Левицкий А.А. Информатика. Основы численных методов: Лабораторный практикум

Подождите немного. Документ загружается.

Задание 11. Напряжение с выхода двухполупериодного диодного вы-

прямителя подается на нагрузку через LC-фильтр, ослабляющий нежелатель-

ные пульсации. Зависимости напряжения u на выходе фильтра и общий ток i

в цепи от времени t описываются системой дифференциальных уравнений

()

cos ,

du u

dt C R

UtiRu

dt L





=−















=ω−−







где L и C – индуктивность дросселя

и емкость конденсатора фильтра,

– сопротивление нагрузки,

= R

+ R

, R

– выходное сопро-

тивление выпрямителя, R

– сопротивление обмотки дросселя, U

– амплиту-

да пульсирующего напряжения на выходе выпрямителя, ω = 2π f – угловая

частота.

Рассчитайте и постройте графики зависимостей u

(t) = |U

cos(ωt)|,

u(t) и i(t). Исходные данные: U

= 12 В и f = 50 Гц. Начальные условия

(0)0,(0)0.ut it== == Параметры R

, R

, L и C приведены в таблице.

В а р и а н т

Параметр

11-1 11-2 11-3 11-4 11-5 11-6

, Ом 20 75 35 120 90 20

, Ом 500 1000 750 1000 2000 1000

L, Гн 0,5 0,7 0,1 1 1,2 0,05

C, мкФ 100 40 200 50 100 1000

Задача 12. Уравнение Ван-дер-Поля, описывающее колебания в нели-

нейной системе (например, автогенераторе), имеет следующий вид:

(

)

0,yybyy

′′ ′

−+=

где y, y' и y" – функция, её первая и вторая производные по времени t.

Постоянная b определяет потери в системе. Нелинейные свойства системы,

например рабочие характеристики активного элемента генератора, учитыва-

ются слагаемым y

Задавшись указанными в таблице начальными условиями и параметром

b, решите уравнение и постройте графики зависимостей y(t) и y'(t), охваты-

вающие несколько периодов колебаний.

В а р и а н т

Параметр

12-1 12-2 12-3 12-4 12-5 12-6

y(0) 1 0 1 2 2 -3

y'(0) 1 1 -2 1 3 20

7 3 y

y y'

1,5 y' 0

Задание 13. Генератор, выполненный на туннельном диоде, содержит

последовательный электрический LC-контур и источник постоянного напря-

жения E. Колебания напряжения u(t) и тока i(t) в генераторе описываются

системой дифференциаль-

ных уравнений

()

[]

iiu

dt C

iR u

dt L



=−









=−−





где t – время, L и C – индук-

тивность катушки и емкость

конденсатора контура, R

= R

+ R

, R

– внутреннее сопротивление источни-

ка питания, R

– сопротивление обмотки катушки индуктивности.

N-образная вольт-амперная характеристика туннельного диода i

(u)

описывается формулой

(

)

(

)

(

)

( ) 0,6 14 20 exp 10 0,02 exp 1iu u u u u u

−+ −+ −









Рассчитайте и постройте графики зависимостей u(t) и i(t). Начальные

условия (0)0,(0)0.ut it== == Параметры E, R

, L и C даны в таблице.

В а р и а н т

Параметр

13-1 13-2 13-3 13-4 13-5 13-6

E, В 0,27 0,3 0,22 0,18 0,36 0,19

, Ом 7 4,2 3,5 4,8 11,3 5,2

L, нГн 20 7·10

1,5·10

10 17 200

C, пФ 12 2200 130 12 27 120

Задание 14. При расчете преобразователя частоты на диоде с барьером

Шоттки используется эквивалентная схема, показанная на рисунке.

Элементы U

cos(ω

t) и R

на рисунке относятся к гетеродину, напряжение с

которого поступает на смесительный диод. Диод представлен эквивалентной

схемой, содержащей следующие элементы: L – индуктивность выводов,

– омическое сопротивление потерь, C(u) и R(u) – емкость и сопротивление

барьерной области диода, зависящие от обратного смещения на его переходе.

