Мармоза А.Т. Правова статистика
Подождите немного. Документ загружается.
А. Т. Мармоза. Правова статистика
371
Розділ X. Ряди динаміки
370
Для обчислення параметрів а
0
і а
1
можна користуватися формулами:
. ;
2
110
)(
)()(
∑
−
−
∑
−
=−=
tt
ttyy
ataya
Порядок вирівнювання за рівнянням прямої лінії проілюструємо
на прикладі ряду динаміки рівня (коефіцієнта) злочинності непов(
нолітніх на 1000 чоловік населення у віці 14–17років (включно) в об(
ласті за 1990–2004 рр. (табл. 10.8).
Обгрунтуємо вибір математичного рівняння для вирівнювання ди(
намічного ряду. З даних таблиці видно, що зростання рівня злочинності
відбувається рівномірно. Побудова лінійної діаграми (див. рис. 10.1)
показує, що ламана крива за своєю формою близька до прямої лінії.
Виходячи з цього, доцільніше цей ряд динаміки вирівнювати за рівнян(
ням прямої лінії (лінійному тренду):
.
~
10
taay
t
+=
Параметри а
0
і а
1
шуканої прямої, яка задовольняє способу най(
менших квадратів, знайдемо розв’язавши таку систему нормальних
рівнянь:
+=
+=
∑∑∑
∑∑
.
;
2
10
10
tatayt
tanay
Отже, щоб визначити параметри рівняння, необхідно знайти такі
чотири суми: Σу; Σyt; Σt; Σt
2
.
Усі розрахунки зведемо в табл. 10.8.
Вирівнювання динамічного ряду проведемо двома способами зви(
чайним і спрощеним (способом відліку від умовного початку),
І спосіб. Використовуючи отримані величини, розв’яжемо систему
рівнянь:
+=
+=
12401204,1910
120154,220
10
10
аа
аа
Поділимо обидва рівняння на коефіцієнти при а
0
: перше рівняння
на 15, а друге – на 120, а потім віднімемо від другого рівняння перше:
+=
+=
;33,1092,15
;00,869,14
10
10
аа
аа
.а33,223,1
1
=
Таблиця 10.8
Розрахункові дані для аналітичного вирівнювання динамічного ряду рівня злочинності способом
найменших квадратів
А. Т. Мармоза. Правова статистика
373
Розділ X. Ряди динаміки
372
Підставляючи в отримане рівняння значення (t=1, 2,..., 15), діста(
немо вирівняні (розрахункові) значення рівня злочинності.
Наприклад,
для 1990 р.
11,010,5310,48y
~
1t
=⋅+=
=
злочинів;
для 1991 р.
11,520,5310,48y
~
2t
=⋅+=
=
злочину і т.д.
Перевіримо правильність всіх розрахунків, порівнюючи суми
фактичного і вирівняного рівнів злочинності:
220,4.220,4 ; y
~
y
t
=
∑
=
∑
II спосіб. Для спрощення розрахунків використаємо спосіб відліку
від умовного початку. Виразимо значення дат (t) у відхиленнях від дати,
взятої за умовний початок (вона знаходиться в центрі ряду динаміки; t
= 0 в 1997 р.; табл. 10.8). Система рівнянь спрощується, оскільки Σt = 0:
=
=
∑∑
∑
.
;
2
1
0
tayt
nay
Звідси
.злочину 53,0
280
2,147
2
yt
a
;злочину 69,14
15
4,220
1
0
==
∑
∑
=
==
∑
=
t
n
y
a
Параметри рівняння можна знайти і за іншими, наведеними у пер(
шому способі, формулами розв’язання прикладу. Їхні значення будуть
такими самими.
Рівняння лінійного тренду має вигляд:
.53,069,14
~
10
ttaay
t
+=+=
Параметр а
0
= 14,69 злочину значення вирівняного рівня злочинності
для центрального в динамічному ряду року, взятого за початок відліку.
Для 1997 р. t = 0, тоді
t
y
~
= 14,69 + 0,53⋅0 = 14,69 злочину. Параметр а
0
дорівнює середньому рівню злочинності в динамічному ряду
nyy :
∑
=
=
= 220,4:15 = 14,69 злочину. Коефіцієнт регресії а
1
= 0,53 злочину харак(
теризує середнє щорічне збільшення рівня злочинності. Він має таке
саме значення і зміст, що й при вирівнюванні першим способом.
