Непопалов В.Н. Методы расчёта разветвленных электрических цепей постоянного тока

1

Методы расчёта разветвленных

электрических цепей постоянного тока

Существует две задачи теории электрических цепей – задача анализа

и задача синтеза. Задачей анализа является расчёт мгновенных зна-

чений токов ветвей электрической цепи, заданной схемой замеще-

ния. Параметры активных и пассивных элементов схемы – заданные

величины.

Целью синтеза является отыскание структуры электрической це-

пи и величин параметров её элементов, при которых электрический

процесс в цепи будет подчиняться заданным закономерностям.

Методы решения задачи анализа рассмотрим на примерах цепей

постоянного тока.

1. Метод эквивалентных преобразований

Идея метода эквивалентных преобразований заключается в замене двухполюс-

ника одной структуры на двухполюсник с более простой структурой. Эквива-

лентные преобразования выполняются на основе законов Кирхгофа.

На рис. 1.1 представлен пассивный двухполюсник с последовательным со-

единением резистивных элементов. На рис. 1.2 – эквивалентная схема замеще-

ния двухполюсника.

1

R

2

R

n

R

I

1

U

2

U

n

U

Рис. 1.1

12 n

IR IR IR U+++=… ;

12 n

U

I

RR R

=

+

++…

.

U

I

ЭК

R

Рис. 1.2

ЭК 12 n

RRR R=+++… ;

ЭК

U

I

R

=

.

На рис. 1.3 представлен пассивный двухполюсник с параллельным соединени-

ем резистивных элементов. На рис. 1.4 – эквивалентная схема замещения двух-

полюсника.

1

R

2

R

n

R

U

I

1

I

2

I

n

I

Рис. 1.3

U

I

ЭК

R

Рис. 1.4

2

12 n

II I I=+++… ;

1

U

I

R

=

;

2

U

I

R

=

;

n

U

I

R

=

;

12

11 1

n

IU

RR R



=+++





… .

ЭК 12

111 1

n

RRR R

=+++

… ;

ЭК

U

I

R

=

.

В случае n = 2 имеем:

ЭК 12

111

RRR

=+

, откуда

12

ЭК

12

RR

R

RR

=

+

.

Пассивный двухполюсник (рис. 1.5) не содержит участков с последователь-

ным или параллельным соединением резистивных элементов. Соединение ре-

зисторов на участке 1-2-3 носит название треугольника (рис. 1.6). Для получе-

ния эквивалентного двухполюсника используется преобразование треугольник

– звезда (рис. 1.7). После преобразования получается двухполюсник (рис. 1.8).

1

R

2

R

3

R

4

R

5

R

U

I

1

2

3

Рис. 1.5

3

1

R

2

R

3

R

2

Рис. 1.6

2

23

R

12

R

3

13

R

1

Рис. 1.7

2

23

R

12

R

3

13

R

1

4

R

5

R

U

Рис. 1.8

Формулы эквивалентных преобразований треугольник – звезда имеют вид:

12 1 2

RRRD= ;

13 1 3

RRRD= ;

23 2 3

RRRD

=

, где

321

RRRD ++= .

Электрическую цепь по схеме рис. 1.9 называют де-

лителем напряжения. Ток и напряжения делителя опреде-

ляются по закону Ома выражениями:

21

RR

U

I

+

=

,

21

1

11

RR

UR

IRU

+

==

,

21

2

22

RR

UR

IRU

+

==

.

Напряжения

U

1

и U

2

делятся пропорционально величи-

нам резисторов

R

1

и R

2

(большему резистору соответст-

вует большее напряжение).

Электрическую цепь по схеме рис. 1.10 называют де-

лителем тока. При заданном токе

I напряжение делителя

U , токи I

1

и I

2

определяется выражениями:

UI

RR

=

+

12

,

I

U

R

1

=

21

2

RR

R

I

+

=

,

2

R

U

I =

21

1

RR

R

I

+

=

.

R

2

R

1

U

2

I

U

1

Рис. 1.9

3

Токи

I

1

и I

2

делятся обратно пропорционально величинам

резисторов

R

1

и R

2

.

Активными называются двухполюсники, в которых

есть источники э. д. с. и (или) тока. Схема замещения та-

кого двухполюсника представлена на рис. 1.11.

