Майсеня Л.И. Математика в примерах и задачах. Часть 2
Подождите немного. Документ загружается.
3 4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Особенностью образовательной системы Республики Бела-
русь является становление и развитие учебных заведений раз-
личного типа, в том числе колледжей и высших колледжей.
В условиях многоуровневого образования в системе учебных
заведений колледж–университет актуальна реализация принци-
пов непрерывности и преемственности в обучении.
Предлагаемое учебное пособие «Математика в примерах и
задачах» в 6-ти частях призвано обеспечить процесс изучения ма-
тематики в высших колледжах и колледжах технического профи-
ля. Оно может быть использовано учащимися на практических
занятиях, а также при самостоятельном изучении математики.
При создании настоящего пособия авторы ставили перед со-
бой несколько целей: во-первых, дать значительное количество
задач (типовых и оригинальных), которые бы достаточно полно
отображали суть основных математических понятий; во-вторых,
обеспечить необходимой теоретической информацией для их
решений; в-третьих, по каждой теме привести решение основ-
ных типов задач; в-четвертых, предлагаемый для решения набор
задач распределить по трем уровням сложности. Все эти цели и
определили структуру учебного пособия, которое делится на
главы, главы – на параграфы. В начале каждого параграфа со-
держится необходимый справочный материал, затем – решение
нескольких задач и набор заданий трех уровней сложности.
Предлагаемая структура учебного пособия, по мнению авто-
ров, делает возможным самостоятельное изучение математики.
Его использование позволяет реализовать дифференцированный
подход в обучении – каждый учащийся может решать задания
доступного ему уровня сложности.
Пособие разработано и прошло апробацию в УО «Минский
государственный высший радиотехнический колледж» (МГВРК)
в процессе обучения учащихся после базовой школы.
Характерной особенностью методического подхода к изуче-
нию математики в МГВРК является построение интегрирован-
ного курса математических дисциплин. Этим объясняется то об-
стоятельство, что определенные темы высшей математики вве-
дены в контекст элементарной математики. Поскольку на прак-
тике широко реализуется непрерывное образование в системе
учебных заведений колледж–университет (в том числе МГВРК
интегрирован с Белорусским государственным университетом
информатики и радиоэлектроники), то при разработке данного
учебного пособия авторы использовали (как и в реальном учеб-
ном процессе) в качестве типовых программу изучения матема-
тики в средних школах Беларуси и программу изучения высшей
математики для высших учебных заведений по специальностям
электро-, радиотехники и информатики.
Таким образом реализуются основы непрерывного продол-
жения обучения в университете. Кроме того, предлагаемое
учебное пособие может быть использовано в колледжах при
изучении математики по различным базовым и рабочим про-
граммам – менее или более полным.
«Математика в примерах и задачах. Часть 2» является непо-
средственным продолжением учебного пособия «Математика в
примерах и задачах. Часть 1». В этих изданиях принята единая
нумерация глав. Предлагаемое пособие (вторая часть) состоит из
шести глав (гл. 7–12). В отношении авторства отметим, что они
подготовлены следующим образом:
С. Б. Махнач – гл. 7 «Тригонометрия»;
М. А. Калугина – гл. 8 «Векторы на плоскости», гл. 9 «Ана-
литическая геометрия на плоскости»;
Е. В. Уласевич – гл. 10 «Предел последовательности и
функции», гл. 11 «Производная функции»;
Т. В. Есипович – гл. 12 «Стереометрия».
Научно-методическое редактирование осуществила Л. И. Май-
сеня, она является соавтором всего пособия.
Авторы благодарны рецензентам учебного пособия – доктору
физ.-мат. наук, профессору А. В. Метельскому и сотрудникам ка-
федры высшей математики БГУИР, особенно зав. кафедрой, док-
тору физ.-мат. наук В. В. Цегельнику и профессору А. А. Карпу-
ку, за очень внимательное прочтение рукописи и ряд ценных
замечаний, устранение которых улучшило наше издание.
