Медведев Г.А. Математические основы финансовой экономики. Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
22
ловных моментов будут такими же, как и для безусловных моментов.
Поэтому
Е
k
−1
{
|ε
(
k
)
|
N
} =
о
(
h
) для
N
>
2
и
Е
k
−1
{
|
X
(
k
)
−
X
(
k
−
1)
|
N
} =
Е
k
−1
{
|ε
(
k
)
|
N
} +
о
(
h
N
/2
). (1.11)
Определим случайную величину
и
(
k
),
k
= 1,...,
n
, равенством
и
(
k
)
≡
ε
(
k
)
/
(
2
k
σ
h
)
1/2
где по построению
и
j
≡
ε
j
/
(
2
k
σ
h
)
1/2
=
О
(1),
j
= 1,...,
т
;
Е
k
−1
{
и
(
k
)} = 0;
Е
k
−1
{
и
2
(
k
)} = 1;
Е
k
−1
{
|
и
(
k
)
|
N
} =
О
(1) для
N
>
2.
Теперь равенство (1.7) можно переписать как
X
(
k
)
−
X
(
k
−
1) =
α
k
h
+
σ
k
и
(
k
)
h
1/2
,
k
= 1,...,
n
. (1.12)
Следовательно, когда непредвиденные изменения цены актива
являются исходами только типа I, динамика изменения цены может
быть записана как стохастическое разностное уравнение в виде (1.12),
где все явные случайные величины в правой части имеют порядок
О
(1) и поэтому не являются ни неограниченно малыми, ни неограни-
ченно большими в пределе при
h
→
0. Заметим, что в момент времени
k
−
1 единственной случайной величиной оказывается
u
(
k
), поэтому
равенство (1.12) называется условным стохастическим разностным
уравнением.
Вид уравнения (1.12) делает явным важное свойство, часто на-
блюдаемое для отдачи на актив, а именно: поскольку
α
k
,
σ
k
и
u
(
k
)
имеют порядок
О
(1), реализующаяся отдача на актив за очень корот-
кий интервал торговли будет полностью определяться его стохастиче-
ской составляющей
σ
k
и
(
k
)
h
1/2
. Например, сомнительно найти акцию с
годовыми стандартными отклонениями доходности между 15 и 20 %.
Это подразумевало бы, что изменения цены порядка 1 % за операци-
онный день нередки. Однако опыт показывает, что если ожидаемая
годовая ставка дохода на акцию имеет такой же порядок, как и его го-
довое стандартное отклонение, скажем, 15 %, то ожидаемая ставка до-
хода в операционный день будет иметь порядок 0,05 %, что является
незначительным по сравнению со стандартным отклонением. Конеч-
но, этот выбор неявно сделан раньше при обсуждении моментов, ко-
гда было показано, что с точностью до порядка малости
h
вторые цен-
тральные и нецентральные моменты
X
(
k
)
−
X
(
k
−
1) одинаковы. Одна-
23
ко из этого не следует, что в выборе оптимального портфеля даже при
непрерывной торговле инвестору следует пренебрегать различиями
между ожидаемыми отдачами акций. Значение имеют первый и вто-
рой моменты отдачи, которые, как было показано, являются величи-
нами одинакового порядка малости
О
(
h
).
Установив многие из существенных асимптотических свойств
для
X
(
k
)
−
X
(
k
−
1), получим характеристики распределений случай-
ных величин, которые сами являются функциями цен активов. Эти ха-
рактеристики распределений особенно важны для теории выбора
портфелей и определения цен финансовых производных (
contingent-
claims pricing
). Одним примером такой финансовой производной (
con-
tingent claim
) служит опцион-колл (
call option
) на обыкновенную ак-
цию (
common-stock
), который дает его владельцу право купить ука-
занное число долей акции по определенной цене в указанную дату или
до нее. Ясно, что цена опциона будет функцией цены лежащей в осно-
ве акции (
underlying stock
).
