Меледин Т.В., Черкасский В.С. Электродинамика в задачах. Часть 1. Электродинамика частиц и полей

Подождите немного. Документ загружается.

ФИЗИКА В НГУ

Г. В. Меледин, В. С. Черкасский

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА В ЗАДАЧАХ

Часть I

Электродинамика частиц и полей

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Физический факультет

Кафедра общей физики

Г. В. Меледин, В. С. Черкасский

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА В ЗАДАЧАХ

Часть I

Электродинамика частиц и полей

Учебное пособие

Новосибирск

2003

ББК В 313я 73-4

УДК 537+338

M............

Меледин Г. В., Черкасский В. С. Электродинамика в задачах. Элек-

тродинамика частиц и полей: Учеб. пособие: В 2 ч./ Новосиб. гос. ун-

т. Новосибирск, 2003. Ч. I. 221 с.

В учебном пособии содержатся задачи, предлагавшиеся студентам

физического факультета НГУ на семинарах, в заданиях для самосто-

ятельной работы, а также на письменных курсовых контрольных и в

экзаменационных работах. Кроме того, включено некоторое количе-

ство задач, имеющихся в учебной литературе, прежде всего в извест-

ном пособии В. В. Батыгина, И. Н. Топтыгина «Сборник задач по

электродинамике».

Решение задач базируется на системе уравнений Максвелла и соот-

ветствующих граничных условиях. В качестве основной системы еди-

ниц используется Гауссова система, широко используемая в фунда-

ментальной физике. Переход к системе СИ обычно не вызывает за-

труднений.

Учебное пособие предназначено, прежде всего, для студентов-физиков

и информатиков НГУ и преподавателей, ведущих соответствующие

семинарские занятия. Задачник соответствует годовому курсу элек-

тродинамики (I-я часть охватывает материал осеннего семестра вто-

рого курса).

Рекомендовано редакционно-издательским отделом НГУ для спе-

циальности 2016.

Новосибирский государственный

университет, 2003

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ 4

1 ЭЛЕКТРОСТАТИКА В ВАКУУМЕ 7

1.1 Закон Кулона. Поле и потенциал точечного заряда.

Принцип суперпозиции . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Теорема Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Диполь. Мультиполи . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Уравнения Пуассона и Лапласа . . . . . . . . . . . 15

1.5 Решение типичных задач . . . . . . . . . . . . . . 16

2 ЭЛЕКТРОСТАТИКА В СРЕДЕ 50

2.1 Граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.2 Емкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.3 Метод изображений . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.4 Энергия поля. Давление. Силы . . . . . . . . . . . 59

2.5 Решение типичных задач . . . . . . . . . . . . . . 62

3 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК 90

3.1 Сохранение заряда. Граничные условия. Закон Ома . 91

3.2 Закон трех вторых . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.3 Решение типичных задач . . . . . . . . . . . . . . 98

4 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ 108

4.1 Закон Био–Савара. Теорема Стокса. Суперпозиция

полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.2 Векторный потенциал, магнитный диполь. Прецес-

сия

магнитного момента . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.3 Решение типичных задач . . . . . . . . . . . . . . 115

ОГЛАВЛЕНИЕ

5 МАГНИТОСТАТИКА В СРЕДЕ 124

5.1 Граничные условия для магнитного поля. Метод изоб-

ражений. Постоянные магниты. Магнитные цепи . . 126

5.2 Взаимодействие токов с магнитным полем. Энергия и

давление поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.3 Решение типичных задач . . . . . . . . . . . . . . 131

6 КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ 137

6.1 Индуктивность. Взаимная индукция . . . . . . . . . 138

6.2 Сохранение магнитного потока . . . . . . . . . . . 142

6.3 Электромагнитная индукция . . . . . . . . . . . . . 144

6.4 Цепи переменного тока. Трансформаторы. Длинные

линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.5 Скин-эффект . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

6.6 Поток энергии. Ток смещения . . . . . . . . . . . . 157

6.7 Решение типичных задач . . . . . . . . . . . . . . 159

7 ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ПОЛЯХ 185

7.1 Движение частиц в электрическом и магнитном по-

лях. Дрейф. Магнитная ловушка . . . . . . . . . . . 186

7.2 Фокусировка продольным и поперечным полями. Квад-

рупольные электростатические и магнитные линзы . 188

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ 191

1.1 Закон Кулона. Поле и потенциал точечного заряда.

Принцип суперпозиции. . . . . . . . . . . . . . . . 191

1.2 Теорема Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

1.3 Диполь. Мультиполи . . . . . . . . . . . . . . . . 192

1.4 Уравнения Пуассона и Лапласа . . . . . . . . . . . 194

2.1 Граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

2.2 Емкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

ОГЛАВЛЕНИЕ

2.3 Метод изображений . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

2.4 Энергия поля. Давление. Силы . . . . . . . . . . . 198

3.1 Сохранение заряда. Граничные условия. Закон Ома . 200

3.2 Закон трех вторых . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

4.1 Закон Био - Савара. Теорема Стокса. Суперпозиция

полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

4.2 Векторный потенциал, магнитный диполь. Силы дей-

ствующие на магнитный диполь. Прецессия магнит-

ного момента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

5.1 Граничные условия для магнитного поля. Метод изоб-

ражений. Постоянные магниты. Магнитные цепи . . 206

5.2 Взаимодействие токов с магнитным полем. Энергия и

давление поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

6.1 Индуктивность. Взаимная индукция . . . . . . . . . 208

6.2 Сохранение магнитного потока . . . . . . . . . . . 209

6.3 Электромагнитная индукция . . . . . . . . . . . . . 210

6.4 Цепи переменного тока. Трансформаторы. Длинные

линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

6.5 Скин-эффект . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

6.6 Поток энергии. Ток смещения . . . . . . . . . . . . 215

6.1 Движение частиц в электрическом и магнитном по-

лях. Дрейф. Магнитная ловушка . . . . . . . . . . . 215

6.2 Фокусировка продольным и поперечным полями. Квад-

рупольные электростатические и магнитные линзы . 216

Физические постоянные 217

Список литературы 218

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящий задачник задуман как пособие для обучения электро-