Вирівняні (теоретичні) рівні коефіцієнта злочинності (
t
y
~
) обчис(
люють аналогічно тому, як це було зроблено в першому способі розра(
хунків.
Звідси а
1
= 0,5279 = 0,53 злочину.
Визначимо а
0
, підставивши в одно з рівнянь значення а
1
:
злочину 10,48
15
157,2
15
63,2220,4
0,5312015220,4
0
0
;
==
−
=
⋅=
+
а
а
Параметри рівняння можна визначити і за іншими, зручнішими,
формулами:
злочину 48,1085287,069,14
;злочину 53,0
67,18
84,9
00,6467,82
869,1436,127
)(
.648)( ;67,82
15
1240
;36,127
15
4,1910
;
)(
8
15
120t
t ; 69,14
15
4,220y
уде
,t-ауа або
злочину; 53,0
120120124015
1204,2204,191015
злочину48,10
120120124015
1204,191012404,220
10
22
1
22
2
2
22
1
0
2
1
2
2
0
;
;
1
=⋅−=−=
==
−
⋅−
=
−
⋅−
=
====
∑
=
==
∑
=
−
⋅−
=
==
∑
===
∑
=
=
=
⋅−⋅
⋅−⋅
=
∑∑
−
∑
∑∑
−
∑
=
=
⋅−⋅
⋅−⋅
=
∑∑
−
∑
∑∑
−
∑∑
=
taya
tt
tyyt
a
t
n
t
t
n
yt
yt
tt
tyyt
a
nn
tttn
tyytn
a
tttn
t
y
t
t
y
a
Перевіримо правильність розв’язання системи рівнянь, виходячи
з рівності:
14,69.80,528710,4814,69 ;ty
~
10
=⋅+=+= aa
Таким чином, рівняння прямої лінії, що вирівнює ряд динаміки,
має вигляд:
0,53t.10,48taay
~
10t
+=+=
Коефіцієнт регресії а
1
=0,53 злочину показує, що в середньому за
досліджуваний період рівень злочинності щорічно підвищувався на
0,53 злочина. Коефцієнт а
0
=10,48 злочину значення вирівняного рівня
злочинності для року в динамічному ряду, взятого за початок відліку
(1997 р., коли t = 0).
А. Т. Мармоза. Правова статистика
375
Розділ X. Ряди динаміки
374
При Σt = 0 і Σt
3
= 0 система рівнянь значно спрощується, набуваю(
чи такого вигляду:
+=
=
+=
∑∑∑
∑∑
∑∑
.
;
;
4
2
2
0
2
2
1
2
20
tatayt
tayt
tanay
З цієї системи а
1
визначають елементарно з другого рівняння
,
2
1
∑
∑
=
t
yt
a
а а
0
і а
1
з системи двох рівнянь з двома невідомими:
+=
+=
∑∑∑
∑∑
.
,
4
2
2
0
2
2
20
tatayt
tanay
Використовуючи дані попереднього прикладу про динаміку рівня
злочинності неповнолітніх за 1990–2004 рр. (табл. 10.8), проведемо ви(
рівнювання ряду за рівнянням параболи другого порядку способом
найменших квадратів (табл. 10.9). Для спрощення розрахунків візьме(
мо
∑∑
== 0.t i 0
3
t
Щоб визначити параметри а
0
, а
1
і а
2
, рівняння параболи другого
порядку, розв’яжемо таку систему рівнянь:
+=
=
+=
∑∑∑
∑∑
∑∑
.
;
;
4
2
2
0
2
2
1
2
20
tatayt
tayt
tanay
Підставимо знайдені величини в систему рівнянь:
+
+=
=
=
.
;
;
20
1
20
9352а280а4119,4
280а147,2
а280а154,220
З другого рівняння визначимо значення а
1
:
.злочину 53,05257,0
280
2,147
1
===а
Розв’язавши перше і третє рівняння, матимемо значення парамет(
рів а
0
і а
2
:
Щоб оцінити ступінь наближення лінійного тренду до фактичних
даних динамічного ряду, розрахуємо залишкове середнє квадратичне
відхилення і коефіцієнт варіації. Для цього обчислимо відхилення фак(
тичного рівня злочинності від вирівняного )
~
(
t
yy − , їх квадрати
2
)
~
(
t
yy −
і їх суму
2
)
~
(
∑
−
t
yy
(гр.11 і 12 табл. 10.8).
