Машимов М.М. Геодезия.Теоретическая геодезия
Подождите немного. Документ загружается.
Градиент зенитного расстояния г получим, пользуясь формулами
(314) и (671),
(676)
Градиент линии, согласно равенствам (323), (330), (339), (671),
8о=8° = 8г = 1- (677)
Градиент топоцентрического прямого выхождения а (часового О
угла) на основании формул (339) и (671)
8«=8»= 1/(рсозб). (678)
По аналогии градиент астрономической А, и геодезической Ь долгот:
ёх = 1/(/тоз
Ф)
(679)
Градиент топоцентрического склонения б получим, пользуясь урав-
нениями (339) и (671),
Яб=1/р. (680)
По аналогии градиент астрономической ф и геодезической В широт:
8<Г—
!/'•; 8в= 1/(М + Н). (681)
Градиенты составляющих уклонения отвеса | =
ф —
В и л — (^
—
— /,)созф получим, пользуясь формулами (679), (681) и (670):
М
+
Н — г
И + Н
—
г ,
соо
,
г(М +
Н)
;
= г(Ы+Н)
(682)
Градиент пространственного угла (5 между двумя радиусами-векто-
рами р,| и р|2 получим с помощью формул (339), (670) и (671),
8р = У
р.Т*
+ РГ
2
' - 2р,Т'соз р = . (683)
Р> 1 р/2
По аналогии градиент горизонтального Ро между двумя радиусами-
векторами О» и Дг будет
Градиент разности двух топоцентрических расстояний р,ч и р,-г можно
получить с помощью формул (339), (670) и (671) так:
8ь
Р
= У 2
—
2соз р = 2З1п (р/2) (685)
По аналогии градиент разности двух горизонтных расстояний Д|
и Дг
8&о = 2з1п (Ро/2). (686)
Рассмотрим геометрическую интерпретацию градиента. Каждая из-
меренная величина Ф(х, у, г) как скалярная функция координат опре-
деляет поверхность. Например, потенциал силы тяжести №(дс, у, г)
240
составляет уровенную поверхность, проходящую через точку <Э(х, у, г),
а для измеренных линий О, 5, р — поверхность шара соответствующего
радиуса.
Градиент-вектор по определению есть нормаль-вектор к поверхности
Ф(х, у, г) в точке <3 с координатами х, у, г, модуль которого равен
производной скалярной функции Ф(х, у, г) по нормали, т.е.
^ф = йФ/йп. (687)
Градиент-вектор УФ определяет плоскость Ах + ВуСг + й — О,
касательную к поверхности Ф(лг, у, г) в точке С}(х, у, г). Погрешность
измерений
<1Ф
приводит к смещению касательных плоскостей по норма-
ли на величину йп = йФ/§ф. Следовательно среднее квадратическое
смещение касательной плоскости
т
а
— Шф/§ф. (688)
Методом полной аналогии можно получить выражения для градиен-
тов вариометрических и гравиоинерциальных измерений в целях их
совместной обработки по МНК как измерений однородного трехмерного
пространства.
Примечательная закономерность состоит в том, что отношение лю-
бой скалярной функции координат Ф(х, у, г) к собственному градиенту
всегда имеет размерность однородного пространства координат.
Таким образом, чтобы уравниваемые по МНК ряды измеренных ве-
личин имели однородную размерность пространства, каждому результа-
ту измерений Ф(*, у, г) необходимо придавать соответствующий вес
с учетом его градиента и погрешности т®.
Очевидно уравнения поправок КФ = ВФХ+1УФ ДЛЯ любого ряда
измерений Ф при делении на их градиент §Ф становятся однородными
по размерности
У=ВХ+\Р, (689)
где V = УФ/ЁФ; № = В = ВФ/§Ф.
При этом составляющие векторов V, X имеют одинаковую линей-
ную размерность в масштабе, в котором выражены координаты х, у, г.
Элементы матрицы преобразования координат В будут безразмерными
величинами, и тем самым соблюдается принцип однородности простран-
ства как необходимое условие выполняемых при обработке по МНК
результатов измерений. Веса р уравнений поправок (689) будут отвле-
ченными числами как вероятностные их характеристики. Элементы кор-
реляционных матриц как функции оператора преобразования координат
В и весов р уравнений поправок (689) будут также отвлеченными
числами, что и требуется для правильной оценки коэффициентов корре-
ляции составляющих векторов V, X, оцениваемых по МНК.
