Лиман С.А., Радов С.Г. Математическая обработка маркшейдерско-геодезических измерений

Подождите немного. Документ загружается.

Министерство образования и науки Украины

Донбасский государственный технический университет

Кафедра маркшейдерии, геологии и геодезии

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

по курсу «Математическая обработка

маркшейдерско-геодезических измерений»

для студентов специальности 6.090307

«Маркшейдерское дело»

Составители: ст. пр. С. А. Лиман

доц. С. Г. Радов

Алчевск 2005 г.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

ОБРАБОТКЕ МАР

К-

ШЕЙДЕРСКО-ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

1.1 Предмет, содержание и задачи математической обработки измерений

Измерения составляют основное содержание всех видов маркшейдерских и геодезич

е-

ских работ, связанных с получением количественных характеристик изучаемых объектов. К

а-

чество выполненных измерений х

арактеризуется их точностью.

Теория математической обработки измерений разрабатывает рациональные прие

мы и

методы обработки результатов измерений и оценки их точности. Все величины, и

пользуемые

в маркшейдерско

-геодезической практике, можно разделить на измеренные и

вычисленные

При этом измерением называет

ся процесс сравнение определяемой величины с однород

ной ей

величиной, принятой за единицу измерения. Результат измерения выражается равенством

l = n·l

где l

– единица измерения;

n – отношение измеряемой величины к единице измерения.

На качество результатов измерений влияют погрешности исполни

теля, прибора и

внешних условий. По точности результаты измерений делят

на равноточные и неравното

ч-

ные

. Равноточными измерениями называются однородные результаты, полученные при изм

е-

рениях искомой величины в одинаков

ых условиях (инструмент, метод измере

ния, число

приемов, квалификация наблюдателя, внешние условия). При несоблюдении этих условий р

е-

зультаты измерений называются неравноточными.

При обработке все измерения, по сути, приводятся к равноточным путем введения с

о-

ответствующих коэффициентов

- весов. Влияние таких измерений на результаты вы

числений

оказывается одинаковым.

В теории математической обработки измерений важное значение имеют понятия нео

б-

ходимых

и избыточных измеренных величин. Для решения любой геодезической за

дачи на

местности необходимо измерить некоторое минимальное число величин. Эти величины и н

а-

зывают

необходимыми. Их количество называют числом необходимых величин.

Например, для

определения всех сторон и углов плоского треугольника необходимо и

змерить три независ

и-

мые его элемента: любую сторону и любые два угла или три ст

ороны.

Разность числа всех измеренных и числа необходимых величин называют числом и

з-

быточных величин

. Например, если в плоском треугольнике измерены три угла и одна стор

о-

на, то

одно измерение избыточное.

В геодезической практике избыточные измеренные величины обязательны. Они дают

возможность обнаружить промахи в измерениях и в вычислениях и повышают точность опр

е-

деления искомых величин. Проблема математической обработки измерени

й возникает из-

за

наличия избыто

чных измерений величин и погрешностей измерений.

Действительно, при отсутствии избыточных измерений искомые величины вычисл

я-

ются по четким математическим зависимостям. Например, плоский треугольник решается по

теореме синусо

в или косинусов. Такие расчеты бесконтрольны, возможны грубые ошибки,

которые не исключаются при обработке, невозможно оценить точность измеренных и вычи

с-

ленных величин. При решении большинства геодезических и маркшейдерских задач это н

е-

допустимо.

Таким образом, математическая обработка измерений сводится к определению вероя

т-

нейших значений измеренных величин, их функций и оценке точности результатов измерений

и искомых величин.

Основные задачи математической обработки можно сформулировать следующим обр

а-

зом

1. изучение законов возникновения и распределения погрешностей измерений и в

ы-

числений;

2. установление критериев для обнаружения в результатах измерений систематич

е-

ских погрешностей и промахов;

3. определение вероятнейших значений измеряемых величин по результатам их мн

о-

гократных измерений;

4. предрасчет ожидаемой точности и оценка точности полученных результатов изм

е-

рений;

5. характеристика точности окончательных значений измеренных величин по резул

ь-

татам математической обработки измерений;

6. установление силы и формы связи между измерениями и их погрешностями.

