Михайлова Т.В. Техническая термодинамика

)(

2

'

21

2

1

2

pp

WW

l −=

−

=

υ

. (12.10)

Работа l' идет на увеличение кинетической энергии текущей жидкости.

Рис. 12.1

2. Рассмотрим случай течения сжимаемой жидкости (газов и паров)

(рис. 12.2). Для этой жидкости υ=f(p); υ

≠

const.

∫

=

−

=

1

2

'

2

1

2

p

dp

WW

l

υ

.

Рис. 12.2

Определение интеграла

для течения газов требует определения связи

между изменением давления и объема текущего газа. Для чего необходимо

знать характер термодинамического процесса происходящего в текущем газе.

∫

1

2

p

dp

υ

Будем по-прежнему считать течение газа адиабатным, т.е. без внешнего

теплообмена (dq=0). Для адиабатного процесса имеем

const

2211

=

кк

pp

υ

или в общем виде pυ

к

=const, p

к

1

υ=const

к

1

, отсюда

.

const

1

к

p

=

υ

(12.11)

Следовательно, работа l´, пошедшая на увеличение кинетической энергии

потока газа при его адиабатном течении, определится как

∫∫

==

−

=

1

2

1

2

1

2

1

2

const

2

'

p

к

p

к

p

dp

WW

l

υ

.

Интегрируя данное выражение и подставляя соответствующие пределы и

значение const

из (12.11), получаем:

)(

12

2211

1

2

1

2

υυυ

pp

к

dp

WW

l

p

−

∫

−

==

−

=

′

или

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

−

=

′

11

22

11

2

1

2

1

12

υ

p

к

кWW

l

.

Заменим отношение

11

22

υ

p

через отношения других параметров состояния:

к

p

T

p

1

2

1

2

11

22

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

==

υ

.

Окончательно получим следующее выражение:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∫

−

==

−

=

′

−

к

p

к

dp

WW

l

1

2

1

2

11

2

1

2

1

12

υυ

. (12.12)

Если рассмотреть процесс течения с термодинамической точки зрения, то

работа l´, пошедшая на увеличение кинетической энергии потока, изобразится в

pυ- координатах площадью под адиабатным процессом расширения при

проекции процесса на ось Р.

Площадь N12N (рис. 12.2) представляет собой ту дополнительную

работу, по сравнению с течением несжимаемой жидкости (рис. 12.1), которая

получается за счет расширения газа при адиабатном течении и которая также

идет на дополнительное увеличение кинетической энергии потока (на

дополнительное увеличение скорости потока).

Контрольная карточка 12.2

Укажите наиболее полный и правильный ответ

Вопрос Ответ

1. Какое из представленных

уравнений является уравнением

Бернулли?

1.

dh

W

d −=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

2

;

2.

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+=

2

W

ddhdq

;

3.

dp

W

d

υ

−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

2

.

2. Для какого потока жидкости

справедливо уравнение Бер-

нулли? (Укажите наиболее

полный ответ)

1. для несжимаемой жидкости;

2. для сжимаемой жидкости;

3. для любой жидкости;

3. Какое из представленных

выражений является выра-

жением располагаемой работы

при течении несжимаемой

жидкости?

1.

)(

2

'

21

2

1

2

pp

WW

l −=

−

=

υ

;

2.

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

−

=

′

11

22

11

2

1

2

1

12

υ

p

к

кWW

l

;

3.

∫

=

−

=

1

2

'

2

1

2

p

dp

WW

l

υ

.

4. Какое из представленных

выражений является выраже-

нием располагаемой работы при

течении сжимаемой жидкости?

1.

)(

2

'

21

2

1

2

pp

WW

l −=

−

=

υ

;

2.

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

−

=

′

11

22

11

2

1

2

1

12

υ

p

к

кWW

l

;

3.

∫

=

−

=

1

2

'

2

1

2

p

dp

WW

l

υ

.

12.3. Термодинамическая теория истечения газов и паров из резервуара

неограниченной емкости

Резервуаром неограниченной емкости называется сосуд, в котором в

продолжении всего процесса истечения начальные параметры рабочего тела

остаются неизменными (p

1

υ

1

T

1

=const).

Постоянство начальных параметров рабочего тела практически может

иметь место при непрерывном восстановлении в резервуаре убыли рабочего

тела (например, паровой котел). Итак, пусть имеется резервуар неограниченной

емкости, из которого происходит процесс истечения (рис.12.3), где p

1

-

давление газа в резервуаре; p

н

- давление среды, куда происходит истечение;

p

2

- давление газа на срезе выходного отверстия (противодавление), где p

2

≥p

н

.