Зависимости напряжения u на барьере диода и тока i в общей цепи от времени

t могут быть найдены из нелинейной системы дифференциальных уравнений

() ( )

m г s г

() ()

cos .

du u

dt C u R u

UtuiRR

dt L





=−













=ω−−+













Решите систему уравнений при следующих данных: R

= 50 Ом,

L = 1,2 нГн, R

= 6 Ом. Начальные условия: u(t) = 0, i(t) = 0 при t = 0.

Амплитуда U

и частота f

колебаний гетеродина указаны в таблице.

В а р и а н т

Параметр

14-1 14-2 14-3 14-4 14-5 14-6

L, нГн 1,2 1,5 1,7 1,4 2,2 1,1

, Ом 6 5,5 4,7 5,8 4,8 7

, В 0,65 0,55 0,7 0,8 0,9 0,97

, ГГц 9 14 11 8,2 12 16

В расчете применяйте следующие аппроксимации зависимостей R(u) и

С(u) для диода с барьером Шоттки. Для вольт-амперной характеристики ис-

пользуйте формулу

[]

д 0

() exp( ) 1

()

iu i bu

=−,

где i

= 5 ·10

–13

А, b = 28 1/В. Зависимость С(u) описывается формулой

()

−

где C

= 0,14 пФ, ϕ = 0,85 В – высота потенциального барьера.

Рассчитайте несколько периодов колебаний и постройте графики зави-

симостей u

(t) = U

cos(ω

t), u(t) и i(t).

Задание 15. Распределение напряженности электрического поля в по-

лупроводнике описывается уравнением Пуассона. Для одномерного случая,

когда изменение поля рассматривается только по координате z

(вдоль полупроводникового образца), это уравнение можно привести к сле-

дующему виду:

1dE j

dz v



=−





где ε

– диэлектрическая (решеточная) проницаемость полупроводника,

j – плотность тока вдоль оси 0z, v – дрейфовая скорость электронов вдоль

оси 0z, q = 1,6·10

–19

Кл – элементарный заряд, N

– уровень легирования по-

лупроводника.

В полупроводнике типа арсенида галлия зависимость дрейфовой ско-

рости v от напряженности электрического поля E существенно нелинейная.

Характеристика v(E) описывается аппроксимацией:

()

(

)

()

0S t

vEE

µ+

где

= 0,6 м

/В⋅с, v

= 10

м/с, Е

= 3,5·10

В/м.

Решите уравнение при следующих данных: диэлектрическая прони-

цаемость ε

= 12,5ε

= 12,5 × 8,85·10

–12

Ф/м, поперечное сечение образца

S = 2,5 мкм × 300 мкм. Ток i = j S, протекающий через образец, и начальное

значение E(z)

при

z = 0 указаны в таблице.

Рассчитайте зависимость E(z) на участке структуры длиной не менее

50 мкм и найдите соответствующее распределение концентрации свободных

носителей заряда

(

)

(

)

nz jqvEz=









В а р и а н т

Параметр

15-1 15-2 15-3 15-4 15-5 15-6

, м

–3

5·10

4,5·10

5,3·10

4·10

5,7·10

4,1·10

i, мА 5,5 8,3 6,7 7,45 10,6 7,62

E(0),

В/м 0,1·10

3,7·10

2,5·10

3·10

3,5·10

3,6·10

Задание 16. Для охлаждения микропроцессора используется металли-

ческий теплоотводящий радиатор. Процесс передачи тепла от радиатора в

окружающий воздух описывается дифференциальным уравнением

()

cm P S T T

=−α − ,

где m и c – масса и удельная теплоемкость материала радиатора, T – темпера-

тура радиатора, t – время, P – выделяемая микропроцессором мощность,

(

)

ST Tα− – отводимое тепло, α – коэффициент теплоотдачи конвекцией,

S – площадь поверхности радиатора, Т

– температура окружающей среды.

Радиатор снабжен вентилятором, который автоматически включается

если температура процессора и радиатора превышает допустимый предел, то

есть Т > Т

max

, и останавливается, если Т < Т

min

. Включение обдува эквива-

лентно изменению коэффициента теплоотдачи α по следующему закону:

min max

max min

, если или при >0,

, если или при 0,

TT TT dT/dt

α0 ≤ <



α=



1≥ > <



где α0 – коэффициент теплоотдачи при

выключенном вентиляторе, α1 – коэффи-

циент теплоотдачи при обдуве.

