Левицкий А.А. Информатика. Основы численных методов: Лабораторный практикум

Подождите немного. Документ загружается.

101

где N – объёмная концентрация, D – коэффициент диффузии,

D grad(С) – плотность потока переноса примеси в процессе диффузии,

Q – объёмная плотность источника примеси.

Проводится диффузионная обработка участка кремния, на котором

предполагается разместить интегральную схему. Для этого на поверхность

эпитаксиального слоя n-типа наносится акцепторная примесь, вследствие че-

го в приповерхностном слое объемная концентрация равна N

. После этого

для диффузионной обработки образец помещают в печь на 1час.

Рассчитайте процесс диффузии в образце N(x,t) при указанных в табли-

це данных. Объемные источники диффузии отсутствуют: Q = 0.

В а р и а н т

Параметр

5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

D, м

/c 2,8·10

–6

1,5·10

–5

5,2·10

–6

0,8·10

–5

2,5·10

–6

1,2·10

–6

, м

-3

1,9·10

2,5·10

3,3·10

2,2·10

4,5·10

6,4·10

Задание 6. Металлическая пластина, жестко закрепленная по краям, как

показано на рисунке, равномерно нагружена по площади (нагрузка − P). Прогиб

пластины W описывается уравнением Пуассона:

WWP

∂∂

где

()

[]

112

−= EhD

− изгибная жесткость,

Е − модуль упругости, h − толщина пластины,

− коэффициент Пуассона.

Рассчитайте прогиб пластины при исходных

данных, приведенных в таблице. На краях пласти-

ны используйте граничное условие W = 0.

В а р и а н т

Параметр

6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6

A, мм 180 150 200 120 180 180

B, мм

65 75 125 55 55 100

C, мм

100 65 70 65 70 70

D, мм

50 60 80 60 90 80

P, Н

50 80 90 50 70 40

h, мм 5 4,5 5,5 7,5 6 1

E, Н/м

70·10

120·10

40·10

150·10

200·10

40·10

0,28 0,35 0,29 0,28 0,35 0,29

102

Задание 7. Пластина прямоугольной формы с

вырезом на одной из сторон жестко закреплена по

краям и равномерно нагружена по площади. Про-

гиб пластины определяется из уравнения Пуассона

(см. задание 6).

Рассчитайте прогиб W(x,y) по данным, приведенным

в таблице: A, B – размеры пластины;

h − ее толщина; R – радиус выреза; P – нагрузка;

Е − модуль упругости;

− коэффициент Пуассона. Граничное условие W = 0.

В а р и а н т

Параметр

7-1 7-2 7-3 7-4 7-5 7-6

A, мм 180 150 200 120 180 180

B, мм 65 75 140 100 90 100

R, мм 25 15 40 45 35 30

h, мм 2 5 4 6 5 2

P, Н 70·10

55·10

65·10

80·10

110·10

70·10

E, Н/м

40 70 140 50 120 60

0,3 0,3 0,28 0,33 0,3 0,28

Задание 8. Пластина прямоугольной формы с

отверстием в середине жестко закреплена по краям

и равномерно нагружена по площади

(нагрузка − P). Прогиб пластины W(x,y) описыва-

ется уравнением Пуассона (см. задание 6).

Рассчитайте W(x,y) по данным, приведенным

в таблице: A и B – размеры пластины;

C – расстояние от края пластины до центра отвер-

стия; R – радиус отверстия; h − толщина пластины; Е − модуль упругости;

− коэффициент Пуассона. На краях пластины граничное условие

W = 0, по краю отверстия – ∂W / ∂n = 0, где n – нормаль к краю отверстия.

В а р и а н т

Параметр

8-1 8-2 8-3 8-4 8-5 8-6

A, мм

150 90 120 200 100 120

B, мм

115 75 100 130 90 100

С, мм

55 35 60 80 35 50

R, мм

25 15 30 25 30 30

h, мм 1 2 1 2 3 2

P, Н 50 40 55 65 10 25

E, Н/м

30·10

40·10

70·10

40·10

90·10

50·10

0,3 0,33 0,3 0,3 0,32 0,27

103

Задание 9. Продольные колебания u(x,t) тяги описываются уравнением

∂

ρ∂

∂

где E − модуль упругости, ρ − плотность материала стержня. Тяга имеет дли-

ну L и закреплена на концах. Захватив тягу в центре (см. рисунок), ее дефор-

мируют так, что продольное перемещение становится равным ∆u:

()

2 при 02,

(, 0)

21 при 2.

ux L x L

uxt

uxL LxL

∆≤≤





∆

−≤≤



Затем тяга освобождается.

Рассчитайте колебания u(x,t) при заданных в таблице параметрах.