Пусть
F
(
t
) будет случайной величиной, заданной в соответствии
с правилом
F
(
t
) =
f
(
X
,
t
), если
X
(
t
) =
X
, где
f
является функцией из
C
2
с
ограниченными третьими частными производными. (Предположение
о том, что
f
имеет ограниченные третьи производные не существенно
при анализе, но просто делается для аналитического удобства.
Фактически все, что здесь требуется, – это то, что третьи производные
ограничены в малой окрестности
X
(
t
) =
X
.) Следуя соглашению, уста-
новленному для
X
(
t
), используем более краткую запись
F
(
k
) для
F
(
kh
)
и
f
[
X
(
k
),
k
] вместо
f
[
X
(
kh
),
kh
]
. Предположим, что мы рассматриваем
ситуацию в момент времени
k
−
1, и поэтому знаем значения процесса
X
(
k
−
1),
α
k
,
σ
k
и {
р
j
′
}, где
р
j
′
определяется как условная вероятность
того, что
u
(
k
) =
u
j
,
j
= 1,...,
т
, при фиксированной информации, дос-
тупной вплоть до момента времени
k
−
1. Обозначим через
Х
извест-
ное значение
X
(
k
−
1). Определим числа {
Х
j
} равенствами
Х
j
≡
Х +
α
k
h
+
σ
k
и
j
h
1/2
,
j
= 1,...,
т
. (1.13)
Для каждого значения
Х
j
можно использовать разложение Тейло-
ра для получения соотношения
f
(
Х
j
,
k
) =
f
(
Х
,
k
−
1) +
f
1
(
Х
,
k
−
1)(
α
k
h
+
σ
k
и
j
h
1/2
) +
f
2
(
Х
,
k
−
1)
h +
+
f
11
(
Х
,
k
−
1)(
α
k
h
+
σ
k
и
j
h
1/2
)
2
/2 +
R
j
,
j
= 1,...,
т
, (1.14)
24
где индексы обозначают частные производные по аргументу соответ-
ствующего номера, т. е.
f
1
(
Х
,
k
−
1)
≡
hktXx
x
txf
)1(,
),(
−==
∂
∂
,
f
2
(
Х
,
k
−
1)
≡
hktXx
t
txf
)1(,
),(
−==
∂
∂
,
а
R
j
определяется выражением
R
j
≡
f
22
(
Х
,
k
−
1)
h
2
/2 +
f
12
(
Х
,
k
−
1)(
α
k
h
+
σ
k
и
j
h
1/2
)
h
+
+
f
111
(
η
j
,
ζ
j
)(
Х
j
−
X
)
3
/6 +
f
112
(
η
j
,
ζ
j
)(
Х
j
−
X
)
2
h
/2 +
+
f
122
(
η
j
,
ζ
j
)(
Х
j
−
X
)
h
2
/2 +
f
222
(
η
j
,
ζ
j
)
h
3
/6,
где
η
j
≡
X +
θ
j
(
Х
j
−
X
) и
ζ
j
≡
(
k
−
1) +
ν
j
для некоторых
θ
j
и
ν
j
таких,
что 0
≤
θ
j
≤
1 и 0
≤
ν
j
≤
1.
Поскольку все третьи частные производные функции
f
ограниче-
ны и
и
j
=
О
(1),
j
= 1,...,
т
, то, подставляя
Х
j
из равенств (1.13) в (1.14),
для всяких
j
имеем
|
R
j
|
=
О
(
h
3/2
) =
о
(
h
),
j
= 1,...,
т
.