Таким образом, применение градиентов измеренных величин и их
функций позволяет строго уравнять всевозможные ряды измерений и их
функций, составленные из разнородных величин,
9-М. Машимов 241
5.4.3. Систематическая ошибка измерений и взаимосвязь
уравниваемых величин. Информативность функций рядов
измерений
Систематическая ошибка в измерениях искажает свободный член
уравнения поправок
V = ВХ + Г (690)
и дисперсию единицы веса.
Погрешность параметра оценивается так
АХ = -(В'рВ)-
1
В'рАш= —<1хВ'рАу, (691)
где Дг — погрешность свободного члена уравнения (690), обусловлен-
ная влиянием систематических ошибок измерений.
Погрешность дисперсии ДО единицы веса определяется ошибкой
оценивания поправок V, обусловленной погрешностями АХ и свободного
члена Дг-
С учетом (690) и (691) получим выражение
Ау=Р
в
Ахе, (692)
где Рв — Е — В()хВ'Р есть оператор преобразования координат, обла-
дающий свойством Р'в = Р.
Квадратичную форму У'рУ с учетом погрешности Ди выразим так
Р = Ур V = (У
0
+ Р
в
А у)'р( Уо + РвА г) = Уор Уо + УорРвА г +
+ А'уРвр Ко + АЬРврРвА г. (693)
Очевидно, 2-й и 3-й члены в силу компенсации случайных ошибок будут
равны нулю. Тогда погрешность квадратичной формы будет
АР = УрУ-УорУо = АЬР'врРвАш.
Заметим, что с учетом (692) весовая матрица Р'врРв= рРв, тогда по-
грешность квадратичной формы АР = А'урРвАу?- Погрешность дисперсии
единицы веса оценим по формуле
ДО = А'шрРвАг/(я - к). (694)
Рассмотрим в другом аспекте влияние систематических ошибок на
оценивание параметров по МНК. Пусть систематические ошибки изме-
рений в качестве дополнительных параметров У исключены в процессе
уравнивания [12]. Очевидно в этом случае квадратичная форма УорУо
и дисперсия единицы веса не будут искажены, так как систематическая
часть в оценке свободного члена компенсируется за счет введения до-
полнительных параметров У, учитывающих систематические ошибки
измерений. Тем не менее, поскольку часть измерительной информации
затрачивается на определение дополнительных параметров, оценка дис-
персии искомого параметра ухудшается из-за уменьшения степени сво-
боды системы уравнений поправок.
Поставим задачу оценивания к необходимых ^ и / дополнительных
242
У параметров по выборке п измерений с весом р. При этом п>к-\-1.
Уравнения поправок запишем с помощью блочных матриц в форме
= +И7, (695)
где В — матрица из л строк и к столбцов; А — матрица из п строк и /
столбцов.
Нормальные уравнения, соответствующие решению системы (695)
под условием УорУ = гтпп, имеют следующие элементы:
КХ + ТУ= — В'рГ;
С1Х
+ ЗУ= — А'рЧГ, (696)
где Я = В'рВ- Т = В'рА\ V = А'рВ\ 5 = А'рА.
Обратная матрица для нормальных уравнений на основании
известных формул обращения блочных матриц [12] состоит из 4 блоков
До =
<2х
+ ЯхТЗоТ'Ях;
<2х
= (В'рВГ
1
; (697)
То= -ЯхТ8
0
- Ц
0
= ТЬ; (698)
5
0
= (А'рРвА)-
[
.
Рассмотрим блок /?о. Первое слагаемое С}х представляет собой кор-
реляционную матрицу необходимого параметра X, определяемого без
выявления систематических ошибок в измерениях. Наличие второго
слагаемого в выражении (697) указывает на изменение оценок X за счет
включения в число определяемых величин систематических ошибок из-
мерений. Без их учета имеем оценку
XI = -ЯхВ'рЧР, (700)
а при учете искомый параметр будет
Х*=-(2
х
В'рШ + <2хТЗоА'р\У, (701)
где А' = А' — Т'ЯхВ'.
