Медведев Г.А. Математические основы финансовой экономики. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

152

кретной мотивации общей теории делается акцент на единственную

экономическую проблему, которую мы называем полнотой рынка.

Формула определения цены опционов

Пусть

= {

; 0

≤

} будет процессом стандартного (с нуле-

вым дрейфом и единичной дисперсией) броуновского движения на

некотором вероятностном пространстве (

Ω

), а

−

число-

вые константы с

> 0. Естественно предполагать, что в рассматри-

ваемом случае

> 0, но это ограничение не является необходи-

мым. Теперь определим

≡

exp (

), 0

≤

, (4.1)

≡

exp (

σW

+ (

−

/2)

), 0

≤

, (4.2)

где начальные ценности

−

положительные константы.

Такие обозначения используется во всей главе. Временной пара-

метр процесса дается нижним индексом, а компоненты векторного

процесса цены актива

– верхним индексом

= 0, 1,…,

. Различие

между верхним индексом и показателем степени будет всегда ясно из

контекста. Интерпретируем

как цену безрисковой облигации в мо-

мент времени

при соответствующей безрисковой процентной ставке

(

risklеss intеrеst rаtе

)

. Интерпретируем

как цену во время

за ак-

цию (

shаrе

) акционерного капитала (

stосk

), за которую не выплачива-

ется никаких дивидендов. В более общем смысле мы могли бы назы-

вать

соответственно процессами цен для безрисковых активов

(

risklеss sесurity

) и рисковых активов (

riskу sесurity

). Для наших целей

единица актива

может рассматриваться просто как ЦБ, которую

можно обменять на

денежных единиц в любое время

(

= 0, 1).

Рыночная стоимость облигации экспоненциально растет при ставке

в то время как рыночная стоимость акции флуктуирует случайно.

Применяя формулу Ито к равенствам (4.1) и (4.2), заметим, что

наши ценовые процессы

удовлетворяют стохастическим диф-

ференциальным уравнениям

r S

, (4.3)

dt + σ

. (4.4)

153

Уравнения (4.2) и (4.4) можно переформулировать, говоря, что

является геометрическим броуновским движением со

ставкой доход-

ности

(

rаtе оf rеturn

)

µdt + σdW

. Эта терминология нестро-

гая, так как

недифференцируемое, и в тексте главы мы будем про-

сто называть

µt + σW

процессом доходности акции

(

return process

Рассмотрим инвестора, действующего на рынке ЦБ, где торгуют

этой акцией и этой облигацией. Предположим, инвестору разрешается

торговать непрерывно, на этом рынке нет никаких операционных за-

трат (таких, как выплаты брокерам) и инвестор может продавать ко-

ротко без ограничения (см. ниже). С учетом этих предположений, го-

ворим, что такой рынок является

невязким

(

friсtiоnlеss

) рынком с не-

прерывной торговлей. Теперь рассмотрим бумагу, которая дает право

ее предъявителю покупать одну долю акции в дату погашения

, если

он желает, за установленную цену

долларов. Такая бумага – это ев-

ропейский опцион-колл на акцию с

ценой исполнения

(

ехеrсisе рriсе

)

сроком истечения

(

ехрirаtiоn dаtе

)

. Если

(в момент истече-

ния цена акции ниже цены исполнения), тогда предъявитель бумаги

не будет исполнять свой опцион, т. е. покупать акцию, и эта бумага

ничего не будет стоить в момент истечения. Но если

≥

, предъя-

витель может купить одну долю акции за

денежных единиц, затем в

свою очередь продать ее за

долларов, получая прибыль

−

. Та-

ким образом, мы видим, что опцион-колл полностью эквивалентен

бумаге, которая дает право предъявителю на получение

= (

−

)

денежных единиц в дату

Теперь уместен вопрос: сколько денежных единиц хотел бы за-

платить инвестор за такую бумагу в нулевой момент времени? Или

по-другому: какова стоимость опциона? Из общих соображений ка-

жется совершенно разумным, что разные люди могли бы давать раз-

личные ответы в зависимости от их отношения к риску, так как при-

обретение колла, бесспорно, является рисковой инвестицией. Но Блэк

и Шоулс нашли, что имеется

единственная

рациональная стоимость

опциона независимо от отношения к риску. Конкретно, если опреде-

лить

(

) =

Ф (

(

))

−

cе

−

Ф (

(

)), (4.5)

где

(

) = [ln (

) + (

/2)

]

/σ

(

) =

(

)

−

154

и Ф(.)