Рассчитайте участок зависимости Т(t), на котором система охлаждения

выходит на рабочий режим T

min

< Т(t) < T

max

. Параметры радиатора:

c = 950 Дж/кг·К, m = 0,05 кг, S = 0,04 м

. Начальную температуру процессора

примите равной Т(t=0) = Т

= 293 K. Прочие данные указаны в таблице.

В а р и а н т

Параметр

16-1 16-2 16-3 16-4 16-5 16-6

P, Вт 42

55 27 65 43 22

α0, Вт/м

·K

17 15 12 25 21 9

α1, Вт/м

·K

95 35 82 160 75

min

, K 313 308 313 313 308 303

max

, K 353 343 343 353 343 343

Задание 17. Работа системы автоматического регулирования темпера-

туры нагревателя описывается дифференциальным уравнением

()

вх c

cm Q S T T

=−α − ,

где c и m – удельная теплоемкость и масса нагревателя, T – температура на-

гревателя, t – время, Q

вх

– вырабатываемое нагревателем тепло, α – приве-

денный коэффициент теплоотдачи, S – площадь поверхности нагревателя,

– температура окружающей среды.

Для поддержания температуры T заданных пределах T

min

< T < T

max

нагреватель мощностью P переключается по следующему закону:

min max

вх

max min

, если или при >0,

0, если или при 0,

PTT TT dT/dt

TT TT dT/dt

≤<





≥> <



где Т

min

и Т

max

– минимальное и максималь-

ное значения температуры.

Рассчитайте участок зависимости Т(t), на котором нагреватель выходит

на рабочий режим при начальной его температуре Т(t=0) = Т

и T

min

= 290 К,

max

= 295 К. Мощность P и другие параметры даны в таблице.

В а р и а н т

Параметр

17-1 17-2 17-3 17-4 17-5 17-6

P, Вт 2000

250

350

1000

750

500

cm, Дж/К 240

140

100

270

700

470

αS, Вт/K

15 5 8 10 5 7

, K

288 263 275 233 278 293

min

, K

290 290 300 290 313 303

max

, K

295 305 315 325 328 333

Задание 18. Для защиты электрических цепей от перегрузки исполь-

зуются плавкие предохранители. Процесс нагрева плавкого элемента до его

разрушения описывается уравнением теплового баланса

()() ()

11 2 2 C 0 0

cm cm S T T i R T T

++α−=+β−









где c

и m

– удельная теплоемкость и масса плавкого элемента,

и m

– удельная теплоемкость и масса среды, в которой находится элемент,

T – температура элемента, t – время, α – коэффициент теплоотдачи,

S – поверхность охлаждения, T

– температура окружающей среды,

i – ток, протекающий через элемент, R

– электрическое сопротивление эле-

мента при T

= 293 K, β – температурный коэффициент сопротивления.

Эффективность защиты зависит от того, насколько быстро при пере-

грузке плавкий элемент предохранителя разорвет электрическую цепь.

Рассчитайте зависимость T(t) при начальном условии T(t=0) = T

= 293 K.

Слагаемое c

в уравнении полагайте равным нулю. Определите время, за

которое перегорает предохранитель, если температура плавления его рабоче-

го элемента равна 1373 K.

В а р и а н т

Параметр

18-1 18-2 18-3 18-4 18-5 18-6

, Дж/K 1,7·10

–4

5·10

–4

3,3·10

–4

4,4·10

–5

8·10

–4

1,4·10

–3

αS, Вт/K

3·10

–5

3,5·10

–5

4·10

–5

1,2·10

–5

6·10

–5

7·10

–5

, Ом 0,04 0,014 0,017 0,14 0,006 0,004

i, А 1 2 1,5 0,5 3 5

β, 1/K 0,05 0,06 0,05 0,04 0,07 0,08

Задание 19. Движение снаряда, выпущенного под углом θ к горизонту

(см. рисунок), описывается системой дифференциальных уравнений, являю-

щихся уравнениями баланса сил, действующих вдоль координат x и y:

mkv

mkvgm



=−







=− −





где v

= v cosθ и v

= v cosθ – горизонтальная и вертикальная составляющая

скорости снаряда

vvv=+, t – время, k – коэффициент трения, учиты-

вающий сопротивление воздуха,

m – масса снаряда, g ≈ 9,8 м/c

– ускорение

свободного падения.

