Меледин Т.В., Черкасский В.С. Электродинамика в задачах. Часть 1. Электродинамика частиц и полей

Подождите немного. Документ загружается.

1 ЭЛЕКТРОСТАТИКА В ВАКУУМЕ

Это равенство должно быть справедливо при любых значениях R и θ,

что возможно лишь в случае, когда и левая, и правая части уравнения

равны некоторой постоянной С, т. е.

(R)

d R



d ϕ

(R)

d R



= C , (2)

(θ) sin θ

d θ



sin θ

d ϕ

(θ)

d θ



= −C . (3)

Решением уравнения (3) является функция ϕ

(θ) = cos θ при C = 2,

что легко проверить. Решение уравнения (2) будем искать в виде сте-

пени R:

(R) = A R

Подставим эту функцию в уравнение (2) и для n получим уравнение

+ n − 2 = 0, корни которого равны n

= −2 , n

= 1.

Таким образом, искомый потенциал имеет вид

ϕ(R , θ) =



R +



cos θ .

Для определения постоянных A

и A

учтем граничные условия.

Понятно, что при R → ∞ влияние шара не должно сказываться, т.

е. lim

R→∞

(R, θ) = E

, где

= −

∂ϕ

∂z

Учитывая, что z = R cos θ, находим A

= −E

. Поверхность шара

является эквипотенциальной. Поэтому при R = a, ϕ(a, θ) = 0 для

всех значений θ, что возможно при условии

a +

= 0 .

Следовательно, A

= E

и потенциал можно представить в виде

ϕ = −E

z +

(

= −E

R cos θ +

cos θ

при R ≥ a.

1.5 Решение типичных задач

ϕ = 0 при R ≤ a.

Таким образом, металлический незаряженный шар, внесенный в одно-

родное электрическое поле, меняет картину этого поля так, как изме-

нил бы ее внесенный в поле электрический диполь с моментом

d =

Найдем напряженность электрического поля

E = −grad ϕ. Исполь-

зуя оператор

∇, запишем

E = −(

∇ϕ) =

−

∇(

R) − a

(

∇





С помощью правил векторного анализа вычислим

∇(

R):

∇(

R) =



×[

∇×





R×[

∇×

]



∇)

R+(

∇)

Поскольку

= const и [

∇ ×

R] = rot

R = 0 , получим

∇(

R) = (

∇)

R =

Достаточно элементарно можно показать, что

∇





Окончательно для вектора напряженности электрического поля полу-

чаем выражение

E =







−

при R > a,

0 при R < a,

где

d =

— дипольный момент, приобретаемый шаром в одно-

родном электрическом поле

Поверхностная плотность индуцированных зарядов

σ(θ) =

4π



R=a

4π

cos θ .

2 ЭЛЕКТРОСТАТИКА В СРЕДЕ

Этот заряд создает внутри шара однородное поле

E = −

, посколь-

ку полное поле равняется нулю. Величина заряда на одной половине

шара будет равна

|Q| =



σ ds



π/2

4π

cos θ · 2πa

sin θ dθ =

Разумеется, полный заряд на шаре равен нулю.

2. ЭЛЕКТРОСТАТИКА В СРЕДЕ

Уравнения Максвела в однородной среде с диэлектрической прони-

цаемостью в дифференциальной форме имеют вид

div

D = 4πρ , rot

E = 0, (1)

где

D =

E + 4π

P = ε

E . Вектор поляризации

P – дипольный

момент единицы объема,

P =

ε−1

4π

E .

Интегральная форма уравнений Максвелла

dS = 4πq ,

dl = 0 , (2)

откуда получаются граничные условия

| − D

| = 4πσ , или ε

| − ε

| = 4πσ , E

1τ

| = E

2τ

(3)

Поле точечного заряда (закон Кулона) в среде

E(~r) =

εr

. (4)

Потенциал точечного заряда

точ

= −

dl =

εr

+ C . (5)

Часто константу C выбирают равной 0.