Результатом эквивалентных преобразований активно-

го двухполюсника является источники напряжения или

1

R

2

R

U

I

1

I

2

I

Рис. 1.10

тока (рис.1.12).

I

U

Рис. 1.11

U

ЭК

I

U

ЭК

E

ЭК

R

ЭК

R

)а )б

Рис. 1.12

Для двухполюсника по схеме рис. 1.12, а имеем

(

)

ЭК ЭК

UI E R I

=

−

.

Внешняя характеристика двухполюсника по схеме рис. 1.12, б определится

из уравнения

ЭК ЭК

0IIUR−++ =, откуда

(

)

ЭК ЭК ЭК

UI R I R I

=

−

.

Двухполюсники на рис. 1.12 эквивалентны, если имеют одинаковые внеш-

ние характеристики

)(I

U

, следовательно

ЭК ЭК ЭК

I

ER= ;

ЭК ЭК ЭК

E

RI

=

.

Решение типовых задач

Задача 1

На рис. 1 представлена схема замещения цепи постоянного тока. Параметры ре-

зисторов

1

R = 100 Ом;

2

R = 50 Ом. Напряжение

1

U на резисторе

1

R равно 10 В.

Рассчитать ток и величину напряжения

U.

1

R

2

R

1

U

Рис. 1

4

Задача 1Р

Решение

Назначаем положительное направление тока (рис. 1Р)

1

R

2

R

I

1

U

Рис. 1Р

По закону Ома ток

1

U

I

R

=

10

100

=

0,1 А.

Резисторы соединены последовательно, эквивалентное сопротивление

ЭК 12

RRR=+=

100 + 50 = 150 Ом.

Напряжение

ЭК

UIR

=

=0,1⋅150 = 15 В.

Задача 2

Для цепи со схемой замещения на рис. 2 Р рассчитать токи в ветвях и напряже-

ние

U

ab

при R

1

= 5 Ом, R

2

= 10 Ом, R

3

= 30 Ом, R

4

= 15 Ом, R

5

= 20 Ом.

Напряжение

U = 27 B.

1

R

2

R

5

R

U

a

b

4

R

3

R

ab

U

Рис. 2 Р

5

Задача 2Р

Решение

Назначаем положительные направления токов

I

1

, I

2

, I

3

и напряжений U

2

и U

ab

(рис. 2.1Р). Ре-

зисторы

R

2

, R

4

и R

3

, R

5

соединены последова-

тельно. Поэтому:

R

24

= R

2

+R

4

= 10 + 15 =25 Ом;

R

35

= R

3

+ R

5

= 30 + 20 = 50 Ом.

Ветви с токами

I

2

и I

3

соединены параллельно:

24 35

RR

R

RR

=

+

25 50

⋅

=

+

= 16, 67 Ом.

Рассчитаем делитель напряжения R

1

– R

(рис. 2.2Р). По закону Ома получаем:

1

U

I

RR

==

+

27

5+16,67

=

1,25 А;

21

UIR= =1,25⋅16, 67 = 20,77 В.

Рассчитываем токи:

1

R

2

R

5

R

U

a

b

4

R

3

R

ab

U

1

I

2

I

3

I

2

U

Рис. 2.1Р

1

R

1

I

U

2

U

Рис. 2.2Р

2

24

U

I

R

==

20,77

25

=

0,83 А;

2

3

35

U

I

R

==

20,77

50

=

0,415 А.

Для расчета напряжения

U

ab

записываем урав-

нение по второму закону Кирхгофа для контура

на рис. 2.3Р:

24 35

0

ab

UIRIR−+ − =.

Напряжение

24 35ab

UIRIR=−,

ab

U = 0,83⋅15 – 0,415⋅20 = 4,15 В.

1

R

2

R

5

R

U

1

I

a

b

4

R

3

R

2

I

3

I

ab

U

2

U

Рис. 2.3Р

Задача 3

Для цепи со схемой замещения на рис. 3 рас-

считать токи в ветвях и напряжение

U на ис-

точнике тока

I

К

= 1 А.

Параметры резистивных участков:

R

1

= 5

Ом, R

2

= 10 Ом, R

3

= 30 Ом,

R

4

= 15 Ом, R

5

= 20 Ом.

