Майсеня Л.И. Математика в примерах и задачах. Часть 1

136 137

Решение системы – пересечение двух указанных областей (на

рис. 4.24 показано наложением двух штриховок).

Задания

I уровень

1.1. Решите графически:

1) ;4

22

³+ yx 2)

;05

<

-

+

yx

3) ;

2

xy > 4) ;254

22

£+< yx

5)

î

í

ì

³

£+

;0

,1

y

yx

6)

î

í

ì

£+-

>+-

;012

,032

xy

7)

î

í

ì

=

£++-

;

,16)3()1(

2

22

xy

yx

8)

î

í

ì

-<

+³

.2

,1

2

xy

II уровень

2.1. Решите графически:

1)

(

)

(

)

ï

î

ï

í

ì

<-+

£++-

;02

,1642

22

xy

yx

2)

î

í

ì

-³

-£

;1

,2

yx

xy

3)

ï

î

ï

í

ì

³-

+

<

.02

,

2

1

y

x

y

2.2. Найдите количество целочисленных решений системы:

1)

î

í

ì

>

£

;

,4

3

xy

2)

î

í

ì

³-

£-

;02

,

2

yx

3)

( )

ï

î

ï

í

ì

³-

³--

<++-

.4

,01

,12

2

yx

yxx

2.3. Найдите все целочисленные решения системы:

1)

( ) ( )

ï

î

ï

í

ì

-=

>+

£-+-

;

,4

,2522

22

yx

2)

ï

î

ï

í

ì

£+-

>

£

>+-

;02

,0

,07

2

x

y

x

xy

3)

ï

î

ï

í

ì

>-+

³

.05

,0

1

22

yx

x

2.4. Решите неравенство. В ответе укажите количество ре-

шений с двумя целочисленными координатами:

.0)(4

22

£--+ yxyx

III уровень

3.1. Найдите количество целочисленных решений системы:

1)

( )

2

,

240;

xyxy

yx

ì-=-

ï

í

+-<

ï

î

2)

22

2

16,

.

xy

yx

ì

+£

ï

í

³

ï

î

3.2. Найдите все значения параметра а, при каждом из кото-

рых система имеет решение:

1)

î

í

ì

=

<-+

;

,54

2

22

axy

yyx

2)

(

)

î

í

ì

=+

<++-+

.25

,0252

22

ax

xaxax

3.3. Определите, при каких значениях а неравенство

(

)

2

14 ++-> xax имеет положительные решения.

3.4. Определите, при каких значениях а система имеет един-

ственное решение:

1)

ï

î

ï

í

ì

£-

+-³+

+³-

;43

,52

,1235

axy

ayx

axy

2)

î

í

ì

³

£+

;

,243

ay

yx

3)

î

í

ì

³

£+

.

,62

bx

yx

3.5. В зависимости от значения а определите число решений

системы

( )

ï

î

ï

í

ì

£+

+³

.4

,3

22

yxa

yay

yax

3.6. Решите графически:

1)

(

)

(

)

;038 ³+×- yx

2) .09

22

<- yx

138 139

5. СТЕПЕНИ И КОРНИ

5.1. Корень n-й степени

Для всякого числа a Î R определена степень с натуральным

показателем a

n

, n Î N.

Число b Î R называется корнем n-й степени, n Î N, n ³ 2,

из числа а, если

,

n

ba

=

обозначают

.

n

a

Нахождение корня n-й степени из данного числа а называют

извлечением корня n-й степени из числа а. Число а, из которо-

го извлекается корень n-й степени, называют подкоренным вы-

ражением, а число n – показателем корня.

Если

(

)

21, ,

nkk=+Î

N

то

21k

a

+

определен для всех a Î R

и принимает любые действительные значения.

Если

(

)

2, ,

nkk=Î

N

то

2k

a

определен для всех a ³ 0

(a Î R). В курсе элементарной математики рассматривают

арифметическое значение корня, т. е. число

2

0.

k

a

³

Свойства корней

Пусть a, b Î R, тогда:

1)

2121

;

kk

aa

++

-=-

2)

( )

, åñëè 21,

0, åñëè 2;

n

ank

a

ank

=+

ì

=

í

³=

î

3)

, åñëè 21,

, åñëè 2;

n

ank

a

ank

=+

ì

ï

=

í

=

ï

î

4)

, åñëè 21,

, åñëè 2,0;

n

nn

abnk

ab

abnkab

ì

×=+

ï

×=

í

×=×³

ï

î

5)

, åñëè 21,0,

, åñëè 2,0,0;

n

a

nkb

b

a

b

nkabb

b

ì

=+¹

ï

=

í

ï

=×³¹

ï

î

6)

(

)

,,

m

n

m

n

aam

=Î

R

где a ³ 0 в случае

2;

nk

=

7)

,,

nnk

mmk

aak

×

=Î

N

где

0

m

a

³

в случае

2;

nk

=

8)

,

m

nmn

aa

×

= где

0

a

³

в случае

2.

nk

=

Пример 1. Вычислить

743743.