Надеемся, что предлагаемое издание будет содействовать ак-
тивизации мыслительной деятельности учащихся и повышению
эффективности учебного процесса при изучении математики.
5 6
7. ТРИГОНОМЕТРИЯ
7.1. Тригонометрические функции
произвольного угла, их свойства
Рассмотрим систему координат Оху и в ней радиус-вектор .ОА
Будем рассматривать понятие угла с учетом направления
поворота радиус-вектора от оси Ох. Если ОА повернуть против
движения часовой стрелки, то
,
a
Ð
образованный этим радиус-
вектором и положительным направлением оси Ох, назовем по-
ложительным углом (рис. 7.1).
Рис. 7.1
Если ОВ повернуть от оси Ох по ходу часовой стрелки, то
образованный им
b
Ð
будем называть отрицательным углом
(рис. 7.1).
Если радиус-вектор повернуть от оси Ох в некотором на-
правлении на
360
1
часть полного оборота, то он образовал угол
меры один градус (
°
±
1
) в зависимости от направления поворо-
та;
60
1
часть от одного градуса называется минутой и обозна-
чается 1';
60
1
часть от одной минуты называется секундой и
обозначается 1''. Заданные единицы измерения вместе с направ-
лением поворота дают возможность измерения любого угла, об-
разованного радиус-вектором.
Кроме измерения угла в градусах используют также радиан-
ное измерение угла. Радианной мерой угла называется отноше-
ние длины дуги, образованной поворотом конца радиус-вектора, к
длине радиус-вектора с учетом направления поворота (рис. 7.2):
,
r
l
рад
=
a
(7.1)
где l – длина дуги;
r – длина радиус-вектора.
Рис. 7.2
Для перевода градусной меры в радианную и наоборот
пользуются формулами:
,
180
°
°×
=
n
рад
p
a
(7.2)
.
180
p
a
×°
=°n (7.3)
В системе координат Оху рассмотрим единичную окруж-
ность с центром в начале системы координат и единичный ради-
ус-вектор, образующий с осью Ох угол
.
a
Спроецируем конец радиус-вектора на координатные оси,
получим определенные точки
y
x
,
(рис. 7.3). В прямоугольном
треугольнике синусом острого угла называется отношение про-
тиволежащего катета к гипотенузе.
Рис. 7.3
Это понятие обобщается на любой угол
:
a
острый и тупой,
отрицательный и положительный.
Синусом угла
a
называется проекция конца радиус-век-
b
a
В
А
х
0
у
у
r
l
a
А
В
х
0
–1
–1
1
a
у
х
1
х
0
у
7 8
тора, образующего этот угол, на ось Оу:
.sin y
=
a
Косинусом угла
a
называется проекция конца радиус-век-
тора, образующего этот угол, на ось Ох:
.
cos
x
=
a
Тангенсом угла
a
называется величина, равная отношению
синуса угла
a
к косинусу угла
,
a
при условии
cos0:
a
¹
.
cos
sin
tg
a
a
a
=
Котангенсом угла
a
называется величина, равная отноше-
нию косинуса угла
a
к синусу угла
,
a
при условии
sin0:
a
¹
.
sin
cos
ctg
a
a
a
=
Тангенс и котангенс угла
a
можно определить также через
проекции х и у:
;0 ,tg ¹= x
x
y
a
.0 ,ctg ¹= y
y
x
a
Для того чтобы показать геометрический смысл
tg,
a
по-
строим ось тангенсов. Она проходит через точку (1; 0), касается
единичной окружности, имеет такое же направление, как и ось
Оу, и такой же масштаб на ней (рис. 7.4).
Рис. 7.4
Далее продолжаем радиус-вектор до пересечения с осью
тангенсов. Полученный на оси тангенсов отрезок (с точностью
до знаков) и является
.
tg
a
Для того чтобы показать геометрический смысл
ctg,
a
рису-
ем ось котангенсов. Она проходит через точку (0; 1), имеет то же
направление и тот же масштаб. Геометрическое значение
a
ctg
получаем после того, как продолжим радиус-вектор до пересе-
чения с осью котангенсов (рис. 7.5).
