Майсеня Л.И. Математика в примерах и задачах. Часть 2
Подождите немного. Документ загружается.
160 161
не имеет предела.
Если предел последовательности равен нулю, то ее называ-
ют бесконечно малой.
Свойства бесконечно малых последовательностей:
1) сумма и произведение конечного числа бесконечно малых
последовательностей является бесконечно малой последователь-
ностью;
2) произведение ограниченной последовательности на бес-
конечно малую является бесконечно малой;
3) для того чтобы выполнялось равенство
lim,
n
n
xa
®¥
=
необ-
ходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
,
nn
xa
l
=+ где
(
)
n
l
– бесконечно малая последовательность.
Последовательность называется бесконечно большой, если
для любого сколь угодно большого числа М найдется такой но-
мер
(),
nM
что для всех n, начиная с этого номера
(),
nnM
³
выполняется неравенство
.
n
xM
>
Если последовательность (х
n
) – бесконечно большая, то го-
ворят, что она стремится к бесконечности, и пишут
lim.
n
n
x
®¥
=¥
Последовательность не имеет предела в двух случаях:
1) предел не определен;
2) последовательность является бесконечно большой.
Если (x
n
) – бесконечно большая последовательность, то
1
n
x
æö
ç÷
èø
– бесконечно малая последовательность.
Если (x
n
) – бесконечно малая последовательность, то
1
n
x
æö
ç÷
èø
– бесконечно большая.
Если последовательности (x
n
), (у
n
) имеют пределы, то
справедливы следующие свойства:
1)
(
)
limlim,
nn
nn
CxCx
®¥®¥
= где
;
Cconst
=
2)
(
)
limlimlim;
nnnn
nnn
xyxy
®¥®¥®¥
±=±
3)
(
)
limlimlim;
nnnn
nnn
xyxy
®¥®¥®¥
×=×
4)
lim
lim,
lim
n
nn
n
nn
n
x
x
yy
®¥
®¥
®¥
æö
=
ç÷
èø
где
lim0.
n
n
y
®¥
¹
Свойства 2) и 3) обобщаются, соответственно, на любое
конечное число слагаемых и множителей.
При вычислении пределов числовых последовательностей
могут возникнуть неопределенности вида
0
;
0
;
¥
¥
;
¥-¥
0;
×¥
1;
¥
0
0;
0
.
¥
Для того чтобы вычислить предел в случае неопре-
деленности, необходимо тождественно преобразовать
выражение, стоящее под знаком предела.
Пример 1. Пользуясь определением предела последовательности,
доказать, что
3
lim3.
2
n
n
n
®¥
=
+
Решение. Выбираем произвольное число
0.
e
>
Согласно опреде-
лению, число 3 является пределом последовательности (x
n
), если смо-
жем указать такой номер
(
)
,
n
e
что для всех членов последовательно-
сти с номерами
(
)
nn
e
³
выполняется неравенство (10.1), которое
в нашем случае имеет вид:
3
3.
2
n
n
e
-<
+
(10.2)
Неравенство (10.2) равносильно неравенству
336
,
2
nn
n
e
--
<
+
т. е.
6
2n
e
-
<
+
или
6
.
2n
e
<
+
Поскольку
0
e
>
и
0,
n
>
из последнего неравенства получаем:
2;
6
n
e
+>
2.
6
n
e
>-
В качестве номера
()
n
e
члена последовательности, начиная с ко-
торого выполняется неравенство (10.2), может быть выбрано натураль-
ное число
()21.
6
n
e
e
éù
=-+
êú
ëû
Этим мы доказали, что существует номер члена последователь-
ности, начиная с которого выполняется неравенство (10.1) для задан-
ной последовательности. Значит, число 3 – предел этой последова-
тельности.
162 163
Пример 2. Вычислить предел последовательности:
1)
( )
( )
2
2
3
2
12
lim;
1
n
nn
nn
®¥
++
+-
2)
(
)
( )
1!!
lim;
2!2!
n
nn
nn
®¥
-+
++
3)
(
)
333
lim821.
n
nnn
®¥
++--
Решение. 1) Преобразуем выражение, стоящее под знаком преде-
ла, так как непосредственно вычисление приводит к неопределенности
типа
:
¥
¥
( )
( )
2
3
2332
332232
2
12
212221
limlimlim.