Энергия для совокупности зарядов

W =

i6=k



ρϕ dV +

σϕ dS +

κϕ dl



(6)

8π

εE

dV .

Уравнение для потенциала с источниками (зарядами) – уравнение Пуас-

сона, и уравнение без источников – уравнение Лапласа

∆ϕ = −4πρ , ∆ϕ = 0 . (7)

Граничные условия на границе раздела сред 1 – 2 (n – нормаль из

среды 1 в 2):

| = ϕ

∂ϕ

∂n

| −

∂ϕ

∂n

| = 4πσ . (8)

Решение уравнения Пуассон для точечного заряда

∆ϕ

точ

= −4πδ(~r) , ϕ

точ

+ C . (9)

Общее решение уравнения Пуассона для распределенной системы за-

рядов

ϕ(~r) =

ρ(

) dV

|~r −

σ(

) dS

|~r −

κ(

) dl

|~r −

. (10)

При r >> a, где a – характерный размер системы зарядов, потен-

циал произвольной системы зарядов

ϕ =

~p~r

ΣQ

µν



−

µν



+ . . . , (11)

2 ЭЛЕКТРОСТАТИКА В СРЕДЕ

где q = Σq

, ~p = Σq

, Q

µν

= Σ



−

µν



, x

–

координаты заряда q

, а r

= Σ(x

)

Сила

F = q

E = −q

∇ϕ = −

∇W .

Энергия диполя W = −(~p

E) , момент силы

N = [~p ×

E] .

В неоднородном поле

F =

∇(~p ·

E) = (~p ·

∇)

E .

2.1. Граничные условия

2.1. Вывести граничные условия для электрического поля и индук-

ции, если плотность свободных зарядов на границе равна σ.

2.2. Найти скачок нормальной составляюшей

E на границе двух

сред с диэлектрическими проницаемостями ε

, ε

, а также плотности

связанных зарядов по обе стороны границы.

2.3. Найти силу, действующую на малый заряд q, помещенный в

бесконечную узкую щель в диэлектрике с проницаемостью ε, если ди-

электрик находится во внешнем электрическом поле

E так, что ось

щели образует угол α с направлением внешнего поля.

2.4. Точечный заряд q расположен на плоской границе раздела двух

однородных бесконечных диэлектриков с проницаемостями ε

и ε

Найти напряженность и индукцию электрического поля, а также его

потенциал.

2.5. Центр проводящего шара радиуса R (заряд q) находится на

плоской границе раздела двух бесконечных однородных диэлектриков

с проницаемостями ε

и ε

. Найти потенциал электрического поля, а

также распределение свободных и связанных зарядов на поверхности

шара.

2.6. От прямой, на которой находится точечный заряд q, расходят-

ся веерообразно три полуплоскости, образующие три двугранных угла

, α

, (α

+α

= 2π). Пространство внутри каждого из уг-

лов заполнено однородным диэлектриком с проницаемостью соответ-

ственно ε

, ε

Определить потенциал, напряженность и индукцию

2.2 Емкость

электрического поля в трех областях.

2.7. Вдоль плоской границы раздела двух диэлектриков с диэлек-

трическими проницаемостями ε

и ε

лежит заряженная нить. Её за-

ряд на единицу длины κ. Найти

1,2

внутри диэлектриков.

2.8 а. Однородный шар радиуса a с диэлектрической проницаемо-

стью ε

погружен в однородный неограниченный диэлектрик ε

. На

большом расстоянии от шара в диэлектрике имеется однородное элек-

трическое поле

. Найти потенциал и напряженность электрического

поля во всем пространстве, а также распределение связанных зарядов

на шаре и его поляризованность.

2.8 б. В однородное электрическое поле

внесен шар с диэлек-

трической проницаемостью ε. В шаре имеется маленькая сферическая

полость, находящаяся далеко от поверхности шара. Найти поле в по-

лости.

2.2. Емкость

2.9. Оцените свою электрическую емкость в пикофарадах.

