирование матрицы ОС
K
закона управления (3.115),
вычисленной в силу соотношения
()
11 1
0
K
HM B A M M M
−− −
== −Λ
. (3.137)
Примечание 3.1. Так как п. 6 порождает континуум матриц
M
, то,
как и в случае синтеза модальноробастного управления (см. параграф
3.1), на
M
следует наложить ограничения на затраты по управлению
в виде
()
ut для
[
)
0,t ∈∞ и равномерности их распределения на
сфере
()
0
x
fix= . Тогда
M
ищется из условия
() {}()
{
}
{
}
111/21/2
0
arg & min
nnMn
M
MKBAMMM JCWW
−−
== −Λ = α
, (3.138)
где
n
W
– грамиан затрат на управление, вычисляемый с помощью
уравнения Ляпунова
00
TT
nn
F
WWF KK+=−
. (3.139)
9. Формирование матрицы
g
K
прямой связи с помощью
соотношения (3.126), которому можно придать вид
141
()
1
11
g
K
CM M B
−
−−
=− Λ . (3.140)
10. Вычисление реально достигнутой величины оценки
I
F
δ
относительной интервальности матрицы
[
]
F
системы в
соответствии с определением (3.124) и условием (3.121) и
проверка неравенства (3.130)
00
[]
I
RR
A
F
F
FABK
Δ
δ= ≤δ
=−
. (3.141)
11. Построение реализационной версии ЗУ (3.115), записываемой в
форме
() () ()
X
ut K t K xt
ε
=ε− , (3.142)
где
,
gX X
K
KK KKC
ε
==−. (3.143)
12. Представление элементов
0ij ij ij
FF F
⎡
⎤⎡⎤
=+Δ
⎣
⎦⎣⎦
матрицы
состояния спроектированной системы
[
]
[
]
0
F
FF
=
+Δ в
параметризованном параметром
ij
q виде
()
()
0.5( )
ij ij
ij ij
ij ij ij
F
qFFFFq=++−, (3.144)
где
[]
0
0.5; 0.5 ; 0
ij ij
qq∈− =
, так, что
()
(
)
0.5
0.5( ) 0.5
ij
ij ij
ij ij ij
ij ij
q
F
qFFFFF
=−
=+−−=
,
()
(
)
0.5
0.5( ) 0.5
ij
ij ij ij
ij ij
ij ij
q
F
qFFFFF
=
=++−=
.
13. Вычисление функций чувствительности показателей качества
()
0
ij
ij
ij
q
ij
q
q
q
Δ
ρ
ρ
=
∂π
π=
∂
. (3.145)
Построение на функциях чувствительности (3.145) полных
экстремальных вариаций
,
0.5
ij
n
q
ij
ρρ
Δπ = π
∑
. (3.146)
142
Вычисление медианного значения
0
ρ
π
показателя
0
ρ
π
с целью
конструирования достигнутой оценки
I
ρ
δ
π относительной
интервальности показателя
0
I
ρ
ρ
ρ
Δπ
δπ =
π
. (3.147)
При неудовлетворении
I
ρ
δ
π по основным показателям
требованиям технологического процесса, в который
встраивается проектируемая система, осуществить переход к п.
3 алгоритма, иначе п. 14.
14.
Техническая реализация регулятора с законом управления (3.142)
■.
Для случая, когда
rangB r n=〈
, возможно достижение решения
лишь задачи неполного обобщенного модального управления,
которая не позволяет при заданной структуре мод
{
}
;1,
i
diag i nΛ= λ =
свободно назначать геометрический спектр
{
}
i
ξ
собственных
векторов образующих матрицу. В теле алгоритма появляется
итерационная процедура при конструировании матрицы
() {
}
(
)
{
}
{
}
arg min
H
MMH CM CMH== =
. (3.148)
В основном предлагаемый для этого случая алгоритм совпадает с
алгоритмом 3.5.
Алгоритм 3.6
1. Выполнение п.п. 1–5 алгоритма 3.5.
2. Организация итерационной процедуры с целевой функцией
(3.148) на решениях уравнения Сильвестра
0
M
AM BHΛ− =−
. (3.149)
Фиксация значения
{
}
CM
, если
{
}
1CM
≠
, то переход к п.5
алгоритма 3.5 с целью увеличения нормы
Λ
в
{
}
CM
раз,
иначе – переход к п. 8 алгоритма 3.5.
3.
Выполнение п.п.8–11 алгоритма 3.5.
