Непопалов В.Н. Методы расчёта разветвленных электрических цепей постоянного тока
Подождите немного. Документ загружается.
11
Вклад в узловые токи дают
ветви, содержащие источни-
ки. Источник, стрелка кото-
рого направлена к узлу, в
уравнение входит со знаком
плюс, из узла – со знаком
минус.
Для узла 1 (рис. 2) имеем
3
12
11 1 2
132
E
EE
JJJ
RRR
=−++−.
1
1
R
2
E
1
E
3
R
3
E
2
R
1
J
n
k
0
4
R
2
J
Рис. 2
Решение типовых задач
Задача 1
Для цепи со схемой замещения на рис.
1 методом узловых напряжений рас-
считать токи в ветвях.
Параметры элементов:
R
1
= 20 Ом,
R
2
= 40 Ом, R
3
= R
4
= 50 Ом, R
5
= 25
Ом; Е
2
= 100 В, Е
4
= 50 В,
к
I = 0,5 А.
Задача 1Р
Решение
Назначаем положительные направле-
ния токов (рис. 1Р). Число узлов
q = 3.
Число уравнений первого закона
1
R
2
R
3
R
5
R
2
E
к
I
4
R
4
E
Рис. 1
Кирхгофа N
1
= q–1 = 2. Необходимо
записать два узловых уравнения.
Отмечаем цифрами узлы 1, 2; на-
значаем положительные направления
узловых напряжений
10
U ,
20
U и токов
ветвей.
Записываем узловые уравнения:
11 10 12 20 11
GU GU J−=;
21 10 22 20 22
GU GU J−+ =.
1
R
2
R
3
R
5
R
2
E
к
I
0
Один узел
1
2
4
R
4
E
10
U
20
U
1
I
2
I
3
I
4
I
5
I
Рис. 1Р
12
Матричная форма узловых уравнений имеет вид:
10
11 12 11
20
21 22 22
U
GG J
U
GG J
−
⋅=
−
.
Собственные проводимости узлов 1 и 2:
11
1234
1111
G
RR RR
=+++
1111
20 40 50 50
=
+++=
0,115 1/ Ом,
22
345
111
G
RRR
=++=
111
50 50 25
+
+= 0,08 1/ Ом.
Общая проводимость
12 21
34
1111
50 50
GG
RR
==+=+=
0,04 1/ Ом.
Узловые токи узлов 1 и 2:
24
11
24
100 50
40 50
EE
J
RR
=− + =− + =– 1,5 А,
4
22
4
50
0,5
50
k
E
JI
R
=
−=−=– 0,5 А.
Узловые уравнения в числовом содержании:
0,115
10
U – 0,04
20
U = – 1,5;
– 0,04
10
U + 0,08
20
U = – 0,5.
Решаем полученные уравнения относительно
10
U . Для этого умножаем первое
уравнение на 0,08
0,115⋅0,08
10
U – 0,04⋅0,08
20
U = –1,5⋅0,08;
второе –
на 0,04
– 0,04⋅0,04
10
U + 0,08⋅0,04
20
U = –0,5⋅0,04.
Складываем эти уравнения, находим
10
1, 5 0, 08 0, 5 0, 04
0,115 0,08 0,04 0,04
U
−⋅ − ⋅
==
⋅−⋅
– 18,42 В.
Решаем узловые уравнения относительно
20
U . Умножаем первое уравнение на
0,04, второе – на 0,115 и складываем, находим
20
1,5 0,04 0,5 0,115
0,04 0,04 0,115 0,08
U
−⋅ − ⋅
==
−⋅ + ⋅
–15,46 В.
Рассчитываем токи ветвей:
10
1
1
18, 42
20
U
I
R
−
=− =− =
0,92 А;
210
2
2
100 18,42
40
EU
I
R
+
−
=
==2,04 А;
(
)
10 20
3
3
18, 42 15, 46
40
UU
I
R
−−−
−
== =
– 0,06 А;
13
(
)
(
)
42010
4
4
50 15, 46 18, 42
40
EU U
I
R
+− −−
+−
== =
1,06 А;
20
5
5
15, 46
25
U
I
R
−
== =– 0,62 А.
Баланс мощностей. Мощность источников
ист 22 44 20
100
k
PEIEIUI=++ =⋅2,04 + 50⋅1,06 + (–15,46)⋅0,5 = 249,2 Вт.
Мощность нагрузок
22 2 2 2
н 11 22 33 44 44
PIRIRIRIRIR=++++ =
0,92
2
⋅20 + 2,04
2
⋅40 + 0,06
2
⋅50 +
1,06
2
⋅50 + 0,62
2
⋅25= 249,2 Вт.
Баланс мощностей выполняется. Задача решена верно.