Рис. 7.5
Секансом угла
a
называется величина
,
cos
sec
a
a
1
= .cos 0
¹
a
Косекансом угла
a
называется величина
,
sin
1
cosec
a
a
= .sin 0
¹
a
Свойства тригонометрических функций
1. Знаковая характеристика тригонометрических функций
следует из их определения через проекции на координатные оси
(рис. 7.6).
Рис. 7.6
2. Поскольку
a
sin и
a
cos
введены как проекции внутри
единичной окружности, то для всякого угла
a
:
;sin 1£
a
.cos 1£
a
III
II
IV
I
-
у
+
-
х
+
sin
a
III
II
IV
I
+
у
+
-
х
-
cos
a
III
II
IV
I
-
у
+
+
х
-
tg
a
ctg
a
b
a
ось тангенсов
0
у
tg
a
> 0
tg
b
< 0
х
1
сtg
b
сtg
a
b
a
1
х
0
у
сtg
a
> 0
сtg
b
< 0
ось котангенсов
9 10
Функции
a
tg
и
a
ctg
могут принимать любые по величине
значения: ,1sec ³
a
.1cosec ³
a
3. Функции ,sin
a
,
cos
a
a
a
cosec
,
sec
являются 2
p
-перио-
дическими.
Функции
a
tg
и
a
ctg
являются
p
-периодическими.
Следовательно, для тригонометрических функций выпол-
няются следующие равенства:
(
)
(
)
( ) ( )
sin2sin,cos2cos,
tgtg,ctgctg,.
nn
nnn
apaapa
apaapa
+=+=
+=+=Î
Z
4. Функции
a
cos
и
a
sec
являются четными:
(
)
(
)
coscos,secsec.
aaaa
-=-=
Функции ,sin
a
,
tg
a
a
ctg
и
a
cosec
являются нечетными:
(
)
(
)
( ) ( )
sinsin,tgtg,
ctgctg,coseccosec.
aaaa
aaaa
-=--=-
-=--=-
Значения тригонометрических функций некоторых углов
приведены в табл. 7.1.
Т а б л и ц а 7.1
Угол (
a
)
Функция
градус радиан
sin
a
cos
a
tg
a
ctg
a
0º 0 0 1 0 не определен
30º
6
p
2
1
2
3
3
1
3
45º
4
p
2
1
2
1
1 1
60º
3
p
2
3
2
1
3
3
1
90º
2
p
1 0 не определен
0
180º
p
0 –1 0 не определен
270º
2
3
p
–1 0 не определен
0
360º
p
2
0 1 0 не определен
Правило приведения:
Функции
a
sin и
,
cos
a
tg
a
и
ctg,
a
a
sec
и
cosec
a
назы-
ваются сходными друг для друга:
1. Если аргумент тригонометрической функции имеет вид:
а)
( )
,
a
p
±-
2
12n
( )
,
a
p
±-
2
3
12n
,
n
Î
N
то функция меняется на сходную аргумента
a
;
б)
,
a
p
±
n
,
n
Î
N
то сохраняется та же функция, но с аргументом
a
.
2. Перед функцией аргумента
a
, записанной согласно пунк-
ту 1, ставится тот знак («+» или «–»), который имела исходная
функция.
Всюду в преобразованиях по формулам приведения условно
считают угол
a
острым. В табл. 7.2 представлены формулы
приведения.
