Медведев Г.А. Математические основы финансовой экономики. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

дельцем опциона, а компанией и , следовательно, не будет выбираться

так, чтобы максимизировать стоимость опциона.

Поскольку

–

, а

удовлетворяют уравнению (2.43),

тоже будет удовлетворять (2.43) при соблюдении граничных условий

(0,

;

) = 0,

(

, 0;

) = 0,

(

;

) =

(

;

) – mах [

S– K

Поскольку

выбирает компания, мы добавляем условие максимиза-

ции по

для того, чтобы максимизировать С(

;

), что делает

(2.43) корректно поставленной задачей. Так как

–

не яв-

ляются функциями

условие максимизации

может быть перепи-

сано как условие минимизации

В общем случае невозможно получить решение уравнения (2.43)

в явной форме. Однако решение для бессрочного опциона найти мож-

но. В этом случае мы знаем, что

(

;

) =

, и уравнение (2.43) сво-

дится к обыкновенному дифференциальному уравнению

C′′

+ rSC′

−

rC =

0 (2.44)

для 0

≤

S ≤

с ограничениями

(0) = 0,

(

) =

−

mах (

−

выбирается так, чтобы максимизировать

. Здесь

(

) является

сокращенной записью функции

(

∞

;

), а штрих означает произ-

водную. Решая уравнение (2.44) и используя два первых ограничения,

получаем выражение

(

) = (1 – max [

K*/ S

, 1 –

K/ S

])

Хотя мы и не можем использовать какой-либо простой метод для

максимизации

, очевидно, что

, так как для

функция

является возрастающей, а для

−

убывающей.

Поэтому стоимость обеспечения отзыва

(

) =













и поскольку

–

, стоимость отзываемого бессрочного опциона

(

) =













§ 8. РАЗРЫВНЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

ИЗМЕНЕНИЯ ЦЕН АКЦИЙ

В этом параграфе исследуется структур а проблем определения

стоимости опционов

и разрабатывается альтернативный метод их ре-

шения. Вводится несколько скачкообразных и диффузионных процес-

сов, которые не использовались в предыдущих параграфах. Для этих

процессов разработанным методом находятся явные формулы

определения стоимости опционов и решения некоторых задач,

включающих определение цен активов, допускающих выплаты и

потенциальное банкротство.

Основной результат этого параграфа состоит в рассмотрении не-

традиционных форм стохастических процессов для описания динами-

ки цены акции и разработке подхода к проблеме определения стоимо-

сти опционов, который прямо связывает ее со структурой лежащего в

основе стохастического процесса. Поэтому здесь будет полезно по-

вторить краткое неформальное рассмотрение стохастических процес-

сов, которые были использованы ранее.

Основное предположение в модели Блэка – Шоулса заключалось

в том, что стоимость акции следует логнормальному диффузионному

процессу

dS/S

µdt

σdW

, (2.45)

где

– стоимость акции;

– функция дрейфа;

– винеровский про-

цесс.

Уравнение (2.45) является формальным описанием следующего

стохастического процесса. Пусть

будет стоимостью акции в момент

времени

Относительное изменение этой стоимости на интервале

времени от

до

равно

dS/S

= (

−

Согласно уравнению (2.45), это относительное изменение состоит

из двух слагаемых: функции дрейфа

µdt

, которая определяется в мо-

мент

, и нормально распределенным стохастическим слагаемым

σdW

Стохастическое слагаемое не зависит от своих значений в других ин-

тервалах времени и имеет нулевое среднее и дисперсию

. Попро-

сту говоря, уравнение (2.45) показывает, что относительное изменение

стоимости акции за время от

до

нормально распределено со

средним

µdt

и дисперсией

. Когда

достаточно мало, тогда

не сильно отличается от

. Это признак диффузионного процесса, ко-

торый представляет собой вид вязкого непрерывного случайного блу-

ждания около функции тренда и на коротком промежутке времени не

имеет особенностей.

Вместе с тем диффузионные процессы – только один из двух

общих классов стохастических процессов в непрерывном времени.

