Майсеня Л.И. Математика в примерах и задачах. Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
216 217
5)
( )
2
2
2
2
log3
2log
0,25;
x
x
-+
£ 6)
2
log
2;
x
x
>
7)
lg
100;
x
xx
£
8)
2
lg3lg1
1000;
xx
x
-+
>
9)
3
log2
9;
3
x
x
-
æö
>
ç÷
èø
10)
2
0,50,5
loglog
2,5;
xx
xx+£
11)
( )
2
56
31;
xx
x
-+
-³
12)
0,20,2
0,5log332,5log
0,2.
xx
x
--
£
3.2. Решите неравенство:
1)
( )
;535614
xx
xx
+
-
->
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
2) ;642
13
<
++x
3) ;1128332
102
2
x
xx
÷
ø
ö
ç
è
æ
-+³
-+
4) ;4
7
1
2
1
<
+
x
5)
(
)
;12310log3
2
2
5
³--×
--
xx
x
6) .2
5
1
3
1
£
+
x
6.7. Логарифмические неравенства
Логарифмическим неравенством называется такое нера-
венство, в котором неизвестная величина содержится или под
знаком логарифма, или в его основании.
Особенностью решения логарифмических неравенств являет-
ся учет ОДЗ входящих в него логарифмов. В отличие от логариф-
мических уравнений, условия, определяющие ОДЗ, целесообраз-
но записывать вместе с решением в одной системе, так как в ходе
решения некоторые условия на ОДЗ учитываются сразу. Необхо-
димо внимательно следить за величиной основания логарифма,
так как при положительном основании логарифма, которое мень-
ше единицы, знак неравенства меняется на противоположный.
Типы неравенств и способы их решения
Всюду далее f(x), g(x), h(x) – некоторые выражения с пере-
менной.
I тип: неравенство вида
,)(log bxf
a
> (6.16)
где a > 0.
1. Если 0 < a < 1, то неравенство (6.16) равносильно системе
î
í
ì
<
>
.)(
,0)(
b
axf
xf
(6.17)
2. Если a > 1, то неравенство (6.16) равносильно системе
î
í
ì
>
>
.)(
,0)(
b
axf
xf
Заметим, что в этом случае первое неравенство системы (6.17)
можно не решать, так как во втором неравенстве .0>
b
a
.)(log
)(
bxf
xh
>
(6.18)
Решение неравенства (6.18) сводится к решению совокупно-
сти двух систем:
( )
( )
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
ï
î
ï
í
ì
>
>
>
ï
î
ï
í
ì
<
>
<<
.)()(
,0)(
,1)(
,)()(
,0)(
,1)(0
b
b
xhxf
xf
xh
xhxf
xf
xh
Неравенство f(x) > 0 во второй системе можно не решать,
так как оно справедливо при выполнении двух других нера-
венств этой системы.
II тип: неравенство вида
log()log().
aa
fxgx
> (6.19)
1. Если 0 < a < 1, то неравенство (6.19) равносильно системе
ï
î
ï
í
ì
<
>
>
).()(
,0)(
,0)(
xgxf
xg
xf
(6.20)
Неравенство g(x) > 0 в системе (6.20) можно не решать, так
как оно выполняется при условии выполнения двух других не-
равенств этой системы.
2. Если ,1
>
a то неравенство (6.19) равносильно системе
ï
î
ï
í
ì
>
>
>
).()(
,0)(
,0)(
xgxf
xg
xf
(6.21)
218 219
Неравенство 0)(
>
xf в системе (6.21) можно не решать.
).(log)(log
)()(
xgxf
xhxh
> (6.22)
Поскольку в основании содержится переменная величина,
то в общем случае решение неравенства (6.22) зависит от вели-
чины основания по сравнению с числом 1. Поэтому решаем со-
вокупность двух систем:
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
>
>
>
>
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
<
>
>
<<
).()(
,0)(
,0)(
,1)(
),()(
,0)(
,0)(
,1)(0
xgxf
xg
xf
xh
xgxf
xg
xf
xh
III тип: неравенство вида
,0))((log >xfF
a
(6.23)
где F – некоторое выражение относительно
).(log xf
a
Необходимо заменить
)(log xfy
a
=
и решить неравенство
F(y) > 0. Полученные в качестве решения последнего неравенст-
ва промежутки записывают в виде неравенств относительно y, а
затем возвращаются к старой переменной.