В заключении следует отметить, что интервальное
представление может быть использовано для "интервальной
линеаризации" нелинейных систем. Для иллюстрации такого подхода
рассмотрим нелинейный ОУ
() ()
()
() ( )
(
)
(
)
;0;
x
tfxt Butx ytCxt=+ =
&
. (3.150)
143
Введем в рассмотрение сферу
x
S
:
x
S
Sxd≤ , (3.151)
покрывающую область пространства состояния
n
R процессов
() ()
{
}
0, ,
x
xgtt
, где
()
g
t
– внешнее конечномерное задающее
воздействие. Найдем такие
,
ij
ij
ij
A
AA
⎡
⎤
⎡⎤
=
⎣⎦
⎣
⎦
, что в области,
покрываемой сферой (3.151), выполняются условия
()
11
nn
ij
ij
ij i j
jj
A
xfx Ax
==
≤≤
∑∑
. (3.152)
Тогда на элементах
,
ij
ij
ij
A
AA
⎡⎤
⎡⎤
=
⎣⎦
⎣⎦
может быть сконструирована
матрица
[]
()
{
}
;1,; 1,
ij
ArowcolAi nj n
⎡⎤
===
⎣⎦
, (3.153)
порождающая линейное интервальное представление нелинейного ОУ
(3.150), записываемое в форме
()
[]
() () ( ) ()
(
)
;0;
x
tAxtButx ytCxt=+ =
&
, к которому могут быть
применены предложенные алгоритмы синтеза ЗУ.
Пример 3.3. В качестве примера рассматривается задача синтеза
закона управления (3.115) для объекта MIMO типа "двумерный вход –
двумерный выход" с вектором состояния третьего порядка, таким
образом
2
=
=
r
Brank
,
3
=n
. В связи с этим воспользуемся
алгоритмом 3.6 синтеза ЗУ неадаптивного управления на основе
ОМУ, следуя которому, выполним следующие действия.
1. Формирование
[]
()
,,
A
BC -представления ОУ (3.109) с
матрицами
[] [ ]
[]
00101
100
0.5;0.5 1 0 ; 0 1 ;
010
00.5;0.5010
ABC
⎡⎤
⎡⎤
⎡
⎤
⎢⎥
⎢⎥
=− = =
⎢
⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣
⎦
⎢⎥
⎢⎥
−
⎣⎦
⎣⎦
,
где
0
001
010;
000
A
⎡⎤
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
[][ ]
[]
000
0.5;0.5 0 0
00.5;0.50
A
⎡
⎤
⎢
⎥
Δ=−
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎣
⎦
, которые
характеризуются
[]
0
1; 0. 5AA=Δ=
;
0.5; 0.5
II
AA
Δ
=δ=
.
144
2.
Формирование требований к системе, которая должна
доставлять переходной характеристике медианной версии
системы (3.116) время переходного процесса 0, 45
П
tc
≤
,
перерегулирование
0
0
5σ≤ , а также обладать оценкой
I
F
δ
относительной интервальности интервальной матрицы
[]
F
состояния не более
0.02
IR
Fδ=
.
3.
Назначение матрицы
Λ
модальной модели с распределением
мод Баттерворта, характеризующееся характеристической
частотой
0
ω такой, что
0
Λ=ω. Тогда в силу (3.134) получим:
()
{}
[
]
0
0
0
arg max arg 0.45; 5 13.88; 25
П
IR
A
t
A
∑
⎧⎫
Δ
⎪⎪
Λ= Λ = ω ≤ σ≤ = Λ ≥ = =
⎨⎬
δ
⎪⎪
⎩⎭
31.0024 0 0
0 15.5012 26.8489
0 26.8489 15.5012
−
⎡⎤
⎢⎥
=−
⎢⎥
⎢⎥
−−
⎣⎦
.
4. Организация итерационной процедуры на паре матриц
(
)
,
M
H
такой, что
() {
}
(
)
{
}
{
}
0
,argmin :
H
M
HCMCMHMAHBH==Λ−=−, которая
дает
30.9515 29.6993 8.8293
0.6588 9.4584 0.5003
H
⎡⎤
=
⎢⎥
−−
⎣⎦
,
{}
0.0535 0.0020 0.0269
0.0206 0.0211 0.0041 ; 66.4814
0.9984 0.2323 0.9720
MCM
−−
⎡⎤
⎢⎥
=− − − =
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
.
В соответствии с алгоритмом 3.6 в случае
{
}
1CM ≠
рекомендуется вернуться к п. 3 с тем, чтобы в
{
}
CM
раз
увеличить
Λ
. Однако в связи с тем, что оценка нормы
0
F
(3.134) обладает заметной достаточностью, рискнем не менять
Λ , предполагая тем самым возможность замыкания алгоритма
после вычисления реально достижимой
I
F
δ
.
5.
Формирование матрицы
K
обратной связи в законе (3.115) в
силу
145
1
16.7683 1361.1055 3.8349
21.4862 37.6836 1.2675
KHM
−
−
⎡⎤
==
⎢⎥
⎣⎦
.