Вторым типом стохастического процесса в непрерывном времени яв-

ляется разрывный (скачкообразный) процесс. Простой разрывный

процесс можно описать по аналогии с (2.45) как

dS/S

µ dt

+ (

−

dπ

µ dt







→λ−

−→λ

.01

kdt

(2.46)

В уравнении (2.46)

является процессом Пуассона в непрерыв-

ном времени, т. е. процессом с исходами типа III (см. гл. 1),

имеет

смысл интенсивности процесса и

−

1 преставляет собой величину

скачка. Как и (2.45), уравнение (2.46) – формальное описание стохас-

тического процесса, который определяет относительное изменение

стоимости акции на интервале времени от

до

dt.

Уравнение (2.46)

говорит о том, что это относительное изменение составлено из функ-

ции дрейфа

µdt

и слагаемого

dπ

, которое с вероятностью

λdt

будет

скачком относительного изменения стоимости акции на

−

1, воз-

можно, случайным, и с вероятностью 1

−

λdt

будет нулевым. Допус-

тимой интерпретацией этого является то, что

λdt

представляет собой

мгновенную вероятность получения пакета информации, которая вы-

зовет скачкообразное изменение процесса

В отличие от диффузионного процесса скачкообразный процесс

(2.46) изменяется детерминированно до тех пор, пока не происходят

дискретные скачки. Формально скачкообразный процесс имеет выбо-

рочные траектории, которые разрывны с вероятностью единица, в то

время как выборочные траектории диффузионного процесса с вероят-

ностью единица непрерывны. Кроме того, рассматриваемые скачко-

образные процессы непрерывны справа почти всюду, т. е. их разрывы

являются простыми скачками. Из-за разрывов стоимости локальный

анализ Блэка – Шоулса для определения стоимости опционов прямо

не переносится на уравнение (2.46). Хотя, предположив, что

фикси-

ровано, можно показать, что безрисковый хедж можно было бы сфор-

мировать, и использовать для определения стоимости опционов скач-

кообразные процессы.

В этом параграфе мы преследуем две цели. Во-первых, проверя-

ем рациональность предположения о том, что стоимости акций сле-

дуют уравнениям (2.45) или (2.46), и предлагаем некоторые полезные

альтернативные формы. Они позволят нам рассмотреть соотношение

между выбором процесса и решениями проблем опционов, в то же

время снабжая дополнительными моделями для опытной проверки.

Во-вторых, используем метод , предложенный Коксом и Россом (Cox,

Ross, 1976), для решения задачи определения стоимости опционов.

Этот подход дает еще одно понимание структур ы задачи определения

стоимости опционов, и его применение позволяет решить задачу оп-

ределения стоимости облигации, по которой выплачиваются купоны,

с произвольной известной датой погашения и задачу определения

стоимости опциона на акцию с постоянными выплатами дивидендов.

При использовании нетрадиционных форм полезно строить их

как скачкообразные процессы, так как многие из наших интуитивных

соображений могут быть формализованы с помощью разрывных про-

цессов, но мы используем диффузионные процессы из-за их аналити-

ческого удобства, не обращая внимания на вопрос, следует ли «реаль-

ный мир » диффузионному или разрывному процессу. Уравнение

(2.46), например, описывает обычную акцию, чья стоимость дрейфует

детерминированно, пока не будет получена порция новой информа-

ции. Информация прибывает с вероятностью

λdt

, и когда это проис-

ходит, стоимость акции скачкообразно изменяется на (

−

1 ) процен-

тов. Диффузионный процесс (2.45) – предел такого процесса, когда

информация прибывает непрерывно и имеет только инфинитезималь-

ное влияние.