Т а б л и ц а 7.2
x
2
p
a
±
a
p
±
a
p
±
2
3
ap
±2
sin x
a
cos
sin
a
m
a
cos
-
sin
a
±
cos x
sin
a
m
a
cos
-
sin
a
±
cos
a
tg x
ctg
a
m
tg
a
±
ctg
a
m
tg
a
±
ctg x
tg
a
m
ctg
a
±
tg
a
m
ctg
a
±
Основные тригонометрические тождества
,1cossin
22
=+
aa
(7.4)
tgctg1,
aa
×=
(7.5)
2
2
1
1tg,
cos
a
a
+= (7.6)
2
2
1
1ctg
sin
a
a
+= . (7.7)
По значению одной из тригонометрических функций неко-
торого угла можно, используя приведенные выше формулы,
найти значения всех остальных. Применение этих формул зна-
чительно упрощает процесс тригонометрических преобразова-
11 12
ний. При этом необходимо помнить, что при извлечении квад-
ратного корня получаем выражение с модулем, например,
2
sin1cos.
aa
=- Раскрывая модуль, знак выбираем в зависи-
мости от того, в какой четверти лежит угол
.
a
Пример 1. 1) Выразить в радианной мере угол, равный 150º.
2) Выразить в градусной мере угол в
2
3
p
радиан.
Решение. 1) Используя формулу (7.2), получим:
5
150150.
1806
pp
°=×°=
°
2) Используя формулу (7.3), получим:
22180
ðàä 120.
33
pp
p
°
=×=°
Пример 2. Вычислить tg
a
, если sin
a
= –0,8 и
3
.
2
p
pa
<<
Решение. Сначала найдем cos
a
. Из формулы (7.4) получим:
222
cos1sin1(0,8)0,36.
aa
=-=--=
Так как в III четверти cos
a
< 0, то cos
a
= –0,6. Находим
sin0,84
tg.
cos0,63
a
a
a
-
===
-
Пример 3. Вычислить
41
sin.
6
p
æö
-
ç÷
èø
Решение. Используя нечетность и
2
p
-периодичность функции
sin,
a
получаем:
414155
sinsinsin6sin.
6666
pppp
p
æöæö
-=-=-+=-
ç÷ç÷
èøèø
По формулам приведения находим:
51
sinsinsin.
6662
ppp
p
æö
-=--=-=-
ç÷
èø
Таким образом,
411
sin.
62
p
æö
-=-
ç÷
èø
Пример 4. Определить знак выражения
65912
sincostgctg.
56109
pppp
æöæö
-×××-
ç÷ç÷
èøèø
Решение. Вначале используем нечетность функций, а затем их
знаковые характеристики (рис. 7.6):
66
sinsin,
55
pp
æö
-=-
ç÷
èø
6
.
5
p
p
>
Следовательно, это угол III четверти, в которой синус принимает
отрицательное значение (рис. 7.6). Тогда
6
sin0.
5
p
æö
->
ç÷
èø
Угол
5
6
p
– это угол II четверти, в которой косинус отрицательный:
5
cos0.
6
p
<
9
10
p
– это угол II четверти, тогда
9
tg0.
10
p
<
1212
ctgctg.
99
pp
æö
-=-
ç÷
èø
Угол
12
9
p
лежит в III четверти, тогда
12
ctg0
9
p
>
и
12
ctg0.
9
p
æö
-<
ç÷
èø
Учитывая знаки всех множителей, получаем:
65912
sincostgctg0,
56109
pppp
æöæö
-×××->
ç÷ç÷
èøèø
т. е. заданное выражение положительно.
Пример 5. Сравнить два числа
sin
10
p
и
sincos.
109
pp
×
Решение. Заметим, что углы
9
p
и
10
p
– это углы I четверти, в ко-
торой синус и косинус принимают положительные значения.
cos1
9
p
<
(в силу ограниченности функции косинус), тогда
sinsincos.
10109
ppp
>×
Пример 6. Указать наибольшее и наименьшее значения выраже-
ния
2
3cos1.
a
-
Решение. Выражение будет наибольшим, если
2
cos
a
будет наи-
большим.
13 14
Известно, что
cos1,
a
£
но тогда
2
0cos1.
a
££
Тогда наибольшее значение выражения будет равно 2, если
2
cos1,
a
=
а наименьшее равно –1, если
2
cos0.
a
=
Задания
I уровень
1.1. Выразите в радианной мере угол:
1) 100º; 2) 244,38º; 3) 720º; 4) 135º; 5) 27,13º.