Залишкове середнє квадратичне відхилення становитиме:
.злочину 04,109,1
15
36,16
)
~
(
2
===
∑
−
=
n
t
yy
зал
σ
Коефіцієнт варіації дорівнює:
%.1,7%100
69,14
04,1
%100 =⋅==
y
V
σ
Отже, коливання фактичного рівня злочинності навколо прямої
лінії в середньому становить 1,04 злочину, або 7,1 %. Невеликий ко(
ефіцієнт варіації вказує на те, що рівняння прямої лінії досить точно
відображує тенденцію зміни рівня злочинності в часі.
Водночас аналіз динамічного ряду рівня злочинності свідчить про
те, що не зважаючи на значне коливання рівня злочинності по роках,
чітко простежується тенденція його підвищення і прискорення при(
ростів в останні роки. Тому логічно припустити, що досліджуваний ряд
динаміки можна вирівнювати за рівнянням параболи другого порядку.
Вирівнювання рядів динаміки за параболою другого порядку
здійснюється в тих випадках, коли зміна рівнів ряду відбувається при(
близно рівномірним прискоренням або уповільненням ланцюгових
абсолютних приростів.
Рівняння параболи другого порядку характеризується трьома па(
раметрами:
,
~
2
210
tataay
t
++=
де а
2
( показник щорічного прискорення (або уповільнення, якщо а
2
зі
знаком мінус) абсолютного приросу рівнів ряду.
Параметри параболи другого порядку а
0
, а
1
і а
2
знаходять з такої
системи нормальних рівнянь:
++=
++=
++=
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑
.
;
;
4
2
3
1
2
0
2
3
2
2
10
2
210
tatatayt
tatatayt
tatanay
А. Т. Мармоза. Правова статистика
377
Розділ X. Ряди динаміки
376
+=
+=
.93522804,4119
;280154,220
20
20
аа
аа
Для вирівнювання коефіцієнтів при а
0
розділимо перше рівняння
на 15, а друге на 280. Дістанемо:
+=
+=
.40,3371,14
;67,1869,14
20
20
аа
аа
Віднявши з другого рівняння перше, отримаємо:
0,02 = 14,73 а
2
.
Звідси
.злочину 0014,0
73,14
02,0
2
==а
Визначимо значення параметру а
0
, підставивши значення а
2
в пер(
ше рівняння:
220,4 = 15а
0
+ 280·0,0014;
.злочину 67,14
15
01,220
15
39,04,220
0
==
−
=а
Розв’язання системи рівнянь дає таке значення шуканих параметрів
рівняння (в злочинах):
а
0
= 14,67; а
1
= 0,53; а
2
= 0,0014.
Параметри рівняння параболи другого порядку можна визначити
не тільки способом підстановки, а й безпосередньо користуючись фор(
мулами, що спрощують розрахунки:
.
;
а
злочину 0,0014
280280935215
280220,44119,415
tttn
tyytn
a
злочину 0,530,5257
280
147,2
t
yt
а
;злочину 14,67
280280935215
2804119,49352220,4
tttn
tytty
2
2
4
2
2
2
2
1
224
224
0
=
⋅−⋅
⋅−⋅
=
∑∑
−
∑
∑∑
−
∑
=
===
∑
∑
=
=
⋅−⋅
⋅−⋅
=
∑∑
−
∑
∑∑
−
∑∑
=
Перевіримо правильність розрахунку параметрів, підставляючи в
нормальне рівняння їхні числові значення:
=⋅+⋅=+=
=⋅==
=⋅+⋅=+=
∑∑∑
∑∑
∑∑
4119,4.93520,001428014,674119,4 ;
147,2;2800,5257147,2 ;
220,4;2800,01414,6715220,4 ;
4
2
2
0
2
2
1
2
20
tatayt
tayt
tanay
Таблиця 10.9
Розрахунок даних для вирівнювання динамічного ряду рівня
злочинності за параболою другого порядку способом найменших
квадратів
А. Т. Мармоза. Правова статистика
379
Розділ X. Ряди динаміки
378
Порівняємо результати вирівнювання динамічного ряду рівня зло(
чинності за лінійним і параболічним трендом. Залишкове середнє квад(
ратичне відхилення, добуте за рівнянням параболи другого порядку,
дещо менше, ніж залишкове середнє квадратичне відхилення, отри(
мане за рівнянням прямої лінії (1,01 < 1,04). Отже, парабола другого
порядку точніше відтворює тенденцію зміни рівня злочинності у часі,
чим пряма лінія.