2.10. Оценить емкость: а) металлической пластинки с размерами

h  a  ` и б) цилиндра с a  `.

2.11. Плоский конденсатор заполнен диэлектриком, проницаемость

которого изменяется по закону ε = ε

(x + a)/a, где a – расстоя-

ние между обкладками, ось X направлена перпендикулярно обклад-

кам, площадь которых S. Пренебрегая краевыми эффектами, найти

емкость такого конденсатора и распределение в нем связанных заря-

дов, если к обкладкам приложена разность потенциалов U.

2.12. Внутрь разомкнутого конденсатора мгновенно вставляют элек-

трет-брусок, состоящий из частиц с дипольными моментами

, ори-

ентированными одинаково и ортогонально пластинам конденсатора,

расстояние между которыми h. Число частиц в единице объема n

Размеры электрета совпадают с размерами конденсатора. Найти на-

пряжение на пластинах конденсатора.

2 ЭЛЕКТРОСТАТИКА В СРЕДЕ

2.13. Внутри сферического конденсатора с радиусами обкладок a и

b диэлектрическая проницаемость меняется по закону

ε (r) =



= const при a ≤ r < c

= const при c ≤ r ≤ b

где a < c < b. Найти емкость конденсатора, распределение зарядов

связ

и полный связанный заряд в диэлектрике.

2.14. Пространство между обкладками сферического конденсатора

частично заполнено диэлектриком, расположенным внутри телесного

угла Ω с вершиной в центре обкладок. Радиусы обкладок – a и b,

проницаемость диэлектрика – ε. Найти емкость конденсатора.

2.15. Найти взаимную емкость двух шаров радиуса a, если рассто-

яние между их центрами равно b  2a.

2.16. Найти погонную емкость двухпроводной линии (радиус про-

вода a, расстояние между центрами проводов b  a).

2.17. В четырехэлектродной лампе с плоскими параллельными элек-

тродами заданы одинаковая площадь элек-

тродов S и расстояния от катода K до ано-

да A − `, сетки G

− a и дальней сетки

−b. Анодное напряжение U

, а между

сеткой G

и катодом напряжение U

. Най-

ти заряд на сетке G

, если ток через лампу

прекратился.

2.18. Три одинаковые проводящие пластины A, B и C расположе-

ны параллельно друг другу на расстояниях d

. Вначале на пластине A находится заряд q, а

пластины B и C не заряжены. Затем к пласти-

нам B и C присоединяется батарея с эдс, рав-

ной U, а пластины A и C соединяются провод-

ником. Найти установившиеся заряды на пластинах. Площадь пла-

стины равна S.

2.3 Метод изображений

2.19. Внутри плоского конденсатора, заряженного до напряжения

U, на расстоянии h от одной из пластин находится маленький метал-

лический шарик радиуса r. Пренебрегая искажением поля конденса-

тора, найти заряд, появившийся на шарике, если соединить шарик с

пластиной с нулевым потенциалом. Расстояние между пластинами d.

2.20. Найти установившийся

заряд на заземленной пластине

конденсатора.

2.21. Трем одинаковым изолированным конденсато-

рам емкостью C были сообщены заряды q

, q

со-

ответственно. Потом конденсаторы соединили. Найти

величины зарядов, оставшихся на конденсаторах.

2.3. Метод изображений

2.22. Точечный заряд q находится в вакууме на расстоянии a от

плоской границы бесконечно протяженного проводника. Найти потен-

циал, напряженность электрического поля, распределение σ и полный

индуцированный на металле заряд, а также силу, действующую на за-

ряд.

2.23. Над бесконечной металлической незаряженной плоскостью

протянута параллельно плоскости заряженная нить. Заряд единицы

длины нити – κ. Найти силу взаимодействия с пластиной и распре-

деление наведенного заряда в плоскости.