Разность двух оценок
Х,—Х
я
= -С}
х
ТЗоА'р\Р (702)
есть погрешность оценки искомого параметра, обусловленная влиянием
систематических ошибок измерений. Оценка имеет систематическую
ошибку
АХ, = —<2хВ'рАш. (703)
Погрешность свободного члена, выраженная относительно дополни-
тельного параметра У равна
Дг=— АУ. (704)
Дополнительный параметр на основании (696), (697) и (701) будет
У=-3
0
А'рШ. (705)
9. 243
Подставим У в равенство (703) и получим оценку погрешности
свободного члена
Ат=А8
0
А'рШ.
Исключим Дц? в выражении (703) и получим оценку погрешности перво-
го решения ДХ1 =
—С}хТ5оА'рШ,
которая точно совпадает с разностью
(702) результатов двух решений. Как и следует из постановки задачи,
второе решение (701)' не отягощено влиянием систематических ошибок
измерений.
Замечаем обстоятельство, что след матрицы зр Ко во втором реше-
нии будет больше, чем след матрицы зр в первом решении из-за
дополнительного члена С}хТ5оТ'()х• Однако в первом решении квадра-
тичная форма У'рУ будет иметь погрешность АР, оцениваемую форму-
лой (690). Поэтому вычисляем отношение оценок дисперсии необходи-
мых параметров двух решений, по формуле
р =
[У'орУо/(п-к-1)]5р /?о ,
?06)
[УрУ/(п-к)]ьр(1
х
' ^ '
Если дисперсионное отношение /
г
о^1, то совместное определение
искомых параметров и систематических ошибок измерений является
корректной задачей. В результате имеем эффективную оценку в виде
решений (701) и (705) с дисперсионной матрицей
Если /о>1, то требуется дополнительное обоснование с помощью
числа Р
я
по критерию Фишера при заданном уровне вероятности д и по
числам степеней свободы г\ = п — к и г
2
= п — к — I. Если Р<Р
Я
, то в
качестве эмпирической оценки искомых параметров X и У принимаем
решения (701) и (705) с дисперсионной матрицей. Если Р>Р
Я
, то
систематические ошибки разделяем на 1\ групп (/|</) и повторяем
решение задачи. Если при повторном решении соблюдается условие
Р\<.Р
Я
, то оно принимается за эффективное решение. Уменьшение числа
групп соответственно ослабляет корреляцию уравниваемых величин и
искомых параметров. Увеличение тесноты корреляции уравниваемых
величин уменьшает информативность системы, т. е. тождественно пони-
жению ее степени свободы [12]. Таким образом, возникает задача
оценки информативности системы уравниваемых величин как составной
части проблемы эффективного оценивания параметров по МНК. Ин-
формативность является одной из важных качественных и количествен-
ных показателей геоинформационных измерительных систем (ГИИС).
В то же время в банках ГИИС по техническим и экономическим огра-
ничениям не могут храниться ряды геономической (астрономо-геодези-
ческой, гравиметрической, геофизической, топографической, картогра-
фической и др.) измерительной информации. Ряд геономической измери-
тельной информации (ГИИ) эквивалентно можно заменить соответ-
244
ствующими параметрами, которые оцениваются по МНК как компакт-
ные функции рядов ГИИ и требуют меньших затрат средств для их
хранения и обработки на ЭВМ. Поэтому актуальной становится задача
эффективного оценивания параметров по МНК как элемент новой гео-
информационной технологии. Решение этой задачи требует научного
обоснования на основе оценки информативности функций рядов ГИИ.
Разработка способов повышения информативности функций рядов ГИИ
является одной из новых задач в развитии геоинформационной техно-
логии.
Редукция измерений в единую систему отсчета координат и гравита-
ции эквивалентна учету систематических ошибок измерений. Когда изме-
рения аппроксимируются с учетом изменения параметров системы коор-
динат и гравитационного поля априор заданной модели внутреннего
строения Земли и вариометрических измерений вторых производных
потенциала силы тяжести, то такие измерения становятся коррелиро-
ванными величинами. При строгой обработке по МНК необходимо учи-
тывать взаимосвязь уравниваемых величин, получаемых путем редукции
и аппроксимации результатов измерений. Однако увеличение взаимосвя-
зи уравниваемых величин возможно до некоторых допустимых пределов.