В а р и а н т

Параметр

9-1 9-2 9-3 9-4 9-5 9-6

L, см 10 18 32 15 25 6

∆u, см

0,1 0,2 0,15 0,1 0,2 0,15

E, Н/м

110·10

120·10

97·10

86·10

120·10

82·10

ρ, кг/м

4,3·10

5,9·10

6,7·10

8,5·10

7,4·10

9,7·10

Задание 10. Колебания тонкой пластины (см. рисунок) без учета потерь

на трение описываются нормированным волновым уравнением вида

∂

−∆ =

∂

где u(x,y,t) – деформация пластины, x, y – коор-

динаты, t – время.

Рассчитайте колебания при заданных в

таблице размерах a и b, граничных Г

, Г

и начальных u(t=0) и ∂u/∂t

t = 0

условиях.

В а р и а н т

Параметр

10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6

a, см 1 2 3 2 3 2

b, см 2 1 2 3 1 2

u = 0

∂u/∂n = 0

u = 0

∂u/∂n = 0

u = 0

∂u/∂n = 0

u = 0

∂u/∂n = 0

u = 0

Граничные

условия

∂u/∂n = 0

u = 0

∂u/∂n = 0

u(t=0)

()

arctg cos

aπ





(

)

tg cos ybπ









(

)

2cos

aπ

∂u/∂t

t = 0

sin sin

2π π







exp sin sin



π 2π

  

  



  



tg sin sin

2ππ











104

Задание 11. Коаксиальный кабель со смещенной центральной жилой,

поперечное сечение которого показано на рисунке,

имеет следующие размеры: d − диаметр центрального

проводника; w − его смещение относительно оси эк-

рана; D − диаметр экрана. Распределение статическо-

го электрического потенциала ϕ(x,y) между провод-

ником и экраном описывается уравнением Лапласа

∂ϕ ∂ϕ

∂∂

где x и y – координаты.

Рассчитайте распределение ϕ(x,y) в сечении кабеля при указанных в

таблице размерах d, w, D и потенциале центрального проводника ϕ

. Потен-

циал экрана ϕ

примите равным нулю.

В а р и а н т

Параметр

11-1 11-2 11-3 11-4 11-5 11-6

d, мм 7 4 3 2 2 3

w, мм 8 5 2 5 3 6

D, мм 30 20 10 15 12 25

, В

22 25 13 9 15 10

Задание 12. Распределение статического элек-

трического потенциала ϕ(x,y) в поперечном сечении

экранированной двухпроводной линии описывается

уравнением Лапласа (см. предыдущее задание).

Линия имеет следующие размеры (см. рисунок):

и d

– диаметры проводников; w

и w

− их смеще-

ние относительно оси экрана; D − диаметр экрана.

Рассчитайте распределение ϕ(x,y) при указан-

ных в таблице размерах и потенциалах проводников

и ϕ

относительно заземленного экрана.

В а р и а н т

Параметр

12-1 12-2 12-3 12-4 12-5 12-6

, мм 3 4 3 2 2 3

, мм 5 4 3 4 3 6

, мм 5 4 2 5 3 6

D, мм 30 20 15 20 12 25

, В

15 -10 13 -25 -15 4

-15 9 -13 20 15 -9

105

Задание 13. Проводник круглого сечения

расположен в прямоугольном металлическом

экране (см. рисунок): A

, A

− ширина и высота

экрана; d − диаметр проводника. Распределе-

ние статического электрического потенциала

ϕ(x,y) между проводником и экраном описыва-

ется уравнением Лапласа (см. задание 11).

Рассчитайте распределение ϕ(x,y) при ука-

занных в таблице данных, где ϕ

и ϕ

− потенциалы проводника и экрана.

В а р и а н т

Параметр

13-1 13-2 13-3 13-4 13-5 13-6

, мм 22 9 9 10 8 12

, мм 10 8 7 6 6 5

d, мм 3 2 1 2 1 0,5

, мм 11 5 3 4 3 3

, мм 5 4 3 3 5 2

, В

27 15 23 10 22 30

, В

5 0 0 5 1 5

Задание 14. Двухпроводная линия,

размещенная в прямоугольном экране, име-

ет следующие размеры (см. рисунок):

A и B − ширина и высота экрана; d − диа-

метр проводников; h

– расстояние между

проводниками; h

– высота проводников от-

носительно нижней стенки экрана. Распре-

деление статического электрического потенциала ϕ(x,y) в поперечном сече-

нии структуры описывается уравнением Лапласа (см. задание 11).

Рассчитайте распределение ϕ(x,y) при указанных в таблице исходных

данных, где ϕ

и ϕ

− потенциалы первого и второго проводников. Электри-

ческий потенциал экрана примите равным нулю.

