системы имеет вид
(4,28)—(4.29).
При желании можно
продолжить разложение (4.26): для этого надо заметить, что
Xi
=
х
1ч
+
dy;
применив условие
(4.25)
к третьему (не
выписанному здесь) уравнению (4.27), найти постоянную
с
х
и
т. д. Можно проверить, что условие
(Л
х
у,
z)
*
0 обес-
печивает возможность однозначного построения
всех
векто-
ров
х„
а потому и всего разложения (4.26).
Аналогично вводится понятие вырожденности и про-
водится исследование сингулярного возмущения для
других
линейных систем — линейных краевых задач для диффе-
ренциальных уравнений, линейных интегральных уравне-
ний
и т. д., когда при некотором значении параметра
нару-
шается существование либо единственность решения.
Для алгебраического уравнения произвольной степени,
коэффициенты
которого зависят от параметра, вырожден-
ность обычно означает обращение в нуль коэффициента при
старшей степени неизвестной, т. е. понижение степени урав-
нения.
Чтб при этом происходит, легко понять на примере
квадратного уравнения
ах
2
+
Ьх
+ с
»
0
(4.30)
с коэффициентами
а>
Ь,
с,
зависящими от некоторого пара-
метра а. Если а
(а
0
)
=
0, т. е. при а
=
а
0
уравнение
(4.30)
вырождается, то из формулы для корней
_ - Ь +
Vd
2
-
4ас
_
2с
2а
-
b
-У/b>
-4ас'
-
~
b
""" ^ ~
4ас
2с
2а
-b+
Vb
2
-
4ас
мы видим, что если Ь
(<х
0
)
*
0, то при а
-»
а
0
один из корней
уходит
в бесконечность,
тогда
как
другой
стремится к
—
с/А, т. е. к решению вырожденного уравнения; если же и
Ь
(а
0
)
=
0, но с
(а
0
)
*
0, то при а
-*
а
0
оба корня
уходят
в
бесконечность.
Оказывается, что в общем
случае
картина аналогичная.
Если
алгебраическое уравнение степени
я,
вырождаясь,
переходит в уравнение степени к <
п,
то в процессе вырож-
дения
п - к корней
уходят
в бесконечность,
тогда
как
остальные к корней переходят в корни вырожденного урав-
нения.
Например, при а
-•
0 три корня уравнения
(4.17)
уходят
в бесконечность, а один стремится к 0,1,
тогда
как
у уравнения
(4.19)
все корни остаются конечными (оно
при
а = 0 не вырождается): три из них стремятся к 0,
а один — к 12.
94
С
помощью приведенного общего утверждения анали-
зируется и случай, когда некоторые из коэффициентов
алгебраического уравнения обращаются в бесконечность.
Пусть, например, для уравнения
(4.30)
\b\
~*
«>,
тогда
как
а
и
с остаются ограниченными; как
ведут
себя при этом
корни?
Переписав уравнение в равносильной форме
~
х
2
+ х +
х
«
0,
о
о
мы видим, что один из корней стремится к бесконечности, а
другой
— к нулю.
Для дифференциального уравнения, включающего неко-
торый параметр, вырождением обычно называют понижение
порядка
этого уравнения. Пример такого вырождения был
разобран в п. 2: это уравнение (4.7), полученное из урав-
нения
(4Л)
при т
=
0. Мы видели, что для сингулярно
возмущенного уравнения, т. е. уравнения (4.1) с т
<£f
2
/k
y
возникает кратковременный этап релаксации, на протя-
жении
которого значение dx/dt существенно изменяется.
Продолжительность этого этапа пропорциональна
т,
а изме-
нение
dx/dt на нем идет по закону
e~
ct/m
(с = const),
«кру-
тизна» которого обратно пропорциональна значению т. При
построении
этой зависимости (во всяком случае, ее главной
части) мало меняющиеся на релаксационном этапе правую
часть уравнения и решение x(t) можно «заморозить», за-
менив
их соответствующими значениями при t = 0.
Оказывается,
что разобранный пример является типич-
ным,
во всяком случае, для задач, описываемых линейными
дифференциальными
уравнениями. Если в уравнение
входит
малый параметр а и при а
=
0 оно вырождается, понижая
порядок
на единицу, но при а
-*
0 решение сингулярно
возмущенной задачи остается конечным на некотором интер-
вале
(а,
Ь),
то вблизи точек а и Ь
могут
возникнуть зоны,
ширина
которых имеет порядок а и на которых решение или
его производные изменяются по описанному выше
«круто-
му» закону; вне этих зон решение возмущенной задачи
близко к решению вырожденного уравнения. Если незави-
симой
переменной служит время, т. е. рассматривается раз-
витие процесса во времени, то, как в задаче п. 2, говорят об
этапе релаксации. Если же за независимую переменную
принята
геометрическая координата, то говорят о возникно-
вении
пограничного
слоя
вблизи концов интервала, на
котором определено решение сингулярно возмущенной за-
дачи. (Именно такая картина возникает при обтекании
маловязкой
жидкостью твердой стенки, причем малым пара-
95