Дисциплина “Математическая обработка маркшейдерско-геодезических измерений

”

включает в себя

: теорию погрешностей измерений и метод наименьших квадратов

. При этом

тео

рия погрешностей измерений основана на использовании понятий тео

рии вероятностей и

элементов математической статистики. Теория погрешностей измерений рассматривает в

о-

просы обработки многократных измерений одной величины, ряда многократных двойных и

з-

мерений, функций измеренных величин, интерполирование и

аппроксимация измеренных

значений функций.

Метод наименьших квадратов применяется при уравнивании геодезических се

тей, при

обработке избыточных измерений множества измеренных величин. Метод наименьших ква

д-

ратов состоит в составлении и решении нормальных ур

авнений, определении функций изм

е-

ренных величин с оценкой их точности. Этот метод сводится к определению вероя

нейших

поправок в результаты измерений, введение которых приводит к устранению несогласованн

о-

сти избыточных измерений. В методе наименьших квадра

тов поправки v в результаты изм

е-

рений отыскиваются при условии

∑

min,

где р

– вес i-того результата измерения

1.2 Краткая историческая справка о развитии теории математической об-

работки измерений

Теоретические основы математической обработки измерений нача

ли создаваться в 17

18 веках.

Известно, что уже в 1700 г. было предложено понятие веса или массы изме

рений (Р.

Котс). В 1748 г. делается попытка построить целесообразную комбинацию результатов изм

е-

рений (Л. Эйлер). В 1755 г. обоснован пр

инцип арифметической середины (Т. Симпсон).

том же году

Р. Боскович предложил решать систему линейных измерений, число кото

рых

превышает число неизвестных, при условии

∑│v│ = min.

С 1765 г. И. Ламберг различает систематические и случайные погрешности. В

1770 г.

Ж. Лагранж анализирует случайные погрешности измерений с использованием методов те

о-

рии вероятности. В 1802 г. П. Лаплас развивает теорию уравнивания геодезических измер

е-

ний, основанную на равенствах

∑ v = 0 и ∑│v│ = min.

К этому времени в астрономии и геодезии значительно повысились точность измер

е-

ний и накопился обширный материал наблюдений. требовалась обработка этих н

блюдений

методами

, дающими наилучшие результаты. Выдвинутые предложения по обработке измер

е-

ний не нашли применения из

-за своей сложности.

В 1806 г. французский математик А. Лежандр опубликовал работу “Новые методы о

п-

ределения кометных орбит

”, в которой предложил метод наименьших квадратов (∑ v

= min

Метод наименьших квадратов был проиллюстрирован примером из геодезии

– определени

размеров Земли на основе градусных измерений.

Независимо от А. Лежандра таким методом пользовался Гаусс с 1794 г. В 1801 г. Гаусс

применил этот метод для расчета орбиты астероида Цереры. Вероятностное обоснование м

е-

тода наименьших квадратов опу

бликовано

Гауссом в 1809 г. В дальнейшем Гаусс обосновал

метод наименьших квадратов на принципе наибольшего веса, разраб

тал способ решения

нормальных уравнений, определения весов неизвестных и весов линейных функций уравне

н-

ных значений неизвестных, вывел формулы дл

я вычисления средней квадратической погре

ш-

ности единицы веса, предложил способ последовател

ных приближений. Достаточно сказать,

что вв

денные Гауссом обозначения и символика сохранились до настоящего времени. Все

это позволяет считать Гаусса наряду с Лежа

дром создателем метода наименьших квадратов.

Этот метод до настоящего времени я

ляется основным методом обработки маркшейдерско

геодезических измер

ений.

Дальнейшее развитие теории обработки измерений позволило теоретически обосн

о-

вать и другие методы обраб

отки, которые по сути свелись к определению таких весов измер

е-

ний, чтобы при соблюдении условия

∑ рv

= min одновременно удовлетворя

лось заданное

условие

f(v) = min.

Использование ЭВМ существенно упростило процесс уравнивания результатов изм

е-

рений раз

личными методами. Однако, лишь классический метод наименьших квадратов пр

и-

меняется в топографо

-геодезическом производстве.

Более подробно метод наименьших

квадратов будет н

ами изучаться позднее.

1.3 Основные понятия теории вероятностей

Теория вероятностей – математическая дисциплина, изучающая количественные з

а-

кономерности массовых случайных явлений, т.е. таких явлений, которые при мног

кратном

повторении какого либо опыта происходят каждый раз различно. Теория вероятностей разр

а-

батывает методы установления

закономерностей случайных явлений на основе большого чи

с-

ла наблюдений.