В а р и а н т

Параметр

14-1 14-2 14-3 14-4 14-5 14-6

A, мм 22 19 9 15 8 12

B, мм 10 8 7 6 6 5

d, мм 3 2 1 2 1 1

, мм 8 5 3 4 3 4

, мм 12 8 3 8 5 5

, В

27 15 -23 10 22 30

, В

5 -15 12 5 -10 5

106

Задание 15. Два печатных провод-

ника располагаются на диэлектриче-

ской плате, помещённой в металличе-

ский экран (см. рисунок): W

− ширина

первого проводника; W

− ширина

второго проводника; t − их толщина;

и d

– расстояния от левой стенки

экрана до проводников; h − толщина

платы; A и B – ширина и высота экрана.

Распределение статического электрического потенциала ϕ(x,y) в струк-

туре описывается уравнением Лапласа (см. задание 11).

Рассчитайте распределение ϕ(x,y) при указанных в таблице данных:

и ϕ

− потенциалы первого и второго печатных проводников; ε

– относи-

тельная диэлектрическая проницаемость материала платы. Толщина провод-

ников t = 0,1 мм. Потенциал экрана примите равным нулю.

В а р и а н т

Параметр

15-1 15-2 15-3 15-4 15-5 15-6

A, мм 40 45 25 35 25 30

B, мм 30 30 25 20 15 20

, мм 11 12 6 10 9 8

, мм 2 2 2 3 2 2

, мм 17 22 12 18 16 16

, мм 2 3 3 3 2 2

h, мм 2 1 2 2 1 1

, В

13 5 7 2 5 6

, В

21 2 3 8 7 2

10 5 4 10 4 7

Задание 16. Два печатных

проводника располагаются на ди-

электрической плате, помещённой в

металлический экран (см. рисунок):

W − ширина проводников; t − их

толщина; d – расстояние от левой

стенки экрана до проводников;

h − толщина платы; A и B − ширина

и высота металлического экрана,

C – расстояние от нижней стенки

экрана до подложки.

107

Распределение статического электрического потенциала ϕ(x,y) в дан-

ной структуре описывается уравнением Лапласа (см. задание 11).

Рассчитайте распределение ϕ(x,y) при указанных в таблице исходных

данных, где ϕ

и ϕ

− потенциалы верхнего и нижнего проводников;

– относительная диэлектрическая проницаемость материала платы. Толщи-

на проводников t = 0,1 мм. Потенциал экрана примите равным нулю.

В а р и а н т

Параметр

16-1 16-2 16-3 16-4 16-5 16-6

A, мм 40 30 25 30 44 35

B, мм 24 30 20 28 34 28

C, мм 15 12 10 10 20 12

h, мм 1 2 1 2 1 0,5

d, мм 16 15 10 12 26 15

W, мм 1 2 2 1 3 1

, В

3 8 2 9 2 7

, В

5 3 7 5 2 4

4 5 5 4 4 7

Задание 17. Металлическая микро-

полосковая линия располагается на ди-

электрической подложке, нижняя сторо-

на которой имеет металлизацию. Струк-

тура характеризуется следующими пара-

метрами: W − ширина печатного провод-

ника; t − толщина печатного проводника;

h − толщина подложки, ε

– относительная диэлектрическая проницаемость

материала подложки.

Распределение статического электрического потенциала ϕ(x,y) в попе-

речном сечении структуры описывается уравнением Лапласа

(см. задание 11).

Рассчитайте распределение ϕ(x,y) при указанных в таблице размерах

W, t, h и потенциале ϕ

верхнего электрода относительно нижней металлиза-

ции. При расчете полагайте, что микрополосковая линия располагается в

заземленном экране (см. задание 16), расстояние до боковых и верхней

стенок которого много больше поперечных размеров самой линии.

В а р и а н т

Параметр

17-1 17-2 17-3 17-4 17-5 17-6

W, мм 1 1 1 1,2 0,5 2

t, мм 0,2 0,3 0,2 0,2 0,1 0,2

h, мм 2 1 1 2 1 1

, В

13 5 7 2 5 6

10 5 4 10 4 7

108

Задание 18. Четырехэлектродная

структура, представленная на рисунке,

окружает некоторую область, заполнен-

ную диэлектриком. Она характеризуется

следующими основными параметрами:

A и B – ширина и высота структуры;

a − ширина уступа в правом нижнем углу;

b − высота этого выступа; ϕ

− потенциал

левого электрода; ϕ

− потенциал

верхнего электрода; ϕ

− потенциал

правого электрода; ϕ

− потенциал нижнего электрода.

Распределение электрического потенциала ϕ(x,y) в поперечном сечении

структуры описывается уравнением Лапласа (см. задание 11). Рассчитайте

распределение ϕ(x,y) при указанных в таблице исходных данных. Размеры

зазоров между электродами полагайте пренебрежимо малыми.

В а р и а н т

Параметр

18-1 18-2 18-3 18-4 18-5 18-6

A, мм 10 40 20 20 15 15

B, мм 10 20 10 20 5 20

a, мм 5 5 2 3 2 5

b, мм 4 10 2 4 2 8

, В

9 9 2 11 7 9

, В

12 11 5 8 11 10

, В

15 15 7 9 15 15

, В

11 10 3 12 9 12

Задание 19. Проводящий слой планарного резистора (см. рисунок), имеет

длину L и ширину W. На двух противоположных сторонах резистора распо-

лагаются металлические контакты. Они выделены на рисунке черным цве-

том. В средней части резистора на рас-

стоянии d от левого контакта сделаны два

круговых выреза радиусом R.

Распределение статического элек-

трического потенциала ϕ(x,y) в резистив-

ном слое описывается уравнением

(

)

div grad

ϕ=−





где σ – удельная электрическая проводи-

мость резистивного материала,

ϕ – электрический потенциал, j – плот-

ность тока.

109

Рассчитайте распределение в резистивном слое потенциала ϕ(x,y),

напряженности поля E = –grad (ϕ) и плотности тока j при указанных в

таблице исходных данных, где U – приложенное к резистору напряжение. На

свободных от контактов сторонах используйте условие Неймана n·grad(ϕ)=0.

В а р и а н т

Параметр

19-1 19-2 19-3 19-4 19-5 19-6

L, мм 15 35 30 20 30 25

W, мм 15 30 20 20 18 20

D, мм 7 15 15 10 10 15

R, мм 3 5 5 4 2 6

σ, Ом·м 2·10

1,5·10

2·10

1,8·10

U, В 4 5 4 2 3 5

Задание 20. Проводящий слой планарного резистора (см. рисунок), имеет

П-образную форму. На двух противоположных сторонах резистора распола-

гаются металлические контакты. Они выделены

на рисунке черным цветом.

Распределение статического электрического

потенциала ϕ(x,y) в резистивном слое описывает-

ся уравнением

(

)

div grad

ϕ=−





где σ – удельная электрическая проводимость резистивного материала,

ϕ – электрический потенциал, j – плотность тока.

Рассчитайте распределение в резистивном слое потенциала ϕ(x,y), на-

пряженности поля E = –grad (ϕ) и плотности тока j при указанных в таблице

исходных данных, где U – приложенное к резистору напряжение. На свобод-

ных от контактов сторонах используйте условие Неймана n·grad(ϕ)=0.

В а р и а н т

Параметр

20-1 20-2 20-3 20-4 20-5 20-6

L, мм 15 20 25 30 20 35

d, мм 7 10 10 15 10 15

H, мм 7 15 15 10 20 30

h, мм 3 5 10 5 10 15

σ, Ом·м 1,5·10

2·10

1,2·10

2·10

U, В 5 4 3 5 4 2

110

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотренные в лабораторном практикуме виды задач не исчерпывают

все области применения численного моделирования. За рамками пособия ока-

зался ряд важных вопросов таких, например, как методы решения систем урав-

нений и методы обработки данных, задачи на собственные значения и задачи

оптимизации. Это объясняется стремлением достаточно подробно рассмот-

реть определенные группы методов при ограниченном объеме практикума.

Практикум нацелен на выработку практических навыков решения при-

кладных задач. Поэтому включенные в него задания представлены как пред-

метные задачи, описывающие реальный объект или процесс. Предметная

формулировка представляется более продуктивной, чем абстрактная, так как

помогает сопоставить физическую задачу с ее математическим описанием, а

также показывает общность описания и методов решения задач, имеющих

различную природу. Этот подход позволяет рассчитывать на успешное при-

менение численного моделирования учащимся и в других дисциплинах.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Основной

Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков,

Г. Н. Кобельков. М.: БИНОМ. Лаб. знаний, 2003. 632 с.

Бахвалов, Н. С. Численные методы в задачах и упражнениях / Н. С.

Бахвалов, А. В. Лапин, Е. В. Чижонков. М.: Высш. шк., 2000. 192 с.

Вержбицкий, В. М. Численные методы. Линейная алгебра и нели-

нейные уравнения. М.: Высш.шк., 2000. 268 с.

Вержбицкий, В. М. Численные методы. Математический анализ и

обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высш.шк., 2001. 383 с.

Волков, Е. А. Численные методы. СПб.: Лань, 2004. 248 с.

Мудров, А. Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик,

Фортран и Паскаль. Томск: МП "РАСКО", 1991. 272 с.

Шуп, Т. Е. Прикладные численные методы в физике и технике.

М.: Высш. шк., 1990. 255 с.

Дополнительный

Бабенко, К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. 744 с.

Боглаев, Ю. П. Вычислительная математика и программирование.

М.: Высш.шк., 1990. 544 с.

Калиткин, Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

Каханер, Д. Численные методы и программирование / Д. Каханер,

К. Моулер, С. Нэш. М.: Мир, 1999. 575 с.