динамике студентов-физиков и информатиков НГУ. За многие годы

коллективом физиков, преподающих электродинамику на физическом

факультете НГУ, был отобран в рамках программы круг тем, установ-

лена последовательность изучения, определен необходимый минимум

обязательных задач. Была отработана также система занятий и кон-

троля за усвоением материала. В нее вошли как традиционные формы

– семинарские занятия, контрольная работа, общая для всего курса,

так и задания с приемкой каждой задачи у каждого студента; экза-

мен, разбитый на два этапа: письменный и устный. Оценка, выстав-

ляемая на устном экзамене в сессию, учитывает кроме устного ответа

еще и результат письменной экзаменационной работы, выполняемой

за день–два до устного экзамена, и оценку за работу в семестре. По-

следняя оценивает сдачу заданий, активность на семинарах, резуль-

тат курсовой письменной контрольной. Такой подход к проверке зна-

ний позволяет в значительной мере избежать элемента случайности

на экзамене, требует от студента регулярных знаний по всему кур-

су в течение семестра. Заметим, что на всех этапах проверки, кроме

устного экзамена, студенту разрешается использовать любые учебные

пособия. Это, естественно, предъявляет определенные требования к

предлагаемым задачам: они должны быть не шаблонными, в доста-

точной степени оригинальными (преподаватели в большинстве – на-

учные сотрудники институтов СО РАН, так что большинство ориги-

нальных задач возникло в результате конкретной научной деятельно-

сти). Вместе с тем в задачник включено немалое количество типовых

«обязательных» задач, широко распространенных в учебной литера-

туре (библиографический список, как использованная, так и полезная

для обучения литература приводится в конце).

При проверке задач на всех этапах обращается внимание на следу-

ПРЕДИСЛОВИЕ

ющие факторы: 1) понимание физической сущности задачи, области

применимости решения; 2) рациональное использование математиче-

ского аппарата, отыскание наилучшего из путей к решению; 3) полу-

чение как точного результата, так и в необходимом случае оценки; 4)

умение довести решение до конца, до числа, грамотно и разумно ис-

пользовать нужную систему единиц.

По поводу характера отбора задач, связанного с программой, необ-

ходимо отметить следующее. При изучении электродинамики в НГУ

не предусматривается разделение курса на общую и теоретическую

физику. Единый подход полезен, но, однако, обучение электродина-

мике на младших курсах требует при этом значительного облегчения

математического аппарата, порой введения и использования некото-

рых математических приемов и разделов до их изучения в курсе мате-

матики. На этом пути, к сожалению, неизбежны и некоторые потери.

Еще одной особенностью данного курса является почти полный от-

каз от детальных вопросов электродинамики в средах. Это связано

с тем, что соответствующие темы рассматриваются позже в соответ-

ствующих курсах и спецкурсах с учетом освоения проблем квантовой

механики и статистической физики.

Данное пособие представляет собой переработанное и дополненное

пособие Г. В. Меледина, Ю. И. Эйдельмана , Г. В. Рослякова «Зада-

чи по электродинамике частиц и полей», в которое включены задачи

из пособия Т. А. Ждановой , Г. В. Меледина «Задачи по электро-

динамики с решениями», вызвавшего большой интерес у студентов и

преподавателей. Исправлено заметное число описок, ошибок, опеча-

ток.

Авторы выражают глубокую благодарность за критическое внима-

ние лекторам курса «Электродинамика» профессорам И. А. Котель-

никову, Б. А. Князеву, Б. А. Луговцову, В. И. Яковлеву, а также

выражают свою признательность А. Г. Погосову, обнаружившему и

ПРЕДИСЛОВИЕ

исправившему большое число ошибок и опечаток в ответах; благода-

рят О. Г. Батеневу за помощь в оформлении рукописи и студентов Ру-

санова, Пожидаеву и Огнева за создание рисунков. Большое спасибо

всем, оказавшим помощь и содействие в создании этой книги.

1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА В ВАКУУМЕ

Уравнения Максвела в вакууме в дифференциальной форме имеют

вид

div

E = 4πρ , rot

E = 0, (1)

а в интегральной форме

dS = 4πq ,

dl = 0 , (2)

откуда получаются граничные условия

| − E

| = 4πσ , и E

1τ

| = E

2τ

|, (~n = ~n

). (3)

Поле точечного заряда (Закон Кулона)

E(~r) =

. (4)

Принцип суперпозиции для полей

E =

. При непрерывном рас-

пределении зарядов

E =

dV +

dS +

dl . (5)

Электрическое поле потенциально

E = −grad ϕ = −

∇ϕ, работа A = q(ϕ

− ϕ

) . (6)

Потенциал точечного заряда

точ

= −

dl =

+ C . (7)

Часто константу C выбирают равной 0.

Энергия точечного заряда q в поле с потенциалом ϕ W = qϕ. Для

совокупности зарядов энергия системы