1.2. Выразите в градусной мере угол:
1) ;
2
7
p
2) ;
4
11
p
3)
;
p
3
4) 0,64; 5) 3,627.
1.3. Найдите значение функции:
1) sin
a
, если
4
cos
5
a
=
и
3
2;
2
p
ap
<<
2) cos
a
, если
4
sin
5
a
=
и
;
2
p
ap
<<
3) tg
a
, если
12
sin
13
a
=-
и
3
;
2
p
pa
<<
4) сtg
a
, если
5
cos
13
a
=-
и
3
.
2
p
pa
<<
1.4. Вычислите:
1)
tg390;
°
2)
cos1080;
°
3)
19
sin;
4
p
4)
7
ctg;
4
p
5)
4sin18sin306;
°°
6)
44
coscossinsin;
15151515
pppp
-
7)
25
tgtg
312
;
25
1tgtg
312
pp
pp
-
+
8)
7
cossin;
1212
pp
9)
tg225cos330ctg120sin240;
°°°°
10)
3
ctgtgsincossin.
222
ppp
pp
æöæö
++---+
ç÷ç÷
èøèø
1.5. Укажите наибольшее и наименьшее значения выражения:
1) ;sin
a
2
1 - 2) ;cos
a
5 3) .cos 18
2
-
a
1.6. Выберите среди чисел наименьшее:
1)
sin1,
sin3,
sin5,
sin7,
sin;
2
p
2)
cos1,
cos1,5,
(
)
cos1,2,
-
(
)
cos0,5,
-
cos2.
1.7. Докажите тождество:
1)
( )
;cossin
cos
sin
sin
cos
baa
a
b
a
b
-=×
÷
ø
ö
ç
è
æ
+ 22
2) ;coscossinsin
aaaa
2424
-=-
3)
( )
2
2cossin23sin1
tg;
cossin2
sin2
2
aaa
a
p
aa
a
+-
-=-
-+
æö
+
ç÷
èø
4)
(
)
.sincoscossinsin
aaaaa
412
2
22
-=-+
1.8. Упростите выражение, используя формулы (7.4)–(7.7) и
формулы приведения:
1)
(
)
(
)
;cossincossin
22
aaaa
++- 2)
(
)
222
1costg1tg;
aaa
-+-
3)
( ) ( )
sincosctg
2
;
3
tg
2
p
paapa
p
a
æö
-+++-
ç÷
èø
æö
-
ç÷
èø
4)
( )
( )
3
ctgtgsin
22
;
2cos
pp
apaa
pa
æöæö
--++-
ç÷ç÷
èøèø
+
5)
(
)
(
)
( )
(
)
sintgcos2
;
3
ctg
ctgcos
22
paappa
pp
pa
aa
+--
××
+
æöæö
--
ç÷ç÷
èøèø
6)
( )
( )
2
2
2
2
3
cos
cos
2
.
3
tg2
tg
2
p
a
a
p
ap
a
æö
-
ç÷
-
èø
+
æö
-
-
ç÷
èø
15 16
II уровень
2.1. Найдите значение выражения:
1)
a
sin и
tg,
a
если ,cos
22
ba
a
+
=
a
0,
a
>
0;
b
>
2)
tgctg,
aa
+
если
3
cos
5
a
=-
и ;
pa
p
<<
2
3) ,
sin
cos
cossin
a
a
aa
4
3
34
-
+
если
3
ctg.
4
a
=
2.2. Определите знак произведения:
1)
(
)
(
)
sin67cos267cos375sin68cos68;
°°°-°-°
2)
sin110cos95tg135ctg185;
°°°°
3)
65311
sincostgctg;
56119
pppp
æöæö
--
ç÷ç÷
èøèø
4)
4444
sincostgctg;
79511
pppp
æöæö
--
ç÷ç÷
èøèø
5)
sin22.
