Лучинин В.В. Физика и технология микро

Подождите немного. Документ загружается.

150

где F

и q

– обобщенные силы и координаты потенциальной части сис-

темы; v

и p

– обобщенные скорости и импульсы кинетической части

взаимодействующей системы, χ

– собственные обобщенные коэффици-

енты; χ

– перекрестные коэффициенты взаимодействия. Соотношение

взаимности для перекрестных коэффициентов выражений (8) имеет вид:

= –χ

, (9)

Такие преобразователи называют преобразователями индуктив-

ного типа [13].

Система уравнений (6) может быть преобразована к виду:

1112

2 1 22

dq C dF Ndq

dF NdF C dq

, (10)

где C

, C

, N – новые коэффициенты, выражаемые через k

. При этом

перекрестные коэффициенты также равны по абсолютной величине.

Данная система уравнений может быть представлена в виде эквива-

лентной схемы четырехполюсника (рис. 3), где перекрестные коэффи-

циенты N характеризуют коэффициент преобразования идеального

преобразователя (аналога трансформатора).

–

N·F

= dq

/dt

1:N

Рис. 3. Эквивалентная схема преобразователя емкостного типа

При этом упрощенная форма системы уравнений (10) для обоб-

щенных сил и координат характеризует идеальный преобразователь

емкостного типа:

dq Ndq

dF NdF

, (11)

соответствующий схеме-аналогу (рис. 4, а).

Идеальный преобразователь индуктивного типа (гиратор) для

обобщенных потенциалов типа силы и скорости описывается следую-

щим образом:

151

dp dq

dF dv

= -G

, (12)

где коэффициент преобразования Г (коэффициент гирации) характери-

зует взаимосвязь обобщенной скорости в первой системе и силы во

второй системе и изображается схемой-аналогом (рис. 4, б).

–Nq

·F

1:N

–Гq

Гυ

а б

Рис. 4. Схемы-аналоги идеальных преобразователей:

а – емкостного типа; б – индуктивного типа (гиратор)

Так система уравнений преобразователя индуктивного типа мо-

жет быть представлена аналогично (8) в виде:

1112

2 1 22

dp m dv dq

dF dv C dq

= -G

=G+

, (13)

где m

, C

, Г –коэффициенты, отражающие свойства взаимодействую-

щих систем. Данное выражение соответствует эквивалентной схеме

четырехполюсника (рис. 5) с преобразователем типа гиратор.

=dp

/dt

= dq

/dt

–Гv

Гv

Рис. 5. Эквивалентная схема преобразователя индуктивного типа

Необходимо отметить, что в схемах преобразователей существу-

ет правило знаков [14], определяющее сонаправленный характер век-

торных величин с каждой стороны преобразователя и положительные

направления входящих в преобразователь потоков. При этом обобщен-

ные силы F

определяются как внешние силы, действующие на элемент

преобразователя.

152

В общем случае система уравнений преобразователя может быть

записана через эквивалентные силы F

, скорости v

и комплексные со-

противления Z

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

dF Z dv Z dv

, (14)

где Z

= Z

для преобразователей емкостного типа, и Z

= –Z

для

преобразователей индуктивного типа.

Чисто «резистивные» обратимые преобразователи описывают тер-

моэлектрические, электродиффузионные и другие явления, связанные с

преобразованием энергии в диссипативных средах [15]. Схемы-аналоги

таких преобразователей помимо идеальных преобразователей – транс-

форматоров (11) и гираторов (12) – включают резистивные элементы. Та-

ким образом, преобразователь можно схематично представить как четы-

рехполюсник с соответствующими правилами преобразования, но при

этом с разных сторон такого четырехполюсника могут оказаться разные

по физической природе воздействия (силы). Важно, что даже при нели-

нейном характере перекрестного взаимодействия будут справедливы со-

отношения (14), характеризующие преобразование в дифференциальном

виде или в так называемых «малосигнальных» параметрах.

Обобщенными эквивалентными схемами и преобразователями

описываются элементы сенсорных микросистем и актюаторов, в кото-

рых происходит преобразование энергии и сигнала.

Примеры эквивалентных схем преобразователей

Пример электромеханического преобразователя в виде подвиж-

ной емкостной обкладки с номинальной емкостью С, зазором х, на-

пряжением U и зарядом на обкладках q приведен на рис. 6.

Система уравнений, характеризующая такой преобразователь,

CU CU

dF dx dU

dq dx CdU

=-+

(15)

153

x U

x/CU

а б

Рис. 6. Электромеханический преобразователь емкостного типа:

а – конструкция; б – эквивалентная схема-аналог

в общем случае нелинейна, но в дифференциальной форме правильно

отражает взаимозависимости параметров механической и электриче-

ской частей. Система уравнений (15) обладает важным свойством: ее

определитель равен 0, что дает возможность полного преобразовании

энергии из одной части системы в другую. Эквивалентная схема пре-

образователя аналогична изображенной на рис. 3. В механической час-

ти системы появляется эквивалентный упругий элемент (электрическая

пружина), что связано с нелинейным характером преобразования элек-

трической части системы. Механические параметры системы, такие

как резонансная частота и добротность, также зависят от состояния

электрического плеча четырехполюсника. Это верно и для электриче-

ской части. На данном принципе построены некоторые управляемые

компоненты микросистем.