−

стандартная нормальная функция распределения, то этой

единственной рациональной стоимостью является

(

). Заметим,

что в формуле стоимости (4.5) используются текущая цена акции

дата истечения

, цена исполнения

, дисперсия доходности

и без-

рисковая процентная ставка

, но не содержится средней ставки до-

ходности акции

Обоснование, данное Блэком и Шоулсом при выводе формулы

стоимости опциона, не полностью удовлетворительно в математиче-

ском плане, поэтому в литературе по финансовой экономике появи-

лись другие подходы. Фактически обоснование формулы определения

стоимости опционов превратилось в направление исследований. Луч-

шим из них признается подход Мертона, который был представлен в

гл. 2.

Теория портфеля и определение

стоимости опциона

Легко проверить, что функция

(

), определяемая по формуле

(4.5), удовлетворяет дифференциальному уравнению

),(

),(),(

),(

txrf

txf

−

∂

σ=

∂

(4.6)

с начальным условием

(

, 0) = (

−

)

. (4.7)

Фактически Блэк и Шоулс получили свою формулу определения

стоимости опциона, решая уравнение (4.6) с условием (4.7). Теперь

определим стохастические процессы:

(

−

), 0

≤

, (4.8)

x∂

∂

(

−

), 0

≤

, (4.9)

= (

−

) /

, 0

≤

. (4.10)

Векторный процесс

= (

) интерпретируется как стратегия

торговли, с конкретизацией числа

единиц актива

, которым вла-

155

деют в момент времени

. Предположим, что

является портфелем

ЦБ, которым владеют в момент времени

. Из равенства (4.10) видим,

что рыночная стоимость портфеля, которым владеют в момент време-

ни

, равна

, 0

≤

Таким образом, используя равенства (4.7) и (4.8), получаем на-

чальную стоимость портфеля

(

), а стоимость портфеля при

погашении

(

, 0) = (

−

)

в точности равна стоимости оп-

циона-колл в момент погашения. Наконец, применяя формулу Ито к

представлению (4.8), получаем

x∂

∂

(

−

)

x∂

∂

(

−

)(

)

t∂

∂

(

−

)

dt.

(4.11)

Используя соотношения (4.3), (4.4), (4.6) и (4.8)

−

(4.10), в конеч-

ном счете ур авнение (4.11) сводим к виду

. (4.12)

Точная интегральная форма (4.12) имеет вид

−

∫∫

ϕ+ϕ

dSdS

≤

. (4.13)

Правая сторона равенства представляет полный доход, или при-

быль капитала, которую инвестор реализует с помощью своих активов

к моменту времени

(см. § 3). Таким образом, форма (4.13) свидетель-

ствует о том, что все изменения стоимости портфеля инвестора обяза-

ны прибыли капитала в противоположность изъятию наличных денег

или вливанию новых фондов. На языке гл. 3

−

это стратегия самофи-

нансирования, что завершает мотивировку формулы определения

стоимости (4.5).

Зафиксируем стратегию торговли, которая требует начальной ин-

вестиции

(

), и после этого построим точно такую же модель

потоков платежей, как у опциона-колл. Это означает, что опцион вос-

156

производим (

аttаinаblе

) на рассматриваемом рынке с ценой

в нуле-

вой момент времени портфелем только из акции и облигации. В эко-

номической литературе общепринято идти далее, рассуждая, что ар-

битражная прибыль могла быть сделана, если опционы были проданы

на параллельном рынке по какой-либо цене, другой, чем

, и что су-

ществование арбитражных возможностей противоречит равновесию в

полной экономической системе. Для получения содержательной ма-

тематической теории остановимся на утверждении воспроизводимо-

сти. В этой главе мы рассматриваем изолированный рынок, на кото-

ром торгуют определенными ЦБ, принимая, что никакие арбитражные

возможности не существуют внутри этого рынка (см. § 2). Мы стре-

мимся характеризовать класс финансовых производных, которые дос-

тижимы для инвесторов, и цены, по которым они могут быть воспро-

изводимы, только с помощью названных ЦБ. Например, при рассмот-

рении оценочной формулы (4.5) мы сосредоточили внимание на рын-

ке, где торгуют только акциями и облигациями, и обнаружили, что

инвесторы могут воспроизводить опционы-колл для себя на этом

рынке по цене, определяемой по формуле (4.5).