2.3. Вычислите:
1)
22
22
tg52,5tg7,5
;
1tg7,5tg52,5
°-°
-°°
2)
95
ctgctg;
88
pp
+
3)
2
cos41cos79
;
12sin35,5
°-°
-°
4)
(
)
(
)
sin10sin80 cos80cos10
;
sin110
°+°°-°
°
5)
3
sinsin;
1010
pp
- 6)
tg10ctg55
;
1ctg80tg35
°+°
-°°
7)
22
tgctg,
aa
+ если
tgctg10;
aa
+=
8)
tgctg,
aa
+
если
22
tgctg7
aa
+=
и
(
)
270;360;
a
롡
9)
33
tgctg,
aa
+ если
tgctg2;
aa
+=
10)
cos64cos4cos86cos26
;
cos71cos41cos49cos19
°°-°°
°°-°°
11)
tg9tg63tg81tg27.
°-°+°-°
2.4. Докажите тождество:
1)
222
sincostg
;
cossin1tg
aaa
aaa
×
=
--
2)
2
tgctg1
1;
ctg
1tg
aa
a
a
-
×=
-
3)
44
2222
sincos1
2;
sincoscossin
aa
aaaa
+
+=
-
4)
(
)
(
)
33
sin1ctgcos1tgsincos;
aaaaaa
+++=+
5)
2
2
sinsincos
sincos.
sincos
tg1
xxx
xx
xx
x
+
-=-
-
-
2.5. Упростите выражение:
1)
2
2
1cos1cos
1:;
sin
sin
aa
a
a
æö
++
æö
+
ç÷
ç÷
ç÷
èø
èø
2)
( )
22
2
1
tgcos1;
cos
aa
a
-+
3)
;
cossin
cossin
cossin
cossin
1
3333
1 1
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
-
aa
aa
aa
aa
4) ,
sin
sin
sin
sin
a
a
a
a
+
-
-
-
+
1
1
1
1
если
;
pa
p
<<
2
5)
( )
3
cossintgsincos;
2222
pppp
apaaaa
æöæöæöæö
+++++-
ç÷ç÷ç÷ç÷
èøèøèøèø
6)
37
ctgsintgcos;
2222
pppp
aaaa
æöæöæöæö
---+-+
ç÷ç÷ç÷ç÷
èøèøèøèø
7)
(
)
(
)
(
)
( )
cos1,5sintg0,5
;
tg1,5
paapp
pa
++-+-
-
8)
( )
2
2
3
1ctgtg
22
.
1ctg2
ctg
2
pp
aa
p
ap
a
æöæö
---
ç÷ç÷
èøèø
×
æö
--
+
ç÷
èø
17 18
2.6. Сравните два числа
5
3
p
cos
и
.sincos
5
5
3
pp
×
III уровень
3.1. Докажите тождество:
1)
44
2
4
1sincos
2tg;
cos
aa
a
a
--
=
2)
22
22
tgctg6
cos4;
tgctg2
xx
x
xx
+-
=
++
3)
32
3
sincos
tgtgtg1;
cos
xx
xxx
x
+
=+++
4)
2
22
2
2
sintgsintg
;
11
ctgctg
sin
sin
aaaa
aa
a
a
æö
ç÷
++
=
ç÷
ç÷
++
ç÷
èø
5)
22
2
2cos7sin1
.
4
3cos4sincos
aa
aaa
-
=
+×
3.2. Вычислите:
1)
tg
,
1cos
a
a
-
если
3
2
-=
a
sin и
ctg0;
a
>
2)
ctg
,
1sin
a
a
+
если
4
3
-=
a
cos и
ctg0.
a
<
3.3. Упростите выражение:
1)
22
2
22
1ctgtg
tg;
ctg1tg
aa
a
aa
+
-×
+
2)
(
)
(
)
22
22
22
tgctgtgctg
;
1
tgctg
sincos
aaaa
aa
aa
+--
--
×
3)
( ) ( )
22
sin1ctgcos1tg;
aaaa
+++
4)
6622
sincos3sincos;
aaaa
++
5)
33
22
tg1ctg
;
sincos
sincos
aa
aa
aa
-+
6)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
2222
3
cos2sincos4sinsin
.
cos4sin1
cos4
aapaaap
aa
ap
+---++
+
+
-
3.4. Найдите значение выражения
,cossin
aa
44
+
если
.cossin k
=
+
a
a
3.5. Сравните числа
sin10
и
sin11.
