Ляшков В.И. Теоретические основы теплотехники
Подождите немного. Документ загружается.
и, следовательно,
.),,( TpfU
ρ
=
(1.7)
Внутренняя энергия – величина аддитивная, при делении системы на части она разбивается про-
порционально массам частей. Таким же свойством обладают и другие термодинамические величины (за
исключением потенциалов). Поэтому термодинамический анализ принято проводить на единицу массы
системы, при этом вводятся удельные величины: u =U / m, q =Q / m, l = L / m, s = S / m, v = V / m. По-
следнюю называют удельным объемом и рассматривают как один из параметров состояния системы.
Отметим, что ρ =1 / v. С учетом этого формулу (1.7) перепишем в виде
),,( Tvpfu
=
и еще раз подчеркнем, что величина внутренней энергии определяется только значениями параметров со-
стояния и родом рабочего тела. Она не зависит от того, каким путем было достигнуто это состояние. При
совершении элементарно малого процесса внутренняя энергия будет изменяться на величину du в зави-
симости от изменений параметров р, v и Т.
В термомеханической системе внутреннюю энергию можно обнаружить только в форме работы или
тепла. В первом случае следует теплоизолировать систему, и дать ей возможность расширяться, поме-
щая в среду с более низким давлением. Во втором случае нужно зафиксировать объем системы (тогда
работа не сможет совершаться) и дать ей возможность охлаждаться. Тогда система отдаст более холод-
ной среде некоторое количество тепла, равное изменению внутренней энергии. Приведенные рассужде-
ния следуют из анализа формулы (1.6), т.е. из первого закона термодинамики.
Если совершить любой замкнутый процесс так, чтобы в итоге система, пройдя ряд промежуточных
состояний, вернулась бы к первоначальному, то изменение внутренней энергии за такой процесс будет
равно нулю, и интеграл от du будет равен нулю. Это доказывает, что du – полный дифференциал.
Рассмотрим теперь еще некоторые свойства внутренней энергии. Из первого закона термодинамики
следует, что u = f (s, v), ибо только в этом случае изменения s и v будут вызывать изменения u, как это
показывает формула (1.5). В противном случае и ds, и dv равны нулю и вместо (1.5) получается du = 0, и
это означало бы, что внутренняя энергия остается постоянной при наличии тепловых и механических
взаимодействий – явное противоречие с физической сутью явлений.
Запишем выражение полного дифференциала u как функции двух переменных
dv
v
u
ds
s
u
ududdu
sv
sv
∂
∂
+
∂
∂
=+=
(1.8)
и сопоставим формулы (1.5) и (1.8), отмечая, что левые части их одинаковы, значит одинаковы и их пра-
вые части. Из этом следует, что
,)/( Tsu
V
=
∂
∂
(1.9)
.)/( pvu
S
−
=
∂
∂
(1.10)
Мы обнаружили, что частная производная и по одному из параметров дает значение сходственного
параметра (пару потенциал-координата называют сходственными или сопряженными параметрами).
Продифференцируем формулы (1.9) и (1.10) и проведем простейшие преобразования, привлекая извест-
ные понятия о теплоемкостях и термических коэффициентах:
;
vV
V
V
V
V
V
c
T
qd
Td
T
sdT
TdT
s
T
s
u
===
∂
∂
=
∂
∂
2
2
00
0
2
2
111
1
1
vv
p
v
v
v
p
v
u
S
S
S
S
β
=
∂
∂
−
=
∂
∂
−=
∂
∂
,
где с
v
– удельная теплоемкость газа в процессах при v = const; v
0
– удельный объем газа при
нормальных условиях;
SS
pvv )/(/ ∂∂−=β
0
1 – коэффициент адиабатической сжимаемости. Выявилось еще
одно свойство внутренней энергии: вторые частные производные этой функции определяют значения
величин c
v
и β
S
.
Проведем теперь перекрестное дифференцирование формул (1.9) и (1.10), дифференцируя (1.9) по v,
а (1.10) – по s:
S
v
T
vs
u
∂
∂
=
∂∂
∂
2
,
v
s
p
sv
u
∂
∂
−=
∂∂
∂
2
.