331231
1
nnn
nn
nnnnnn
nnnnnnn
nn
®¥®¥®¥
++
++++++
==
+++-+++
+-
Разделим далее числитель и знаменатель дроби на старшую сте-
пень, т. е. на n
3
, и получим:
23
23
121
231
2
lim2,
1
n
n
nn
n
nn
®¥
+++
=
+++
так как при
n
®¥
последовательности
1
,
n
æö
ç÷
èø
2
1
n
æö
ç÷
èø
и
3
1
n
æö
ç÷
èø
стремятся
к нулю.
Таким образом, приходим к ответу:
( )
( )
2
3
3
2
12
lim2.
1
n
nn
nn
®¥
++
=
+-
2) Так как по определению факториала
(
)
(
)
(
)
1!123...21,
nnn
-=××××-×-
(
)
(
)
!123...21(1)!,
nnnnnn
=××××-×-×=-
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2!123...2112
(1)!(1)(2),
nnnnnn
nnnn
+=××××-×-××+×+=
=-××+×+
то получаем:
(
)
( )
(
)
(
)
( ) ( )( )
( )
32
1!!1!1
1
limlimlim.
2!2!
1!212
34
nnn
nnnn
n
nn
nnnnn
nnn
®¥®¥®¥
-+-×+
+
==
++
-×++×+
++
Делением на старшую степень выражения, т. е. на n
3
, убеждаемся, что
(
)
( )
1!!
lim0.
2!2!
n
nn
nn
®¥
-+
=
++
3) Поскольку при
n
®¥
имеем
3
2ï
+®+¥
и
3
1,
ï
-®+¥
то
выражение
33
21
ïï
+--
дает неопределенность типа
.
¥-¥
Ум-
ножив и разделив выражение
33
21
ïï
+--
на сопряженный мно-
житель
33
21,
ïï
++-
получим:
(
)
(
)
( )
33333
33
333
3
3333
82121
lim
21
821
8
lim3lim.
2121
n
nn
nïïïï
ïï
nnn
n
nnnn
®¥
®¥®¥
+×+--×++-
=
++-
++-+
+
==
++-++-
Разделим числитель и знаменатель на старшую степень, т. е. на
3
2
,
n
тогда:
3
3
33
33
8
21
1
813
3lim3lim3.
112
21
11
nn
n
nn
n
nn
®¥®¥
+
+
==×=
+
++-
++-
Таким образом, получаем ответ:
(
)
333
3
lim822.
2
n
nnn
®¥
++--=
Задания
I уровень
1.1. Пользуясь определением числовой последовательности,
докажите, что:
1)
212
lim;
555
n
n
n
®¥
-
=
+
2)
1
lim1;
2
n
n
n
®¥
-
=-
+
3)
2
2
311
lim;
2
25
n
nn
n
®¥
++
=
+
4)
2
1
lim0.
1
n
n
®¥
=
+
1.2. Вычислите предел:
1)
52
lim;
31
n
n
n
®¥
+
-
2)
131
lim;
21
n
n
nn
®¥
+
æö
+
ç÷
+
èø
164 165
3)
2
1
lim;
221
n
nn
n
®¥
æö
+
-
ç÷
+
èø
4)
( ) ( )
( )( )
33
12
lim;
3221
n
nn
nn
®¥
+--
-+
5)
2
2
lim;
41
n
n
n
®¥
+
+
6)
2
61
lim;
3103
n
n
nnn
®¥
+
+++
7)
2
lim412;
n
nnn
®¥
++- 8)
( )( )
(
)
lim13;
n
nnn
®¥
++-
9)
4
2
311
lim;
243
n
nnn
nn
®¥
++++
++
10)
(
)
21!!
lim;
!
n
nn
n
®¥
-+
11)
(
)
( )
!1!
lim;
2!
n
nn
n
®¥
++
+
12)
(
)
( ) ( )
!2!
lim.
1!2!
n
nn
nn
®¥
++
-++
II уровень
2.1. Вычислите предел:
1)
( ) ( )
;
12
38
lim
44
3
+-+
-
¥®
nn
nn
n
2)
(
)
(
)
( ) ( )
;
25
137
lim
3
3
22
+-+
-++
¥®
nn
nn
n
3)
(
)
(
)
( ) ( )
;
533
2213
lim
33
33
--+
+++
¥®
nn
nn
n
4) ;
23
21
lim
4 4
4
++-
++-
¥®
nn
nn
n
5) ;
2
5
lim
5
8
2
3
2
--
--
¥®
nn
nn
n
6) ;
31
6
lim
6
512
4
32
nnn
nn
n
-++
-
¥®
7)
( )
;
35
1163
lim
2
4
8
3
+-
+-
¥®
nnn
nnn
n
8)
( )
;
22
3647
lim
3
3
4
3
6
5
-+
-+
¥®
nnn
nnn
n
9)
(
)
(
)
( )
;
!1!