3.6. Найдите наибольшее значение выражения
.cossin xx
1112
+
7.2. Основные тригонометрические формулы
Всюду далее считаем, что выражения определены на своей
ОДЗ.
Формулы суммы и разности углов
(
)
( )
( )
( )
sinsincoscossin;
sinsincoscossin;
coscoscossinsin;
coscoscossinsin.
ababab
ababab
ababab
ababab
+=+
-=-
+=-
-=+
(7.8)
tgtg
tg();
1tgtg
ab
ab
ab
+
+=
-
tgtg
tg();
1tgtg
ab
ab
ab
-
-=
+
ctgctg1
ctg();
ctgctg
ab
ab
ab
-
+=
+
ctgctg1
ctg().
ctgctg
ab
ab
ab
+
-=
-
Формулы двойных и тройных углов
2222
2
2
sin22sincos;
cos2cossin12sin2cos1;
2tg
tg2;
1tg
ctg1
ctg2.
2ctg
aaa
aaaaa
a
a
a
a
a
a
=
=-=-=-
=
-
-
=
(7.9)
19 20
3
3
3
2
3
2
sin33sin4sin;
cos34cos3cos;
3tgtg
tg3;
13tg
3ctgctg
ctg3.
13ctg
aaa
aaa
aa
a
a
aa
a
a
=-
=-
-
=
-
-
=
-
(7.10)
Формулы половинного аргумента
1cos1cos
sin; cos;
2222
1cos1cos
tg; ctg;
21cos21cos
sin1cos
tg;
21cossin
1cossin
ctg.
2sin1cos
aaaa
aaaa
aa
aaa
aa
aaa
aa
-+
==
-+
==
+-
-
==
+
+
==
-
(7.11)
Формулы понижения степени
22
22
11
sin(1cos2); cos(1cos2);
22
1cos21cos2
tg; ctg.
1cos21cos2
aaaa
aa
aa
aa
=-=+
-+
==
+-
(7.12)
Формулы суммы и разности тригонометрических функций
sinsin2sincos;
22
sinsin2cossin;
22
coscos2coscos;
22
coscos2sinsin;
22
abab
ab
abab
ab
abab
ab
abab
ab
+-
+=
+-
-=
+-
+=
+-
-=-
(7.13)
sin()
tgtg;
coscos
ab
ab
ab
+
+=
sin()
tgtg;
coscos
ab
ab
ab
-
-=
sin()
ctgctg;
sinsin
ab
ab
ab
+
+=
sin()
ctgctg;
sinsin
ba
ab
ab
-
-=
cos()
tgctg;
cossin
ab
ab
ab
-
+=
cos()
tgctg.
cossin
ab
ab
ab
+
-=-
Формулы произведения тригонометрических функций
1
sinsin(cos()cos());
2
1
coscos(cos()cos());
2
1
sincos(sin()sin()).
2
ababab
ababab
ababab
=--+
=++-
=++-
(7.14)
Формулы универсальной подстановки
2
22
2
2
2tg1tg
22
sin;cos;
1tg1tg
22
2tg1tg
22
tg;ctg.
1tg2tg
22
aa
aa
aa
aa
aa
aa
-
==
++
-
==
-
(7.15)
Пример 1. Упростить выражение
2
sin3coscos3sin
.