Левые части полученных выражений различаются только порядком дифференцирования и, следова-
тельно, одинаковы. Значит равны между собой и правые их части. На основании этого получаем
vS
s
p
v
T
∂
∂
−=
∂
∂
или
S
v
T
v
p
s
∂
∂
−=
∂
∂
.
Нами получено одно из дифференциальных соотношений термодинамики (их называют соотноше-
ниями Максвелла), которое позволяет при термодинамическом анализе заменять производные энтропии
на производные других параметров, легко измеряемых на практике.
1.1.5 Энтальпия, ее физический смысл
Ищите простоту и затем ставьте ее под сомнение
Э. Уайтхед
В
еличина внутренней энергии лишь приближенно характеризует работоспособность системы, ибо сюда
не включается запас потенциальной или кинетической энергии, которыми может обладать рабочее тело
на макроуровне. Представьте, для примера, что 10 кг газа в баллоне вместе с пассажирами самолета
поднято на высоту 1000 м и перемещаются горизонтально со скоростью 100 м/с. Как и любая масса 10
кг, этот газ приобретает дополнительную потенциальную и кинетическую энергии, которые при опре-
деленных условиях могут быть трансформированы в механическую работу (эти условия додумайте са-
ми и ужаснитесь!). Значит, работоспособность системы зависит еще и от тех условий, в которых она на-
ходится в окружающей среде, от обстоятельств, предшествующих проводимому анализу.
Ту часть энергии рабочего тела, которой оно обладает на макроуровне и которую можно получить
от системы в форме работы, называют располагаемой работой l
рас
. Сумму внутренней энергии и распо-
лагаемой работы называют энтальпией:
раc
luh
+
=
.
Чтобы шире раскрыть физический смысл энтальпии, определим ее величину для одного килограм-
ма газа с параметрами р и Т, заключенного в теплоизолированной системе с подвижным поршнем, на-
груженным внешней силой F (см. рис. 1.6). Отметим, что эта сила, уравновешиваемая давлением газа р,
действующим на поршень с поверхностью S, в рассматриваемом случае обладает запасом потенциаль-
ной энергии e
пот
= FH и этот запас может быть получен в форме механической работы. Действительно,
если, открыв кран 3, соединить цилиндр 1 с другим таким же цилиндром 2, то поршень в последнем пе-
реместится вправо, совершая работу l
рас
. Внутренняя энергия перетекающего газа остается неизменной,
поскольку параметры газа не меняются.
Величину располагаемой работы определим очень просто. Выражая F через параметры системы (F
= pS), получаем l
рас
= pSH. В итоге величина энтальпии газа определится соотношением
pvupSHuh
+
=
+
=
, (1.11)
в котором произведение рv в общем случае отражает запас располагаемой работы одного килограмма
газа.
Чтобы получить выражение первого закона термодинамики в записи через энтальпию, в правой
части уравнения (1.5) прибавим и отнимем величину vdp и проведем простейшие преобразования:
vdpvdppdvTdsdu
−
+
−
=
.
Отмечая, что сумма pdv + vdp представляет собою дифференциал произведения d(pv), запишем
)( pvdvdpTdsdu
−
+= или vdpTdspvud
+
=
+
)( .
Учитывая формулу (1.11), получаем окончательно
vdpTdsdh
+
=
. (1.12)
Формула (1.12) позволяет уяснить и более узкий физический смысл энтальпии. Обратим внимание: в
процессах при p = const dp = 0 и второе слагаемое формулы (1.12) обращается в нуль. Тогда можно го-
ворить, что энтальпия – это то количество тепла, которое подводилось (или отводилось) в процессах
при p = const. Именно поэтому многие годы в отечественной технической литературе для этой величи-
ны применялся термин "теплосодержание".
Из полученного уравнения видно, что h – это функция двух параметров состояния s и р: h = f (s, p).