Уравнение (2.46) является очень частным случаем общей формы

марковских скачкообразных процессов. Если через

обозначить те-

кущее состояние среды, тогда общий скачкообразный процесс опре-

деляется уравнением

(

)







→λ−

−→λ

,0)(1

,1)(

)(

dtx

xkdtx

(2.47)

где

(

) имеет распределение, зависящее от текущего состояния

среды

Предположим, что

, т. е. вся информация о состоянии содер-

жится в текущей стоимости акции

Мы могли бы, конечно, добавить

слагаемое винеровской диффузии

(

)

к уравнению (2.47), чтобы

получить более общий процесс, но уравнение (2.47) уже содержит

диффузию как предельный случай (см. ниже). Мотивация конкретиза-

ции (2.47) в форме (2.45) или (2.46) состоит в том, что они содержат

два понятия. Во-первых, выр ажаются в относительных или процент-

ных величинах и рационально конкретизируют стохастический меха-

низм в процентах, так как доход выражается в процентах. Во-вторых,

при задании процесса в терминах процентов можно естественным об-

разом ввести предельное ограничение стоимости акции

> 0. Как

уравнение (2.45), так и уравнение (2.46) удовлетворяют этому гранич-

ному условию. Возможно, эти рассуждения не очень убедительны,

тем не менее представляется, что нет причин для использования толь-

ко уравнений (2.45) или (2.46). Делая так, мы просмотрели бы ряд ин-

тересных и одинаково обоснованных типов процессов.

Предположим, например, что в уравнении (2.47) мы задали ин-

тенсивность

(

) и дрейф

(

) пропорционально значениям

λS

µS

, и

выберем распределение

−

1, независимым от стоимости. Тогда

µSdt







→λ−

−→λ

.01

Sdt

kSdt

(2.48)

При наличии дрейфа уравнение (2.48) является обобщением клас-

са стохастических процессов, известных как процессы гибели и

размножения. Локальные среднее и дисперсия процесса (2.48) даются

выражениями

{

} =

[µ

λE

{

−

1}]

Sdt

{

} =

λE{

(

−

}Sdt

. (2.49)

Чтобы построить чистый процесс рождения и гибели, проигнори-

руем дрейф в ур авнении (2.48) и позволим

принимать только два

значения:

> 1 и

−

< 1 соответственно с (условными) вероятностями

−











→λ−







−→π

→λ

−−

Sdt











→λ−

−→λπ

−−

.01

Sdt

kSdt

(2.50)

Уравнение (2.50) теперь является примером простого процесса

рождения и гибели популяции. Представим себе фирму, выпускаю-

щую детали (членов популяции), чей суммарный выпуск (размер по-

пуляции) равен

. Если эти детали стохастически независимы одна от

другой, можно допустить, что

λdt

представляет собой вероятность со-

бытия, состоящего в том, что выпускается какая-то одна деталь. Со-

бытием с вероятностью

является «рождение»

−

1 дополнитель-

ных деталей и с вероятностью

−

– «гибель» 1

−

деталей. Для всей

фирмы (популяции) уравнение (2.50) тогда описывает локальное из-

менение ее состояния. Если же

= 0, а

= 1, тогда уравнение (2.50)

описывает чистый процесс рождения, и если

−

= 1, то уравнение

(2.50) описывает чистый процесс гибели. В отличие от (2.50) уравне-

ние (2.46) описывает стохастическое изменение состояний фирмы

(популяции), все члены которой совершенно зависимы, т. е. когда

один изменяется, все они изменяются, и вероятность такого события

λdt

не зависит от размера выпуска (размера популяции), хотя величи-

на просто пропорциональна.

Другое интересное различие между уравнениями (2.46) и (2.50)

можно увидеть путем перехода к диффузионному пределу в уравне-

нии (2.50). Диффузионный предел уравнения (2.46) – это относитель-

ный процесс (2.45). В конце параграфа мы покажем, что предел (2.50),

при

→

−

→

1 и

→

∞

является диффузией с мгновенным сред-

ним

µS

и дисперсией

, где

задаются равенствами (2.49), но

не является таким же дрейфом, что и в уравнении (2.48). Выразим ре-

зультат через стохастические дифференциалы

µSdt

. (2.51)

Хотя этот тип диффузии полезно рассматривать как предельный

случай экономики, в которой фирмы состоят из независимых единиц,

такая интерпретация необязательна. Другие формы причинности мо-

гут привести к тому же вероятностному описанию событий. Мы мо-

жем рассмотреть этот диффузионный процесс исключительно из-за

его собственных преимуществ при описании ситуации, в которой из-

менения состояний являются малыми и в которых дисперсия цен рас-

тет с увеличением цен на акции, но медленнее, чем в случае уравне-

ния (2.45), так чтобы дисперсия ставки доходности уменьшалась, а не

оставалась постоянной. Рассмотренный таким образом процесс может,

конечно, не отвергаться на основе априорной информации, а может во

многих ситуациях быть предпочтительнее, чем процесс (2.45). Следу-

ет заметить, что в отличие от (2.45) диффузионный процесс (2.51) по-

зволяет, чтобы

= 0, т. е. банкротство встречается с вероятностью

единица (даже в отсутствие выплат по акциям).