Решение в программе Mathcad.
Исходные данные
R1 20:= R2 40:= R3 50:= R4 50:= R5 25:= E2 100:= E4 50:= Ik .5:=
Определение собственных и общих проводимостей
G11
1
R1
1
R2
+
1
R3
+
1
R4
+:= G22
1
R3
1
R4
+
1
R5
+:= G12
1
R3
1
R4
+:=
Определение узловых токов
J11
E2−
R2
E4
R4
+:= J22 Ik
E4
R4
−:=
Определение матриц узловых проводимостей и узловых токов
Gnn
G11
G12−
G12−
G22
:= Jnn
J11
J22
:=
Определение узловых напряжений и токов ветвей
U10
U20
Gnn
1−
Jn
n
⋅:=
I1
U10−
R1
:= I2
E2 U10+
R2
:= I3
U10 U20−
R3
:= I4
E4 U20+ U10−
R4
:= I5
U20
R5
:=
Результаты расчета
U10
U20
18.421−
15.461−
= I1 0.921= I2 2.039= I3 0.059−= I4 1.059= I5 0.618−=
14
Задача 2
Для цепи со схемой замещения на рис. 2
методом узловых напряжений рассчитать
токи в ветвях. Решение проверить балан-
сом мощностей.
R
1
= 200 Ом, R
2
= 100 Ом,
R
3
= R
4
= 125 Ом,
E
= 15 B, J = 0,1 A.
R
1
R
3
R
4
J
E
R
2
Рис. 2
Задача 2Р
Решение
Число узлов q = 4 (рис. 2Р). Необходимо
записать три узловых уравнения.
Принимаем в качестве базисного узел 0.
Отмечаем цифрами узлы 1, 2 и 3. Назнача-
ем положительные направления узловых
напряжений
10
U ,
20
U ,
30
U и токов ветвей.
Напряжений узла 3 относительно ба-
зисного
U
30
= Е. Уравнения узловых на-
пряжений имеют вид:
R
1
R
3
R
4
I
2
J
I
1
E
I
I
4
3
1
2
U
30
0
U
10
U
20
R
2
I
3
Рис. 2Р
11 10 12 20 13 30 11
GU GU GU J
−
−=,
21 10 22 20 23 30 22
GU GU GU J−+−=
,
UE
30
=
.
G
RR
11
12
11
0 015=+=,
Ом
–1
; G
R
12
2
1
001==,
Ом
–1
; G
R
13
1
3
1
510==⋅
−
Ом
–1
;
G
RRR
22
234
111
0 026=++=,
Ом
–1
; G
21
= G
12
; G
R
23
3
3
1
810==⋅
−
Ом
–1
;
11
0,1JJ== А;
22
0J = .
Решение для узловых напряжений
U
10
и U
10
в матричной форме записи имеет вид
+
⋅
−
−
=
−
EG
EGJ
GG
GG
U
U
23
13
1
2221
1211
20
10
.
Подставляем численные значения и решаем, например, в программе Mathcad.
Узловые напряжения:
U
10
55 7
=
, В, U
20
26 03
=
, В.
Токи ветвей определяем по уравнениям:
I
UU
R
1
10 30
1
55 7 15
200
02=
−
=
−
=
,
,
А, I
UU
R
2
10 20
2
55 7 26 03
100
03=
−
=
−
=
,,
, А,
15
I
UU
R
3
20 30
3
26 03 15
125
009=
−
=
−
=
,
,
А, I
U
R
4
20
4
26 03
125
021== =
,
,
А,
III=− − =− − =−
13
02 009 029,, , А.
Рассчитываем баланс мощностей. Мощность источников
47,23)29,0(155,07,55
10ист
=
−
⋅
+⋅=+= EIJUP Вт.
Мощность, рассеиваемая в резисторах,
=
+++=
4
2
43
2
32
2
21
2
1н
RIRIRIRIP
47,2312521,012509,01003,02002,0
2222
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+⋅= Вт.
нист
PP = , баланс мощностей выполняется, задача решена верно.
Задача 3
Найти токи ветвей и напряжение U
цепи по схеме рис. 3. Проверить реше-
ние, составив баланс мощностей.
R
1
= 91 Ом, R
2
= 510 Ом,
R
3
= 470 Ом, R
4
= 330 Ом,
R
5
= 220 Ом,
E = 220 B, J = 1 A.
R
1
R
3
J
E
R
4
R
5
R
2
U
Рис. 3
Задача 3Р
Решение
Число узлов q = 4 (рис. 3Р). Необходимо
записать три узловых уравнения. При-
нимаем в качестве базисного узел 0.