Запишем полный дифференциал этой функции
dp
p
h
ds
s
h
dh
S
p
∂
∂
+
∂
∂
=
и сопоставим полученное выражение с формулой (1.12). Рассуждения, аналогичные приведенным при
знакомстве с внутренней энергией, позволяют записать два равенства
,T
s
h
p
=
∂
∂
(1.13)
.v
p
h
S
=
∂
∂
(1.14)
Здесь мы опять обнаруживаем, что частные производные этой функции состояния по одному из парамет-
ров дают значения сходственных параметров. Повторным дифференцированием можно было бы обнару-
жить и другое свойство, аналогичное выявленному ранее. Проведем перекрестное дифференцирование
формул (1.13) и (1.14):
s
p
T
ps
h
∂
∂
=
∂∂
∂
2
,
p
s
v
sp
h
∂
∂
=
∂∂
∂
2
.
Отсюда после простейших преобразований вытекает еще одно дифференциальное соотношение термо-
динамики:
sp
T
p
v
S
∂
∂
=
∂
∂
.
Функции состояния, характеризующие запас работоспособности системы и обладающие отмечен-
ными выше свойствами (дифференцирование этих функций дает значение сходственных параметров, а
повторное дифференцирование – значения теплоемкостей газа и термических коэффициентов) называ-
ют характеристическими функциями.
1.1.6 Другие характеристические функции. Эксергия
В
реальных условиях невозможно превратить в работу (или тепло) весь запас внутренней энергии рабоче-
го тела. Действительно, и это мы показали ранее, можно трансформировать часть внутренней энергии в
тепло, и делать это можно до тех пор, пока температура рабочего тела не понизится до температуры ок-
ружающей среды Т
ср
. Дальнейшие тепловые взаимодействия со средой становятся невозможными, так
как отсутствует разница потенциалов. Однако и в таком состоянии рабочее тело может еще отдать часть
внутренней энергии в форме работы, если дать ему возможность расширяться изотермически до тех
пор, пока давление p не уменьшится до р
ср
. Количество этой работы легко определить, если проинтег-
рировать (с учетом T = const) уравнение первого закона термодинамики (формула (1.5)):
∫∫∫
−=
2
1
00
pdvTdsdu
S
S
u
u
,
где u
0
и s
0
– внутренняя энергия и энтропия такого условного состояния газа, при котором u и s прини-
маются равными нулю (u
0
= 0 и s
0
= 0); u и s – текущие значения этих величин, соответствующие темпе-
ратуре Т.
Учитывая, что
из
lpdv =
∫
2
1
, где l
из
– работа изотермического расширения, после интегрирования полу-
чаем
из0
0
|| lsTu
su
−= или
из
lTsu
−
=
.
Последняя формула показывает, что при Т = Т
ср
только часть u трансформируется в работу. Определен-
ная часть внутренней энергии, равная величине Тs, неизбежно остается в системе и не может быть ис-
пользована. Эту часть называют связанной энергией. Величину u – Ts, характеризующую запас работо-
способности в процессах при Т = Т
ср
, называют свободной энергией (или энергией Гельмгольца):
Tsuf
−
=
. (1.15)
Сумму свободной энергии и располагаемой работы называют свободной энтальпией (или энергией
Гиббса):
TshpvTsuz −
=
+
−
=
. (1.16)
Эти калорические характеристики являются функциями состояния и точнее чем предыдущие определя-
ют запас работоспособности системы.
Чтобы выразить первый закон термодинамики через f и z, поступим также, как и при анализе энталь-
пии, т.е. запишем формулу (1.5) и в правой ее части прибавим и отнимем одно и то же выражение так,
чтобы получить значение полного дифференциала произведения двух величин. Математики такие дейст-
вия называют преобразованием Лежандра:
sdTsdTpdvTdsdu
−
+
−
=
.
Поскольку Tds + sdT = d(Ts), то du = d(Ts) – sdT – pdv или d(u – Ts) = = –sdT – pdv. С учетом определе-
ния (1.15), окончательно получаем
pdvsdTdf
−
−
=
. (1.17)
Аналогичные преобразования для z, но на основе формулы (1.12):
sdTsdTvdTdsdh
−
+
+
=
,
или dh = d(Ts) – sdT + vdp, или d(h – Ts) = –sdT + vdp и окончательно
vdpsdTdz
+
−
=
. (1.18)
Из формулы (1.17) следует, что f = f (T, v). Тогда полный дифференциал этой функции будет
dv
v
f
dT
T
f
df
Tv
∂
∂
+
∂
∂
=
.