2.24. Двугранный угол между двумя заземленными проводящими

плоскостями равен α. Внутри угла находится точечный заряд q. Найти

электрическое поле в случаях: а) α = 90

; б) α = 60

; в) α = 45

2.25. Над пространством, заполненным металлом, расположен кру-

говой виток радиуса a, равномерно заряженный зарядом Q. Расстоя-

ние между параллельными плоскостями витка и границей металла h.

Найти напряженность поля и потенциал в центре витка.

2 ЭЛЕКТРОСТАТИКА В СРЕДЕ

2.26. Заряд q находится между двумя параллельными бесконечны-

ми проводящими плоскостями на расстоянии a от середины расстоя-

ния между ними. Оценить силу, действующую на заряд при a  d

(d – расстояние между плоскостями).

2.27. Заряд q находится внутри (вне) заземленной (изолирован-

ной) проводящей сферы радиуса a на расстоянии `, от ее центра. Най-

ти распределение потенциала во всем пространстве, распределение и

полный индуцированный заряд на сфере.

2.28. Заряд q находится на расстоянии ` от проводящей изолиро-

ванной сферы радиуса a < ` с зарядом Q. Найти силу взаимодей-

ствия заряда со сферой. При каком значении заряда на сфере эта сила

обращается в ноль?

2.29. В металлическом изолированном шаре радиуса

a имеется сферическая полость, в центре которой за-

креплен заряд q

. Вне шара на расстоянии ` от его цен-

тра расположен второй заряд q. Найти силу действую-

щую на заряд q.

2.30. Электрический диполь находится на расстоянии ` от центра

заземленной проводящей сферы радиуса a. Его дипольный момент

направлен перпендикулярно линии, соединяющей диполь и центр сфе-

ры радиуса a < `. Найти: а) потенциал системы; б) распределение

зарядов на сфере, если диполь находится в ее центре.

2.31. Внутри пространства, заполненного металлом, имеется сфе-

рическая полость радиуса `. В полости на расстоянии h от ее центра

находится заряженное с линейной плотностью κ кольцо радиуса `.

Найти потенциал и напряженность поля в центре кольца.

2.32. Заземленная проводящая плоскость имеет выступ в форме

полусферы радиуса a. Центр полусферы лежит на плоскости. На оси

симметрии системы на расстоянии b > a от плоскости находится то-

чечный заряд q. Найти потенциал электрического поля, а также заряд

Q, индуцированный на выступе.

2.3 Метод изображений

2.33. Над полупространством, заполненным металлом, имелось

однородное электрическое поле

, перпендику-

лярное поверхности металла. На поверхности обра-

зовалось полусферическое вздутие радиуса a. Най-

ти распределение плотности заряда σ(θ) на нем и

σ(R) на оставшейся плоской поверхности металла, а также силу F ,

действующую на вздутие за счет электрического поля.

2.34. В полупространстве, занятом металлом, имеется полусфе-

рический выступ радиуса a. Параллельно плоско-

сти металла над выступом висит равномерно заря-

женное зарядом Q кольцо радиуса a, так что центр

кольца совпадает с высшей точкой O выступа. Найти плотность элек-

трического заряда в точке O выступа.

2.35. В экваториальной плоскости заземленной сферы радиуса a

находится равномерно заряженное зарядом

Q кольцо радиуса b > a. Центры сферы и

кольца совпадают. Найти: а) потенциал ϕ(z)

на оси симметрии системы на расстоянии z

от центра кольца; б) два первых ненулевых

члена разложения потенциала ϕ(r, θ) на больших расстояниях r  b.

2.36. Равномерно заряженное с зарядом Q кольцо радиуса b рас-

положено вне изолированной металлической

сферы радиуса a так, что плоскость кольца

соприкасается со сферой, а его ось прохо-

дит через центр сферы (см. рисунок). Найти:

а) потенциал ϕ(z) на оси симметрии систе-

мы на расстоянии z от центра кольца; б) два

первых ненулевых члена разложения потенциала ϕ(r, θ) на больших

расстояниях r  a, b.

2.37. Около бесконечного заземленного металлического цилиндра