Условие истечения p

1

>p

н

.

Рис. 12.3

Пользуясь общим соотношением между W, p, и υ полученным по

уравнению Бернулли, для случая адиабатного течения газов и паров имеем

(12.12):

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∫

−

==

−

=

′

−

к

p

к

dp

WW

l

1

2

1

2

11

2

1

2

1

12

υυ

.

Применяя это уравнение для случая истечения газов и паров, будем полагать,

что начальная скорость течения W

1

=0 (газ в резервуаре неподвижен). Здесь р

1

-

давление в резервуаре; р

2

– давление газа на срезе выходного отверстия.

Конечное значение скорости W

2

=W будет представлять собой в этом

случае скорость истечения, тогда согласно (12.12), получим

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∫

−

===

−

к

p

к

dp

W

l

1

2

1

2

1

2

1

12

'

υυ

. (12.13)

Из уравнения (12.13) скорость истечения будет равна

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

−

к

p

к

W

1

2

11

1

2

υ

, (12.14)

где р

1

- давление газа в резервуаре, Н/м

2

(Па); υ

1

- его удельный объем, м

3

/кг; р

2

-

давление газа на срезе выходного сечения, Н/м

2

(Па).

В дальнейшем, для упрощения написания формул скорости и расхода при

истечении введем обозначение для отношения давлений

1

2

p

=

β

, тогда

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

−

к

p

к

W

1

11

1

2

βυ

. (12.15)

Получим выражение скорости адиабатного истечения газа или пара через

энтальпию.

Применим уравнение первого закона термодинамики, полученное для

адиабатного течения газа или пара (12.7), к процессу истечения:

21

2

1

2

hh

WW

−=

−

.

Будем по-прежнему полагать, что для случая истечения начальная скорость газа

в резервуаре равна нулю, т.е. W

1

=0, а W

2

=W, при этих условиях получим

21

2

hh

W

−=

,

отсюда имеем

(

)

21

2 hhW −=

, (12.16)

где h

1

– значение энтальпии газа в резервуаре, Дж/кг; h

2

– значение энтальпии

газа в выходном сечении канала, Дж/кг.

Если же h

1

и h

2

измеряется в кДж/кг, то

21

72,44 hhW −=

. (12.17)

Скорость адиабатного процесса истечения может быть легко определена

по hs- диаграмме (рис. 12.4).

Рис. 12.4

Секундный расход газа или пара при истечении из резервуара

неограниченной емкости может быть определен из уравнения (12.1):

2

υ

ρ

W

ffWm ==

,

где W - скорость истечения, м/с; f - площадь выходного сечения, м

2

; ρ

2

-

плотность газа в выходном сечении, кг/м

3

; υ

2

- удельный объем газа в

выходном сечении, м

3

/кг.

Так как мы рассматриваем адиабатный процесс истечения, то, используя

соотношение параметров адиабатного процесса, получаем

к

p

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

1

2

1

υ

или

к

p

1

2

1

2

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

υ

,

тогда

к

p

1

2

1

12

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

υυ

. (12.18)

Подставляя значение υ

2

по (12.18) и W по (12.14) в уравнение расхода (12.1)

получаем

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

==

−

к

p

к

p

pfW

fm

1

2

11

1

2

12

1

2

υ

υυ

или

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

+

к

p

pp

к

fm

1

2

1

2

1

2

υ

. (12.19)

Заменяя

β

=

1

2

p

, уравнение расхода примет вид

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

+

к

p

к

fm

12

1

2

ββ

υ

. (12.20)

Здесь p

1

- давление газа в резервуаре, Па; υ

1

- удельный объем газа в резервуаре,

м

3

/кг.

Контрольная карточка 12.3

Укажите наиболее полный и правильный ответ

Вопрос Ответ

1. По какому из представленных

выражений можно подсчитать

скорость истечения W?

1.

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

к

p

к

1

11

1

2

βυ

;

2.

(

)

21

2 hh −

;

3.

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

к

p

к

f

12

1

2

ββ

υ

;

4.

2

ρ

fW

.

2. По какому из представленных

выражений можно определить

секундный расход газа при

истечении m?

1.

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

к

p

к

1

11

1

2

βυ

;

2.