Заметив, что (
α
k
h
+
σ
k
и
j
h
1/2
)
2
=
σ
k
2
и
j
2
h
+
о
(
h
), представление
(1.14) можем переписать в виде
f
(
Х
j
,
k
) =
f
(
Х
,
k
−
1) +
f
1
(
Х
,
k
−
1)(
α
k
h
+
σ
k
и
j
h
1/2
) +
f
2
(
Х
,
k
−
1)
h +
+
f
11
(
Х
,
k
−
1)
σ
k
2
и
j
2
h
/2
+
о
(
h
),
j
= 1,...,
т
. (1.15)
Так как представление (1.15) имеет место для всякого
j
, мы мо-
жем приближенно описать динамику
F
(
k
) в виде условного стохасти-
ческого разностного уравнения с помощью соотношения
F
(
k
)
−
F
(
k
−
1) = {
f
1
(
Х
(
k
−
1),
k
−
1)
α
k
+ f
2
(
Х
(
k
−
1),
k
−
1) +
+
f
11
(
Х
(
k
−
1),
k
−
1)
2
k
σ
и
2
(
k
)/2}
h +
+ f
1
(
Х
(
k
−
1),
k
−
1)
σ
k
и
(
k
)
h
1/2
+
о
(
h
),
k
= 1,...,
n
, (1.16)
где равенство (1.16) является условным при фиксированных
Х
(
k
−
1),
α
k
и
σ
k
.
25
Формальное применение оператора условного математического
ожидания
Е
k
−1
к обеим сторонам равенства (1.16) приводит к такому
же результату, что и строгая операция умножения обеих сторон ра-
венства (1.15) на
р
j
′
и затем суммирование по
j
= 1,...,
т
. Замечая, что
производные функции
f
в правой части равенства (1.16) оцениваются
при
X
(
k
−
1) и поэтому являются нестохастическими в момент време-
ни
k
−
1, для
k
= 1,...,
n
имеем
Е
k
−1
{
F
(
k
)
−
F
(
k
−
1)} = {
f
1
(
Х
(
k
−
1),
k
−
1)
α
k
+ f
2
(
Х
(
k
−
1),
k
−
1) +
+
f
11
(
Х
(
k
−
1),
k
−
1)
2
k
σ
/2}
h +
о
(
h
).
(1.17)
Определим
µ
k
≡
Е
k
−1
{
F
(
k
)
−
F
(
k
−
1)}/
h
, что является условным
математическим ожиданием изменения
F
за единицу времени, и из
(1.17) получим для него выражение при
k
= 1, ...,
n
µ
k
= {
f
1
(
Х
(
k
−
1),
k
−
1)
α
k
+ f
2
(
Х
(
k
−
1),
k
−
1) +
+
f
11
(
Х
(
k
−
1),
k
−
1)
2
k
σ
/2
}
+
о
(1).
(1.18)
Подобно
α
k
,
µ
k
=
О
(1) и с точностью до этого порядка малости
полностью определяется только через
X
(
k
−
1) и первые два момента
изменения процесса
X.
Используя выражение (1.18), равенство (1.16) можно переписать
в виде
F
(
k
)
−
F
(
k
−
1) =
µ
k
h
+
f
11
(
Х
(
k
−
1),
k
−
1)
2
k
σ
[
и
2
(
k
)
−
1
]
h
/2
+
+ f
1
(
Х
(
k
−
1),
k
−
1)
σ
k
и
(
k
)
h
1/2
+
о
(
h
). (1.19)
Из равенства (1.19) следует, что с точностью до членов порядка
малости
h
условное стохастическое разностное уравнение для разно-
сти
F
(
k
)
−
F
(
k
−
1) имело бы почти такой же вид, что и уравнение
(1.12) для
X
(
k
)
−
X
(
k
−
1), если бы не дополнительное стохастическое
слагаемое порядка
О
(
h
). Аналогичными рассуждениями, как и при об-
суждении уравнения (1.12), выясняется, что реализующееся измене-
ние
F
на очень коротком интервале времени полностью доминируется
стохастическим слагаемым
f
1
(
Х
(
k
−
1),
k
−
1)
σ
k
и
(
k
)
h
1/2
. Действительно,
с помощью равенства (1 .19) можно записать условные моменты для
F
(
k
)
−
F
(
k
−
1) как
Е
k
−1
{[
F
(
k
)
−
F
(
k
−
1)]
2
} = {
f
1
(
Х
(
k
−
1),
k
−
1)
σ
k
}
2
h
+
о
(
h
) (1.20)
и
Е
k
−1
{[
F
(
k
)
−
F
(
k
−
1)]
N
} =
О
(
h
N
/2
) =
о
(
h
),
N
> 2. (1.21)
26
Таким образом, соотношение порядков малости для условных
моментов
F
(
k
)
−
F
(
k
−
1)
точно такое же, что и для условных моментов
приращений
X
(
k
)
−
X
(
k
−
1), и стохастическое слагаемое порядка ма-
лости
О
(
h
) делает незначительным вклад моментов
F
(
k
)
−
F
(
k
−
1).