!23!
lim
-+
--+
¥®
nn
nnn
n
10)
(
)
(
)
( )( )
;
!2!3
!2!13
lim
2
+++
+-+
¥®
nn
nnn
n
11)
;
)!1(!3
)!2()1()!1(
lim
2
--
-++-
¥®
nn
nnn
n
12)
;
!4)!1(3
)!1(2!5
lim
nn
nnn
n
--
--×
¥®
13)
(
)
( )
;
!2!32
!22
lim
nn
n
n
++
+
¥®
14)
(
)
(
)
( )
;
!1!2
!1!2
lim
2
--
-+-
¥®
nn
nnn
n
15) ;
41
31
lim
n
n
n
-
-
¥®
+
+
16) ;
5
52
lim
3+
¥®
+
n
nn
n
17) ;
11
3
6
5432
lim
nn
nn
n
--
--
¥®
+
+
×++
18) ;
2
5
14
365
lim
1
2
nn
nn
n
+
×
×+
-
+
¥®
19) ;
3
321
lim
2
+
++++
¥®
n
n
n
K
20)
(
)
.
1
12531
lim
2
nn
n
n
++
-++++
¥®
K
2.2. Докажите, что последовательность (x
n
) не имеет преде-
ла:
1)
1
;
2
ï
ï
õ
æö
=-
ç÷
èø
2)
12....
ï
õï
=+++
III уровень
3.1. Задана последовательность
1
1
;
2
u
=
2
5
;
4
u
=
3
7
;
8
u
=
4
17
;
16
u = …;
21
21
21
21
;
2
n
n
n
u
-
-
-
-
=
2
2
2
21
;
2
n
n
n
u
+
= … Найдите
lim.
n
n
u
®¥
Определите, каким должно быть n, для того чтобы разность
между u
n
и ее пределом по абсолютной величине не превзошла 10
–
4
.
3.2. Вычислите предел последовательности:
1)
2
12342
lim;
1
n
n
n
®¥
-+-+-
+
K
2)
3
3
12342
lim;
321
n
n
nn
®¥
-+-+-
++
K
3)
( )
1
2
393
lim
232
n
n
n
n
+
+
®¥
+++
×+-
K
4)
3512
lim;
525
5
n
n
n®¥
+
+++K
5)
( )
1
3842
lim;
1393
n
nn
n
n
--
®¥
--×+
++++K
6)
51323
lim;
10100
10
nn
n
n®¥
+
+++K
7)
(
)
2547223
lim;
21
n
nn
n
®¥
-+-++-+
+
K
8)
( )( )
111
lim...;
13352121
n
nn
®¥
æö
+++
ç÷
ç÷
××-+
èø
9)
( )
111
lim...;
12231
n
nn
®¥
æö
+++
ç÷
ç÷
××+
èø
10)
( ) ( ) ( )
101010
1010
12....100
lim.
10
n
nnn
n
®¥
++++++
+
166 167
3.3. Найдите предел последовательности:
1)
2
56
lim,
3
nn
n
n
xx
x
®¥
-+
-
если
lim3;
n
n
x
®¥
=
2)
lim,
n
n
x
®¥
если
2
1
16
,
5
n
n
x
x
-
-
=
1
6.
x
=
3.4. Вычислите предел числовой последовательности (x
n
),
заданной формулой общего члена, при различных значениях па-
раметров a, b, c:
1)
32
2
21
;
7
n
axbxx
x
cx
+-+
=
+
2)
(
)
2
.
n
xaxbxcx
=++-
10.3. Предел функции
Рассмотрим функцию
(
)
,
ó f õ
= определенную в некоторой
окрестности точки
0
xx
=
(в самой точке
0
x
данная функция
может быть не определена).
Число А называется пределом функции
(
)
fx
в точке
0
x
(по Гейне), если для любой последовательности (x
n
), сходящейся
к
0
x
(
)
0
,
n
xx
¹ последовательность
(
)
(
)
n
fx
соответствующих
значений функции сходится к А.
Обозначают:
(
)
0
lim
xx
fxA
®
=
или
(
)
fxA
®
при
0
.
xx
®
Если функция
(
)
fx
в точке
0
x
имеет предел, то он
единственный.