Сопоставляя правые части этой формулы и формулы (1.17) и учитывая одинаковость их левых частей,
получаем
s
T
f
v
−=
∂
∂
; p
v
f
T
−=
∂
∂
,
из чего видно, что f обладает одним из свойств характеристических функций. Дифференцирование по-
лученных формул позволяет обнаружить и другое их свойство. Перекрестное дифференцирование дает
третье соотношение Максвелла:
T
v
s
vT
f
∂
∂
−=
∂∂
∂
2
;
v
T
p
Tv
f
∂
∂
−=
∂∂
∂
2
,
откуда
vT
T
p
v
s
∂
∂
=
∂
∂
.
Совершенно аналогичный анализ формулы (1.18) позволяет записать, что z = f (T, p) и получить со-
отношения
s
T
z
p
−=
∂
∂
и v
p
z
T
=
∂
∂
.
Повторное дифференцирование дает
T
c
Td
qd
TT
T
sd
sd
T
s
T
z
P
P
P
P
P
p
p
−=−==
∂
∂
−=
∂
∂
1
2
2
,
t
T
T
v
p
v
v
v
p
v
p
z
β−=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
0
0
0
2
2
,
где с
p
– теплоемкость газа в процессах при p = const; β
t
– коэффициент изотермической сжимаемости.
Значит z обладает всеми свойствами характеристических функций.
Перекрестное дифференцирование позволяет получить еще одно дифференциальное соотношение
термодинамики
.
p
T
T
v
p
S
∂
∂
−=
∂
∂
Самопроизвольно, без затрат энергии система может охладиться только до температуры T
0
(обычно
принимают Т
0
= 277 К – температура на дне глубоких водоемов, неизменная ни зимой, ни летом). Количе-
ство связанной энергии при этом будет минимальным.
Величину свободной энтальпии h – T
0
s в такой ситуации называют эксергией: E = h – T
0
s. Эксергия
определяет максимальную работоспособность рабочего тела в реальных условиях, поскольку учитывает и
запас располагаемой работы, и ту часть энергии, которую невозможно получить от газа (т.е. связанную
энергию).
В заключение сопоставим характеристические функции по их величинам, отсчитанным от состояния,
при котором они принимаются равными нулю (см. рис. 1.7).
Важные связи в аналитической форме легко получить, если в формулы h = u + pv, f = u – Ts, z = h –
Ts, z = u + pv – Ts вместо параметров v, p, s подставить их значения, выраженные через производные
соответствующих функций:
S
p
h
puh
∂
∂
+=
;
v
T
f
Tuf
∂
∂
+=
;
P
T
z
Thz
∂
∂
+=
;
P
T
T
z
T
p
z
puz
∂
∂
+
∂
∂
+=
.
1.1.7 Равновесные и неравновесные процессы
Сила жизни в ее необратимости
Марона Арсанис
В
заимодействие системы со средой, в результате которого изменяются термодинамические (p, v, T) и кало-
рические (s, u, h, f, z) параметры рабочего тела, называют термодинамическим процессом.
Если движущая сила процесса, определяемая разницей потенциалов
вн
pp − , очень мала (абстрактно
рассуждая, ее принимают бесконечно малой), то процесс будет проходить вяло, медленно, малоинерци-
онно. В каждом конкретном состоянии в течение такого процесса система будет оставаться практически
однородной и равновесной. Она как бы проходит последовательно ряд следующих друг за другом рав-
новесных состояний, отличающихся бесконечно малыми изменениями параметров. Такие абстрактные,
длящиеся бесконечно долго, процессы принято называть квазистатическими или, чаще, равновесными,
несмотря на противоречивость такого термина. Естественной особенностью равновесных процессов яв-
ляется то, что здесь не проявляется внутреннее сопротивление системы, изменения в ней происходят
без внутреннего трения, подведенную к системе энергию можно полностью получить в ее первоначаль-
ном качестве. Если изменить знак разницы потенциалов, то такой процесс пойдет в обратном направле-
нии, и рабочее тело будет проходить через все те же самые состояния, через которые оно проходило в
прямом процессе и без остаточных изменений в окружающей среде. Поэтому равновесные процессы
называют еще обратимыми, отмечая этим одно из важных их свойств. Практика показала, что равновес-
ные процессы являются достаточно точными моделями почти всех реальных процессов.