Оказывается, что не только соотношения между порядками ма-
лости самих моментов приращений
F
и
X
одинаковые, но и смешан-
ные моменты одновременных приращений имеют одинаковые соот-
ношения порядков малости. Действительно, из равенств (1.12) и (1.19)
имеем
Е
k
−1
{[
F
(
k
)
−
F
(
k
−
1)]
[
X
(
k
)
−
X
(
k
−
1)
]
} =
= {
f
1
(
Х
(
k
−
1),
k
−
1)
σ
k
}
2
h
+
о
(
h
) (1.22)
и
Е
k
−1
{[
F
(
k
)
−
F
(
k
−
1)]
j
[
X
(
k
)
−
X
(
k
−
1)
]
N
−
j
} =
=
О
(
h
N
/2
) =
о
(
h
),
j
= 1,...,
N
,
N
> 2. (1.23)
Хотя формулы (1.22) и (1.23) определяют нецентральные взаим-
ные моменты, разность между центральными и нецентральными вза-
имными моментами будет иметь порядок
о
(
h
), и поэтому они взаимо-
заменяемы при использовании. Например, взаимная ковариация при-
ращений
F
и
X
будет отличаться от правой части равенства (1.22) ве-
личиной
−µ
k
α
k
h
2
=
о
(
h
).
Наконец, мы имеем довольно сильный результат, что с то чно-
стью до членов порядка малости
h
одновременные приращения
F
и
X
полностью коррелированы. Таким образом, если определить
ρ
k
как
условный коэффициент корреляции между одновременными измене-
ниями
F
и
X
за единицу времени, то из выражений (1.20) и (1.22) по-
лучим
ρ
k
=
<−−+−
>−−+
.0]1),1([если),1(1
;0]1),1([если),1(1
1
1
kkXfо
kkXfо
Следовательно, даже если
F
является нелинейной функцией
X
, то
их мгновенные одновременные изменения за очень короткий проме-
жуток времени будут полностью коррелированы.
Показав, что стохастическое слагаемое порядка
О
(
h
) вносит не-
значительный вклад в изменение
F
за очень короткий интервал вре-
мени, исследуем его вклад в приращение
F
за конечный, а необяза-
27
тельно короткий интервал времени. Определим случайную величину
G
(
t
) равенством
G
(
k
)
−
G
(
k
−
1)
≡
F
(
k
)
−
F
(
k
−
1)
−
µ
k
h
−
−
f
1
(
Х
(
k
−
1),
k
−
1)
σ
k
и
(
k
)
h
1/2
,
k
= 1,...,
n
. (1.24)
Таким образом,
G
(
k
)
−
G
(
k
−
1 ) является величиной случайной
ошибки при аппроксимации приращения
F
(
k
)
−
F
(
k
−
1) с помощью
выражения
µ
k
h
+
f
1
σ
k
и
(
k
)
h
1/2
.
Если мы определим
у
(
k
)
≡
f
11
(
Х
(
k
−
1),
k
−
1)
2
k
σ
[
и
2
(
k
)
−
1
]
/2,
тогда из равенства (1.19) тождество (1.24) можно переписать как
G
(
k
)
−
G
(
k
−
1) =
у
(
k
)
h
+
о
(
h
),
k
= 1,...,
n
. (1.25)
По построению
Е
k
−1
{
у
(
k
)} = 0, поэтому
Е
k
−
j
{
у
(
k
)} = 0,
j
= 1,...,
k
.