Другой интересной конкретизацией уравнения (2.47) является

случай, когда фирма состоит из зависи мых подразделений, как в

уравнении (2.46), так что интенсивность

и величина приращений –

константы. В таком случае

µSdt











→λ−







−→π

→λ

−−

,01

(2.52)

и мы совсем избавились от пропорциональности. Это является случа-

ем, когда стоимость растет эндогенно с экспоненциальной скоростью

, а суммарные экзогенные приращения стоимости размера

−

встречаются с интенсивностью

. Мы будем называть такой процесс

абсолютным

Локальные среднее и дисперсия абсолютного процесса даются

выражениями

{

} = {

µS

[

(

−

(

−

1)]}

{

} =

[

(

−

(

−

]

(2.53)

в случае, когда

является константой. Если

−

= 0, процесс характери-

зует ограниченную о тветственность, но если

−

> 0, имеется положи-

тельная вероятность того, что он приводит к дефолту. Поэтому для

сохранения ограниченной ответственности мы также должны конкре-

тизировать неотрицательный нижний барьер для

Вычислив диффу-

зионный предел в уравнении (2.52) так же, как в (2.50), получим

µSdt

σdW

, (2.54)

где

определяются формулами (2.53).

Таким образом, этот процесс характеризовал бы такую фирму,

приращения стоимости которой имеют постоянную дисперсию. Для

обеспечения ограниченной ответственности установим поглощающий

барьер в начале координат и будем считать (2.54) процессом, управ-

ляющим стоимостью акций до тех пор, пока этот уровень не будет

достигнут. При этом снова в течение любого периода времени имеется

положительная вероятность банкротства.

Чтобы получить стохастический дифференциал (2.51) достаточно

продемонстрировать, что обратное уравнение Колмогорова (см. § 9)

для функции переходной вероятности

х, у

(

) = рrob{

у |

процесса рождения и гибели (2.50) сходится к уравнению для диффу-

зии (2.51) при соответствующих рассуждениях предельного перехода.

Обратное уравнение для (2.50) имеет вид

− (∂P

х, у

∂t

) =

− λхP

х, у

λхπ

х+

∆

х, у

λхπ

−

∆

х, у

где

∆х = k

−

1 и

−

1 =

−∆х

Теперь, чтобы найти мгновенные среднее и дисперсию диффузи-

онного процесса (2.51), при переходе к пределу изменяем интенсивно-

сти при

∆х →

0 таким образом, чтобы

λх

(

∆х

)

λх

(

−

)

∆х

µx

или

(

∆х

)

λπ

= [

(

∆х

)

∆х]

/2,

λπ

−

= [

(

∆х

)

−

∆х]

/2.

Переходя к пределу при

∆х

→

0 в обратном уравнении, получаем

обратное уравнение для диффузии (2.51):

− (∂P

х, у

∂t

) =

− λхP

х, у

λхπ

х, у

(∂P

х, у

∂х

)

∆х

(∂

х, у

∂х

)(

∆х

)

]

λхπ

−

х, у

−

(∂P

х, у

∂х

)

∆х

(∂

х, у

∂х

)(

∆х

)

]

µ x(∂P

х, у

∂х

) +

x(∂

х, у

∂х

)/2.