Аналогично решают неравенства I – III типов, в которых
вместо знака > использованы знаки ³, <, £.
Пример 1. Решить неравенство .2)2(log
2
2
1
->-- xx
Решение. Имеем неравенство I типа. Так как основание логарифма
меньше числа 1, то решение неравенства сводится к решению системы
2
2
2
22
2
20,
20,
1
22;
2;
2
xx
xx
xxxx
-
ì
-->
ì
-->
ï
ï
íí
æö
--<--<
ï
ï
î
ç÷
èø
î
2
2
20,(1)(2)0,
(2)(3)0.
60;
xxxx
xx
xx
ì
-->+->
ì
ï
íí
+-<
--<î
ï
î
Используем далее метод интервалов (рис. 6.13).
Рис. 6.13
Получаем ответ:
(
)
(
)
.3;21;2 È--Îx
Пример 2. Решить неравенство .1
1
3
log >
-
+
x
x
x
Решение. Данное неравенство относится к I типу. Поэтому реша-
ем совокупность двух систем
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
>
-
+
>
-
+
>
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
<
-
+
>
-
+
<<
.
1
3
,0
1
3
,1
,
1
3
,0
1
3
,10
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Первая система решений не имеет. Решаем вторую систему
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
>
-
+
>
-
+
>
.1
1
3
,0
1
3
,1
x
x
x
x
x
Второе неравенство этой системы не решаем, так как оно справед-
ливо, если выполняется последнее неравенство. Получаем:
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
<
-
-+
>
-
+
>
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
<
-
--
>
-
+
>
.0
1
)3)(1(
,0
1
3
,1
;0
1
32
,0
1
3
,1
2
x
xx
x
x
x
x
xx
x
x
x
–
1
2
х
–
2
3
х
220 221
Используем метод интервалов (рис. 6.14).
Рис. 6.14
Получаем ответ:
(
)
.3;1Îx
Пример 3. Решить неравенство
(
)
(
)
.1lg73lg +£- xx
Решение. Это неравенство II типа, причем основание логарифма
больше числа 1. Поэтому решаем систему
ï
î
ï
í
ì
+£-
>+
>-
.173
,01
,073
xx
x
x
Получаем
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
£
->
>
ï
î
ï
í
ì
£
->
>
.4
,1
,
3
7
;82
,1
,73
x
x
x
x
x
x
Подводя итог, приходим к ответу: .4;
3
7
ú
û
ù
ç
è
æ
Îx
Пример 4. Решить неравенство .04log4loglog
2
2
2
3
2
³--+ xxx
Решение. Имеем неравенство III типа.
Заменяем
yx =
2
log
и решаем кубическое неравенство
.044
23
³--+ yyy
Разлагаем левую часть неравенства на множители:
,0)1(4)1(
2
³+-+ yyy
.0)2()1()2(
,0)1()4(
2
³-×+×+
³+×-
yyy
yy
Используем далее метод интервалов (рис. 6.15).