Следовательно, частичные суммы
∑
n
ky
1
)(
образуют мартингал. По-
скольку
(
)
2
1
2
0
)(
kkyE
n
∑
<
∞
при
n
→ ∞
, из закона больших чисел
для мартингалов следует, что
=
∑∑
==
n
k
n
k
ky
n
Tkyh
11
)(
1
lim)(lim
→
0 при
n
→ ∞
. (1.26)
Из равенства (1.25) для фиксированного
T
(
≡
nh
) > 0
G
(
T
)
−
G
(0) =
h
∑∑
==
+
n
k
n
k
hоky
11
)()( =
h
)1()(
1
oky
n
k
+
∑
=
. (1.27)
При вычислении предела (1.27) при
n
→ ∞
(
h
→
0) из предельного
соотношения (1.26) имеем, что
G
(
T
)
−
G
(0)
→
0. То есть накопленная
ошибка аппроксимации стремится к нулю с вероятностью единица.
Следовательно, для
T
> 0 из определения (1.24) имеем, что при
переходе к непрерывному времени (т. е. при
h
→
0)
F
(
T
)
−
F
(0) =
∑
−−
n
kFkF
1
)]1()([ =
∑
=
µ
n
k
k
h
1
+
+
∑
=
σ−−
n
k
k
hkukkXf
1
21
1
)(]1),1([ (1.28)
28
с вероятностью единица. Таким образом, при переходе к непрерывно-
му времени стохастический член порядка
О
(
h
) в представлении (1.19)
будет давать незначительный вклад в изменение
F
на конечном ин-
тервале времени.
Естественно интерпретировать предельные суммы в равенстве
(1.28) как интегралы. Для каждого
k
,
k
= 1,...,
n
, определим
t
≡
kh.
С помощью обычных рассуждений при переходе к пределу для рима-
новских интегралов
∫
∑
µ=
µ
=
∞→
T
n
k
k
n
dtth
0
1
,)(lim (1.29)
где
µ
(
t
)
−
предел величины
µ
k
при переходе к непрерывному времени
и называется мгновенным условным математическим ожиданием из-
менения
F
за единицу времени при заданной информации, доступной
до момента времени
t
.
Конечно, из-за коэффициента
h
1/2
вторая сумма не будет удовле-
творять обычным римановским интегральным условиям. Однако фор-
мально мы можем продолжить и определить стохастический интеграл
как предельную сумму, задаваемую равенством
σ−−
∑
=
∞→
n
k
k
n
hkukkXf
1
21
1
)(]1),1([lim
≡
,))(()(]),([
0
21
1
∫
σ
T
dttutttXf
где обозначение (
dt
)
1/2
используется, чтобы отличить этот интеграл от
обычного интеграла Римана в формуле (1.29).
Следовательно, из представления (1.28) мы имеем, что изменение
F
между 0 и
T
может быть записано в виде
F
(
T
)
−
F
(0) =
∫∫
σ+µ
TT
dttutttXfdtt
0
21
1
0
))(()(]),([)( , (1.30)
где равенство (1.30) выполняется с вероятностью единица.
Задав это стохастическое интегральное представление для изме-
нения
F
на конечном интервале времени, мы формально продолжим
анализ, чтобы определить стохастический дифференциал для
F
:
dF
(
t
) =
µ
(
t
)
dt
+
f
1
[
X
(
t
),
t
]σ
(
t
)
u
(
t
) (
dt
)
1/2
, (1.31)
29
где запись в форме дифференциала
dF
используется вместо обычного
обозначения производной по времени
dF/dt
, чтобы подчеркнуть ранее
полученный результат, что почти всюду выборочные траектории не
дифференцируемы в обычном смысле.