В заключение вернемся к предположению о неограниченных ко-

ротких продажах. С точки зрения нашей формальной теории это про-

сто означает, что любая составляющая портфеля

может быть отри-

цательной. Короткая продажа облигации соответствует заимствова-

нию (а не аренде) денег по безрисковой процентной ставке

. Для ча-

стной торговой стратегии

, определяемой соотношениями (4.9) и

(4.10), можно проверить, что

являются положительными, но

может быть отрицательным. Таким образом, чтобы дублировать поток

платежей опциона-колл, инвестор всегда будет обладать положитель-

ной суммой акционерного капитала, но, возможно, ему надо будет

финансировать приобретение части акций инвестора путем безриско-

вого заимствования (коротко продавая облигации). В частности, фор-

мула (4.5) определения стоимости опциона-колл фактически не требу-

ет предположения, что акцию можно продать коротко без ограниче-

ния, но короткая продажа акции может потребоваться, чтобы воспро-

изводить потоки платежей других типов опционов. Объяснение ко -

ротких продаж можно найти в книге У. Шарпа (1978).

Полнота рынка

Выше мы обосновали формулу определения стоимости (4.5) без

предположений, при которых она была выведена впервые. Получение

формулы, или точнее наш подход к ее получению, будет рассмотрен в

157

§ 5, где мы также покажем, что результат предыдущего подпараграфа

о воспроизводимости может быть существенно обобщен. Дело в

следующем. Пусть

= F

{

; 0

≤

}

означает, что

состоит из всех событий, чье появление или непояв-

ление может быть определено по характеру изменения цены акции до

момента времени

. Определим финансовую производную или зави-

симую выплату (

соntingеnt сlаim

) как неотрицательную случайную

переменную

, измеримую относительно

(в дальнейшем будем пи-

сать

∈ F

). Такое определение является нашим формальным пред-

ставлением для актива, дающего право предъявителю на оплату в мо-

мент времени

, размер которой зависит (произвольным способом) от

эволюции цены до

. Конечно, данное определение можно расширить,

чтобы рассмотреть выплаты в другие моменты времени, но это ус-

ложнит обозначения. Для европейского опциона-колл, рассмотренно-

го выше,

= (

−

)

. Обобщая упомянутые ранее идеи, можно ска-

зать, что зави симая выплата

достижима при цене

на нашем рынке

ЦБ, если почти наверное существует самофинансирующая торговая

стратегия

с соответствующим процессом рыночной стоимости

та-

ким, что

. Чтобы сделать это строгим, конечно, потре-

буется общее определение стратегии самофинансирования (и связан-

ного с ней процесса стоимости), но мы полагаем, что смысл определе-

ния ясен. Замечательное свойство описанной диффузионной модели –

это то, что каждая зависимая выплата достижима, и можно даже запи-

сать общую (точнее, абстрактную) формулу определения стоимости

для цены

, связанной с данной выплатой

. Формула определения

стоимости имеет вид

= exp (

−

)

), (4.14)

где

*(.)

−

оператор математического ожидания, связанный с (очень

специфической) вероятностной мерой

на (

Ω

). Мера

эквива-

лентна

, т. е.

(

) = 0, если и только если

(

) = 0 (две меры имеют

те же нулевые множества). Формула Блэка

−

Шоулса (4.5) является

частным случаем выражения (4.14).

Нестрого принимая стандартные термины экономической теории,

будем говорить, что модель рынка ЦБ полная, если каждая зависимая

выплата воспроизводима. (В § 3 дано строгое определение.) Полнота

158

модели Блэка

−

Шоулса, в несколько ином смысле, и общая формула

определения стоимости (4.14) была доказана в гл. 3.