Рис. 6.15
Получили решение
[
]
[
)
.;21;2 ¥+È--Îy Записываем его в виде:
ê
ê
ê
ë
é
³
î
í
ì
-£
-³
.2
,1
,2
y
y
y
Возвращаемся к неизвестной x и с учетом ОДЗ заданного неравен-
ства имеем:
2
2
1
2
2
2
0,
0,
0,
1
,
2,
log2,
4
log1,
1
2,
,
2
log2;
2;
4.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-
-
>
ì
>
ì
ï
>
ì
é
ì
ï
ï
ï
³
é
ì
ê
ï
³
é ³-
ï
ïì
ï
ïïï
ê
ê
í
í
ííííê
£-
ê
£
ê
ï
î
î
ïïïïê
£
ê
ê
ï
ïïï
ê
î
³
ë
³
î
ê
ê
ï
ë
î
ï
³
ê
ë
î
Получаем ответ:
[
)
.;4
2
1
;
4
1
¥+È
ú
û
ù
ê
ë
é
Îx
Задания
I уровень
1.1. Решите неравенство:
1) ;6log
2
1
>x 2)
;2log
3
³x
3) ;3log
2
£x 4) ;2log
25,0
-<x
5) ;5,0lg
³
x 6) ;3ln
<
x
7) ;2)3(log
5
£+x 8) ;5,0)2(log
16,0
-£- x
9) ;7)11(log
2
4
>-x 10) ;4)1(log
3
1
-<+x
11)
;3
1
log
2
³
x
12)
;1
3
2
log <
-
x
p
13) ;1
3
2
lg £
-
+
x
x
14) ;0)75ln(
2
<++ xx
15)
(
)
(
)
;1lg32lg +>- xx
16)
(
)
(
)
;3log375log
55
+<- xx
х
2
–
1
–
2
1
–
3
х
1
х
–
1
1
3
х
222 223
17) ;62log
7
<+x 18) ;23log
2
2
-³-x
19) ;
3
1
1log
2
001,0
-£+x 20) ;1
1
1
log
2
->
-
+
x
x
21)
(
)
;482log
2
2
1
-³-+ xx
22)
(
)
;2ln2ln +>+ xx
23)
(
)
;2133log
2
3
1
->++- xx 24)
(
)
2
ln80exp22;
x
-³
25) ;5,0
3
1
log
2
25,0
->
-
+
x
x
26) ;
4
1
1log
81
³-x
27) ;09log
2
3
£-x 28) ;0100log
2
1,0
>-x
29) ;025)1(log
2
5,0
<-+x 30) ;081)3(log
2
2
³--x
31)
;6loglog
2
2
2
£- xx
32)
;03log5log2
5,0
2
5,0
>-- xx
33) ;15log <
x
34) ;236log ³
x
35) ;2)1(log >-x
x
36)
32
log1;
x
x
-
£
37) ;3lglg +> xx 38)
(
)
(
)
;1log42log
3,03,0
+³- xx
39)
(
)
(
)
;37log25log
1,01,0
+£+ xx
40)
(
)
(
)
22
22
33
log21log473;
xxxx++³++
41)
777
loglog(2)log(6);
xxx++<+
42) ;log)216(log)27(log
3,03,03,0
xxx ³--+
43)
2
93
log(1449)2log(1);
xxx
++£+
44)
2
0,490,7
log(1236)log3.
xxx
++£-
II уровень
2.1. Решите неравенство:
1) ;2log4
2
>- x 2)
(
)
2
25
log45
0;
13
loglog
4
x -
>
3)
2
lg0;
log10
x
xx
-<
4)
( )
;0log
2
1
2
£
+
x
x
5)
(
)
;05log
1
£-
+
x
x
6) ;0
4
loglog
2
65,0
<
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+
x
xx
7)
2
lg3lg3
1;
lg1
xx
x
-+
>
-
8) ;0
2
63
loglog
2
2
3
1
>
+
+
x
x
9) ;0logloglog
423
<x 10)
2
22
log 2
;
log2log6
x
xx
<
-+
11)
;
1log
2
log
2
2
-
£
x
x
12)
( )
2
3
321
0;
log1
xx
x
--
£
-
13)
( )
( )
2
1
2
log5
0;
815
x
x
xx
-
-
³
-+
14)
2
3553
3
25
loglogloglog2;
5
x
xx
x
-£-
15)
34
3434
loglogloglog12;
xxxx<+-
16)
(
)
(
)
;246log346log
2
25,0
22
4
-<+-++- xxxx
17) ;log)216(log)27(log
3
13
3
1
xxx >-++
18)
(
)
;0)4(log2186log
3
1
2
3
1
<--+- xxx
19)
( )
31
3
3
1
log(2)(4)log(2)log7.