По аналогии с разностными уравнениями (1.12) и (1.19) равен-
ство (1.31) может интерпретироваться как условное стохастическое
дифференциальное уравнение при фиксированной информации, дос-
тупной вплоть до момента времени
t
, и включающей
µ
(
t
),
X
(
t
) и
σ
(
t
),
но, конечно, не процесс
u
(
t
), который является источником случайно-
го изменения
F
от
F
(
t
) к
F
(
t
+
dt
). При формальном вычислении пре-
дельного выражения равенства (1.19) для
h
→
dt
и при пренебрежении
членами порядка
o
(
dt
) кажется, что равенство (1.31) не учитывает
члены порядка
О
(
dt
), а именно
f
11
(
Х
(
k
−
1),
k
−
1)
2
k
σ
[
и
2
(
k
)
−
1
]
dt
/2
.
Од-
нако, как было показано, вклад этого стохастического члена порядка
О
(
dt
) в значения моментов приращения
dF
на интервале бесконечно
малой длительности
dt
равен
o
(
dt
), и на конечном интервале он исче-
зает согласно закону больших чисел. Следовательно, с вероятностью
единица распределение процесса, задаваемого уравнением (1.31), не-
отличимо от распределения процесса с включением дополнительного
стохастического члена порядка
О
(
dt
). Хотя
µ
(
t
)
dt
имеет такой же по-
рядок малости, как и стохастический член порядка
О
(
dt
), которым мы
пренебрегли, им пренебрегать нельзя на инфинитезимальном интер-
вале, поскольку он является первым моментом приращения
F
, имею-
щим тот же порядок, что и второй момент. Им нельзя пренебрегать на
конечном интервале [0,
T
], потому что в отличие от стохастической
составляющей порядка
О
(
dt
) частичные суммы
µ
k
dt
не образуют мар-
тингал, и закон больших чисел не применим.
Соответствующие стохастические интегральное и дифференци-
альное представления для динамики
X
(
t
) могут быть записаны непо-
средственно из представлений (1.30) и (1.31) путем простого выбора
f
(
X
,
t
) =
X
, а именно из равенства (1.30) получим
X
(
T
)
−
X
(0) =
∫∫
σ+α
TT
dttutdtt
0
21
0
))(()()( (1.32)
и
dX
(
t
) =
α
(
t
)
dt
+
σ
(
t
)
u
(
t
) (
dt
)
1/2
, (1.33)
где стохастическое слагаемое порядка
О
(
dt
), которым пренебрегаем,
тождественно равно нулю, поскольку
f
11
≡
0.
30
В ходе проведенного анализа единственными ограничениями на
распределение
u
(
t
) были следующие: a)
E
{
u
(
t
)} = 0; б)
E
{
u
2
(
t
)} = 1;
в)
u
(
t
) =
О
(1) и г) распределение для
u
(
t
) дискретно. Ограничения a) и
б) являются чисто конструктивными, а в) и г) можно ослабить, чтобы
сделать допустимыми наиболее удобные для анализа непрерывные
распределения, в том числе с неограниченной областью определения.
В частности, не предполагалось, что {
u
(
t
)} были или одинаково рас-
пределены, или взаимн о независимы. Однако чтобы развивать анализ
далее, требуется дополнительное экономическое предположение.
Предположение 1.6.
Случайный процесс
X
(
t
) является процес-
сом Маркова. Другими словами, распределение условной вероятности
для будущих значений
X
при фиксированном его значении в момент
времени
t
зависит только от текущего значения
X
, и включение даль-
нейшей информации, имеющейся до этой даты, не будет изменять ус-
ловную вероятность.