Если функции
(
)
fx
и
(
)
gx
имеют пределы в точке
0
,
x
то
справедливы формулы:
(
)
(
)
00
limlim,
xxxx
CfxCfx
®®
= где С = const; (10.3)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
000
limlimlim;
xxxxxx
fxgxfxgx
®®®
±=± (10.4)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
000
limlimlim;
xxxxxx
fxgxfxgx
®®®
×=× (10.5)
()
()
(
)
()
0
0
0
lim
lim.
lim
xx
xx
xx
fx
fx
gxgx
®
®
®
=
(10.6)
Если непосредственное вычисление предела по формулам
(10.3)–(10.6) приводит к неопределенности типа
0
;
0
;
¥
¥
;
¥-¥
0;
×¥
1;
¥
0
0;
0
,
¥
то необходимо вначале тождественно преоб-
разовать выражение, стоящее под знаком предела.
Для всех элементарных функций в любой точке их области
определения имеет место равенство
() ( )
00
0
limlim,
xxxx
fxfxfx
®®
æö
==
ç÷
èø
(10.7)
которое означает, что операции вычисления предела и функции
переставимы.
Кроме предела функции в точке рассматривают предел
функции на бесконечности: число A называется пределом
функции
()
fx
при
x
®+¥
(или
x
®-¥
), если для всякой по-
следовательности (x
n
),
n
x
®+¥
(или
n
x
®-¥
) при
n
®¥
по-
следовательность
(
)
()
n
fx
соответствующих значений функ-
ции сходится к числу A.
Обозначают:
(
)
()
lim.
x
x
fxA
®+¥
®-¥
=
Для предела функции на бесконечности также справедливы
формулы (10.3)–(10.6).
Функция
(
)
xf называется бесконечно малой функцией при
0
xx
® (или
x
®±¥
), если
(
)
0
()
lim0.
xx
x
fx
®
®±¥
=
Функция
(
)
fx
называется бесконечно большой при
0
xx
®
(
)
,
x
®±¥
если для всякой последовательности (x
n
),
0
n
xx
®
при
,
n
®¥
0
n
xx
¹
(или ±¥®
n
x ) последовательность
соответствующих значений функции
(
)
()
n
fx
является
бесконечно большой.
168 169
Обозначают:
(
)
()
lim.
x
x
fx
®+¥
®-¥
=±¥
(10.8)
Если
(
)
fx
– бесконечно большая функция при
0
xx
®
(
)
,
x
®±¥
то она не имеет предела (предел – это число!). За-
пись формулы (10.8) следует воспринимать лишь как обозначе-
ние бесконечно большой функции.
Пример 1. Пользуясь определением предела функции по Гейне,
доказать, что
(
)
3
lim2410.
x
x
®
+=
Решение. Пусть (x
n
) – произвольная последовательность, которая
сходится к 3
(
)
3,,
n
xn¹Î
N
т. е.
lim3.
n
n
x
®¥
=
Тогда
(
)
(
)
3
lim24lim242lim423410.
nn
xnn
xxx
®®¥®¥
+=+=+=×+=
Пример 2. Вычислить предел функции в точке:
1)
2
2
2
514
lim;
32
x
xx
xx
®
+-
-+
2)
3
1
13
lim;
1
1
x
x
x
®
æö
-
ç÷
-
-
èø
3)
3
2
2
42
lim.
4
x
x
x
®
-
-
Решение. 1) При непосредственном использовании формул (10.3)–
(10.6) получаем неопределенность вида
0
.
0
Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим
дробь на общий множитель. Получим:
(
)
(
)
( )( )
2
2
222
27
514727
limlimlim9.
21121
32
xxx
xx
xxx
xxx
xx
®®®
-×+
+-++
====
-×---
-+
2) Непосредственное вычисление приводит к неопределенности
типа
.
¥-¥
Для раскрытия приведем выражение в скобках к общему
знаменателю:
22
333
111
13132
limlimlim.
1
111
xxx
xxxx
x
xxx
®®®
++-+-
æö
-==
ç÷
-
---èø
Далее разлагаем числитель и знаменатель на множители. Получаем:
(
)
(
)
( )
( )
2
1
21
3
lim1.
3
11
x
xx
xxx
®
+×-
==-
-
--×++
3) Непосредственное вычисление предела при
2
x
®
приводит к
неопределенности типа
0
.
0
Умножим числитель и знаменатель на не-
полный квадрат суммы выражений
3
4
x
и 2, чтобы в числителе полу-
чить разность кубов:
(
)
(
)
( )
( )
3
2
33
3
2
3
22
22
3
4216244
42
limlim
4
416244
xx
xxx
x
x
xxx
®®
-×++
-
==
-
-×++
( )
( )
3
2
22
3
48
lim.