Важный вывод для анализа микросистем, в которых взаимовлия-

ние электрических, механических, тепловых и других (в том числе

внешних) факторов оказывается существенным: невозможно правиль-

но анализировать выделенную часть (механическую, электрическую)

системы изолированно, т. е. без учета взаимодействия с действующими

подсистемами другой физической природы. Теория преобразователей

является адекватным инструментом для такого анализа.

Пример электростатического преобразователя гребенчатого типа,

реализующего механическое перемещение по оси y с изменением площа-

ди обкладок у n «зубцов» при постоянном зазоре x приведен на рис. 7.

Система уравнений такого преобразователя линейна относитель-

но перемещения по оси y и характеризуется отсутствием эквивалент-

ной упругости, связанной с электрической частью:

154

nhU

dF dy dU

nhU nhy

dq dy dU

=×+

Вышепредставленные преобразователи емкостного типа связаны

преобразованием потенциальных механических и электростатических сил.

1:y/CU

Рис. 7. Электромеханический преобразователь емкостного гребенчатого типа:

а – конструкция; б – эквивалентная схема-аналог

Теперь рассмотрим для примера электромагнитный преобразова-

тель индуктивного типа (рис. 8). Подвижная пластинка магнитопрово-

да притягивается к катушке с током J, F – противодействующая сила.

J v

Гv ГJ

а б

Рис. 8. Электромагнитный преобразователь индуктивного типа:

а – конструкция; б – эквивалентная схема-аналог

Индуктивность переменного воздушного зазора (магнитную про-

водимость) можно представить в виде

L = μ

·s/x,

где s – площадь сечения сердечника; x – величина воздушного зазора.

Внешняя механическая сила, компенсирующая притяжение пластинки,

определяется выражением

F = Ln

/2x,

где n – количество витков обмотки, а J – величина протекающего по

ним электрического тока.

155

Если магнитный поток в зазоре Ф = LnJ, то система уравнений элек-

тромагнитного преобразователя индуктивного типа будет иметь вид

()

Ln J LnJ

dF dx d nJ

LnJ

dФ dx Ld nJ

=-+

В общем представлении, с учетом того, что U = ndФ/dt, система

уравнений электромагнитного преобразователя будет выглядеть сле-

дующим образом:

222

Ln J Ln J

dF dv dJ

LnJ

dU dv j Ln dJ

=-+

=- +w

Полные эквивалентные схемы конструкций включают все задей-

ствованные преобразователи, пассивные элементы системы и дейст-

вующие источники внешних сил и потоков.

В качестве примера рассмотрим схематическое изображение ме-

ханических систем с одной и двумя степенями свободы (рис. 9, 10),

включая действующие электромеханические приводы.

(

)

1/k

F = ma

1: x/CU

Рис. 9. Схематическое изображение механической системы акселерометра:

а – в виде механической схемы; б – в виде эквивалентной схемы-аналога

Представленный подход разработан для анализа систем с сосре-

доточенными параметрами элементов. Элементы с распределенными

параметрами, значения которых непрерывно меняются в пространстве,

156

при определенных допущениях могут быть сведены к элементам с эф-

фективными (эквивалентными) значениями сосредоточенных парамет-

ров [12], [14].

C(x)

C(y)

1/k

–2mω

1: x/C

1: y/C

2mω

Рис. 10. Схематическое изображение механической системы микрогироскопа:

а – в виде механической схемы; б – в виде эквивалентной схемы-аналога

Рассмотрим также для примера мембранный элемент с внутрен-

ними механическими напряжениями в качестве системы «мембрана –

пластина», где действуют как изгибные деформации, формирующие

эффективную жесткость пластины k

в нормальном направлении, так и

поверхностные силы натяжения: τ = σh, где σ – механические напря-

жения в пластине (мембране); h – ее толщина.

Рассмотрим данную систему как преобразователь. С одной сто-

роны преобразователя расположена механическая система упругой

пластины с ее эквивалентными параметрами, с другой – тоже механи-

157

ческая система, но связанная с поверхностным натяжением (см. табл. 1).

Система уравнений описывающая такой преобразователь может быть

представлена в виде

( )

dF k dy y d

ds y dy k d

= × +p×t

=-p×+t

, (16)

где F – эквивалентная механическая сила, действующая на пластину

(F = Ps

); k

– эквивалентная жесткость пластины; s – площадь пласти-

ны; k

– жесткость поверхностного натяжения:

( )

Коэффициент преобразования (2πy = –ds/dy) рассчитан, исходя из

формы сферического сегмента прогиба мембраны. В соответствии с

(16) эквивалентная схема-аналог мембранного преобразователя пред-

ставлена на рис. 11.