++-

Решение. 1-й способ. Выделим полные квадраты подкоренных

выражений:

(

)

2

7434223323;

+=+××+=+

(

)

2

7434223323.

-=-××+=-

Тогда получим

( ) ( )

22

7437432323

232323234.

++-=++-=

=++-=++-=

2-й способ. Обозначим вычисляемое выражение через a, т. е.

743743.

a

++-=

Заметим, что

0.

a

>

Возведем обе части полученного равенства в квадрат:

(

)

( ) ( )

2

7437437432743743

7431424916314216.

a

=++-=++×+×-+

+-=+-×=+=

Тогда

4.

a

=±

Поскольку исходное выражение положительно, в ответе получаем

a = 4.

Пример 2. Упростить выражение

( ) ( )

22

3333

3

.

abab

ab

-++

-

Решение. 1-й способ. Используем формулы квадрата разности и

суммы, а также свойства корней. Получаем:

(

)

(

)

22

3333

3abab

ab

-++

=

-

( ) ( )

333333

222222

333

33

2363444aabbaabbaabb

ab

-++++++

===

-

140 141

(

)

( )

(

)

33

22

3

33

22

333

4

.

aabb

ab

abaabb

++

==

-

-++

2-й способ. При упрощении иррациональных выражений часто

бывает эффективным метод рационализации, основанный на замене

переменных.

Введем такую замену переменных, чтобы корни извлеклись:

33

,.

axby

==

Заданное выражение приобретает вид

( ) ( )

22

33

3

.

xyxy

xy

-++

-

Упрощаем его, используя формулы сокращенного умножения:

( ) ( )

(

)

( )

2222

22

33

22

222222

2222

232

3

2363444

xxyyxxyy

xyxy

xy

xyxxyy

xxyyxxyyxxyy

xyxxyyxyxxyy

-++++

-++

==

-

-×++

-++++++

===

-×++-×++

(

)

( )

22

4

.

xxyy

xy

xyxxyy

++

==

-

-×++

Возвращаясь к старым переменным, приходим к ответу

33

4

.

ab

-

Пример 3. Избавиться от иррациональности в знаменателе:

1)

1

;

753

++

2)

33

1

;

73

+

3)

4 4

1

.

23

+

Решение. 1) Умножим числитель и знаменатель дважды на сопря-

женные выражения и воспользуемся формулой разности квадратов:

(

)

( )

2

753

1753

753

753753

753

+-

===

++

++×+-

+-

( )

(

)

(

)

( ) ( )

753535

753753

10235

25352535535

+-×-

+-+-

====

+

++×-

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

535753535753

2253520

-×+--×+-

===

--

(

)

(

)

355753

.

20

-×+-

=

2) Домножим числитель и знаменатель на неполный квадрат раз-

ности и воспользуемся формулой суммы кубов:

(

)

( )

33

22

3

33

22

333

7733

1

73

737733

-×+

==

+

+×-×+

(

)

( ) ( )

(

)

3333

2222

33

77337733

.

10

73

-×+-×+

==

+

3) Умножим числитель и знаменатель дважды на сопряженные

выражения:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

444444

22

44

4

444

44

1232323

2323

23

232323232323

231

2323

3223.

---

====

+-

+×-

-

-×+-×+-×+

====

--

-×+

=-×+

Задания

I уровень

1.1. Вычислите значения корней:

1)

3

8;

-

2)

4

81;

3)

6

64;

4)

5

243;

5)

3

216;

6)

4

2401;

7)

3

0,125;

- 8)

4

1

;

81

9)

3

0,343;

-

10)

3

27125

;

8

×

11)

4

81

;

6252401

×

12)

16;

13)

3

729;

14)

5

1024;

15)

3

64729.