416244
x
x
xxx
®
-
=
-×++
Поскольку неопределенность типа
0
0
сохранилась, разложим мно-
гочлены на множители и сократим:
(
)
( )( )
( )
( )
( )
33
2222
33
42
4
limlim.
2216244216244
xx
x
xxxxxxx
®®
-
=
-×+×+++×++
Переход к пределу при
2
x
®
дает:
( )
( )
( )
33
441
.
444412
221642424
==
×++
+××+×+
Пример 3. С помощью вычислений определить, является ли
функция
()
fx
бесконечно малой или бесконечно большой при
:
x
®+¥
1)
235
();
23
xx
x
fx
×+
=
-
2)
(
)
2
3
()4.
fxxxx=--
Решение. 1) Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо рас-
смотреть
235
lim.
23
xx
x
x®+¥
×+
-
Непосредственное вычисление этого предела приводит к неопре-
деленности типа
.
¥
¥
Вынесем в числителе и знаменателе старшее ос-
нование, т. е.
5,
x
за скобки:
3
3
5
5
13
13
55
55
521
21
235
limlimlim.
23
2
52
x
x
x
xx
xxx
xx
xxx
x
®+¥®+¥®+¥
æö
æö
æö
+ç÷
ç÷
+
ç÷ç÷
èø
×+
èøèø
==
æö
-
æöæö
æöæö
-
-
ç÷
ç÷ç÷
ç÷ç÷
ç÷
èøèø
èøèø
èø
170 171
Так как показательная функция
x
ya
=
при
01
a
<<
является убы-
вающей, то при
x
®+¥
получим:
2011
lim.
2000
x®+¥
×+
==¥
×-
Тогда, согласно определению, функция
235
()
23
xx
x
fx
×+
=
-
является
бесконечно большой.
2) Вычислим
¥®x
lim
(
)
2
3
4.
xxx--
При
x
®¥
выражение в
скобках представляет собой разность двух бесконечно больших вели-
чин
(
)
.
¥-¥
Умножив и разделив функцию на выражение
2
4,
xx
+-
получим:
(
)
(
)
( )
(
)
22
3
22
3
22
3
2
44
4
limlim
44
4
lim.
4
xx
x
xxxxx
xxx
xxxx
x
xx
®+¥®+¥
®+¥
--×+-
--
==
+-+-
=
+-
В результате преобразований возникла неопределенность типа
,
¥
¥
а поэтому разделим числитель и знаменатель на старшую степень,
т. е. на x. Получим:
1
1
3
3
2
2
4
44
lim0.
2
11
x
x
x
x
-
®+¥
==
+-
Следовательно, по определению функция
(
)
2
3
()4
fxxxx
=--
является бесконечно малой.
Задания
I уровень
1.1. Пользуясь определением предела функции в точке по
Гейне, докажите, что:
1)
2
0
lim0;
x
x
®
=
2)
2
23
lim7;
1
x
x
x
®
+
=
-
3)
1
11
lim;
32
x
x
®-
=
+
4)
2
1
52
lim3.
1
x
x
xx
®
+
=
-+
1.2. Найдите предел функции в точке:
1)
2
2
0
3
lim;
2
x
xx
xx
®
+
-
2)
2
2
2
68
lim;
4
x
xx
x
®-
++
-
3)
2
2
3
376
lim;
273
x
xx
xx
®
--
-+
4)
3
2
112
lim;
2
8
x
x
x
®-
æö
-
ç÷
+
+
èø
5)
2
2
15
lim;
2
4
x
x
x
®-
æö
-
ç÷
+
-
èø
6)
4
4
lim;
2
x
x
x
®
-
-
7)
2
7
23
lim;
49
x
x
x
®
+-
-
8)
2
0
12(1)
lim;
x
xxx
x
®
-+-+
9)
2
3
1321
lim;
9
x
xx
x
®
+-+
-
10)
4
123
lim.
2
x
x
x
®
+-
-
II уровень
2.1. Найдите предел:
1)
32
2
1
1
lim;
43
x
xxx
xx
®
+--
-+
2)
2
32
2
56
lim;
22
x
xx
xxx
®
-+
--+
3)
32
2
1
5221
lim;
43
x
xxx
xx
®-
---
++
4)
2
8
15
lim;
8
616
x
x
xx
®-
æö
-
ç÷
+
+-
èø
5)
2
1
16
lim;
1
34
x
x
xx
®
æö
+
ç÷
+
--
èø
6)
1
52
lim;
21
x
x
x
®
--
--
7)
2
32
0
131
lim;
x
x
xx
®
+-
+
8)
2
3
1321
lim;
9
x
xx
x
®
+-+
-
9)
33
0
11
lim;
x
xx
x
®
--+
10)
3
1
1
lim;
1
x
x
x
®
-
-
11)
33
3
4
0
2727
lim;
2
x
xx
xx
®
+--
+
12)
2
32
13
lim;
21
x
xx
xxx
®¥
+-
+-+
13)
2
lim1;
4
x
x
x
x
®¥
æö
+-
ç÷
-
èø
14)
¥®x
lim
2
321
.