(

)

21

2 hh −

;

3.

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

к

p

к

f

12

1

2

ββ

υ

;

4.

2

ρ

fW

.

12.4. Исследование формулы секундного расхода газа при истечении

Из полученной формулы для определения расхода газа при истечении

(12.20) следует, что расход

()

β

f

p

fm =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

1

2

при постоянных значениях

параметров газа в резервуаре (при заданных p

1

и T

1

). Проведем исследование

этой зависимости при условии, что величина

1

2

p

=

β

будет изменяться за счет

изменения только величины противодавления p

2

, а давление газа в резервуаре

p

1

будем считать неизменным, т.е. var

1

2

==

p

β

при p

1

=const и p

2

=var. Такое

изменение аргумента

1

2

p

=

β

в формуле (12.20) объясняется тем, что, во-

первых, р

1

=const должно быть по условию истечения газа из резервуара

неограниченной емкости, в котором величина р

1

не меняется. Во-вторых,

условие р

1

=const исключает непосредственное влияние величины p

1

на расход

газа m, который согласно основной формуле (12.20) зависит не только от

отношения

1

2

p

=

β

, но непосредственно и от абсолютной величины p

1

.

Предельными значениями

1

2

p

=

β

являются:

1. р

1

= р

2

=р

н

; 1

1

2

==

p

β

.

Это условие говорит о равенстве наружного давления и давления газа

внутри резервуара, что физически означает отсутствие процесса истечения, и

согласно (12.20) m=0.

2. р

2

= р

н

=0; 0

1

2

==

p

β

.

Это условие отвечает истечению газа в абсолютную пустоту и в этом

случае согласно (12.20) расход газа также должен быть равен

нулю (m=0), что

не соответствует действительности. При уменьшении β от единицы возникает

разность давлений (р

1

-p

2

) и начинается процесс истечения, чем меньше β, тем

больше перепад давлений (p

1

-p

2

) под которым происходит процесс истечения, и

тем больше расход газа, который при некотором отношении давлений β

достигает максимального значения, а затем согласно (12.20) начинает

уменьшаться.

Следовательно, задаваясь различными значениями

1

2

p

=

β

, можно по

формуле расхода (12.20) построить график зависимости расхода газа от β

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

==

1

2

p

fm

β

(рис. 12.5), пунктирная часть которого не соответствует

действительности.

Рис. 12.5

Для определения отношения давлений β, при котором расход газа при

истечении достигает максимума m=max, необходимо взять первую

производную от этой величины по β и приравнять ее к нулю:

0=

β

d

dm

, т.е.

0

1

2

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

p

d

dm

.

Итак, по формуле расхода (12.20) имеем

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

+

к

p

к

fm

12

1

2

ββ

υ

.

Здесь f, p

1

, υ

1

, к - величины постоянные и при истечении из резервуара

неограниченной емкости не меняются, поэтому выражение

1

2

1

2

υ

p

к

fA

−

=

представляет собой некоторый постоянный коэффициент, стоящий под корнем

вышеприведенного уравнения. Следовательно, формула расхода примет такой

вид:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

+

к

Am

12

ββ

. (12.21)

В уравнении (12.21) переменной величиной является выражение в скобках

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

к

12

ββ

, поэтому для отыскания максимума расхода m

max

при истечении

возьмем первую производную от этой величины и приравниваем ее к нулю:

0

12

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

β

ββ

d

к

,

а отношения давлений

1

2

p

=

β

, при котором первая производная обращается в

нуль, обозначим через β

к

, т.е.

1

2

1

2

p

к

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

β

. (12.22)

Это отношение давлений называется критическим. Следовательно,

дифференцируя выражение в скобках, получаем

0

12

1

2

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

к

ββ

;

к

1

2

12

ββ

+

=

−

;

1

2

1

21

+

=

−−

к

кк

к

β

;

1

2

1

+

=

−

к

β

,

отсюда

1

2

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

=

к

β

.

(12.23)

При этом критическом отношении давлений

1

2

p

к

=

β

расход будет

максимальным m=m

max

. Как видно, критическое отношение давлений β

к

является функцией лишь показателя адиабаты к:

(

)

кf

к

=

β

.

Поэтому значение β

к

для газов будет зависеть от их атомности, влияющей на

величину показателя адиабаты к.

Для одноатомного газа к=1,66 и β

к

=0,49;

Михайлова Т.В. Техническая термодинамика

Подождите немного. Документ загружается.