Для изучения случайных явлений производятся их наблюдения, опыты и измерения.

Признаки наблюдаемого явления могут быть

качественными и количественными. Количес

т-

венные признаки определ

яются путем точного дискретного счета или путем измерений, да

ю-

щих приближе

нные результаты. Результаты наблюдений или испытаний называют

событием

случаем

или шансом. Событие, которое неизбежно происходит, называется достоверным

или

необходимым

. Событие, которое при заданных условиях возникнуть не может, называется н

е-

возможным

Полем событий

называют множество возможных событий при н

блюдениях в данных

условиях. Например, при подбрасывании монеты она выпадает вверх гербом либо решкой.

Однако, до получения р

езультата невозможно определить, какое именно событие осуществи

т-

ся.

Теория вероятностей изучает случайные события, случайные величины и случайные

функции (процессы), значения которых при любом значении неслучайного аргумента являю

т-

ся случайной величиной.

Случайные события могут быть совместными, несо

вместными,

единственно возмо

жными и равновозможными.

События совместны

если при испытании могут наступить все (например, попадание

снаряда в цель и разрыв снаряда). События

несовместны если при одном испытании появл

е-

ние одного из них исключает появление других (например, взятие белого шара исключает о

д-

новременное взятие черного шара). События называют

единственно возможными если поя

в-

ление при испытании одного (и только одного) из них является достоверным событие

м (н

а-

пример, при бросании монеты единственно возможные события

– “появился герб” или “по

я-

вилась решка

”). События равновозможные

если любое из возможных событий не является

объективно возможным больше, чем любое др

угое.

Система единственно возможных событий называется полной группой событий.

При

испытаниях одно из таких событий обязательно произойдет. Два единственно возможных с

о-

бытия, образующих полную группу событий, называются

противоположными.

1.4 Относительная частота и вероятность события

Относительной частотой некоторого события называют отношение числа появ

лений

этого события к числу всех испытаний при данных условиях

xr =)(

где k – число появления события Х;

п – число всех испытаний.

Следовательно, при многократных испытаниях

1)(0

≤

При достаточно большом числе испытаний относительная частота принимает устойч

и-

вость и колеблется вблизи постоянного числа Р(х), которое называют

вероятностью. Вер

о-

ятность

(точнее, статистическая вероятность) – это количественная мера степени объекти

в-

ной возможности появления события при данном опыте. Вероятность какого либо события

определяется по формуле

р =

где М – число элементарных исходов, благоприятствующих событию;

N – число всех возможных исходов.

Пример: На складе имеется 50 теодолитов, из них 40 теодолитов технически испра

в-

ны, а остальные 10 непригодны к работе.

1. Определить вероятность того, что взятый наугад теодолит пригоден к работе.

М = 40, N = 50. P = 40/50 = 0,8

2. Определить вероятность того, что взятые наугад 5 теодолитов пригодны к работе.

)!(!

knk

−

Число возможных исходов (сочетаний)

2118760

)!550(!5

!50

−

Число благоприятных исходов (сочетаний)

658008

)!540(!5

!40

−

=М

31,0

2118760

658008

===

Свойство устойчивости относительной частоты позволяет с высокой точностью пре

д-

сказать результат повторных аналогичных испытаний.

Оче

видно, что при бросании монеты

вероятность появления герба равна

½. Английский ученый К. Пирсон, определяя относител

ь-

ную частоту появления герба при бросании монеты 1

2000 и 24000 раз, полу

чил значения этой

частоты соответственно 0,5016 и 0,5005. Т.е. при большом числе испыт

ний относительная

частота стремится к вероятности события.

Первым эту закономерность в виде теоремы сформулировал Яков Бернулли:

При числе

испытани

й п неограниченно большом с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, отн

о-

сительная частота

k/n события сколь угодно мало отличается от его вероятности в о

т-

дельном оп

ыте (Теорема Бернулли).

δε −〉













〈− 1p

где ε и δ - сколь угодно малые положительные числа.

Эта теорема является простейшей формулировкой закона больших чисел. Из определ

е-

ния вероятности следует:

1. вероятность невозможного события р = 0;

2. вероятность достоверного события р = 1;

3. вероятность случайного события 0 < р < 1.

Следовательно, вероятность любого события 0 ≤ р ≤ 1.

1.5 Основные теоремы теории вероятностей

Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы нескольких попарно несовмес

т-

ных событий, безразлично каких, равна сумме вероя

тностей этих событий.