С учетом

= dx/dt и v

= dy/dt исходная система уравнений приво-

дится к следующему виду:

dx dt v

dv dt k m v

dy dt v

dv dt k m v g





=− ⋅







−⋅−



Рассчитайте зависимости x(t) и y(t). Постройте траекторию снаряда y(x) из

точки x(t=0) = 0 и y(t=0) = 0 при заданных k, m, θ и начальной скорости v(t=0).

В а р и а н т

Параметр

19-1 19-2 19-3 19-4 19-5 19-6

k, кг/c 1,4

0,05

2,9

1,8

m, кг 15

0,3

110

v(t=0), м/с 300 10 350 140 300 330

θ, град

15 45 25 33 20 45

Задание 20. Процесс производства, хранения и сбыта товара описыва-

ется системой дифференциальных уравнений

(),

() ,

OkTSV

kT S V kV

dD O

Ck T S V k T

dt C



=− −



=−−





=−−−





где T – количество товара на рынке, V – количество не потребленного товара у

покупателей, D – доход в единицу времени, O – объем выпуска товара, k

– ко-

эффициент скорости продаж, S – потенциальный спрос (объем товара, удов-

летворяющий потребность при отсутствии ажиотажного спроса), C – услов-

ная цена товара (C > 1), k

– коэффициент потребления товара, k

– плата за

хранение единицы товара. Переменные T, O, V, D и параметры S и C измеря-

ются в условных денежных единицах.

Рассчитайте зависимости T(t), V(t) и D(t) при начальном условии

D(t=0) = 0. Остальные данные приведены в таблице.

В а р и а н т

Параметр

20-1 20-2 20-3 20-4 20-5 20-6

T(t=0) 3 10 15 4 12 7

V(t=0) 3 20 5 11 12 5

11,7 7 21 15 18 32,6

15,5 3 18 15 21 18

1,2 1,3 1,5 1,1 1,2 1,2

0,02 0,03 0,2 0,5 0,05 0,02

3 2 1,1 2 1,3 2,6

0,01 0,001 0,1 0,05 0,12 0,04

Лабораторная работа № 3

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

1. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Большое число задач, связанных с анализом физических (и не только

физических) полей описываются дифференциальными уравнениями в част-

ных производных. К сожалению, во многих случаях, представляющих прак-

тический интерес, найти аналитическое решение таких задач трудно или

практически невозможно. Это обычно обусловлено сложной формой или не-

однородностью свойств области, в которой отыскивается решение.

Однако результат можно получить численно с помощью компьютера.

Подходы к решению дифференциальных уравнений с частными производ-

ными определяются их математической формой. Поэтому рассмотрим клас-

сификацию уравнений с этой точки зрения.

1.1. Классификация уравнений по математической форме

Во многих случаях для описания физических процессов используют

уравнений с частными производными до второго порядка включительно.

Так, например, изучение свободных колебаний различной природы

приводит к волновым уравнениям вида

222 2

22222

uuu u

xyzct



∂∂∂ ∂

+− =



∂∂∂ ∂



(1)

где u(x,y,z,t) – функция, описывающая волновой процесс, x, y, z – координаты,

с – скорость распространения волны в данной среде, t – время. Оператор

222



∂∂∂



∂∂∂



принято обозначать значком ∆, который в этом слу-

чае носит название оператора Лапласа.

Процессы распространения тепловой энергии описываются уравнением

теплопроводности

222

T TTT

Ck Q

txyz



∂ ∂∂∂

ρ− ++ =



∂∂∂∂



(2)

где ρ и C – плотность и теплоемкость вещества, T – температура,

k – коэффициент теплопроводности, Q – плотность источников тепла.

Анализ стационарных состояний, например, статических тепловых,

электрических, магнитных полей или деформаций при статических нагруз-

ках проводят, используя уравнение Пуассона

222

(, ,),

uuu

xyz

∂∂∂

++=−

∂∂∂

(3)

где u(x,y,z) – функция, описывающая статическое поле, f(x,y,z) – распреде-

ленные источники. Если f(x,y,z) = 0, то (3) обращается в уравнение Лапласа:

222

uuu

xyz

∂∂∂

. (4)

Известны и другие виды задач и соответствующие им дифференциаль-

ные уравнения в частных производных, например, уравнение диффузии или

уравнение Гельмгольца.

Несмотря на различие процессов, описываемых рассмотренными урав-

нениями, и форм их записи, все они с математической точки зрения могут

быть представлены как частные случаи обобщенной формы дифференциаль-

ного уравнения второго порядка.

Рассмотрим уравнение второго порядка с двумя независимыми пере-

менными x и y:

222

20,

uuu

ABCD

xxyy

∂∂∂

++=

∂∂∂∂

(5)

где A, B, С и D – некоторые функции, зависящие в общем случае от x, y, u,

∂u/∂x и ∂u/∂y, причем A, B и С одновременно не обращаются в ноль. Диффе-

ренциальные уравнения, описывающие физические поля, могут быть нели-

нейными. Однако на практике многие задачи рассматриваются в линейном

приближении, когда уравнение с частными производными линейно относи-

тельно неизвестной функции u и ее частных производных.

На основании того, что уравнению (5) можно поставить в соответствие

квадратичную форму

1122

0AB C

ζζζζ

, по математической природе

различают следующие типы квазилинейных уравнений:

гиперболический, если

−

> 0 – его аналогом является волно-

вое уравнение (1);

параболический, если

−

= 0 – его аналог уравнение тепло-

проводности (2);

3) эллиптический, если

−

< 0 – аналог уравнение Пуассона (3)

или Лапласа (4).

В задачах, описываемых дифференциальными уравнениями в частных

производных, другой важной составляющей помимо самого уравнения явля-

ется формулировка дополнительных условий.

Для задач с уравнениями гиперболического или параболического типа,

содержащих в качестве независимой переменной время t, условия по t обычно

формулируются как начальные, описывающие исходное состояние

системы. По координатам x, y и z задают граничные условия. В тепловых зада-

чах они, например, описывают распределение температуры на границе

расчетной области. В задачах с уравнениями эллиптического типа, не содержа-

щими переменную t, используют только граничные условия по координатам x, y

и z, а саму задачу называют краевой.

Если краевое условие задает распределение функции u на границе, то

его принято называть условием Дирихле. Условие, определяющее производ-

ную

grad( )nunu⋅≡⋅∇

JJJJJJJJGJJJG

на границе расчетной области, называют условием

Неймана. Здесь n

– единичная нормаль к границе. Условия, представляющие

собой комбинацию двух вышеназванных, называют смешанными.

С помощью дифференциальных уравнений формулируют и другой вид

задач – задачи на собственные значения, связанные, например, с определени-

ем собственных волн (частот) колебательных систем или волноведущих

структур. Однако здесь они не рассматривается.

Приведенная классификация позволяет определить общие подходы к

решению дифференциальных уравнений в задачах различных по физической

сути, но сходных с математической точки зрения. В настоящее время широ-

кое распространение получили метод конечных разностей и метод конеч-

ных элементов, основы которых и будут рассмотрены ниже.

1.2. Основы метода конечных разностей

Метод конечных разностей заключается в том, что дифференциальное

уравнение в частных производных заменяется соответствующей ему систе-

мой алгебраических уравнений. Решение этой системы дает приближенное

решение для искомой функции u(x,y,z,t).

Метод включает следующие основные этапы:

построение сетки, охватывающей рассматриваемую область, напри-

мер, элемент конструкции какого-нибудь устройства;

построение на полученной сетке конечно-разностной аппроксима-

ции, эквивалентной исходному дифференциальному уравнению и дополни-

тельным условиям;

формирование на основе конечно-разностной аппроксимации систе-

мы алгебраических уравнений и ее решение.

Рассмотрим перечисленные этапы на примере двухмерных задач.

1.2.1. Построение сетки

Формирование сетки производится с учетом геометрии задачи, напри-

мер, формы детали, для которой выполняется расчет. Обычно для деталей,

имеющих прямоугольную форму, используют декартову систему координат

и соответственно прямоугольную сетку. На рис. 1 приведен пример такой

двухмерной сетки, нанесенной на прямоугольную пластину.

В методе конечных разностей применяют и другие виды сеток. Напри-

мер, если исследуемая конструкция содержит элементы с осевой симметрией,

используют полярную сетку.