1

R

2

R

5

R

U

4

R

3

R

К

I

Рис. 3

6

Задача 3Р

Решение

Назначаем положительные направления токов (рис. 3.1Р). Выполняем преобра-

зование треугольник

R

1

, R

3

, R

5

– звезда R

13

, R

15

, R

35

(рис. 3.2Р).

1

R

2

R

5

R

U

1

I

4

R

3

R

3

I

5

I

К

I

2

I

4

I

2

U

4

U

5

U

Рис. 3.1Р

13

R

К

I

15

R

35

R

2

R

4

R

2

I

4

I

U

К

I

Рис. 3.2Р

135

DR R R=++=

= 5 + 30 + 20=55 Ом;

13 1 3

RRRD= =

= 5⋅30/55 = 2,73 Ом

;

15 1 5

RRRD= =

= 5⋅20/55 = 1,82Ом;

35 3 5

RRRD= =

=30⋅20/55 = 10,91 Ом.

Рассчитываем делитель тока

К

I

.

Токи:

2

I =

35 4

К

15 2 35 4

RR

I

RRRR

+

=

++ +

1

10,91 15

1,82 10 10,91 15

+

=

++ +

0,687 А;

4

I =

15 2

К

15 2 35 4

RR

I

RRRR

+

=

++ +

1

1,82 10

1,82 10 10,91 15

+

=

++ +

0,313А.

Рассчитываем напряжения:

U

2

22

IR==0,687⋅10 = 6,87 В;

U

4

44

IR

=

=3,13⋅15 = 4,7 В;

U

5

= U

2

– U

4

= 2,17 В.

Токи:

5

2,17

20

U

I

R

=

==0,11 А;

I

1

= I

2

+ I

5

= 0,687 + 0,11 = 0,797 А;

I

3

= I

4

– I

5

= 0,313 – 0,11 = 0,203 А.

Напряжение на источнике тока:

11 2 2

UIRIR=+ =

0,797⋅5 + 0,687⋅10 = 10,8 В.

Задача 4

Для цепи со схемой замещения на рис. 4 рассчитать токи в ветвях.

Параметры элементов:

R

1

= 75 Ом, R

2

= 10 Ом, R

3

= 30 Ом, R

4

= 15 Ом, Ом;

Е

2

= 40 В, Е

4

= 20 В,

к1

I = 1 А.

7

2

R

2

E

4

R

3

R

к1

I

1

R

4

E

Рис. 4

Задача 4Р

Решение

Назначаем положительные направления токов (рис. 4.1Р). Выполняем эквива-

лентные преобразования активных двухполюсников (рис. 4.2Р):

2

R

2

E

4

R

3

R

к1

I

1

R

3

I

1

I

4

I

2

I

4

E

Рис. 4.1Р

4

E

к4

I

4

R

4

R

4

k

E

I

R

=

20

15

=

=1,33 А.

к1

I

1

R

1

E

1

R

1 к11

E

IR

=

= 1⋅75 = 75 В.

Рис. 4.2Р

Получаем схему замещения на рис. 4.3Р.

1

R

3

R

4

R

2

R

2

E

4k

I

1

E

2

I

3

I

Эквивалентное сопротивление

34

30 15

RR

R

RR

⋅

=

==

++

10 Ом.

34

R

34

R

4k

I

434k

I

R

8

Рис. 4.3Р

Получаем схему замещения на рис. 4.4Р.

1

R

2

R

2

E

34

R

434k

I

R

2

I

1

E

Рис. 4.4Р

Записываем уравнение закона Кирхгофа:

(

)

21 2 34 2 1 434k

I

RR R E EIR

+

+=−−

.

Ток

21 434

2

1234

k

EEIR

I

RR R

−−

==

++

40 75 1,33 10

75 10 10

−

−⋅

=

+

– 0,509 А.

Возвращаемся к схеме замещения условия задачи. Назначаем положительное

направление напряжения

U (рис. 4.5Р).

2

R

2

E

4

R

3

R

к1

I

1

R

3

I

1

I

4

I

2

I

4

E

U

1

2

Рис. 4.5Р

Из уравнения закона Кирхгофа для узла 1:

1 к12

0II I

−

++=,

определяем ток

1 к12

I

II

=

+=

1 – 0,509 = 0,491 А.

Для указанного на рис.4.5Р контура записыва-

ем уравнение закона Кирхгофа

11 2 2 2

UIR IR E

−

++ =

.

Рассчитываем напряжение

U:

21122

UEIRIR

=

−+ + ;

U

=

– 40 + 0,491⋅75 + (– 0,509) ⋅10 =– 8,246 В.

Ток

3

8, 246

30

U

I

R

−

==

= – 0,275 А.

Из уравнения закона Кирхгофа для узла 2:

1 к134

0II I I

−

++=,

определяем ток

41к13

IIII=− + − = –0,491 + 1 – (– 0,275 ) = 0,784 А.

Проверяем выполнение баланса мощностей. Мощность нагрузки:

22 2 2

H11223344

PIRIRIRIR=+++

,

н

P = 0,491

2

⋅75 + 0,509

2

⋅10 + 0,275

2

⋅30+ 0,784

2

⋅15 = 32,164 Вт.

Мощность источников:

9

ист 11 22 44k

P IIR EI EI=++

,

ист

P = 1⋅0,491⋅75 + 40⋅(– 0,509) + 20⋅0,784 = 32,164 Вт.

Баланс мощностей

н

P =

ист

P выполняется.

Задача 5

Для цепи со схемой замещения на рис. 5 рассчитать мощность на резисторе R

н

.

Параметры элементов:

R

1

= 10 Ом, R

2

= 20 Ом, R

3

= 30 Ом, R

н

= 10 Ом. Ток ис-

точника тока

J = 2 А. Параметр управления α = 0,9.

R

1

2

R

I

α

н

I

н

R

3

R

J

Рис. 5

Решение

Рассчитываем токи:

1

12

R

IJ

RR

==

+

2

10

10 20

=

+

0,667 А;

3

н

3 н

R

II

RR

=

α=

+

0,9⋅0,667

30

30 10

=

+

0,45 А.

Мощность

2

ннн

PIR== 0,45

2

⋅10 = 2,025 Вт.

10

2. Метод узловых напряжений

2.1. Общие сведения

Метод узловых напряжений основан на уравнениях первого закона Кирхгофа. В

соответствии с методом определяются напряжения

1

−

q узла электрической

цепи относительно некоторого базисного узла. Эти напряжения называются уз-

ловыми. Положительные направления узловых напряжений всегда принимают-

ся от узла к базисному узлу. Число уравнений относительно искомых узловых

напряжений равно числу независимых узлов

1

−

q

.

Напряжение на любой ветви равно

разности узловых напряжений. Ток

g

I

любой ветви определяется по второму

закону Кирхгофа для контура: ветвь– на-

пряжения узлов ветви относительно ба-

зисного (рис. 2.1). Так для фрагмента це-

пи со схемой рис. 2.1 уравнение второго

закона Кирхгофа имеет вид

−+

0kg

URI

gm

EU =

0

,

0m

U

0k

U

0

m

k

g

I

g

E

g

R

Рис. 2.1

откуда

R

UUE

I

mkg

g

00

+

−

= .

Каноническая форма уравнений метода узловых напряжений для случая

трех независимых узлов имеет вид:

11

G

10

U –

12

G

20

U –

13

G

30

U =

11

J ;

–

21

G

10

U +

22

G

20

U –

23

G

30

U =

22

J ;

–

31

G

10

U –

32

G

20

U +

33

G

30

U =

33

J .

Собственная проводимость

ветвей узла 1 (рис. 2):

11

G =

1

R

+

2

1

R

+

3

1

R

+

4

1

R

определяется как суммы про-

водимостей ветвей, принад-

лежащих узлу 1.

Общие проводимости (рис. 2):

1n

G

=

1n

G

=

1

R

;

1k

G

=

1k

G

=

3

1

R

+

4

1

R

;

nk

G =

kn

G =0

определяются как суммы проводимостей вет-

вей, принадлежащих соответственно узлам

1–

n, 1– k или n – k одновременно.

Непопалов В.Н. Методы расчёта разветвленных электрических цепей постоянного тока

Подождите немного. Документ загружается.