6.
Формирование матрицы
g
K
прямых связей по задающему
внешнему воздействию в законе (3.115) в силу (3.140), которое
дает
16.7683 1357.22
21.4862 37.9511
g
K
−
⎡⎤
=
⎢⎥
⎣⎦
.
7. Формирование
(
)
0
,,
F
GC представления спроектированной
системы, которое приводит к матрицам
0
21.4863 37.6836 0.2675 21.4862 37.9512
21.4863 36.6836 1.2675 : 21.4862 37.9512
16.7684 1361.055 3.8349 16.7683 1357.22
FG
−−−
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
=− − − =
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
−− −
⎣⎦⎣⎦
при этом
0
1435.3727F =
, что близко к мажорантной оценке
{
}
2060.9234CM Λ=
.
8.
Вычисление достигнутой оценки относительной
интервальности интервальной матрицы
[
]
F
состояния
спроектированной системы дает
4
0
[]
3.48*10
I
A
F
F
−
Δ
δ= =
.
9. В качестве параметра
ρ
π
приняты собственные значения
()
1, 3
ρρ
π=λ ρ=
с целью вычисления функций чувствительности
()
1
qq
MAM
−
ρρ
λ=
и оценки их полных авиаций для угловой
реализации интервальной матрицы
[
]
A
Δ
с последующим
вычислением относительной интервальности
I
Δ
λ
δλ=
λ
, что в
итоге дало значение этой оценки
(
)
0
0
0.011 1.1
λ
δ
=
.
10.
Формирование реализационной версии ЗУ (3.115) в форме
(3.142), что дает для его матриц
0 0 3.8349
;
0 0 1.2675
gx
KKK
ε
⎡
⎤
==
⎢
⎥
⎣
⎦
.
146
11.
Передача синтезированного закона неадаптивного управления
в среду технической реализации.
■
Примечание 3.2. Заканчивая рассмотрение возможностей
неадаптивных методов достижения параметрической инвариантности
выхода системы относительно неопределенности модели объекта
управления вида (3.13), приводимого к виду (3.43), и переходя к
рассмотрению возможностей адаптивных методов, необходимо
сформулировать алгебраическое условие реализуемости адаптивных
алгоритмов. Очевидно, этим алгебраическим условием является
включение
(
)
.BImD ∈
147
4. АДАПТИВНОЕ И РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
4.1. Пример управления объектом первого порядка
4.1.1. Постановка задачи
Знакомство с методами адаптивного и робастного управления
начнем с простого примера. Рассмотрим скалярный объект
x
qx u=+
&
,
(4.1)
где
x
– регулируемая переменная, u – сигнал управления, q –
постоянный параметр. Пусть качество слежения за задающим
воздействием )(t
g
(представленным ограниченной кусочно-
непрерывной функцией времени) определяется эталонной моделью
MM
x
xg=−λ +λ
&
, (4.2)
где сигнал
M
x
носит название эталонного выхода, а положительная
постоянная λ определяет желаемые динамические свойства
замкнутой системы. Очевидно, что модель (5.2) можно переписать в
виде
1
1
M
x
g
Tp
=
+
,
где 1/T =λ – постоянная времени апериодического звена первого
порядка. Введение эталонной модели позволяет формализовать
постановку задачи, потребовав выполнения целевого условия
(
)
lim ( ) ( ) 0
tM
xt x t
→∞
−= (4.3)
для любых задающих воздействий
()
g
t
. Другими словами,
необходимо синтезировать управление
u
, обеспечивающее нулевое
установившееся значение ошибки слежения за эталонной моделью
M
x
xε= −
. (4.4)
Рассмотрим три возможных решения поставленной задачи,
основанные на использовании классической теории управления, а
также методов адаптивного и робастного управления.
4.1.2. Неадаптивное управление
Используем регулятор комбинированного управления
0
uxqxg=−λ − +λ
, (4.5)
Отформатировано: Шрифт:
12 пт
Отформатировано: Шрифт:
12 пт
Отформатировано: Шрифт:
12 пт
Отформатировано: Шрифт:
6 пт
Отформатировано: Отступ:
Первая строка: 1 см,
интервал Перед: 0 пт
Отформатировано: русский
(Россия)
Отформатировано: русский
(Россия)
Отформатировано: Шрифт:
6 пт
Отформатировано: Отступ:
Первая строка: 0 см
Отформатировано: Шрифт:
6 пт
Отформатировано: Отступ:
Первая строка: 1 см
Отформатировано: Шрифт:
6 пт
Отформатировано: Отступ:
Первая строка: 0 см
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Удалено:
Удалено: ¶
Удалено:
Удалено:
Удалено:
Удалено: ¶
Удалено:
... [3]
... [7]
... [2]
... [6]
... [1]
... [11]
... [4]
... [12]
... [8]
... [13]
... [9]
... [14]
... [10]
... [5]
... [15]
148
где q
0
– номинальное значение (оценка) параметра q. Отметим, что
регулятор (4.4) содержит стабилизирующую обратную связь
x
λ ,
компенсирующую обратную связь
0
qx и прямую связь по задающему
воздействию
g
λ
(см. рис. 4.1, а). Наличие в структуре регулятора
прямых и обратных связей объясняет его название – регулятор
комбинированного управления. Так как коэффициенты регулятора
λ
и
q
0
полагаются фиксированными (ненастраиваемыми), то регулятор
(4.5) будем также называть неадаптивным.