Однак несуттєві відмінності в
σ
і V допускають можливість вирів(
нювання даного ряду динаміки і за лінійним трендом.
Для обгрунтування вибору вирівнювання ряду динаміки за
лінійним або параболічним трендом можна оцінити істотність
відмінностей між залишковими дисперсіями по критерієм F – Фіше(
ра за правилами, викладеними в розділі 8.
Фактичне дисперсійне відношення становитиме:
.06,1
028,1
09,1
2
2
===
іпо парабол
прямійпо
факт
F
σ
σ
Табличне значення критерія F при кількості ступенів свободи ва(
ріації і рівні значущості α = 0,05 становитиме 3,74 (дод. 18).
Оскільки (3,74 > 1,06), то відмінності в залишкових дисперсіях є
випадковими, відтак не можна віддати перевагу якому(небудь спосо(
бу вирівнювання.
10.4. Факторний аналіз рядів динаміки
Важливе місце у вивченні динаміки суспільних явищ належить
факторному аналізу, метою якого є дослідження впливу окремих фак(
торів на кількісні і якісні зміни явища в часі. В аналізі динаміки со(
ціально(правових явищ важливо насамперед оцінити залежність резуль(
тативних показників від комплексу економічних і соціальних факторів.
Для здійснення факторного аналізу рядів динаміки статистика ви(
користовує ряд методів і прийомів, серед яких найбільш поширені такі:
приведення рядів динаміки до однієї основи, порівняння кількох па(
ралельних рядів результативних і факторних показників (одного ре(
зультативного і одного факторного показників, одного результатив(
ного і кількох факторних показників, одного факторного і кількох ре(
зультативних показників), укрупнення періодів, розчленування дослі(
джуваної сукупності на якісно однорідні групи і підгрупи, тобто
побудова простих і комбінаційних групувань, застосування диспер(
сійного і кореляційного методів аналізу та ін.
Отже, параболічний тренд має такий вигляд:
.0,0014t0,53t14,67tty
~
22
t
++=++=
210
aaa
Пояснимо значення знайдених коефіцієнтів: а
0
= 14,67 злочину це
початок відліку або вирівняне значення рівня злочинності для цент(
рального в ряду динаміки року, взятого за початок умовного відліку
(1997 р., коли t = 0); а
1
= 0,53 злочину середній щорічний приріст рівня
злочинності: а
2
= 0,0014 злочину середнє щорічне прискорення при(
росту рівня злочинності.
Обчислимо за рівнянням параболи згладжене значення рівня зло(
чинності, підставляючи до рівняння замість t його числові значення
(від 7 до +7; гр. 8 табл. 10.9):
в 1990 р. при
2
)7(0014,0)7(53,067,14
~
;7 −+−+=−=
t
yt
=10,8 злочину;
в 1991 р. при
2
)6(0014,0)6(53,067,14
~
;6 −+−+=−=
t
yt
=11,5 злочину і т. д.
Перевіримо правильність розрахунків:
∑∑
=
t
yy
~
; 220,4 = 220,4.
Як видно з розрахунків, вирівняні рівні коефіцієнта злочинності
дуже близькі до фактичних рівнів. Отже, парабола другого порядку
досить точно відображує тенденцію зміни рівня злочинності на дослі(
джуваному відрізку часу.
Щоб оцінити ступінь наближення параболічного тренду до фак(
тичних даних динамічного ряду, обчислимо залишкове середнє квад(
ратичне відхилення і коефіцієнт варіації. Для цього визначимо відхи(
лення (
t
yy
~
− ), квадрат відхилення (
t
yy
~
− )
2
та їхню суму
∑
−
2
)
~
(
t
yy
(гр. 9
і 10 табл. 10.9).
Залишкове середнє квадратичне відхилення становитиме:
злочину 01,1028,1
15
42,15
)
~
(
2
===
∑
−
=
n
t
yy
зал
σ
.
Коефіцієнт варіації дорівнює:
%.9,6%100
69,14
01,1
%100 =⋅=⋅=
y
V
σ
Отже, коливання фактичного рівня злочинності навколо парабо(
ли другого порядку в середньому становить 1,01 злочину, або 6,9 %.
Невеликий коефіцієнт варіації вказує на те, що параболічний тренд
досить точно відображує тенденцію зміни рівня злочинності за дослі(
джуваний відрізок часу.