Отмечаем цифрами узлы 1, 2 и 3. На-
значаем положительные направления уз-
ловых напряжений
10
U ,
20
U ,
30
U и токов
ветвей. Напряжений узла 2 относительно
базисного
U
20
= Е.
Уравнения узловых напряжений
имеют вид:
3
1
2
0
R
1
R
3
I
2
J
I
1
E
I
3
I
4
R
4
R
5
R
2
I
5
U
I
U
10
U
30
U
20
Рис. 3Р
11 10 12 20 13 30 11
20
31 10 32 20 33 30 33
,
,
.
GU GU GU J
UE
GU GU GU J
−
−=
=
−− + =
Проводимость ветви с источником тока (ветвь с током
1
IJ
=
) равна нулю, по-
этому собственные и общие проводимости узлов соответственно равны:
16
G
RR
11
2
4
11
=+
, G
RR
33
3
5
11
=+
, G
R
12
2
1
=
, G
R
32
3
1
=
, G
13
= G
31
= 0.
Узловые токи:
J
11
= – J, J
33
= J.
Решение узловых уравнений имеет вид:
U
JGE
G
10
12
11
=
−
+
, U
JGE
G
30
32
33
=
+
.
Подставляем данные условия задачи, находим напряжения
U
10
, U
30
:
U
10
= – 114 B, U
30
= 220 B.
Токи ветвей
I
UE
R
2
10
2
=
−
= – 0,655 A, I
EU
R
3
30
3
=
−
= 0 A,
I
U
R
4
10
4
=− = 0,345 A, I
U
R
5
30
5
= =1 A.
Ток
I рассчитываем по закону Кирхгофа для узла 2:
II I
=
−
32
= 0,655 А.
Для расчета напряжения
U на источнике тока записываем уравнение по
второму закону Кирхгофа по контуру: ветвь с источником тока и напряжения
узлов 1 и 3 относительно базисного:
13010
0JR U U U
−
+−=,
откуда
13010
UJRU U
=
+−.
Рассчитываем напряжение
U :
1 91 220 ( 114) 425U =⋅ + −− = В.
Баланс мощностей. Мощность, рассеиваемая резисторами:
PIRIRIRIRIR
R
=+
+
+
+
=
1
2
12
2
23
2
34
2
45
2
5
569 Вт.
Мощность источников при принятых положительных направлениях тока
I и
напряжения
U определяется по выражению:
ист
PEIUJ
=
+ =569 Вт.
Баланс мощностей выполняется.
17
Задача 4
Найти токи ветвей цепи, содержащей
зависимый источник напряжения
1
U
µ
,
управляемый напряжением (рис. 4).
Параметры пассивных элементов:
R
1
= 10 Ом, R
2
= 20 Ом, R
3
= 30 Ом,
R
4
= 40 Ом, R
5
= R
2
.
Параметр управления
µ
= 0,5;
Е
1
= 15 B, Е
3
= 5 B.
Проверить решение, составив ба-
ланс мощностей.
R
1
2
R
4
R
3
R
5
R
1
E
1
Uµ
1
U
3
E
Рис. 4
Задача 4Р
Решение
Число узлов q = 3 (рис. 4Р). Необхо-
димо записать 2-а узловых уравнения.
Отмечаем цифрами узлы 1, 2. На-
значаем положительные направления
узловых напряжений
10
U ,
20
U и токов
ветвей.
Уравнения узловых напряжений
имеют вид:
11 10 12 20 11
GU GU J−=,
21 10 22 20 22
GU GU J−+ =.
R
1
2
R
4
R
3
R
5
R
1
E
1
Uµ
1
U
3
E
1
I
2
I
3
I
4
I
5
I
1
2
10
U
20
U
Рис. 4Р
Из схемы замещения следует:
11
123
111
G
RR R
=++
,
22
453
111
G
RRR
=++
,
12
3
1
G
R
=
,
21
3
1
G
R
=
;
3
1
11
13
E
E
J
RR
=+,
3
1
22
34
E
U
J
RR
µ
=− + .
Выражаем напряжение
1
U через узловое напряжение
10
U и э. д. с. Е
1
. Получаем
1110
UEU=− .
Узловой ток
()
110
3310
1
22
34 344
EU
E
EU
E
J
RR RRR
µ−
µ
µ
=− + =− + −
.
Уравнения узловых напряжений принимают вид:
18
10
123
111
U
RR R
++ −
3
1
R
20
U
3
1
13
E
E
RR
=+,
10
34
1
U
RR
µ
−− +
20
453
111
U
RRR
++ =
3
1
34
E
E
RR
µ
−+ .
Уравнения узловых напряжений в числовом содержание:
0,183
10
U – 0,033
20
U = 1,667,
– 0,021
10
U + 0,108
20
U = 0,021.