Все реальные процессы протекают при некоторой конечной разности потенциалов
вн
pp
−
, соизме-
римой с величинами действующих потенциалов. Естественно, что процессы при этом протекают бурно,
быстро, интенсивно. Это вызывает нарушение однородности системы, возникновение внутренних взаи-
модействий между отдельными частями системы, что связано с преодолением внутреннего сопротивле-
ния в форме внутреннего трения, а при отсутствии механических перемещений – в других, специфиче-
ских формах. В такой ситуации часть подводимой или внутренней энергии затрачивается (но не теряется!)
на преодоление сопротивления. Эта часть энергии теряет свое качество и уже не может быть получена от
рабочего тела в прежнем виде. В каждый конкретный момент времени при этом отсутствует равновесие
между системой и средой, поэтому такие процессы называют неравновесными. Неравновесные процессы
необратимы – при изменении знака
p∆
процесс идет в обратном направлении, но совершенно через другие
состояния и стадии, при этом вновь проявляется действие внутреннего сопротивления.
Чтобы наглядно представить протекание и особенности равновесных и неравновесных процессов,
поместим в теплоизолированный цилиндр с подвижным поршнем один килограмм газа с параметрами р и
Т. В первом случае будем нагружать поршень, кладя на него по малой частице груза – по песчинке (см.
рис. 1.8). Добавив очередную песчинку, мы практически не обнаружим никаких изменений в системе,
поскольку последующее состояние будет отличаться от предыдущем бесконечно мало. Однако, на-
бравшись терпения и нагрузив на поршень достаточное количество песчинок, мы обнаружим, что пор-
шень переместился вниз, а температура и давление возросли и рабочее тело из состояния 1 перешло в со-
стояние 2. Если после этого снимать тоже по одной песчинке, то поршень начнет перемещаться вверх,
величины р и Т будут уменьшаться. Когда число песчинок на поршне снова станет равно n, то р и Т газа
будут такими же, какими они были при этом же числе песчинок в прямом процессе, поскольку внутрен-
нее трение в таких процессах отсутствует.
В другом случае на тот же поршень будем накладывать достаточно большие грузы – целые камни!
Когда мы положим на поршень очередной камень (см. рис. 1.9), то поршень резко переместится вниз.
При этом вблизи поршня возникает зона уплотнения, давление в которой будет выше, чем в других мес-
тах. Такое нарушение однородности вызывает импульс давления, который начинает распространяться
вниз, отражаться от днища цилиндра и направляться вверх, отражаться там и снова двигаться вниз.
Возникшие колебания будут продолжаться до тех пор, пока за счет внутреннего трения полностью не
сгладятся, и не установится новое равновесие между системой и средой. В течение неравновесного про-
цесса из-за неоднородности системы нельзя однозначно определить значения параметров газа, поэтому
процесс 1-2 изображают лишь условно. Если изменить знак p
∆
(резко снимать камни), то процесс пой-
дет в обратном направлении, но будет протекать по другому пути, поскольку часть энергии, подведен-
ной при нагружении поршня, трансформировалась в тепло (работа трения всегда трансформируется в
тепло), а полная трансформация этого тепла в работу при обратном процессе невозможна.