-×

1.2. Сравните числа:

1)

4

и

3

3;

2)

4

5

99

и

10

10;

3)

3

1

2

и

2

6

1

;

2

æö

ç÷

èø

142 143

4)

2

и

61;

-

5)

3

7

и

6

40;

6)

5

и

8

500;

7)

5

-

и

3

3;

-

8)

3

63

- и 1; 9)

5

1990

1992

и

5

1989

;

1991

10)

53

и

62;

11) 3 и

5;

12)

4

26

и

5;

13)

4

- и

3

3;

- 14)

3

26

- и

3

52.

-

1.3. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:

1)

1

;

52

2)

3

1

;

3

3)

2

;

325

×

4)

3

1

;

333

×

5)

4

3

;

9

6)

6

1

;

16

-

7)

4

;

15

+

8)

2

;

22

-

9)

1

;

53

-

10) ;

532

1

+

11)

2

.

2323

-+

1.4. Упростите выражение:

1)

341

0;

637376

+-=

-+-

2)

( )

15412

611115;

616236

æö

+-×+=-

ç÷

+--

èø

3)

12529125296;

--+=-

4)

3

22

2353

;

644

4832

+=

-

5)

(

)

532435727;

-+=

6)

( )

9741138972;

+-=

7)

4552

1;

2185945

+-

×=

+-

8)

4

62667265;

+-+=

9)

63

743231;

+×-=

10)

( ) ( )

6

333

6

1616365;

-×++=

11)

333

44

1222122232;

+×-×+=-

12)

1

2

23

3

557

552sin2;

224

p

æö

æöæö

ç÷

----×=

ç÷ç÷

ç÷

èøèø

èø

13)

( )

11

333

33

5225104

28;

0,25

æö

+×-+

ç÷

èø

=

14)

( )

11

22

3157157

6,5;

9

3

13

æö

-×+

ç÷

èø

=

æö

+

ç÷

èø

15)

11

22

1

32

3272

0,2.

32616641

æö

-

ç÷

èø

=

æöæö

-×+

ç÷ç÷

èøèø

II уровень

2.1. Упростите выражение:

1)

(

)

(

)

4545511454551120;

--+×+++=

2)

(

)

(

)

5350524

1;

7552

+×-

=

-

3)

(

)

(

)

223243166

2,5;

1222

-×+++

=

+

4)

(

)

(

)

51133152210

1,2;

7550

-×+--

=-

-

5)

1

2

0,5

44

2

0,25

327136

4;

3

333

-

æö

-+

æö

+×-

ç÷

-

èø

144 145

6)

2

642642

8;

26422642

æö

+-

+=

ç÷

++--

èø

7)

( ) ( )

62

32

3

25

25251;

25

--

æöæö

×-+×-=-

ç÷ç÷

-

èøèø

8)

22232223223231;

-++×+++×++×+=

9)

334122278423.

---+-

2.2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:

1)

3

1

;

12

+

2)

3

1

;

41

-

3)

3

2

;

23

-

4)

33

2

;

42

+

5)

156

;

3514

-

6)

2

;

232

+

7)

323

;

323

+

-

8)

1

;

123

++

9)

1

;

532

-+

10)

1

;

532

--

11)

3

1

;

23

-

12)

4

1

.

23

+

2.3. Упростите выражение:

1)

(

)

(

)

3

33

22

2

333

:1

1

;

aabbab

a

b

abb

æö

++-

ç÷

-=

ç÷

-

ç÷

èø

2)

( ) ( )

3

2

3

22

33333

3

3;

aaa

babab

aa

æö

-

æö

ç÷

-×-++

ç÷

èø

+

èø

3)

1

11

22

2112

3

3333

2

:;

xyxy

xy

xxyy

-

æö

+-

+

ç÷

+

ç÷

-×+

èø

4)

2

33

44

4

1

12.

xyxyxy

xx

yy

xyxy

-

æö

-+

ç÷

+×++

ç÷

-

èø

III уровень

3.1. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:

1)

3

33

1

;

469

++

2)

333

1

;

162025

-+

3)

88

1

;

53

+

4)

1

;

2357

+++

5)

;

117532

1

--+-

6)

5

2

;

31

-

7)

444

2

;

2481

+--

8)

444

2

;

3927

++

9)

88

1

;

75

-

10)

1

;

5237

+-+

11)

44

1

;

35

+

12)

44

1

;

75

-

13)

33333

1

.