Решаем уравнения, получаем:
10
U = 9,457 В,
20
U = 2,011 В.
К45 новый
Рассчитываем напряжение
1
U
токи ветвей:
1
U = 15 – 9,457 = 5,543 В;
110
1
1
EU
I
R
−
==
15 9, 457
10
−
=0,554 А;
10
2
2
U
I
R
=
=
9,457
20
=
0,473 А;
10 20 3
3
3
UU E
I
R
−−
==
9,457 2,011 5
30
−−
=
0,082 А;
120
4
4
UU
I
R
µ
−
==
0,5 5,543 2,011
40
⋅−
=
0,019 А;
20
5
5
U
I
R
=
=
2,011
20
=
0,101 А.
Баланс мощностей. Мощность, рассеиваемая резисторами
22 2 2 2
11 22 33 44 55R
PIRIRIRIRIR=++++=
7,96 Вт.
Мощность источников
ист 11 3 3 1 4
PEIEIUI=−+µ=7,96 Вт.
Баланс мощностей выполняется.
Задача. 5
На рис. 5Рпредставлена схема замещения электрической цепи, содержащая за-
висимый источник тока, управляемый током. Найти напряжение
2
U на нагрузке
R , если =
1
R 220 Ом; =
2
R 20 Ом;
=
3
R 470 Ом;
=
R 510 Ом. Параметр α = 0,95
– коэффициент усиления по току, напряжение
Е = 5 В.
19
Решение
1
R
2
R
3
R
E
2
U
1
I
1
Iα
2
I
3
I
2
0
1
R
Рис. 5Р
Назначаем положительные направления
токов. Уравнения по первому закону
Кирхгофа для узлов 1 и 2 имеют вид:
321
III
+
+
−
0
1
=α
+
I ;
3
I
−
0
2
1
=+α−
R
U
I
.
Выражаем токи ветвей через напряжения
1
U и
2
U узлов 1 и 2 относительно узла 0.
По закону Ома:
1
1
1
R
UE
I
−
=
;
2
1
2
R
U
I =
;
3
21
3
R
UU
I
−
= .
Подставляем эти выражения в уравнения по первому закону Кирхгофа, получа-
ем узловые уравнения:
10
321
111
U
RRR
++
α−
20
3
1
U
R
−
()
α−= 1
1
R
E
;
10
13
1
U
RR
α
−−
20
3
11
U
RR
++
1
R
E
α=
.
Из уравнений имеем:
321
11
111
RRR
G ++
α−
=
;
RR
G
11
3
22
+=
3
12
1
R
G =
;
13
21
1
RR
G
α
−=
;
()
α−= 1
1
11
R
E
J
;
1
22
R
E
J α=
.
Следует обратить внимание, что в схеме замещения цепи с зависимым источ-
ником
2112
GG ≠
, а каноническую форму узловых уравнений непосредственно по
виду схемы без определения неких дополнительных правил получить нельзя.
Записываем полученные уравнения в матричной форме
nnnnn
JUG =
0
,
20
где
nn
G
−
−
=
2221
1211
GG
GG
– матрица узловых проводимостей,
nn
J
=
22
11
J
J
–
матрица узловых токов,
0n
U
=
2
1
U
U
матрица узловых напряжений.
Решение матричного узлового уравнения имеет вид
nnnnn
JGU
1
0
−
= .
Подставляем численные значения, получаем:
nn
G
⋅⋅
⋅−
=
−−
−
33
3
10088,410191,2
10128,2052,0
;
nn
J
⋅
=
−
022,0
10136,1
3
;
=
157,5
231,0
0n
U ,
откуда
1
U = 0,231 В; =
2
U 5,157 В.
Правильность решения проверяем балансом мощностей.
Мощность, рассеиваемая в резисторах и зависимом источнике тока:
пот
P
()
1
2
1
R
UE
−
=
2
2
1
R
U
+
(
)
3
2
21
R
UU
−
+
()
21
1
1
UU
R
UE
−
−
α+ ;
пот
P = 0,108 Вт;
Мощность источника
=
−
=
1
1
ист
R
UE
EP
0,108 Вт.
пот
P =
ист
P , задача решена верно.
Задача. 6
На рис. 6Р представлена схема замещения разветвленной электрической цепи.
Рассчитать токи ветвей методом узловых напряжений. Параметры резисторов:
R
1
= 100 Ом; R
2
= 130 Ом; R
3
= 43 Ом; R
4
= 75 Ом; R
5
= 91 Ом; R
6
= 110 Ом;
R
7
= 200 Ом. Источники: Е
1
= 15 В; Е
5
= 24 В; Е
7
= 8 В;
=
6
J
0,2 А;
=
7
J
0,1 А.
Проверить выполнение баланса мощностей.