2
xxx+×+++<
III уровень
3.1. Решите неравенство:
1)
(
)
;234114log
2
26
<+++
-
xx
2) ;08log
2
128
>
-
-
x
xx
3)
(
)
2
0,522
loglog3log41;
xx
-+>-
4)
2
33
222
0;
5
loglog2
2
xxx
x
-++-
£
æö
-+
ç÷
èø
5)
(
)
(
)
22
log31log321;
xx
-+->
6)
(
)
7
loglog72
4321;
x
x
xx
+-
-
+×£
7)
3
327
2
log271log9;
1log
xx
x
æö
³+
ç÷
-
èø
8)
22
log3log;
2
x
x
xx
-³
9)
(
)
(
)
1
20,5
log21log222;
xx+
-->
10)
(
)
3
loglog961.
x
x
-³
224 225
Содержание
Предисловие
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1. Введение в курс математики
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1. Высказывания. Типы теорем. Метод математической
индукции . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2. Множества и операции над ними. Числовые множест-
ва. Некоторые обозначения . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.3. Понятие комплексного числа, алгебраическая форма
записи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2. Многочлены и рациональные дроби
. . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.1. Формулы сокращенного умножения. Бином Ньютона
32
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.2. Многочлены. Действия над многочленами
. . . . . . . . . .
37
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.3. Рациональные дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
3. Алгебраические уравнения и алгебраические
неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3.1. Уравнения высших степеней
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
3.2. Дробно-рациональные уравнения . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
65
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.3. Уравнения с модулем
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
3.4. Системы и совокупности уравнений . . . . . . . . . . . . . . .
80
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
3.5. Алгебраические неравенства с одной переменной
. . . .
89
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
3.6. Неравенства с модулем
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
4. Числовые функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
4.1. Функция, ее свойства и график
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
4.2. Обратная функция. Функция, заданная неявно и пара-
метрически . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
4.3. Преобразования графиков
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
4.4. Неравенства с двумя переменными и их системы
. . . .
134
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
5. Степени и корни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138
5.1. Корень n-й степени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
138
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
5.2. Степень с произвольным действительным показателем
146
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
5.3. Степенная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
150
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
5.4. Иррациональные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
158
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167
6. Показательные и логарифмические выражения . . . . . .
170
6.1. Показательная функция, гиперболические функции
. . .
170
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
176
6.2. Понятие логарифма и его свойства
. . . . . . . . . . . . . . . . .
179
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
183
6.3. Логарифмическая функция
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
187
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
190
6.4. Показательные уравнения, показательно-степенные
уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
193
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
199
6.5. Логарифмические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
201
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
207
6.6. Показательные неравенства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
210
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
213
6.7. Логарифмическое неравенства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
216
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
221
Учебное издание
М А Т Е М А Т И К А
В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
Учебное пособие
для учащихся колледжей
В шести частях
ЧАСТЬ 1
Майсеня Людмила Иосифовна
Махнач Светлана Борисовна
Радюк Дарья Ивановна
Романовская Наталия Ивановна
Алгебраические уравнения
и неравенства. Функции. Логарифмы
Зав. ред.-издат. отд. О. П. Козельская
Редактор Г. Л. Говор
Корректор Н. Г. Михайлова
Компьютерная верстка Н. М. Олейник, А. П. Пучек
План изданий 2006 г. (поз. 23)
Изд. лиц. № 02330/0131735 от 17.02.2004.
Подписано в печать 29.12.2006. Формат 60´84
1
/
16
.
Бумага писчая. Гарнитура Таймс. Печать ризографическая.
Усл. печ. л. 13,14. Уч.-изд. л. 10,84. Тираж 500 экз. Заказ 309.
Издатель и полиграфическое исполнение Учреждение образования
«Минский государственный высший радиотехнический колледж»
220005, г. Минск, пр-т Независимости, 62.