1.1.8 Принцип возрастания энтропии. Второй закон термодинамики
О, боже! Се твои законы,
Твой взор миры творит, блюдет
Г. Р. Державин
У
же отмечалось, что работа трения, сопровождающая неравновесные процессы, всегда трансформирует-
ся в тепло, что во время таких процессов в системе как бы возникает внутренний источник тепла. Это
приводит к увеличению энтропии рабочего тела и при отсутствии внешнего теплоподвода. Возрастание
энтропии при неравновесных процессах наблюдается и в тех случаях, когда механические взаимодейст-
вия, а значит и обычное трение, отсутствуют.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим процесс неравновесного тепло-
обмена между двумя телами 1 и 2, помещенными в теплоизолированную
систему (см. рис. 1.10). Пусть тело 1 имеет температуру Т
1
, а тело 2 – тем-
пературу Т
2
(Т
1
> Т
2
). Тогда между телами возникнет неравновесный тепло-
обмен и первое тело отдаст, а второе тело получит некоторое количество
тепла dq. Энтропия первого тела уменьшится на величину ds
1
(ds
1
< 0), а
энтропия второго тела увеличится на ds
2
(ds
2
> 0). Запишем выражения, оп-
ределяющие величину dq, и сложим их правые и левые части:
• для первого тела –dq = T
1
ds
1
;
• для второго тела dq = T
2
ds
2
;
2211
0 dsTdsT
+
=
,
откуда находим соотношение
|ds
2
| = (Т
1
/Т
2
) |ds
1
|.
Поскольку Т
1
/Т
2
>1, то получается, что
|ds
2
| > |ds
1
|.
Изменение энтропии всей системы равно сумме этих энтропий
21
dsdsds
+
=
.
Учитывая знаки ds
1
и ds
2
и предыдущее неравенство, приходим к заключению, что
ds > 0.
Этот принцип, установленный М. Планком, согласно которому при любых неравновесных процес-
сах энтропия изолированной системы возрастает, составляет одну из самых корректных формулировок
второго закона термодинамики. В неравновесных процессах с теплообменом изменение энтропии не
адекватно подведенному (или отведенному) теплу и
Tds > dq ,
в то время как для равновесных процессов всегда Tds = dq. Выделенные неравенства часто называют
аналитическими выражениями второго закона термодинамики.
Вполне естественно, что, отражая качественную сторону процессов трансформации энергии, этот за-
кон имеет несколько формулировок, отличающихся более узкой или более широкой трактовкой. Можно
сформулировать его и так: все реальные процессы сопровождаются преодолением внутреннего сопротив-
ления системы и это приводит к деградации части энергии, связанной с переходом ее на более низкий по-
тенциальный уровень, что сопровождается неизбежным ростом энтропии.
Еще более широко трактуется этот закон Больцманом: природа стремится от состояний менее вероят-
ных к состояниям более вероятным, вероятность обратных процессов ничтожна. Такая трактовка подчер-
кивает относительный характер второго закона термодинамики, позволяя преодолеть некоторые тупико-
вые заключения, например, о тепловой смерти Вселенной, сделанные нашей наукой в процессе ее станов-
ления.
1.1.9 Уравнение состояния, критерий устойчивости
И
звестно, что вещество может находиться в одном из четырех фазовых состояний: твердое, жидкое, газо-
образное и плазма, и это определяется значениями параметров состояния. Но и в пределах одной фазы
состояние и даже свойства вещества могут существенно отличаться, если различны параметры состоя-
ния.
Каждому состоянию соответствуют определенные значения характеристических функций, напри-
мер u = f (р, v, Т). Ссылаясь на свойство этих функций, можно утверждать, что существует определенная
однозначная связь между отдельными параметрами состояния. Действительно, ранее было показано, что
dq
T
1
T
2
1
2
Рис. 1.10 Неравно-
весный
теплообмен между
телами
Т = (∂u/∂s)
v
. Если подставить сюда вместо u ее значение, выраженное через параметры состояния, то по-
лучим
),,(),,( svpfTvpf
s
T
21
=
∂
∂
= .
Однозначную связь между потенциалами и координатами состояния называют уравнениями со-
стояния:
)(
iii
xfp
=
, i = 1, 2, …, k.