Например, если поставили задачу оценивания всевозможных парамет-
ров измерений, включая и редукционные величины, то корреляция
уравниваемых величин может оказаться настолько сильной, что уравне-
ния поправок (690) приведут к системам нормальных уравнений с ква-
зивырожденной матрицей.
5.4.4. Принцип многоэтапного уравнивания обширных
астрономо-геодезических и гравиметрических измерений
При обработке связанных измерений по МНК системы линейных
уравнений по мере увеличения их порядка постепенно вырождаются в
слабообусловленные системы. В предельном случае геодезическая сеть,
составленная на основе обширных связанных измерений, становится
свободной системой.
Следует заметить, что измерения в геодезических сетях, выполнен-
ные в разное время в течение нескольких десятков лет, как статистика
не представляет единую генеральную выборку из-за невозможности их
точной редукции в единую систему отсчета и гравитации. Кроме этого,
пока нет технической возможности для точного решения систем нор-
мальных уравнений порядка 600 тыс., возникающих при совместной
обработке континентальной триангуляции, так как возникает непреодо-
лимое противоречие между высоким требованием к точности вычислений
и слабой обусловленностью обширных систем нормальных уравнений.
Учет ошибок округлений на ЭВМ, влияние которых возрастает с увели-
чением порядка нормальных уравнений, становится одной из трудных
технических задач в решении по МНК больших систем уравнений попра-
вок. Очевидно, преодоление вышеуказанных трудностей следует искать
на путях реализации компьютерных алгоритмов, основанных на идеях
245
группового многоэтапного метода уравнивания. Сущность метода за-
ключается в разделении обширной системы астрономо-геодезических и
гравиметрических измерений на группы и в оптимизации оценок по
МНК параметров X, компактно представляющих соответствующую груп-
пу измерений Е. При этом возникает задача оценивания ковариацион-
ных матриц Кх и Кь параметров X и измеренных величин Л, которая
выполняется с помощью псевдооператоров.
Для произвольной прямоугольной или вырожденной квадратной
матрицы N символ обратной матрицы не имеет смысла. Однако
существует псевдооператор N
+
, который обладает некоторыми свойства-
ми обратной матрицы и может быть применен в матричных операциях
над линейными уравнениями.
Псевдооператор размера пХт называется псевдообратной мат-
рицей для матрицы N размеров тХ п, если выполняется условие
Из определения псевдообратной матрицы следует, что для квадрат-
ной матрицы ее псевдообратная матрица будет также квадратной и того
же размера, что и исходная матрица. В частном случае для неособенной
квадратной матрицы N псевдообратная Л
г+
совпадает с ее обратной
матрицей N~
>
.
Исходная матрица N для матрицы N
+
является псевдообратной,
т. е. имеет место равенство (N
+
)
+
= N.
По определению псевдообратной матрицы (708) квадрат каждой из
матриц NN
+
и N
+
N равен самой матрице, т. е.
(Л^
+
) (NN
+
) = NN
+
•, (Ы+Л/) = N
+
N.
В практике уравнительных вычислений, как правило, ранг прямо-
угольной матрицы А(В) уравнений поправок в коррелатном (параметри-
ческом) способе равен числу строк матрицы А (столбцов матрицы В).
Поэтому необходимость в применении псевдообратной матрицы не воз-
никает, так как квадратная матрица N = АА'(N = В'В) нормальных
уравнений в коррелатном (параметрическом) способе имеет порядок,
равный ее рангу, и для нее существует обратная матрица
По формальной логике и в этом случае можно пользоваться поня-
тием псевдообратной матрицы, удовлетворяющей условию (708).
В действительности можно вычислять псевдообратные матрицы та-
ким образом, что
Заметим, что в этом частном случае произведение исходной и псевдо-
обратной матриц дает единичную матрицу, т. е.
АА+ = Е; В+В = Е; NN
+
= N
+
N = Е.
Особый интерес представляет задача уравнивания свободных геоде-
зических сетей без исходных пунктов, когда ранг прямоугольной матри-
246
NN
+
N = N. (708)
А+ = А'(АА')-
1
; #+ = (ЛЛ'Г';
В+ = (Й'В)-'В'; М
+
= (В
,
В)~
1
.
(709)
цы уравнений поправок А(В) в коррелатном (параметрическом) способе
меньше числа строк матрицы А (столбцов матрицы В). В этом особом
случае порядок матрицы нормальных уравнений Ы = АА'(Ы = В'В)
превышает ее ранг, она вырождается и возникает задача с псевдообрат-
ной матрицей. При этом определение псевдообратной матрицы под
условием (709) соответствует задаче аппроксимации по методу наимень-
ших квадратов. Таким образом, в свободной геодезической сети реше-
ние задачи можно записать следующими формулами [12]:
(7Ю)
— в коррелатном способе;
У=ВХ+№-
1
А
(7П)
Д =-(В'В)+В'Г; У=(Е — В{В'В)
+
В')\Р
— в параметрическом способе.
Псевдообратная матрица может быть вычислена по формуле
N
+
= М^N^М
2
, (712)
где ^«[^(АМК + ЛГаЛ^)-
1
; М
2
= (ЛЧ/У,+ЛфУ
3
Г'[Л/1Л^];
/V,- (/= 1, 2, 3, 4) составляющие блоки матрицы:
I л/
3
1
Для симметричной матрицы УУ
+
= М\Ы\М\, ибо N2= N3.
Матрица N с вещественными элементами разделяется на блоки
таким образом, что — неособенная квадратная матрица, ранг кото-
рой равен рангу исходной матрицы N. В общем случае из правила вы-
числения псевдообратной матрицы по формулам (712) и (708) не сле-
дует, что произведение псевдообратной на исходную матрицу равно
единичной матрице, как это имело место в частном случае при формаль-
ном подходе к построению псевдообратной матрицы по формулам (710)
и (711).
Для вырожденной матрицы N имеет место матричное уравнение
6^4= ЛЛ,-Л
г
з^Г
1
#2= о. (713)
Решение некорректно поставленной задачи связано с операциями
над слабообусловленными (квазивырожденными) матрицами, для кото-
рых практически не удается вычислить обратные матрицы. Необходима
фильтрация квазивырожденной матрицы N с целью выделения строк
(столбцов), являющихся квазилинейной комбинацией других ее строк
(столбцов). После фильтрации из таких строк (столбцов) можно обра-
зовать блоки N3 и N4 (N2 и N4) таким образом, что первый блок будет
представлен неособенной матрицей Л/|, для которой существует обрат-
ная матрица Л/Г
1
- После разбиения квазивырожденной матрицы N на
247
такие 4 блока, применяя формулу (712), можно определить псевдооб-
ратную матрицу М+, которая эквивалентно заменяет обратную матрицу
М
-1
в задаче наилучшей аппроксимации по МНК.
Если квазивырожденную матрицу N удается разложить на блоки
N1 (/ = 1, 2, 3, 4) таким образом, что элементарная матрица 8^4= N4
—
—
NзNТ
[
N2 мало отличается от нулевой матрицы, то с помощью псевдо-
оператора будет найдено эффективное решение некорректной задачи
уравнивания по МНК. Заметим, что формула (712) слабо реагирует на
малые изменения элементов исходной матрицы и дает устойчивую оцен-
ку ее псевдообратной матрицы. Таким образом применение псевдоопера-
торов дает возможность ослабить влияние ошибок вычисления элемен-
тов исходной матрицы и округления на компьютере, как при уравнива-
нии свободной геодезической сети, так и при решении некорректно по-
ставленной задачи оптимизации оценивания параметров. Это следует из
основного свойства псевдооператоров, позволяющего надежно аппрокси-
мировать функции по МНК для некорректно поставленных задач. При-
менение псевдооператоров в уравнительных вычислениях эквивалентно
применению метода регуляризации А.Н.Тихонова [3, 12]. При уравни-
вании свободных геодезических сетей предпочтение следует отдать
псевдооператорам, так как выделение на компьютере из блока N невы-
рожденной части N1 является простой алгоритмической задачей.
Для квазивырожденной матрицы, если на ЭВМ несложно реализу-
ется алгоритм фильтрации невырожденной матрицы N1 из общего блока
М, то следует применять псевдообратную матрицу. В противном случае
целесообразно искать регуляризованное решение по методу А. Н. Ти-
хонова [12]. При этом следует уделить особое внимание на вычисление
стабилизаторов регуляризации, чтобы получить несмещенную оценку
искомых параметров.
Применение псевдооператоров позволяет получить несмещенную
оценку уравниваемых величин Ь, так как их границы определения пред-
ставляют результаты измерений. Что касается параметров X, если не
указаны границы их существования, они будут иметь смещенную оценку
из-за неопределенности начала отсчета координат. Необходимым усло-
вием является задание счислимых значений определяемых параметров
Х° и границы их существования Кх• Так например, при геофизической
интерпретации астрономо-геодезических и гравиметрических измерений,
включая вариометрические наблюдения вторых производных потенциала
силы тяжести, должны быть априорно заданы в виде счислимых значе-
ний Х° с дисперсионной матрицей Кх" аномалии плотностей масс и их
пространственного распределения.
Н-рименение принципа многоэтапного уравнивания рассмотрим на
оценке по МНК параметров АГС. Сущность метода группового много-
этапного уравнивания АГС заключается в следующем. В обширной АГС
выделяем сеть узловых пунктов. Соединив их по сторонам триангуля-
ции граничными ходами, разделим АГС на 5 крупных блоков. Узловые
пункты на вершинах таких блоков будем выбирать на удалении 600—
800 км друг от друга таким образом, чтобы некоторые из них были
248
совмещены (соединены геодезически) с наземными астрономо-геодези-
ческими обсерваториями, пространственные координаты Xт,
Ут,
2т кото-
рых определены по наблюдениям небесных объектов.
На первом этапе выполняют предварительную обработку каждого
блока, которая обеспечивает исключение систематических ошибок в
определении азимутов Лапласа и базисах. Каждый блок ориентируется
методом групповых итераций. В азимуты Лапласа вводятся поправки
за систематические ошибки, пропорциональные секансу широты места.
После предварительной обработки приступают к уравниванию блоков
АГС. Каждый блок, расширенный двумя рядами треугольников из со-
седних блоков, уравнивают, как самостоятельную сеть. К азимутам
Лапласа и базисам поправки не отыскиваются. Конечной целью первого
этапа является вычисление приращений координат ДО,- узловых пунктов.
В каждом блоке АГС получаются восемь приращений координат четы-
рех узловых пунктов и дисперсионная матрица 8-го порядка.
На втором этапе параметрическим способом с применением псевдо-
операторов совместно уравнивают 5 групп приращений ДО, (/= 1, 2,
..., 5) с учетом дисперсионных матриц /С,- при условии УК~
Х
V = тт.
При этом за необходимые параметры принимают координаты О всех
узловых пунктов АГС. В результате уравнивания получают координаты
узловых пунктов О с дисперсионной матрицей Ко в системе отсчета
координат, принятой для ГГС СССР 2 класса. Второй этап завершают
перевычислением координат О и дисперсионной матрицы Ко узловых
пунктов ГГС СССР 2 класса с учетом геодезических высот Н в про-
странственные координаты У
0
, 2° с соответствующей им дисперсион-
ной матрицей КПеревычисление делают в систему отсчета координат
астрономо-геодезических обсерваторий с учетом счислимых значений
элементов ориентирования двух систем отсчета координат.
На третьем этапе уравнивают пространственные координаты Л"
0
, У
0
,
2° узловых пунктов совместно с координатами Хт, Ут, 2т астрономо-
геодезических обсерваторий с учетом соответствующих дисперсионных
матриц К
0
и Кт• При этом за необходимые параметры принимают
пространственные координаты узловых пунктов ГГС СССР 2 класса и
поправки к элементам взаимного ориентирования двух систем отсчета
координат. Число избыточных измерений г = Зр— е (р — число обсерва-
торий; —число элементов взаимного ориентирования двух систем
координат). На этом этапе также применяют параметрический способ с
псевдообращением вырожденной матрицы нормальных уравнений. Так
как то для надежной оценки искомых параметров достаточно
иметь 20 обсерваторий, равномерно расположенных на территории стра-
ны. Конечной целью третьего этапа является получение пространствен-
ных координат X, У, 2 узловых пунктов ГГС СССР 2 класса с диспер-
сионной матрицей К на эпоху установления системы координат.
Со временем в новую эпоху в результате накопления высокоточных
наблюдений небесных объектов на астрономо-геодезических обсервато-
риях и динамики Земли потребуется переход в новую систему отсчета
координат и уточнение координат обсерваторий. В этом случае третий
249