41
3
x
x
x
-
æö
+
ç÷
-
-
èø
172 173
2.2. Определите, является ли функция
()
fx
бесконечно ма-
лой или бесконечно большой при
0
,
xx
® если:
1)
2
3
69
(),
9
xx
fx
xx
-+
=
-
0
3;
x
=
2)
2
3
69
(),
9
xx
fx
xx
-+
=
-
0
;
x
=¥
3)
4
2
2
(),
2
xx
fx
x
+
=
+
0
2;
x
=-
4)
4
2
2
(),
2
xx
fx
x
+
=
+
0
.
x
=¥
Ш уровень
3.1. Пользуясь определением предела функции в точке по
Гейне, докажите, что предел не существует:
1)
0
1
lim;
x
x
®
2)
lim(2(1));
x
x®¥
×-
3)
12
limcos.
13
x
xx
x
p
®¥
æö
-
æö
ç÷
ç÷
+
èø
èø
3.2. Вычислите предел функции в точке:
1)
432
432
2
25512012
lim;
324708738
x
xxxx
xxxx
®-
--++
++++
2)
65432
3
3
3233
lim.
83
x
xxxxxx
xx
®
--+++-
--
3.3. Вычислите предел при всех возможных значениях p и g:
1)
2
2
lim;
(2)(1)
x
xpxg
xx
®
++
-×+
2)
2
2
1
2
lim.
x
xx
xpxg
®-
--
++
3.4. Вычислите
2
4
lim.
xa
xxa
xa
®
++
-
3.5. При каких a и b
2
1
lim
1
xa
xbx
x
®
++
+
равен:
1) ¥; 2) 0; 3)
1
.
2
3.6. Вычислить предел при всех возможных значениях p и q
2
2
4
54
lim.
x
xx
xpxq
®
-+-
++
10.4. Первый и второй замечательные пределы
При вычислении пределов часто используются первый и
второй замечательные пределы.
Первый замечательный предел:
0
sin
lim1;
x
x
x
®
=
(10.9)
Если
(
)
0
ux
®
при
0
,
xx
® то верна более общая формула
первого замечательного предела:
(
)
(
)
()
;1
sin
lim
0
=
®
xu
xu
xx
(10.10)
Первый замечательный предел позволяет устранить
неопределенность типа
0
.
0
Второй замечательный предел:
1
lim1, ãäå 2,71828...
x
x
ee
x
®¥
æö
+==
ç÷
èø
(10.11)
или
( )
1
0
lim1.
x
x
xe
®
+=
(10.12)
Если
(
)
ux
®¥
при
0
xx
®
(
)
,
x
®±¥
то обобщением фор-
мулы (10.11) является формула
( )
()
(
)
0
1
lim1.
ux
xx
x
e
ux
®
®±¥
æö
+=
ç÷
ç÷
èø
(10.13)
Если
()0
ux
®
при
0
xx
®
(
)
,
x
®±¥
то обобщением фор-
мулы (10.12) является формула
( )
()
( )
()
0
1
lim1.
ux
xx
x
uxe
®
®±¥
+=
(10.14)
Второй замечательный предел позволяет устранить
неопределенность типа
1.
¥
Для того чтобы использовать, например, формулу (10.13),
необходимо быть уверенным, что реализованы следующие пять
условий (акцентируем их подчеркиванием):
174 175
1)
( )
()
(
)
0
1
lim1;
ux
xx
x
e
ux
®
®±¥
æö
+=
ç÷
ç÷
èø
2)
( )
()
(
)
0
1
lim1;
ux
xx
x
e
ux
®
®±¥
æö
+=
ç÷
ç÷
èø
3)
( )
()
(
)
0
1
lim1;
ux
xx
x
e
ux
®
®±¥
æö
+=
ç÷
ç÷
èø
4)
( )
()
(
)
0
1
lim1;
ux
xx
x
e
ux
®
®±¥
æö
ç÷
+=
ç÷
èø
5)
(
)
,
ux
®¥
при
0
xx
®
(
)
.
x
®±¥
Эти условия достигаются тождественным
преобразованием выражения, стоящего под знаком предела.