Рис. 4.1. Неадаптивное управление: а) структура регулятора;
б) эквивалентная модель ошибки
Найдем модель ошибки замкнутой системы. Сначала, подставляя
(4.5) в (4.1), получим модель замкнутого объекта управления
0
x
xqx g=−λ + +λ
&
, (4.6)
где
0
qq=θ−
%
– параметрическая ошибка. Вычитая далее (4.2) из (4.6),
получаем искомую модель ошибки замкнутой системы
qxε=−λε+
&
%
.
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Удалено: <sp><sp><sp><sp>
Удалено:
ˆ
q
Удалено:
ˆ
θ
Удалено:
θ
Удалено:
ˆ
θ
Удалено:
ˆ
q
Удалено: ¶
Удалено: Найдем модель
Удале
н
о
:
θ
~
M
x
Удале
н
о
:
сигнал
ь
прямая связ
ь
g
... [21]
... [18]
... [23]
... [19]
... [16]
... [25]
... [31]
... [26]
... [20]
... [27]
... [17]
... [28]
... [22]
... [29]
... [35]
... [30]
... [36]
... [24]
... [37]
... [32]
... [38]
... [33]
... [39]
... [34]
... [40]
149
С учетом равенства (4.4) окончательно имеем (см. рис. 4.1, б)
()
M
qqxε=− λ− ε+
&
%%
. (4.7)
На основе анализа модели (4.7) можно сделать следующие
выводы о свойствах неадаптивного регулятора (4.5).
Если
0
qq=
, то модель ошибки замкнутой системы принимает
вид
ε=−λε
&
,
откуда следует стремление 0ε→ . Другими словами, при равенстве
номинального значения параметра истинному замкнутая система
является асимптотически (экспоненциально) устойчивой, а
установившаяся ошибка слежения за эталонной моделью равна нулю.
Если
0
qq≠ , но ||q <λ
%
, то из уравнения (4.7) следует
асимптотическая устойчивость замкнутой системы (т.к. ( ) 0q
λ
−>
%
) и
возможность появления ненулевой установившейся ошибки слежения
за счет слагаемого
M
qx
%
. Другими словами, малые параметрические
возмущения не нарушают устойчивости замкнутой системы, но могут
ухудшить ее точностные свойства.
Если
0
qq≠
и ||q >λ
%
, то замкнутая система может потерять
устойчивость в случае отрицательного значения величины ()q
λ
−
%
.
Как обеспечить устойчивость системы и высокое качество
слежения за эталонной моделью в том случае, если параметр q
является неизвестным или известен с высокой степенью
приближенности?
4.1.3. Адаптивное управление
Алгоритм адаптивного управления удобно представить в виде
двух блоков:
– настраиваемого регулятора
ˆ
uxqxg=−λ − +λ ;
(4.8)
– алгоритма адаптации
ˆ
(, )qx=τε
&
.
(4.9)
Структура алгоритма адаптации (, )
x
τ
ε будет определена позже.
В уравнениях (4.8), (4.9)
ˆ
q – настраиваемый параметр регулятора,
генерируемый алгоритмом адаптации из условия минимизации
ошибки слежения
ε
. Особо отметим, что порядок замкнутой системы
повысился за счет включения в ее структуру динамического блока –
алгоритма адаптации (4.9). Поэтому при исследовании устойчивости
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Отформатировано
Удалено: ¶
Удалено:
Удалено:
Удалено: ¶
Удалено:
Удалено:
Удалено: ¶
Удалено:
Удалено: ¶
Удалено:
Удалено:
Удалено:
Удалено:
θ
Удалено: ¶
Удалено:
Удалено:
Удалено: ¶
Удалено: ¶
Удалено:
... [52]
... [42]
... [44]
... [45]
... [51]
... [53]
... [57]
... [50]
... [58]
... [43]
... [46]
... [59]
... [55]
... [60]
... [48]
... [54]
... [61]
... [49]
... [41]
... [62]
... [56]
... [63]
... [47]
... [64]