Важной и интересной особенностью модели Блэка

−

Шоулса яв-

ляется ее полнота, а не тот факт, что она дает явную формулу

определения стоимости (4.5) опциона-колл. Мы принимаем эту точку

зрения в гл. 4, исследуя структурные особенности различных моделей,

не проводя расчетов в явной форме. (Хотя в конце главы даются

расчеты, которые иллюстрируют практичность подхода.) С этой точки

зрения следующий вопрос является как естественным, так и

фундаментальным

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Предположим, что рассмотренный векторный про-

цесс цены заменен некоторым другим положительным

векторным процессом

= {

; 0

≤

}

с сохранением

без изменений всех других предположений и определе-

ний. Какие процессы S дают полный рынок?

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

–

(4.15)

Значительная доля нашего внимания уделяется этому вопросу.

Рассуждения будем доводить до степени, когда проблема приобретет

строгую математическую форму, после чего она сведется к эквива-

лентной задаче из теории мартингалов.

Сделаем два наблюдения. Во-первых, отметим, что для полноты

рынка не является ни необходимым, ни достаточным то, что процесс це-

ны

имеет непрерывные выборочные траектории. В частности, воспро-

изводимость опциона-колл в описанной модели требует намного боль-

ше, чем непрерывность процесса цены акции, хотя, конечно, принятые

точные предположения о распределении можно осла бить (пример рас-

смотрен в § 6). Во-в торых, марковское свойство совершенно не соответ-

ствует вопросу, сформулированному в предположении (4.15). Фактиче-

ски может быть сделано более сильное ут верждение .

Рассмотрим рыночную модель, в которой процесс цены активов

определен на некотором вероятностном пространстве (

Ω

). Те-

перь рассмотрим вторую модель, идентичную предыдущей во всех

отношениях, за исключением того, что

заменена на эквивалентную

вероятностную меру

. Тогда зависимая выплата будет воспроизво-

димой при цене

в первой модели, если и только если она воспроиз-

водима при той же цене во второй модели. Следовательно, первая мо-

дель полная, если и только если полная вторая. Эти утверждения не

могут быть очевидны, так как точные определения не давались, но бу-

159

дем надеяться, что они, по крайней мере, правдоподобны в этом мес-

те. Сформулируем утверждение по-другому, когда для решения во-

проса (4.15) уместны только нулевые множества распределения

. При

выяснении, является ли каждая зависимая выплата, получаемая из

достижимой на рынке, нас интересуют только такие множества выбо-

рочных траекторий, которые либо имеют, либо не имеют положитель-

ной вероятности. Таким образом, сведения из теории вероятности, не-

обходимые для ответа на вопрос (4.15),

−

это результаты, обеспечи-

вающие инвариантность при переходе к эквивалентной мере.

Вероятностная постановка

Прежде чем строго сформулирвать вопрос полноты (4.15), нужно

иметь общую модель рынка с непрерывной торговлей. Опишем ми-

нимальную структуру модели , необходимую для изучения ее полно-

ты, опуская некоторые особенности теории, фактически разрабаты-

ваемой позже. Наша первая задача состоит в том, чтобы решить сле-

дующие проблемы построения модели.

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Какой класс векторных процессов S мог бы очевидно

использоваться, чтобы представить флуктуации це-

ны ЦБ?

Как следует определить торговую стратегию вообще

и каким является надлежащее определение самофи-

нансирующей стратегии?

(4.16)

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Для простоты рассмотрим только процессы цены

exp (

предполагая, что безрисковая процентная ставка является и детерми-

нированной, и постоянной. Пусть

= exp (

−rt

) и

назовем

внутрен-

ним дисконтированным

процессом

(

intrinsic discount process

)

для

Будет показано, что если требуется построить внутренне последова-

тельную теорию, то нужно рассматривать только тако й процесс цены

, чтобы

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

дисконтированный векторный процесс цен

βS

являлся

мартингалом по некоторой вероятностной мере

эквивалентной

(4.17)

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Именно эта

, называемая иногда

эталонной мерой

(

rеfеrеnсе

mеаsиrе

), входит в общую формулу определения стоимости (4.14).

Последствием требования (4.17) является то, что

должен быть так

160

называемым

полумартингалом

, и у нас, к счастью, есть в наличии хо-

рошо развитая теория, имеющая дело с заменой меры для полумар-

тингалов. Эта теория, которая развилась из теоремы Гирсанова (1960)

для процессов Ито, является строгой, что необходимо для проверки

или опровержения условия (4.17) в любой заданной модели.

Обратившись к проблеме моделирования (4.16), определим тор-

говую стратегию

как предсказуемый векторный процесс. Опреде-

лим прибыль капитала согласно стратегии

как стохастический инте-

грал от

относительно векторного процесса цены

, а затем – страте-

гию самофинансирования точно так же, как в соотношении (4.13). По-

скольку процесс цены – полумартингал, то в наличии имеется необхо-

димая общая теория стохастического интегрирования. Наконец, нахо-

дим, что наша модель полная, если и только если каждый процесс, ко-

торый является мартингалом при

, может быть записан как стохас-

тический интеграл относительно процесса

βS

в условии (4.17). На

языке теории мартингалов модель полна, если и только если

βS

имеет

свойство мартингального представления при нашей эталонной мере

Сказанное предназначено, чтобы предположить, что современ-

ная теория мартингалов и стохастических интегралов обеспечивает

строго математическую структуру, необходимую для теории непре-

рывной торговли. Поскольку такой подход интенсивно развивается,

появится больше общих результатов в математической теории, кото-

рые выглядят так, как будто они были созданы для этого применения.

Можно надеяться, что все стандартные проблемы, изучаемые в теории

мартингалов, и все главные результаты найдут интерпретации и при-

менения в рыночных постановках.

Для усвоения результатов, представленных в этой главе, необхо-

димо хорошее знание теории вероятностей и стохастических процес-

сов, но никакого специального знания экономики. Большая часть ма-

териала будет доступна для тех, кто знает стохастическое интегриро-

вание по броуновскому движению, а остальное должно стать понят-

ным после небольшого изучения уместного основополагающего мате-

риала. (При ознакомлении с материалом полезно интерпретировать

общие результаты как случай, когда

становится процессом Ито.)

Основным в этой главе будет § 3, который содержит общую тео -

рию непрерывных рынков. В § 2 дано частичное развитие аналогич-

ной теории для конечных рынков. (Конечный рынок – это рынок, где

торговля имеет место в дискретные моменты времени, и лежащее в

основе вероятностное пространство конечно.) Обращаясь сначала к

161

конечному случаю, мы способны ослабить постановку в нескольких

отношениях. Во-первых, необходимые экономические понятия пред -

ставлены в простой постановке. Имея интерпретированное или оправ-

данное определение в конечном случае, мы обычно представляем его

формальный аналог и переходим без дальнейшего комментария к раз-

витию общей теории. Во-вторых, в конечном случае мы способны

дать адекватное исследование некоторых основополагающих про-

блем, которые будут, по существу, оправданием при развитии общей

теории. Наконец, техническая сложность, с которой каждый сталкива-

ется в случае непрерывного времени, затеняет основную структуру

математической теории. Обращаясь сначала к конечному случаю, мы

надеемся установить естественную роль мартингальной техники и, та-

ким образом, мотивировать достаточно сложные выводы § 3.

В заключение дадим некоторые общие комментарии относитель-

но терминологии и примечаний. Термин «положительный» использу-

ется в будущем в слабом смысле, в противоположность строго поло-

жительному, и аналогично употребляется термин «увеличение» в про-

тивоположность строгому увеличению. Когда пишем

для слу-

чайных переменных

, это понимается как «почти наверное», и

аналогично для

≥

. Для процессов

≥

означает

≥

для всех

В частном случае будем писать

= 0 или

≥

0, где

может быть или

случайной переменной или процессом. Символ

≡

используется , чтобы

обозначать равенство по определению.

§ 2. КОНЕЧНАЯ ТЕОРИЯ

Рассмотрим основные понятия для случая, когда время изменяет-

ся дискретно, а выборочное пространство

−

конечно. Такое представ-

ление предназначено не для всестороннего систематического изуче-

ния конечного случая, а скорее для мотивации и облегчения понима-

ния непрерывной модели торговли, которая представлена в § 3. Боль-

шинство полученных здесь результатов аналогичны результатам гл. 2.

Формулировка рыночной модели

Вероятностное пространство (

Ω

) является определенным и

фиксированным. Выборочное пространство

Ω

имеет конечное число

элементов, каждый из которых рассматривается как возможное со-

стояние среды . Для всех

∈

Ω

мы принимаем

(

) > 0, и это

−

един-