Пример 1. Вычислить предел функции:
1)
2
0
sin2sin
lim;
x
xx
x
®
×
2)
2
0
21cos
lim;
sin3
x
x
x
®
-+
3)
32
lim;
42
x
x
x
x
®¥
+
æö
ç÷
+
èø
4)
( )
1
3
3
3
0
lim1tg2.
x
x
x
®
+
Решение. 1) Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела:
000
sin2sinsin2sin
limlimlim.
xxx
xxxx
xxxx
®®®
×=×
Последний предел, согласно формуле (10.9), равен 1.
Так как при
0
x
®
выражение 2х также стремится к нулю, то, ум-
ножая числитель и знаменатель на 2 и используя первый замечатель-
ный предел, получим:
0020
sin22sin2sin2
limlim2lim212.
22
xxx
xxx
xxx
®®®
==×=×=
Следовательно,
2
0
sin2sin
lim2.
x
xx
x
®
×
=
2) При непосредственном вычислении предела получаем неопре-
деленность типа
0
.
0
Умножим числитель и знаменатель исходного выражения на
21cos
x
++ и преобразуем его к виду, когда можно использовать
первый замечательный предел (формула (10.10)):
(
)
(
)
( )
2
2
00
21cos21cos
21cos
limlim
sin3
sin321cos
xx
x
x
x
xx
®®
--×++
-+
==
++
(
)
( ) ( )
22
00
2
2
000
0
0
21cos
1cos
limlim
sin321cossin321cos
2sin2sinsin
11
222
limlimlim
sin3sin3
21cossin322
33
2sinsin
1
2222
lim
33
22
sin3sin3
22
sinsin
2
2
lim
22
2
xx
xxx
x
x
x
x
xxxx
xxx
xx
xx
xxxx
xx
xx
xx
x
®®
®®®
®
®
-+
-
===
++++
××
=×==
×
++
×××
==
×××
=×
3311
2
.
sin3sin336
362
2
xx
x
xx
æö
ç÷
×××=
ç÷
ç÷
ç÷
èø
3) Выделим целую часть в основании степени:
324243(42)11
1.
42424242
xxx
xxxx
++-++-
===+
+++--
Так как при
x
®¥
исходное выражение представляет собой не-
определенность типа
1,
¥
то, используя второй замечательный предел
(формула (10.13)), имеем:
42
42
1
lim
lim
4 1
42
42
2
2
3211
limlim1lim1
424242
1
lim1.
42
x
x
x
xxx
x
xxx
x
x
x
x
x
x
xxx
ee
x
®¥
®¥
--
--
®¥®¥®¥
--
--
-- -
®¥
æö
+
æöæöæö
=+=+=
ç÷
ç÷ç÷ç÷
ç÷
+----
èøèøèø
èø
æö
æö
=+==ç÷
ç÷
ç÷
--
èø
èø
4) В данном случае получаем неопределенность вида
1.
¥
Преобра-
зуем функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел
(формула (10.14)). Получим:
( ) ( )
3
3
3
3
3
3
0
tg2
tg2
11
3
lim
33
33
3
3
tg2
00
lim1tg2lim1tg2.
x
x
x
x
x
x
x
xx
xxe
®
®®
æö
ç÷
+=+=
ç÷
èø
Для вычисления
3
3
0
tg2
lim
3
x
x
x
®
применим первый замечательный
предел:
176 177
(
)
( ) ( )
(
)
33
3
333
33
33
33
0000
33
tg222
tg2tg222
limlimlimlim1.
3333
232
xxxx
xxx
xxx
xxx
xxx
®®®®
==×=×=
Таким образом, получаем ответ:
3
3
0
tg22
lim
33
.
x
x
x
ee
®
=
Задания
I уровень
1.1. Вычислите предел функции, используя первый замеча-
тельный предел:
1)
0
sin3
lim;
x
x
x
®
2)
0
sin4
lim;
5
x
x
x
®
3)
2
3
0
sin2
lim;
x
x
x
®
4)
0
sin
lim;
sin5
x
x
x
®
5)
0
sin2
lim;
3tg3
x
x
x
®
6)
0
93
lim;
sin5
x
x
x
®
+-
7)
0
sin3
lim;
sin7sin5
x
x
xx
®
-
8)
2
0
sin
lim;
5
x
x
xx
®
+
9)
3
0
tgsin
lim;
x
xx
x
®
-
10)
2
0
1cos3
lim;
2
x
x
x
®
-
11)
0
sin7sin2
lim;
sin3
x
xx
x
®
-
12)
2
0
1cos4
lim;
sin
x
x
x
®
-
13)
22
2
0
sin3sin2
lim;
3
x
xx
x
®
-
14)
0
1cos
lim;
sin2
x
x
xx
®
-
15)
22
2
0
coscos2
lim;
5
x
xx
x
®
-
16)
0
11
lim;
sin3tg3
x
xx
®
æö
-
ç÷
èø
17)
0
1sin1sin
lim;
tg2
x
xx
x
®
+--
18)
0
sin3
lim.