Для термомеханической системы эти функциональные зависимости принимают вид T = f
3
(v, s) и p
= f
4
(v, s). Обычно энтропию s, поскольку она не измеряется на опыте, исключают из рассмотре-
ния: s = f
5
(T, v), p = f
6
(v, T) и уравнение состояния в общем виде записывают так:
f (p, v, T) = 0.
Исследованием свойств газов и разработкой уравнений состояния занимается физика. В общем слу-
чае это весьма сложная и трудоемкая задача, о чем подробнее будет сказано ниже. Только для идеаль-
ного газа (такие состояния газа, при которых можно пренебрегать силами взаимодействия между моле-
кулами и объемом самих молекул) уравнение состояния, которое называют обычно уравнением Кла-
пейрона, принимает простой вид
pv = RT, (1.19)
где R – газовая постоянная, своя для каждого конкретного газа, R = 8314 / µ, Дж/кг ⋅ К; µ –
молекулярная масса газа, кг/моль.
Термодинамика формулирует специальный критерий для оценки правильности получаемых урав-
нений состояния. Известно, что системы могут обладать свойством устойчивости или неустойчивости
(для примера см. рис. 1.11). Устойчивыми называют такие системы,
случайное изменение состояния которых вызывает процесс, направ-
ленный на восстановление начального состояния.
Термодинамическая система обладает свойством устойчивости,
ибо всегда стремится к однородному и равновесному состоянию
(вспомним нулевое правило). Особое свойство устойчивых систем вы-
явим на знакомом примере с пружиной, нагруженной внешней силой (см. рис. 1.2). Такая система ус-
тойчива. Если случайное воздействие будет dF
н
, то координата изменится на dx, а при прекращении
воздействия пружина вернется в исходное состояние. Если воздействие будет –dF
н
, то и координата из-
менится на –dx. Обнаруживается, что в любом случае dF / dx > 0. На многих других примерах можно
убедиться, что у устойчивых систем
0>
ii
xdpd / .
Для термомеханической системы ( pp −= и vx
=
) получаем следующие критерии
(∂p/∂v)
S
< 0 и (∂Т /∂S)
v
> 0.
Легко убедиться, что уравнение Клапейрона удовлетворяет этому соотношению. Из формулы pv =
RT выразим p = RT / v и продифференцируем это выражение по v, все остальные параметры принимая за
постоянные величины
2
1
v
RT
vv
RT
v
p
−=
∂
∂
=
∂
∂
.
Значения R, Т и v не бывают отрицательным и, значит, ∂p / ∂v < 0.
1.1.10 Графический метод в термодинамике
Везде передо мной подвижные картины
А. С. Пушкин
F
F
Рис. 1.11 Устойчивая и
й
ак и в других инженерных дисциплинах, в термодинамике очень широко используются различные гра-
фические представления и зависимости, и это облегчает и упрощает понимание и
решение многих важных для практики задач.
Уравнение F (р, v, Т) графически интерпретируется некоторой поверхно-
стью в системе координат р, v, Т (см. рис. 1.12). Ее называют термодинамиче-
ской поверхностью данного вещества. Любая точка на этой поверхности соот-
ветствует некоторому состоянию (параметры р, v и Т однозначно определены),
а любая линия – процессу. Однако использовать трехмерную систему коорди-
нат для графических отображений и построений очень неудобно, поэтому на
практике чаще всего используются плоские системы координат р–v, Т–s и р–t.
Рассмотрим сначала р–v диаграмму. Здесь, как и прежде, любая точка со-
ответствует некоторому состоянию (величины р и v определены, величину Т
следует рассчитать, используя уравнение состояния), а любая линия – некото-
рому термодинамическому процессу. При этом, если процесс идет слева напра-
во, т.е. с увеличением объема системы, то это процесс расширения и система
совершает работу над средой (l > 0). Если же процесс идет справа налево, т.е.
сопровождается уменьшением объема, то это процесс сжатия и работа совер-
шается над системой (l < 0) (см. рис. 1.13).
С помощью р–v диаграммы легко определить не только характер процесса, но и количество работы 1.
Действительно, работа за элементарно малый процесс dl = pdv графически отражается выделенной на рис.