А. Т. Мармоза. Правова статистика
381
Розділ X. Ряди динаміки
380
Таблиця 10.11
Динаміка коефіцієнта злочинності і основних факторів
злочиності в районі за 1999–2004 рр. (в % до 1999 р.)
Рік
Коефіцієнт
злочинності
Рівень безробіття
Вжито алкоголю на
душу населення
1999 100,0 100,0 100,0
2000 98,8 101,8 102,2
2001 104,6 107,1 113,3
2002 110,5 110,7 120,0
2003 117,4 121,4 126,7
2004 120,9 130,4 128,9
Зроблені за факторним аналізом рядів динаміки висновки допов(
нимо розрахунком коефіцієнтів випередження. Коефіцієнти виперед(
ження визначимо як відношення базисних темпів зростання за одна(
кові відрізки часу по двох динамічних рядах.
Так, коефіцієнт випередження зростання безробіття порівняно із
зростанням коефіцієнта злочинності становить 1,08 (1,304:1,209), зро(
стання вживання алкоголю населенням району порівняно із зростан(
ням коефіцієнта злочинності – 1,07 (1,289:1,209). Отже темпи зрос(
тання факторів злочинності – безробіття і вживання алкоголю – ви(
переджали темпи зростання злочинності відповідно в 1,08 і 1,07 раза.
10.5. Інтерполяція і екстраполяція. Прогнознвання суспільних явищ
Під час аналізу рядів динаміки доводиться стикатися з такими ви(
падками, коли в рядах відсутні дані про їхні рівні за той або інший пе(
ріод. Такі дані можуть бути відсутні або всередині ряду, або спочатку
чи в кінці його.
Приблизне визначення відсутніх рівнів усередині одноякісного
періоду, коли відомі рівні, що лежать по обидві сторони невідомого,
називають інтерполяцією ряду динаміки. Приблизне визначення невідо(
мих рівнів, що лежать за його межами, тобто в майбутньому (або в ми(
нулому) називають екстраполяцією ряду динаміки. Відповідно екстрапо(
лювання може здійснюватися як у бік майбутнього (перспективна екст
раполяція), так і у бік минулого (ретроспективна екстраполяція). По суті
екстраполяція являє собою продовження ряду динаміки на основі ви(
явленої закономірності зміни рівнів за досліджуваний відрізок часу.
Інтерполяцію (як і екстраполяцію) здійснюють виходячи з припу(
щення, що зміни в межах періоду, що виражають закономірність
Застосування деяких з перелічених прийомів факторного аналізу
рядів динаміки розглянемо на таких прикладах.
Найпростішим і розповсюдженим прийомом вивчення залежності
результативних показників від факторів, що визначають тенденцію, є
прийом приведення рядів динаміки до однієї основи. В табл. 10.10 наведе(
на динаміка коефіцієнта злочинності (на 1000 чоловік населення) в
районі за 1999–2004 рр.
Дані таблиці свідчать про те, що зростання рівня злочиності в рай(
оні супроводжувалося закономірним зростанням факторів злочиності
(безробіття і вживаня алкогольних напоїв).
Таблиця 10.10
Динаміка коефіцієнта злочинності та основних факторів
злочинності в районі за 1999–2004 рр.
Рік
Коефіцієнт
злочинності,
злочинів
Рівень безробіття,
%
Вжито алкоголю на
душу населен(
ня, л/рік
1999 8,6 5,6 4,5
2000 8,5 5,7 4,6
2001 9,0 6,0 5,1
2002 9,5 6,2 5,4
2003 10,1 6,8 5,7
2004 10,4 7,3 5,8
Для проведення порівняльного аналізу трьох рядів динаміки і ви(
явлення більш чіткої залежності результативного показника (коефіці(
єнта злочинності) від досліджуваних факторів здійснемо перетвореня
вихідних рядів динаміки.
Потреба перетворення рядів динаміки зумовлена тим, що різ(
ноіменні показники наведених трьох паралельних рядів безпосеред(
ньо непорівняні між собою. Крім того, вони виражені в різних одини(
цях вимірювання.
Щоб привести потрібні ряди динаміки до порівняльного вигляду,
використаємо прийом приведення їх до однієї основи. З цією метою
розрахуємо базисні темпи зростання взявши за постійну базу порівнян(
ня рівні 1999 р. Добуті дані виразимо в процентах (табл. 10.11).
Порівняння темпів зростання рівня злочинності та її факторів
свідать про випереджаючі темпи зростання факторів (в 1,3 раза) по(
рівняно з темпами зростання рівня злочинності. Це означає, що в дос(
ліджуваному районі в динаміці рівень злочинності на одиницю фак(
торів мав тенденцію до зниження.
А. Т. Мармоза. Правова статистика
383
Розділ X. Ряди динаміки
382
розвитку, відносно стійкі, тобто що ні виявлена тенденція, ні її харак(
тер не зазнали і не зазнають суттєвих змін у тому проміжку часу, рівні
якого нам невідомі.
Щоб мати досить надійні результати обчислення відсутніх рівнів,
інтерполяцію та екстраполяцію слід проводити в межах однорідних
періодів, яким властива одна закономірність розвитку.
Інтерполяцію і екстраполяцію ряду динаміки можна проводити
різними способами. Найпростішим способом є використання середніх
характеристик досліджуваного ряду динаміки: середнього абсолютного
приросту (при стабільних ланцюгових абсолютних приростах) і серед(
нього коефіцієнту зростання (при стабільних темпах зростаннях). Од(
нак визначення відсутніх рівнів ряду динаміки, і особливо при екстра(
поляції, найчастіше пов’язують з аналітичним вирівнюванням рядів
способом найменших квадратів, який дає точніші результати. При цьо(
му для виходу за межі періоду, для якого знайдена залежність від часу,
досить продовжити значення незалежної змінної – часу.
Дослідження динаміки суспільних явищ і виявлення основної тен(
денції їх розвитку в минулому дають основу для визначення їхніх май(
бутніх розмірів.
Велику роль в плануванні має екстраполяція, яка дає змогу про(
гнозувати суспільні явища. Прогнозування є важливим етапом плано(
вої роботи.
Під прогнозуванням розуміють процес наукового виявлення можли(
вих шляхів і результатів майбутнього розвитку суспільних явищ, оцін(
ку показників, що характеризують ці явища для більш або менш відда(
леного майбутнього.
Розрізняють короткострокові прогнози (від кількох днів до одного
року), середньострокові (від одного року до 5 років) і довгострокові про(
гнози (понад 5 років).
Застосування екстраполяції для прогнозування базується на при(
пущенні, що характер динаміки, тобто певна закономірність (тенден(
ція) зміни досліджуваного явища, яка мала місце для певного періоду
часу в минулому збережеться на обмеженому відрізку в майбутньому.
Такая екстраполяція справедлива, якщо система розвивається еволю(
ційно в досить стабільних умовах. Чим крупніша система, тим більш
імовірно збереження параметрів її зміни, звісно, на невеликий строк.
Користуючись цим методом слід пам’ятати, що можливості вико(
ристання отриманих кривих для прогнозування надто обмежені, тому
що зміна величини ознаки не є власне функцією часу. Крім того, зако(
номірності і тенденції теперішнього часу не можна механічно перено(
сити на майбутнє.
У зв’язку з цим прогнозуванню має передувати ретельний аналіз
комплексу взаємопов’язаних факторів, які в майбутньому будуть виз(
начати тенденцію розвитку досліджуваного суспільного явища.
Принципове значення у встановленні прогнозного рівня мають два
питання. Перше стосується проблеми встановлення періоду завчас(
ності (на яку віддаленність), на який можна визначати майбутній рівень
ряду. На практиці виходять з такого положення. Якщо досліджуване
явище зазнає суттєвих змін, то віддаленість слід брати невеликою (не
більше двох(трьох років), якщо ж явище в часі змінюється незначно,
то віддаленість прогнозованого рівня можна брати до п’яти років.
Друге питання стосується визначення минулого періоду, за яким
повинна встановлюватися основна тенденція розвитку явища. За базу
для прогнозування не можна, очевидно, брати короткий період, бо він
для даного явища може виявитися не досить типовим через дію випад(
кових факторів. Недоцільно брати за основу і дуже тривалий період,
оскільки умови розвитку явища в часі можуть істотно змінюватися.
Отже, потрібно брати оптимальний (якісно однорідний), не дуже дов(
гий і не дуже короткий ряд, для рівнів якого характерні однакові умо(
ви розвитку.
Розглянемо методику прогнозування по лінійному тренду на при(
кладі ряду динаміки рівня злочинності неповнолітніх (табл. 10.8).
Нагадаємо, що в результаті розв’язання рівняння прямої лінії знай(
дена така залежність рівня злочинності в часі:
,53,048,10
~
10
ttaay
t
+=+=
де коефіцієнт регресії а
1
= 0,53 злочину характеризує середній щоріч(
ний приріст рівня злочинності за досліджуваний період. Використає(
мо знайдене рівняння лінійного тренду для прогнозування рівня зло(
чинності на перспективу (2005–2007 рр.). Ряд динаміки обмежений
2004 роком, для якого t = 15. Для 2005–2007 рр. t відповідно дорівнює
16, 17 і 18.
Підставимо значення t в рівняння лінійного тренду i одержимо та(
кий прогноз рівня злочинності по роках:
на 2005 p. (t = 16) = 10,48 + 0,53⋅16 = 19,0 злочинів;
на 2006 р. (t = 17) = 10,48 + 0,53⋅17 = 19,5 злочину;
на 2007 р. (t = 18) = 10,48 + 0,53⋅18 = 20,0 злочинів.
Отже, при збереженні діючої тенденції і стану економічних і со(
ціальних факторів злочинність в районі зросте у 2007 році до 20,0 зло(
чинів на 1000 чоловік неповнолітніх у віці 14–17 років (включно).
А. Т. Мармоза. Правова статистика
385
Розділ X. Ряди динаміки
384
Зобразимо фактичний і вирівняний ряд динаміки рівня злочинності
графічно (рис.10.1).
Рис. 10.1. Динаміка і прогнозування рівня злочинності в районі на 2005–2007 рр.
Відмітимо, що за графіком і рівнянням лінійного тренду прогноз
рівня злочинності має збігатися.
10.6. Аналіз сезонних коливань
У практиці дослідження динамічних рядів часто доводиться мати
справу з аналізом сезонних коливань рівнів рядів.
Сезонними коливаннями називають періодичні внутрішньорічні ко(
ливання, зумовлені зміною пори року. Такі коливання спостерігають(
ся в багатьох галузях народного господарства. Вони характерні і для
соціально(правових явищ. Наприклад, кількість вчинених дорожньо(
транспортних пригод має явно виражений сезонний характер, у ку(
рортних регіонах „літня” злочинність буває в кілька разів вище зло(
чинності „мертвого сезону” тощо.
При вивченні сезонних коливань перед статистикою ставляться такі
завдання: по(перше, встановити загальну тенденцію зміни досліджу(
ваного явища у часі, по(друге, охарактеризувати супінь сезонності, по(
третє, виявити фактори, що викликають сезонні коливання.
Аналіз сезонних коливань дає змогу дати кількісну оцінку інтен(
сивності сезонних змін і розробити заходи щодо їх послаблення.
Щоб виявити сезонні коливання, аналізують місячні рівні ряду за
один рік або кілька років.
Сезонні коливання в статистиці вимірюють за допомогою розра(
хунку спеціальних показників – індексів сезонності. Показники сезон(
ності у вигляді сезонної хвилі можуть бути розраховані різними спо(
собами. Способи розрахунку показників сезонності залежать від ха(
рактеру основної тенденції ряду динаміки.
При стабільній тенденції у ряду динаміки, в якому внутрішньорічні
коливання ознаки відбуваються навколо деякого постійного рівня,
показники сезонності визначають як процентне відношення рівнів за
кожний місяць до середньомісячного рівня за рік.
Однак місячні рівні за один рік можуть бути нетиповими через
вплив випадкових причин. Тому на практиці індекси сезонності виз(
начають за місячними даними за кілька років (три роки і більше). В
цьому разі для кожного місяця встановлюють середню величину рівня
за кілька років (наприклад, три роки), далі з них розраховують серед(
ньомісячний рівень для всього ряду. Після цього кожен середньомі(
сячний рівень порівнюють з середньомісячним річним рівнем за кілька
років, а знайдений результат перемножуєть на сто процентів.
Проведемо аналіз сезонності на такому прикладі.
Є дані по Житомирській області щодо динаміки дорожньо(транс(
портних пригод (ДТП) за три роки (табл.10.12).
Сезонність ДТП охарактеризуємо за допомогою індексів сезонності –
процентного відношення окремих рівнів до середнього рівня даного
ряду динаміки. Місячні дані одного року через вплив випадкових фак(
торів можуть бути нетиповими для виявлення тенденції розвитку. Тому
визначимо індекси сезонності не за один рік, а в середньому за три
роки. Спочатку для кожного місяця обчислимо середню величину ДТП
за три роки, а потім визначимо середньорічний рівень для триріччя і
знайдемо процентне відношення середніх для кожного місяця до се(
редньорічного рівня (індекси сезонності).
Визначимо середні рівні ДТП для кожного місяця за формулою
середньої арифметичної простої:
,
...
21
n
y
n
y
y
y
y
n ∑
=
+++
=
де y – місячні рівні; n – число місяців.
У січні
3,32
3
97
3
373030
321
1
==
++
=
++
=
n
y
y
y
y
;
у лютому
3,51
3
154
3
475354
321
2
==
++
=
++
=
n
y
y
y
y
і т.д.
А. Т. Мармоза. Правова статистика
387
Розділ X. Ряди динаміки
386
За обчисленими середньомісячними рівнями визначимо загальний
середній рівень для трьох років (гр. 6 табл. 10.12):
4,63
12
7609
12
3,63...3,513,32
==
+++
=
∑
=
n
y
y
заг
.
Таблиця 10.12
Динаміка ДТП в Житомирській області за 2000–2002 рр.
Значення загального середнього рівня можна визначити і за загаль(
ними даними за окремі роки:
4,63
36
2283
36
752760771
==
++
=
∑
=
n
y
y
заг
,
або за даними про середні рівні за кожен рік:
4,63
3
2,190
3
7,623,632,64
==
++
=
∑
=
n
y
y
заг
.
Встановимо індекси сезонності ДТП в області (гр. 7 табл. 10.12):
у січні
;% 50,9100%
63,4
32,3
100% =⋅=⋅=
заг
січня
s
y
y
I
у лютому
% 80,9100%
63,4
51,3
100% =⋅=⋅=
заг
лютого
s
y
y
I
і т.д.
Оскільки середній індекс сезонності для всіх дванадцяти місяців
має дорівнювати 100 %, то сума індексів повинна становити 1200.
Усі розрахунки зведемо в таблицю 10.12.
Зобразимо сезонну хвилю ДТП в області графічно, побудувавши
лінійну діаграму (рис. 10. 2).
Рис. 10.2. Сезонна хвиля ДТП в області
На осі абсцис відкладемо шкалу показників часу, що відповідає
кількості місяців (n = 12), на осі ординат побудуємо шкалу кількості
ДТП в процентах і проведемо горизонтальну лінію, яка відповідає 100 %.
На графік нанесемо індекси сезонності (у процентах).
З даних таблиці і графіка видно, що сезонність ДТП в області має
чітко виражений характер: найбільша кількість ДТП припадає на осінь
(вересень – листопад), а найменше – взимку (січень – лютий). Мак(
симум ДТП припадає на жовтень, а мінімум – на січень.
Питання для самоконтролю
1. Що таке ряди динаміки і яка їх роль в статистичному аналізі?
2. З яких елементів складається ряд динаміки?
3. Які Ви знаєте види рядів динаміки? Наведіть приклади.
4. Яких умов треба дотримуватися при побудові рядів динаміки?
5. Який вид середніх величин використовується при розрахунку
середнього рівня моментного і інтервального ряду динаміки?
6. Що таке базисні і ланцюгові показники динаміки?
А. Т. Мармоза. Правова статистика
388
7. Назвіть показники динаміки і розкажіть як вони розраховуються.
8. Як розраховується середній темп зростання в рядах динаміки?
9. Назвіть прийоми вирівнювання рядів динаміки.
10. У чому суть прийому приведення рядів динаміки до однієї ос(
нови і змикання рядів динаміки?
11. У чому суть прийому і які умови застосування прийому укруп(
нення періодів?
12. Охарактеризуйте прийоми вирівнювання рядів динаміки спо(
собом ковзної середньої.
13. Як здійснюється виявлення тенденції способом найменших
квадратів?
14. Які правила підбору кривих для вирівнювання рядів динаміки?
15. Що таке інтерполяція і екстраполяція рядів динаміки, їх зна(
чення і застосування?
16. Як виконується прогноз на майбутнє за допомогою рівняння
тренду?
17. Як виміряти сезонні коливання в рядах динаміки?
18. За наведеними даними розрахуйте базисні і ланцюгові показ(
ники динаміки: абсолютний приріст, темп зростання, процент при(
росту, абсолютне значення одного процента приросту. Обчисліть се(
редній рівень ряду динаміки, середній абсолютний приріст. Зробіть
висновки.
Рік 2000 2001 2002 2003 2004
Відсоток розкриття
злочинів, %.
70,1 68,3 75,6 78,1 80,1