Хотя предположение 1.6 может показаться довольно ограничи-
тельным, многие процессы, которые являются формально не марков-
скими, могут быть преобразованы в марковские методом расширения
пространства состояний, и поэтому
предположение 1.6 можно осла-
бить, сказав, что условные вероятности
Х
зависят только от конечного
объема прошлой информации. На основании предположения 1.6 мож-
но написать условные плотности вероятностей для
X
(
T
) =
X
в момент
T
при фиксированном
X
(
t
) =
х
в виде
р
(
x
,
t
)
≡
p
(
x
,
t
;
X
,
T
) = prob{
X
(
T
) =
X
|
X
(
t
) =
x
},
t
<
T
,
(1.34)
где аргументы
X
и
T
опускаются в связи с тем, что они будут считать-
ся фиксированными.
Для фиксированных
X
и
T
функция
p
[
X
(
t
),
t
]
, рассматриваемая в
моменты времени до даты
t
, – случайная величина, которая является
функцией цены актива в момент времени
t
. Поэтому при условии, что
p
– функция
x
и
t
, удобная для анализа, она будет удовлетворять всем
свойствам, предварительно полученным для
F
(
t
). В частности, при пе-
реходе к непрерывной торговле
dp
будет удовлетворять уравнению
(1.31), где
µ
(
t
) – условное математическое ожидание изменения
р
за
единицу времени. Однако
p
– это плотность вероятности, и поэтому
математическое ожидание ее изменения равно нулю. Вычисление
предела в равенстве (1.18) при
h
→
0 и применение условия
µ
(
t
) = 0
дает, что
0 =
σ
2
(
x
,
t
)
p
11
(
x
,
t
)/2 +
α
(
x
,
t
)
p
1
(
x
,
t
) +
p
2
(
x
,
t
), (1.35)
31
где индексы при
p
обозначают частные производные.
Кроме того, в соответствии с марковским предположением 1.6
α
(
t
) и
σ
2
(
t
) являются, самое большее, функциями
х
(
t
) и
t
. Следователь-
но, мы делаем эту зависимость явной, переписывая функции соот-
ветственно как
α
(
x
,
t
) и
σ
2
(
x
,
t
). Анализ равенства (1.35) показывает,
что это линейное дифференциальное уравнение в частных производ-
ных параболического типа (оно называется обратным уравнением
Колмогорова). Поэтому при выполнении граничных условий уравне-
ние (1.35) полностью определяет переходную плотность вероятностей
для цены актива. Следовательно, при переходе к непрерывной торгов-
ле достаточно знать только функции
α
(
x
,
t
) и
σ
2
(
x
,
t
), чтобы опреде-
лить распределение вероятности изменений цен активов между лю-
быми двумя датами.
Отсюда следует, что единственными характеристиками распре-
делений {
u
(
t
)}, которые влияют на асимптотическое распределение
для цены актива, являются первый и второй моменты, а по построе-
нию они постоянные во времени. То есть если бы не требования мас-
штабирования на первые два момента, характеристики распределения
{
u
(
t
)} могли бы быть выбраны практически произвольно без какого-
либо влияния на асимптотическое распределение для цены актива.
Следовательно, при переходе к непрерывной торговле ничто из эко-
номического содержания не будет потеряно, если принять, что {
u
(
t
)}
независимы и одинаково распределены, поэтому для оставшейся час-
ти данного параграфа мы примем такое предположение. Следует от-
метить, что это не означает, что такие же свойства имеют приращения
X
(
t
) или
F
(
t
). Действительно, если
α
(
t
) или
σ
2
(
t
) является функцией
X
(
t
), тогда приращения
X
(
t
) не будут ни независимыми, ни одинаково
распределенными.
Определим
W
(
t
) как случайную величину, изменение которой во
времени описывается стохастическим разностным уравнением, анало-
гичным уравнению (1.12), но с
α
k
≡
0 и
σ
k
≡
1,
k
= 1,...,
n
. Другими сло-
вами, условное математическое ожидание приращения
W
(
t
) за едини-
цу времени является нулевым, и условная дисперсия этого прираще-
ния за единицу времени равна 1. Поэтому
W
(
T
)
−
W
(0) =
∑
=
−−
n
k
kWkW
1
)]1()([ =