1.13 площадкой df.
Работа всего процесса определится так:
ba
n
i
i
Fdfdvpl
12
1
2
1
===
∑
∫
=
.
Аналогичным свойством обладает и другая диаграмма с координатами Т–s (см. рис. 1.14).
Здесь, если процесс идет слева направо (ds > 0), то это процесс с подводом тепла к рабочему телу, если
направление процесса противоположное, то это процесс с отводом тепла от системы.
Количество тепла за процесс определяется интегрированием
∫
=
1
2
Tdsq .
Произведение Тds равно площадке df на рис. 1.14, а интеграл – сумме таких площадок, т.е., как и преж-
де, площади под кривой, изображающей процесс: q = F
a12b
.
Диаграмма р–t обычно применяется для отображения фазовых состояний и переходов различных
веществ.
1.1.11 Теплоемкости газов
П
оскольку определить количество тепла через энтропию s на практике невозможно, то исторически сло-
жилось так, что его определяют пропорционально изменению температуры за процесс dTcdq
=
, где ко-
эффициент пропорциональности с и называют теплоемкостью. Более точно удельной теплоемкостью
называют количество тепла, которое необходимо подвести к единице количества вещества, чтобы на-
греть ее на один градус. Количество вещества можно выразить в килограммах, нормальных кубометрах
(нм
3
) или киломолях, поэтому различают массовую, объемную и мольную теплоемкости. Теплоемкость
К
p
v
а
b
dv
df
1
2
Рис.
1.
13
T
а
b
ds
df
1
2
s
элементарно малого процесса называют истиной. Для некоторого конечного процесса определяется
средняя за процесс теплоемкость
)(
12
21
2
1
TTm
Q
c
t
t
m
−
=
−
.
Для газов величины dq или Q зависят от особенностей протекающих процессов, а значит и величи-
ны с и с
m
для каждого из процессов будут своими. Наиболее простыми процессами являются процессы
при v = const или p = const. Теплоемкости газов в таких процессах исследованы экспериментально и их
называют соответственно изохорной c
v
и изобарной с
p
теплоемкостями. В первом приближении c
v
и с
p
–
величины постоянные. Если говорить о более точных измерениях, то опыты показали, что величины
теплоемкостей несколько увеличиваются с ростом температуры (см. рис. 1.15). Наибольшую точность
обеспечивает квадратичная аппроксимационная формула
2
dtbtac ++= ,
но обычно ограничиваются линейной зависимостью c = a + bt.
Первый закон термодинамики, если учесть, что dq = c dT, можно записать теперь по другому:
dvpdTcdu
−
=
. (1.20)
Отсюда видно, что u = f (T, v). Запишем выражение полного дифференциала для этой функции двух пе-
ременных
dv
v
u
dT
T
u
du
Tv
∂
∂
+
∂
∂
= . (1.21)
В процессах при v = const формулы (1.20) и (1.21) принимают вид
Tdcud
vvp
= ; TdTuud
vvv
)/(
∂
∂
=
,
и сопоставление их позволяет записать, что c
v
= (∂u/∂T)
v
.
Аналогичный анализ уравнения первого закона термодинамики, записанного через энтальпию, по-
зволяет расширить физический смысл теплоемкости с
р
, записав, что c
p
= (∂h/∂T)
p
.
Приравниваем правые части формул (1.20) и (1.21) (с учетом полученного выше значения произ-
водной) и выразим величину с:
dT
dv
p
v
u
cc
T
v
+
∂
∂
+=
. (1.22)
Значение производной (∂u/∂v)
T
найдем, записав первый закон термодинамики (формулу (1.5)) для
процесса при T = const (при этом все дифференциалы станут частными):
vdpsdTud
TTT
−
=
,
откуда
p
v
s
T
v
u
TT
−
∂
∂
=
∂
∂
.
Если в последней формуле производную (∂s/dv)
Т
заменим по дифференциальному соотношению ве-
личиной (∂p/∂T)
v
, то получим
p
T
p
T
v
u
vT
−
∂
∂
=
∂
∂
.