2cos1
aaaa
a
+
-
Решение. Используя формулы (7.7)–(7.9), получим:
2222
22222
sin3coscos3sinsin(3)
2cos12cos(cossin)
sin4sin4sin4
cos2
2coscossincossin
2sin2cos2
2sin2.
cos2
aaaaaa
aaaa
aaa
a
aaaaa
aa
a
a
++
==
--+
====
---
==
Пример 2. Вычислить выражение
sin75cos75.
°+°
Решение. Чтобы применить формулы (7.12), преобразуем
cos75
°
по формулам приведения:
(
)
cos75cos9015sin15.
°=°-°=°
Тогда
75157515
sin75cos75sin75sin152sincos
22
°+°°-°
°+°=°+°==
21 22
236
2sin45cos302.
222
=°°=×=
Пример 3. Вычислить выражение
5
,
67sin2
a
+
если
tg0,2.
a
=
Решение. Используя универсальную подстановку, получим:
2
2
2
5555tg
.
2tg
67sin2
66tg14tg
67
1tg
a
a
a
aa
a
+
==
+
++
+
+
Подставив в полученное выражение
tg0,2,
a
=
находим:
5550,045,265
.
67sin2660,04140,29,04113
a
+×
===
++×+×
Пример 4. Преобразовать в произведение выражение
22
sin2sin2.
22
aa
bb
æöæö
+--
ç÷ç÷
èøèø
Решение. Для решения можно использовать формулы понижения
степени, а также формулы суммы и разности тригонометрических
функций (7.12) и (7.13):
(
)
(
)
22
1cos41cos4
sin2sin2
2222
abab
aa
bb
-+--
æöæö
+--=-=
ç÷ç÷
èøèø
( )
1cos(4)1cos(4)1
cos(4)cos(4)
22222
sinsin(4)sinsin4.
abab
abab
abab
+-
=--+=--+=
=--=
Пример 5. Найти значение выражения:
1)
sin18cos36;
°×°
2)
cos64cos4cos86cos26
.
cos71cos41cos49cos19
°×°-°×°
°×°-°×°
Решение. 1) Для применения формулы двойного аргумента
sin2
a
умножим и разделим исходное выражение на
4cos18.
°
Получим:
4sin18cos18cos362sin36cos36sin72
sin18cos36.
4cos184cos184cos18
°×°×°°×°°
°×°===
°°°
Используя формулы приведения, преобразуем
(
)
sin72sin9018cos18.
°=°-°=°
Тогда получим:
cos181
sin18cos36.
4cos184
°
°×°==
°
2) Из формул приведения следует:
(
)
cos64cos9026sin26,
°=°-°=°
(
)
cos86cos904sin4,
°=°-°=°
(
)
cos71cos9019sin19,
°=°-°=°
(
)
cos49cos9041sin41.
°=°-°=°
Отсюда, используя формулы (7.8), имеем:
(
)
( ) ( )
sin264
sin26cos4sin4cos26sin22
sin19cos41sin41cos19sin1941sin22
sin22
1.
sin22
°-°
°×°-°×°°
===
°×°-°×°°-°-°
°
=-=-
°
Задания
I уровень
1.1. Вычислите:
1) ,cos
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
b
p
6
если
2
3
=
b
sin и ;
pb
p
<<
2
2)
tg,
4
p
a
æö
-
ç÷
èø
если
cos0,6
a
=
и ;
pa
p
2
2
3
<<
3)
tg,
a
если
tg3;
2
a
=
4)
(
)
cos,
ab
+ если
2
sin,
3
a
=
3
cos,
4
b
=-
,
pa
p
<<
2
;
pb
p
<<
2
5)
55
sin2sin2cos2cos2;
12121212
pppp
aaaa
æöæöæöæö
+×--+×-
ç÷ç÷ç÷ç÷
èøèøèøèø
6)
,
cos
a
если
tg3;
2
a
=
7) ,
sin
cos
1
10
610
+
-
a
a
если
tg3;
2
a
=
8)
5
tgtg
1818
;
5
1tgtg
1818
pp
pp
+
-×