–

1:2π

2πyτ

Рис. 11. Схема-аналог мембранного преобразователя

с учетом действующего поверхностного натяжения τ

В этой схеме учтены также масса и постоянно действующее на-

тяжение в мембране. При преобразовании схемы [12] (т. е. при «пере-

носе» через преобразователь элементов в правую часть схемы) необхо-

димо учесть особенность коэффициента преобразования, который за-

висит от величины y. С учетом этого в приведенной схеме (рис. 12) по-

является не только постоянный источник F

= 2πτy

, но и связанная с

ним «емкость» 1/k

, где k

= 2πτ. Приведенная жесткость поверхност-

ного растяжения определяется выражением k

= k

(2πy)

При нулевом начальном смещении центра мембраны y

= 0, в

статическом режиме получим уравнение определяемое суммарной же-

сткостью, равной сумме отдельных жесткостей (обратных емкостей):

Fkykyky

=++.

158

–

m k

2πτy

Рис. 12. Приведенная схема-аналог мембранного элемента

с учетом действующего поверхностного натяжения τ

Деля обе части полученного уравнения на эффективное значение

площади s

, получим выражение для давления:

000

42 24

5,3 44

(1 ) (1)

Eh h Eh

P yyy

av a av

= ++

, (17)

где a – радиус мембраны; y

– максимальный прогиб в ее центре, а по-

стоянные коэффициенты незначительно зависят от формы прогиба.

Первое слагаемое в выражении (17) связано с изгибными дефор-

мациями; второе слагаемое определяет упругость мембраны и связано

с наличием механических напряжений в ней; третье слагаемое связано

с растяжением поверхности элемента и нелинейно зависит от прогиба

. В зависимости от геометрических размеров, внутренних механиче-

ских напряжений и прогибов могут преобладать различные слагаемые и,

соответственно, режимы работы микромеханического элемента будут от-

личаться.

Выводы

Приведенные примеры использования преобразователей и экви-

валентных схем наглядно показывают возможности метода аналогий

при анализе работы сложных систем, учитывающих взаимодействие

элементов различной физической природы. Это особенно важно для

микросистем, связанных с преобразованием энергии, а также при усло-

вии малых размеров элементов, когда становятся существенными

внешние физические воздействия окружающей среды, сопутствующие

поля и потоки, которыми на макроуровне пренебрегали.

Представление эквивалентных схем в виде электрических анало-

гов позволяет использовать интуицию и навыки схемотехнического

анализа специалистов электронного профиля, работающих в области

микросистемной техники.

159

Множество учитываемых воздействий находит отражение в пол-

ной эквивалентной схеме микросистемы и позволяет аналитически

оценивать степень влияния сопутствующих малых воздействий (тем-

пературы, давления, натяжения и т. д.), границы допущений в расчет-

ных моделях элементов, прямое и обратное влияние элементов разной

физической природы и принципов действия. Аналитическое представ-

ление результатов такого моделирования (расчета схемы) позволяет

проводить целенаправленную оптимизацию конструкции и параметров

микросистемы. Проектирование элементов микросистемы может быть

выполнено путем решения обратной задачи с учетом полученных ана-

литических оценок и предъявляемых технических требований.

Необходимо отметить, что такой анализ представляет определенные

сложности для распределенных систем и необратимых преобразователей.

Но в целом данный подход представляется продуктивным для расчета,

анализа работы и проектирования микросистем с элементами, преобразо-

вателями и внешними воздействиями различной физической природы.

Работа выполнена в рамках ФПЦ «Развитие инфраструктуры на-

ноиндустрии в Российской Федерации на 2008–2010 годы», госконтракт

от 25.11.2010 № 16.647.12.2015 «Адаптация учебно-методического

комплекса дисциплин по тематическому направлению деятельности

ННС „Нанотехнологии для систем безопасности“ под задачи мар-

шрутного обучения студентов».

Список литературы

1. Перспективы развития микросистемной техники в XXI веке /

Д. М. Климов, В. В. Лучинин, А. А. Васильев, П. П. Мальцев // Микро-

системная техника. 1999. № 1. С. 3–6.

2. Тетельбаум И. М., Тетельбаум Я. И. Модели прямой аналогии.

М.: Наука. 1979.

3. Амеличев В. В., Вернер В. Д., Ильков А. В. МЭМС-микрофон.

Выбор материалов, конструкции и технологии. Ч 1: Электромеханиче-

ский чувствительный элемент // Нано- и микроситемная техника. № 2.

2007. С. 53–62.

Лучинин В.В. Физика и технология микро - и наносистем

Подождите немного. Документ загружается.