Получение абсолютного процесса (2.54) с использованием абсо-

лютного скачка (2.52) примерно такое же, но в этом случае нам нужно

слагаемое дрейфа. Для абсолютного процесса (2.52) обратное уравне-

ние имеет вид

− (∂P

х, у

∂t

) =

− λхP

х, у

λхπ

х+

∆

х, у

λхπ

−

∆

х, у

µx(∂P

х, у

∂х

Используя предельный процесс

λπ

−

(

∆х

)

/2, можно по-

казать, как и выше, что обратное уравнение сходится к обратному

уравнению для абсолютного процесса (2.54):

− (∂P

х, у

∂t

) =

µx(∂P

х, у

∂х

) +

x(∂

х, у

∂х

)/2.

Производные можно взять эвристическими и только доказать

поточечную сходимость, хотя это может быть строго обобщено, что-

бы показать равномерную сходимость. Кроме того, необходимо доба-

вить, что поскольку

рассматривается как стоимость, мы в уравнения

(2.51) и (2.54) вводим поглощающий барьер при

= 0. Это показыва-

ет, что как в (2.51), так и в (2.54) положительное

будет стремиться к

нулю с положительной вероятностью.

§ 9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТОИМОСТИ ОПЦИОНОВ

ДЛЯ РАЗРЫВНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ

ПРОЦЕССОВ

Структуру обоснования хеджирования, используемую для полу-

чения формул определения стоимости опционов, можно проиллюст-

рировать в довольно общей постановке. Первым шаго м является вы-

бор конкретного стохастического процесса, управляющего изменени-

ем цен лежащего в основе актива, скажем, акции с ценой

. Предпо-

ложим, что можно записать случайное изменение

в дифференциаль-

ном виде как

(2.55)

Как и в примере § 8,

выбираются как функции текущего

состояния среды, которая для простоты предполагается определяемой

только переменными

. Считается, что (непредвиденное) стохасти-

ческое слагаемое

является или приращением винеровской диффу-

зии

, или единичной пуассоновской переменной

dπ

. Если

– пу-

ассоновское слагаемое, тогда интерпретируем

в уравнении (2.55)

как заданную величину случайного скачка.

Следующий шаг в наших рассуждениях – задание финансового

инструмента, стоимость которого зависит от

, скажем, опциона на

акцию, и предположим, что существует достаточно регулярная функ-

ция цены

(

), являющейся стоимостью опциона в момент времени

при условии, что цена акции в момент

равна

Введение такой

функции позволяет нам (при усл ов ии, что

– функции с

достаточно хорошим поведением в математическом смысле) получить

дифференциал изменения стоимости опциона в виде

Функции

теперь зависят от неизвестной функции

и из-

вестных значений

Если

следует единичному процессу Пуас-

сона, тогда

может рассматриваться как случайная функция, значе-

ния которой зависят от функции

и величины скачка

, но не обяза-

тельно пропорциональны

Экономические рассуждения, которые приводят к формуле для

определения цены опциона, основаны на наличии третьего актива, за-

рабатывающего деньги согласно безрисковой мгновенной процентной

ставке

, которую будем принимать постоянной ставкой для свобод-

ного взятия или дачи кредитов индивидуальными лицами. Мы также

предположим, что акция

может быть продана на короткий срок про-

давцом, получающим выручку, и что нет никаких расходов на сделки

и налоги. Наиболее важным предположением является то, что дея-

тельность агентов не может влиять на

или какие-либо цены.

При этих предположениях легко показать, что все безрисковые

активы должны зарабатывать согласно безрисковой процентной став-

ке

, чтобы предотвратить арбитраж.

Задачу о стоимости опциона при случайных скачках можно ре-

шить на более чем одно значение, как в процессе (2.50) рождения и

гибели, где

−

не равны нулю. Однако для того, чтобы сделать

это, требуется введение дополнительных акций для обеспечения ар-

гументов хеджирования, как это сделали Кокс и Росс (Cox, Ross,

1976), или использовать арбитражные рассуждения для получения

приближенной формулы, как в работе Мертона (Merton, 1990). Чтобы

избежать каждой из этих возможностей , в дальнейшем предположим,

что если

является процессом Пуассона, то скачки величиной

(и

) – неслучайные функции.

Из этого следует, что имеется хеджирующий портфель из акции

и ее опциона

такой, что

(

) +

(

) = 0,

или

(

) +

(

) = 0, (2.56)