39131525

-+-+

3.2. Упростите выражение:

1)

33

20142201424;

++-=

2)

837837

;

3535

++-

+--

3)

3

31953

;

31953

--

-

++

4)

3

211072

;

211072

-+

×

+-

5)

(

)

(

)

( ) ( )

33

2

33

20164554

;

275423

-×+

---

6)

882040;

+++

7)

4

44

821

;

821821

-+

+----

8)

62

23;

22

+--

9)

821025821025;

+++-+

10)

1111

....

12233499100

++++

146 147

5.2. Степень с произвольным действительным

показателем

Во множестве R определена степень a

x

с действительным

показателем.

В выражении a

x

число а называют основанием степени,

число x – показателем степени. Нахождение значения степени

называют возведением в степень.

Степень с действительным показателем

Пусть a Î R, тогда:

1)

...,

n

n ðàç

aaaa

=×××

14243

n Î N;

2)

0

1,0;

aa

=¹

3)

1

,,0;

n

ana

a

-

=Î¹

N

4)

1

,,2

n

aann

=Î³

N и a ³ 0, если

2, ;

nkk

=Î

N

5)

( )

, , 2,

m

n

aannm

=Î³Î

NN

и если

2, ,

nkk

=Î

N

то a ³ 0;

6)

1

, 0,,2,

m

n

m

n

aannm

a

-

=¹Î³Î

NN

и если

2, ,

nkk

=Î

N

0;

a

>

7)

,

k

a

где

,

k

Î

I

определяется следующим образом.

Пусть иррациональное число k записано в виде десятичной

дроби,

()

n

uk

– последовательность его десятичных приближе-

ний с недостатком (или с избытком). Для любого действитель-

ного числа а > 0 степень

k

a

с иррациональным показателем оп-

ределяется равенством

lim.

n

k

n

aa

®¥

=

На множестве R не определены отрицательная и нулевая

степень числа 0, а также

1

,

n

a

если

0

a

<

2, .

nkk

=Î

N

Свойства степеней

Допустим, что a, b, c Î R и это такие числа, что все степени

имеют смысл. Тогда:

1)

;

bcbc

aaa

+

×=

2)

;

b

bc

c

a

-

=

3)

(

)

;

c

bbc

aa

=

4)

( )

;

c

cc

abab

×=×

5)

;

c

aa

b

æö

=

ç÷

èø

6) если a > 1 и x < y, то

,

xy

aa

<

если 0 < a < 1 и x < y, то

;

xy

aa

>

7) если 0 < a < b и x >0, то

,

xx

ab

<

если 0 < a < b и x < 0, то

.

xx

ab

>

Пример 1. Вычислить

( )

6

380

3

609

232

.

82256

eeee

eee

×-×

×+×

Решение. Используем свойства степеней

( )

6

380

6635866358

3363679

609

23679

58

6958

697969

232

22122

22

82128

212

221

2221

.

6

22212

eeee

eeeee

ee

eee

ee

eee

e

eee

+

×-×

××-×××-×

===

×+×

×+××

××+××

×-

×-×-

===

×+××+

Пришли к ответу:

21

.

6

e

-

Задания

I уровень

1.1. Представьте выражение в виде степени с рациональным

показателем:

1)

34

555;

× 2)

(

)

2

5

3:3;

3)

2

55;

4)

2

6

333;

æö

ç÷

èø

148 149

5)

1

6

3

422;

æö

ç÷

èø

6)

4

35

3

1256255:5;

7)

3

39273;

8)

4

8

222;

9) ;27:243:729

4

3

10) ;625125255

5

11) ;

3

x

y

x

y

x

y

x

× 12) ;:

2

6

3

4

42

÷

ø

ö

ç

è

æ

÷

ø

ö

ç

è

æ

x

y

x

yx

x

y

13) ;

4

22

yxxy 14)

36

25

.

aaaa

-

××

1.2. Выполните действия:

1)

83

410

(2)5

;

5210

-×

××

2)

( )

7

5

10

20,75;

27

-

æö

×

ç÷

èø

3)

20

1015

42

;

216

×

4)

33

3

22

;

41

-

+

5)

( )

(

)

3

2

16:4;

-

- 6)

1

1223

2

3354

2783281;

æö

×××

ç÷

èø

7)

201

2

353

4:;

462

-

æöæö

æöæöæö

-+

ç÷ç÷

ç÷ç÷ç÷

ç÷ç÷

èøèøèø

èøèø

8)

2

8

0

1

4

3

3;

2

-

æö

ç÷

+

ç÷

èø

9)

542

2

111

64

18276

.