Теорема о сумме вероятностей событий полной группы. Сумма вероятностей, обр

а-

зующих полную группу, равна единице.

Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения двух независимых или

нескольких независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих с

о-

бытий.

2 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ

При решении геодезических задач на местности закрепляют или намечают характе

р-

ные точки. По результатам измерений необходимых геометрических элементов (у

лов, длин

линий, превышений) определяют искомые координаты и высот

ы точек. Измерения составл

я-

ют основное содержание всех видов маркшейдерских и геодезических работ, связанных с п

о-

лучением количественных характеристик изучаемых объектов. Качество измерений характ

е-

ризуется их точностью.

Теория математической обработки измерений разрабатывает рациональные прие

мы и

методы обработки результатов измерений и оценки их точности.

2.1 Виды измерений

Все величины, используемые в маркшейдерско-геодезической практике, можно разд

е-

лить на измеренные и вычисленные. Геодезические и

змерения делятся на:

• угловые (горизонтальные и вертикальные углы, градус);

• линейные (расстояния между точками, метр);

•

высотные (превышения между точками, мм).

По точности измерения могут быть:

• высокоточные;

• средней точности;

• технической точности.

По точности результатов измерения делят на равноточные и неравноточные. Равн

о-

точными

измерениями называются однородные результаты, полученные при измерениях и

с-

комой величины в одинаковых условиях (инструмент, метод измерения, число приемов, кв

а-

лификация наблюдателя, внешн

ие условия). При несоблюдении этих условий результаты и

з-

мерений называются неравноточными.

Для обеспечения одинакового влияния результатов измерений на результаты вычисл

е-

ний

все измерения, по сути, приводятся к равноточным введением соответствующих коэфф

и-

циентов

– весов измерений.

2.2 Погрешности измерений

Любые измерения, как бы тщательно они не выполнялись, всегда сопровождаются п

о-

грешностями, т.е. отклонениями результатов измерений от истинных значений изм

ряемых

величин.

∆ = l – X

где l – результат измерения;

Х – истинное значение измеряемой величины.

Погрешности измерений могут быть грубыми, случайными и систематическими. И

з-

мерения считаются г

рубыми, если погрешности их результатов превышают допустимую в

е-

личину

– предельную погрешность. Такие измерения содержат грубые ошибки или

промахи.

Для их исключения выполняются

контрольные измерения.

Систематические погрешности входят в каждый результат измерения по строго опр

е-

деленному закону

. Они делятся на постоянные и переменные. Систематические по

грешности

должны быть выявлены и исключены из результатов измерений. Для этого используют спец

и-

альные методики измерений, исследования и поверки приборов,

вы

полнение измерений в

разное время суток, при

разных погодных условиях и т.д.

Случайные погрешности искажают результат измерений случайным образом, они н

е-

предсказуемы при конкретном измерении

. Но при большом числе измерений обладают опр

е-

деленными свойствами, которые учитыв

аются при обработке измерений.

2.3 Свойства случайных погрешностей

На основе анализа экспериментальных данных и теоретических исследований устано

в-

лены следующие свойства случайных погрешностей:

1. свойство симметрии: равные по величине но противоположные по знаку погре

ш-

ности равновероятны

p(-∆) = p(+∆);

2. свойство компенсации: сумма погрешностей Σ∆, деленная на число измерений

стремится к нулю при

п → ∞

[

]

0lim =

∆

∞→

3. свойство рассеивания:

[

]

lim σ=

∆

∞→

где σ - стандарт измерений (теоретическое значение средней квадратической погре

ш-

ности).

4. свойство ограниченности: случайная погреш

ность по абсолютной величине не

может превзойти некую величину, называемую предел

ьной погрешностью

прпр

∆+≤∆≤∆−

5. свойство пропорциональности: для любых условий измерений

⋅=∆

∆

const

пр

где t – определяется по таблице распределения Стьюдента в зависимости от числа и

з-

быточных измерений r = (n – k) и доверительной вероятности Р.

6. свойство плотности: меньшие по абсолютной величине погрешности встре

чаются

чаще, чем большие

. Если │∆

│>│∆

│, то p(∆

)<p(∆

2.4 Точность измерений

Под точностью измерений понимают их качество, т.е. близость результата изме

рения к

истинному (точному) значению измеряемой велич

ны. Для отражения точности измерений в

геодезии используются следу

ющие характеристики:

• стандарт: