Макаров Е.Г. Сопротивление материалов
Подождите немного. Документ загружается.
Рис. 10.3 Исходные данные для расчета внутренних усилий
В предлагаемой вам программе выражения для расчета внутренних
усилий скрыты в закрытых зонах для уменьшения размера документа.
на экране закрытая зона отмечена сплошной линией (рис.10.3).
Двойной щелчок мышью на этой линии вызывает появление
содержимого закрытой зоны на экране. Чтобы снова скрыть
появившийся фрагмент программы, надо щелкнуть правой кнопкой
мыши на границе зоны и в появившемся контекстном меню выбрать
Collapse (Сжать). На рисунках 10.4, 10.5, 10.6 показано определение
внутренних усилий, скрытое в закрытых зонах.
Рис. 10.4 Расчет продольных усилий и крутящих моментов
71
Рис. 10.5 Внутренние усилия при изгибе вокруг оси y
Рис. 10.6 Внутренние усилия при изгибе вокруг оси z
Рис. 10.7 Эпюры продольных усилий
N
и поперечных сил и
y
Q
z
Q
72
Рис. 10.8 Эпюры изгибающих моментов
y
M
,
z
M
и крутящего момента
к
M
При определении внутренних усилий использованы выражения из
главы 3 (рис. 3.3, 3.6, 3.11). В этих выражениях использованы пары
сил, сосредоточенные силы и распределенные нагрузки постоянной
интенсивности. При необходимости можно вставить готовые
выражения и для нагрузки переменной интенсивности. При этом в
силу использования интегральных выражений несколько
увеличивается время расчета. Эпюры внутренних усилий показаны на
рисунках 10.15 и 10.16.
При работе с программой вначале решите тестовые задачи. Для этого
по каждому направлению оставьте по одной нагрузке, удалив старую
нагрузку и вписав нуль на ее место.
Число нагрузок можно и увеличить, добавив строки в
соответствующие векторы нагрузок и точек их приложения (рис. 10.3).
Определив внутренние усилия, приступаем к расчету напряжений в
поперечных сечениях стержня. Форма и размеры сечений по длине
стержня могут изменяться произвольно.
Для расчета взят стержень, состоящий из 4-х участков различного
поперечного сечения. Первый участок прямоугольный, второй —
круглый, третий — кольцевой, четвертый — квадратного сечения.
Размеры сечения по длине участка могут изменяться. В нашем примере
второй участок круглого поперечного сечения имеет кольцевую
канавку параболической формы. Размеры сечения и длины участков
приведены на рис. 10.9.
Для расчета касательных напряжений в сечениях прямоугольной
формы необходимо задавать коэффициенты
α
βγ
,
, , зависящие от
соотношения сторон прямоугольника hb. В программу введена
таблица этих коэффициентов, которая с помощью встроенной функции
interp преврашена в функции ()
x
α
, ()
x
β
и ()
x
γ
(рис. 10.10). На этом
же рисунке показан график зависимости коэффициентов
α
βγ
,
, от hb.
73
Рис. 10.9 Расчет напряжений в стержне при сложном сопротивлении
Для расчета напряжений в сечениях необходимо определить моменты
инерции и моменты сопротивления сечений. В основной программе
они вставлены и скрыты сразу после ввода размеров сечений. В
развернутом виде этот фрагмент показан на рис. 10.11. Результаты
расчета моментов инерции приведены на рис. 10.12.
При использовании программы геометрические характеристики надо
переопределить в соответствии с реальной задачей, ввести свои формы
сечений и их характеристики.
Максимальные напряжения для сечений прямоугольной и круглой
формы определяются по разным формулам. Эти формулы приведены
на рис. 10.9.
Для прямоугольных сечений напряжения определяются в трех точках и
из них выбирается наибольшее. Далее в виде маленькой подпрограммы
записана функция распределения максимальных напряжений по длине
стержня. Результаты расчета максимальных напряжений приведены на
рис. 10.13.
74
Рис. 10.10 Преобразование таблицы коэффициентов
α
,β,γ в функции
75
Рис. 10.11 Функции моментов инерции и моментов сопротивления по длине стержня
Рис. 10.12 Графики моментов инерции по длине стержня
Рис. 10.13 Изменение эквивалентного напряжения в опасных точках сечений по длине
стержня
Встроенные функции Mathcad не в состоянии определить максимум
ступенчатой функции, поэтому для определения максимального
эквивалентного напряжения в стержне воспользуемся самодельной
функцией Fmax, использующей простой перебор значений функции по
всему диапазону значений аргумента (рис. 10.14). При расчетах с
учетом размерностей возникает сложность. Mathcad требует, чтобы все
выводимые из программы величины имели одинаковую размерность. В
нашем случае напряжение max
σ
измеряется в мегапаскалях, а
координата сечения, где действует max
σ
, величина измеряется в
метрах. Чтобы обойти это требование, которое без больших усилий
могли бы снять разработчики Mathcad, выполнено выравнивание
размерностей в элементах выходного массива. Затем при выводе
результатов произведен возврат к правильной размерности.
max
x
76
Рис. 10.14. Определение максимального эквивалентного напряжения в стержне
В этой же программе (slog-sopr1) после нахождения максимальных
напряжений определяются перемещения стержня (удлинение, прогибы
вдоль осей и , углы поворота сечений вокруг трех осей y z ,,
x
yz).
Перемещения определены энергетическим методом, о котором речь
пойдет в следующей главе, поэтому и пояснения к определению
перемещений будут приведены там же.
Расчет пространственного стержня на сложное
сопротивление. Программа
slog-sopr2
Долгое время я не хотел помещать этот пример в книгу. В отличие от
большинства программ в этой книге это пример не универсальный и не
может решить большинство подобных программ. Я все время
рекомендую не использовать Mathcad для решения простых задач или,
если Mathcad не облегчает, не ускоряет работу.
СОВЕТ
Mathcad — это инструмент решения задач и он должен ускорять работу, облегчать
ее. В противном случае не используйте Mathcad.
На этом примере я решил показать возможность сборки программы из
готовых фрагментов других программ. У студентов и инженеров нет
времени на составление и отладку относительно сложных программ.
Предлагаемые мной электронные книги, представляют собой
фактически сборники программ. Составление программ пользователя
из фрагментов готовых программ позволяет многократно сократить
время их подготовки и использовать мой опыт составления программ.
Обратимся к примеру, приведенному в разделе 10.1.1 основной книги.
Там приведена схема пространственного стержня и построены эпюры
внутренних усилий для него.
Для заданного стержня (рис. 10.15) определим размеры поперечных
сечений из условия прочности и определим горизонтальное
перемещение конца стержня.
77
L
4
L
3
y
4
z
4
x
4
y
3
z
2
L
2
L
1
y
2
z
3
x
2
x
3
z
1
y
1
x
1
F
2
F
1
F
3
F
4
q
Рис. 10.15. Расчетная схема пространственного стержня
Исходные данные для расчета приведены на рис. 10.16. К исходным
данным относится и матрица внутренних усилий
()
F
M
x , составленная
"вручную".
Рис. 10.16. Исходные данные для расчета пространственного стержня
Эпюры внутренних усилий для заданного стержня приведены на рис.
10.17 и построены "вручную" без участия Mathcad. Этот пакет может
построить графики лишь при непрерывном изменении переменной, то
есть для прямых стержней пусть и с большим числом участков, как в
предыдущем примере.
10
5
а)
7,3
4,5
-2
2,8
-
1
-2
-
1
-2,1
2,4
б)
1−
1−
1
Рис. 10.17. Эпюры внутренних усилий для стержня, построенные "вручную"
На рис. 10.17, а показаны эпюры продольного усилия
N
и крутящего
момента , на рис. 10.17, б эпюры изгибающих моментов
к
M
и
y
z
MM
.
78
Mathcad строит те же эпюры для каждого участка отдельно (рис.
10.18).
Рис. 10.18. Эпюры внутренних усилий для стержня, построенные Mathcad
Далее определены геометрические характеристики поперечных
сечений стержня (рис. 10.19). Для первого и второго участков сечение
прямоугольное, для третьего и четвертого участков — круглое. Для
расчета моментов инерции и моментов сопротивления взяты
фрагменты программы slog-sopr1 (рис. 10.10 и 10.11). Выражения для
моментов инерции
J
и моментов сопротивления W подправлены с
учетом реальных форм поперечного сечения стержня. Расчет
предусматривает возможность поворота прямоугольного сечения на 90
°, для чего производится переименование
J
и W .
Рис. 10.19. Расчет напряжений в Mathcad
Приведенный внизу рис. 10.19 расчет эквивалентных напряжений для
круглых и прямоугольных сечений также скопирован из предыдущей
программы slog-sopr1 (рис. 10.9). А вот расчет максимальных
эквивалентных напряжений выполнен проще, чем в предыдущей
программе (рис. 10.14). Дело в том, что ни одна встроенная функция
Mathcad не может определить экстремум функции со скачками и
разрывами (рис. 10.13). Если максимум напряжения определяется на
каждом участке отдельно и разрыва функции там нет, то с такой
задачей успешно справляется функция Maximize. Для определения
использована подпрограмма ma
экв
max σ x
σ
, которая определяет
79
максимальное напряжение на каждом участке и выбирает из них
большее. Этот фрагмент программы важен еще и тем, что показывает
возможность использования вычислительного блока с ключевым
словом given в программных модулях. Подобным образом можно
использовать в программах функции Find, Minerr, Maximize,
Minimize.
Рис. 10.20. Расчет на прочность пространственного стержня
В конце программы приведен расчет перемещения конца стержня в
горизонтальном направлении (рис. 10.21). Аналогично можно
определить любое перемещение любой точки стержня. Пояснения к
определению перемещений с помощью интеграла Мора приведены в
главе 11 книги 1 и в примерах к ней.
Рис. 10.21. Расчет горизонтального перемещения конца стержня (точки В)
80