11
x
x
x
®
+-
1.2. Вычислите предел функции, используя второй замеча-
тельный предел:
1)
42
3
lim1;
24
x
x
x
+
®¥
æö
-
ç÷
-
èø
2)
23
2
lim1;
5
x
x
x
-
®¥
æö
+
ç÷
+
èø
3)
12
lim;
2
x
x
x
x
-
®¥
æö
ç÷
+
èø
4)
2
32
lim;
3
x
x
x
x
-
®¥
-
æö
ç÷
èø
5)
21
43
lim;
23
x
x
x
x
+
®¥
-
æö
ç÷
-
èø
6)
4
22
lim;
23
x
x
x
x
-
®¥
+
æö
ç÷
-
èø
7)
25
1
lim;
4
x
x
x
x
+
®¥
-
æö
ç÷
+
èø
8)
2
4
22
lim;
12
x
x
x
x
-
®¥
-
æö
ç÷
-
èø
9)
2
21
lim;
3
x
x
x
x
+
®¥
-
æö
ç÷
+
èø
10)
2
4
lim.
51
x
x
x
x
®¥
+
æö
ç÷
+
èø
II уровень
2.1. Найдите предел функции:
1)
2
1
1
lim;
ln
x
x
x
®
-
2)
2
1
11
lim;
ln
x
xx
x
®
-+-
3)
sin5
lim;
tg3
x
x
x
p
®
4)
2
lim1cos;
2
x
x
p
p
®
æö
æö
--
ç÷
ç÷
èø
èø
5)
2
sin7
lim;
sin8
x
x
x
p
p
®
6)
2
cos3cos
lim.
tg2
x
xx
x
p
®
-
2.2. Найдите предел функции:
1)
21
25
limln;
15
x
x
x
x
+
®¥
-
æö
ç÷
-
èø
2)
32
2
limln;
3
x
x
x
x
+
®¥
+
æö
ç÷
+
èø
3)
2
2
2
1
lim;
1
x
x
xx
xx
-
®¥
æö
++
ç÷
+-
èø
4)
2
2
3
3
1
lim;
2
x
x
xx
x
®¥
æö
++
ç÷
+
èø
5)
2
2
2
71815
lim;
71115
x
x
xx
xx
+
®¥
æö
+-
ç÷
++
èø
6)
2
37
2
2
223
lim;
221
x
x
xx
xx
-
®¥
æö
++
ç÷
++
èø
7)
lim(23)(ln(2)ln(3));
x
xxx
®¥
+×+-+
8)
lim(ln(23)ln(21));
x
xxx
®¥
---
9)
222
lim(1)(ln(31)ln(34));
x
xxx
®¥
+--+
178 179
10)
333
lim(23)(ln(4)ln(1)).
x
xxx
®¥
+×+-+
Ш уровень
3.1. Найдите предел функции, сделав соответствующую за-
мену переменной:
1)
3
lim(3)tg;
2
x
x
x
p
®
- 2)
4
lim(4)tg3;
x
xx
p
p
®
-
3)
22
lim()ctg;
x
xx
p
p
®
- 4)
2
22sin
lim;
2
x
x
x
p
p
®
-
-
5)
6
1sin3
lim;
6
x
x
x
p
p
®
-
-
6)
3
2
2
1sin
lim;
x
x
x
p
p
®
-
æö
-
ç÷
èø
7)
3
2
2
1sin
lim;
cos
x
x
x
p
®
-
8)
3
3
12cos
lim.
tg
x
x
x
p
p
®
-
æö
-
ç÷
èø
3.2. Вычислите предел функции с помощью второго замеча-
тельного предела:
1)
2
3
3
lim(25);
x
x
x
x
-
®
-
2)
4
2
1
lim(32);
x
x
x
x
-
®
-
3)
2
4
4
lim(311);
x
x
x
x
+
-
®
- 4)
5
2
2
lim(52).
x
x
x
x
-
-
®
-