2

3

--

-

æöæöæö

××+

ç÷ç÷ç÷

èøèøèø

æö

ç÷

èø

1.3. Найдите

x

из уравнения:

1)

0,2

2;

x = 2)

3

27;

xx= 3)

3,2

3

77;

x

-

=

4)

3

2

27;

x = 5)

0,4

3

9;

x

-

= 6)

3.

xx=

1.4. Упростите выражение

111131

222222

1111

2222

2

.

xyxyxyy

xyxy

xyxyxyxy

æö

-+

ç÷

+×-

ç÷

+-

ç÷

+-

èø

II уровень

2.1. Вычислите:

1)

( )

42

22

234117

;

2344681

--

-

2)

( )

0,751,25

0,250,25

70,25

70,25:;

47

-

æö

--

ç÷

èø

3)

( )

( ) ( )

1

0,50,50,5

350,251555;

-

-æö

-+×+-

ç÷

èø

4)

(

)

( )

2

3

432

202122482:8;

×-×-×-

5)

3018121830

2412624624

75357

;

323315521

-

×-××

×-×+×

6)

22

21877292438127

.

3924318541629

×+××

××+×××

2.2. Упростите выражение:

1)

( ) ( )

( )

2

11

4444

:;

4

ab

abab

ab

-

--

-

æö

-++

ç÷

èø

+

2)

22

51115111

66336633

2

112211

333333

4

2;

babababa

a

ab

ababab

--

æöæö

++-

ç÷ç÷

èøèø

-+

-

æöæö

-×++

ç÷ç÷

èøèø

3)

( ) ( ) ( ) ( )

11

1111

2222

11

1111

2222

.

kmkmkmkm

--

----

--

----

æöæö

++-++--

ç÷ç÷

èøèø

æöæö

++--+--

ç÷ç÷

èøèø

III уровень

3.1. Вычислите:

1)

(

)

(

)

4589363718219135

62313232322;

-×-××+×+×+

2)

616

1281261271281291302;

-××××+

150 151

3)

(

)

(

)

(

)

111

71275125

177177177;

---

++++++++

4)

( )

2,(6)

0,5

4

1

0,25

2,5

375

, ;

35

n

-

æö

ç÷

Î

ç÷

×

èø

Z

5)

( ) ( )

( )

8

3

10,5

4

0,25

0,52,5

3493

, .

37

n

-

æö

ç÷

Î

ç÷

×

ç÷

èø

Z

3.2. Найдите значение выражения:

1)

( )

( ) ( )

11

41

2

22

33

3

33

22

33

2

abab

aabab

aabaab

-+

+

--

при

22;

à =

2)

3

1

2

11,52

2,53

2

1

2

3,0,.

1

4

2

a

aa

aaa

aa

-

--

-

+=>¹

++

-

5.3. Степенная функция

Функция

,

yx

a

= где х – переменная величина,

a

– заданное

число, называется степенной функцией.

Если

1,

a

=

то

yx

=

– линейная функция, ее график – пря-

мая линия (см. параграф 4.3, рис. 4.7).

Если

2,

a

=

то

2

yx

=

– квадратичная функция, ее график –

парабола (см. параграф 4.3, рис. 4.8).

Если

3,

a

=

то

3

,

yx

= ее график – кубическая парабола (см.

параграф 4.3, рис. 4.9).

Степенная функция

3

.

yx

=

Это обратная функция для

3

.

yx

=

1. Область определения:

()(;).

Dy

=-¥+¥

2. Множество значений:

()(;).

Ey

=-¥+¥

3. Четность и нечетность: функция нечетная.

4. Периодичность функции: непериодическая.

5. Нули функции: x = 0 – единственный нуль.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольше-

го и наименьшего значений функция не имеет.

7. Промежутки возрастания и убывания: функция является

возрастающей на всей области определения.

8. График функции симметричен графику кубической пара-

болы относительно прямой y = x и изображен на рис. 5.1.

Рис. 5.1

Степенная функция

2

,

n

yx

=

.

n

Î

N

1. Область определения:

()(;).

Dy

=-¥+¥

2. Множество значений:

[

)

()0;.

Ey

=+¥

3. Четность и нечетность: функция четная.

4. Периодичность функции: непериодическая.

5. Нули функции: единственный нуль x = 0.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции: принимает

наименьшее значение для x = 0, оно равно 0.

7. Промежутки возрастания и убывания: функция является

убывающей на промежутке

(

]

;0

-¥ и возрастающей на проме-

жутке

[

)

0;.

+¥

8. График функции (для каждого n Î N) «похож» на график

квадратичной параболы

2

yx

=

(графики функций

2

,

yx

=

4

yx

=

изображены на рис. 5.2).

–

5

–10

5

0

10

у

х

3

õ

1

152 153

Рис. 5.2

Степенная функция

21

,

n

yx

+

=

.

n

Î

N

1. Область определения:

()(;).

Dy

=-¥+¥

2. Множество значений:

(

)

();.

Ey

=-¥+¥

3. Четность и нечетность: функция нечетная.

4. Периодичность функции: непериодическая.

5. Нули функции: x = 0 – единственный нуль.

6. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наи-

меньшего значений функция не имеет при любом

.

n

Î

N

7. Промежутки возрастания и убывания: функция является

возрастающей на всей области определения.

8. График функции (для каждого

n

Î

N

) «похож» на график

кубической параболы (графики функций

35

,

yxyx

==

изобра-

жены на рис. 5.3).

Рис. 5.3

Степенная функция

21

1

,.

n

yn

x

-

=Î

N

1. Область определения:

()(;0)(0;).

Dy

=-¥È+¥

2. Множество значений:

()(;0)(0;).

Ey

=-¥È+¥

3. Четность и нечетность: функция нечетная.

4. Периодичность функции: непериодическая.

5. Нули функции: нулей не имеет.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольше-

го и наименьшего значений функция не имеет при любом

.

n

Î

N

7. Промежутки возрастания и убывания: функция является

убывающей в области определения.

8. Асимптоты:

0

x

=

(ось Оу) – вертикальная асимптота;

0

y

=

(ось Ох) – горизонтальная асимптота.

9. График функции (для любого n) «похож» на график гипер-

болы (графики функций

3

11

,yy

x

== изображены на рис. 5.4).

Рис. 5.4

Степенная функция

2

1

,

n

y

x

=

.

n

Î

N

1. Область определения:

()(;0)(0;).

Dy

=-¥È+¥

2. Множество значений:

()(0;).

Ey

=+¥

3. Четность и нечетность: функция четная.

4. Периодичность функции: непериодическая.

5. Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольше-

го и наименьшего значений функция не имеет при любом

.

n

Î

N

154 155

6. Промежутки возрастания и убывания: функция является

возрастающей на

(

)

;0

-¥ и убывающей на

(

)

0;.

+¥

7. Асимптоты: x = 0 (ось Оу) – вертикальная асимптота;

y = 0 (ось Ох) – горизонтальная асимптота.

8. Графиками функций являются квадратичные гиперболы

(рис. 5.5).

Рис. 5.5

Степенная функция

1

2

,.

n

yxn

=Î

N

1. Область определения:

()[0;).

Dy

=+¥

2. Множество значений:

()[0;).

Ey

=+¥

3. Четность и нечетность: функция не обладает свойством

четности и нечетности.

4. Периодичность функции: непериодическая.

5. Нули функции: x = 0 – единственный нуль.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции: наименьшее

значение, равное 0, функция принимает в точке x = 0; наиболь-

шего значения не имеет.

7. Промежутки возрастания и убывания: функция является

возрастающей на всей области определения.

8. Каждая такая функция при определенном показателе яв-

ляется обратной для функции

2

n

yx

= при условии

0.

x

³

9. График функции «похож» на график функции

yx

= при

любом n и изображен на рис. 5.6.

Рис. 5.6

Степенная функция

1

21

,.

n

yxn

-

=Î

N

1. Область определения:

()(;).

Dy

=-¥+¥

2. Множество значений:

()(;).

Ey

=-¥+¥

3. Четность и нечетность: функция нечетная.

4. Периодичность функции: непериодическая.

5. Нули функции: x = 0 – единственный нуль.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольше-

го и наименьшего значений функция не имеет при любом

.

n

Î

N

7. Промежутки возрастания и убывания: функция является

возрастающей на всей области определения.

8. График функции изображен на рис. 5.7.

Рис. 5.7

1

–

1

–

1

Майсеня Л.И. Математика в примерах и задачах. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.