Левицкий А.А. Информатика. Основы численных методов: Лабораторный практикум

Подождите немного. Документ загружается.

Задание 5. В интегральных

схемах используют планарные кон-

денсаторы, имеющие вид металли-

ческого диска, расположенного в

круглом вырезе металлизации на

поверхности диэлектрической под-

ложки (см. рисунок). Емкость тако-

го конденсатора определяется по

формуле

21 1 ln ,

rr rR

RrR







=εε + + −

  

−







где ε

− относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика,

= 8,85⋅10

−12

Ф/м, R − радиус выреза, r – радиус диска.

Задавшись указанными в таблице параметрами ε

и r, найдите

радиус R, обеспечивающий требуемую емкость С.1

В а р и а н т

Параметр

5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

1 12 10 4 11 7

r, мм 31 5 4,5 10 20 10

С, пФ 4,7 6 5,5 4,5 35 7,5

Задание 6. В интегральных схемах используют-

ся плоские катушки индуктивности в виде круглой

металлической спирали. Индуктивность такой ка-

тушки (в наногенри) приближенно определяется по

формуле

81 8 1

0,4 ln ln 3,583 ,

24 2

ac a

LNa

cac



 

=⋅π + + −



 

 





где π = 3,14…, N − число витков, a = (R

+ R

) / 2,

с = R

– R

, R

и R

− внутренний и внешний радиусы. Все размеры в форму-

лах указаны в миллиметрах.

Найдите радиус R

, удовлетворяющий требуемому значению индук-

тивности L при указанных в таблице N и R

В а р и а н т

Параметр

6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6

, мм 1,5 2 1,3 2 1,5 2

6 3,5 5 2 3 2,5

L, нГн 250 120 230 35 77 68

Задание 7. В гибридных интегральных схемах используются плоские

пленочные катушки индуктивности в виде квадратной спирали. Индуктив-

ность такой катушки (в наногенри) приближенно опре-

деляется по формуле

2,41 ln ,

LaN



=⋅





где N − число витков, a = (R

+ R

) / 2, c = R

– R

и R

− размеры внутреннего и внешнего витков ка-

тушки. Размеры в формулах указаны миллиметрах.

Задавшись числом витков N и размером R

найдите параметр R

, обеспечивающий заданную индуктивность L (значения

N, R

и L даны в таблице).

В а р и а н т

Параметр

7-1 7-2 7-3 7-4 7-5 7-6

4 5 3 4,5 3,5 5

, мм 1 2,5 2 1 1,5 1

L, нГн 100 430 160 180 140 170

Задание 8. В гибридных интегральных схемах в

качестве одновитковой индуктивности может приме-

няться тонкая металлическая полоска, нанесенная

на диэлектрическую подложку в виде круглой петли

(см. рисунок). Индуктивность такой петли

в наногенри приближенно определяется по

формуле

1, 257 ln 2



π



⋅−













где R − радиус средней линии петли, W − ширина металлической полоски,

t − ее толщина. Все размеры в формуле указаны в миллиметрах.

Найдите размер R, удовлетворяющий требуемому значению L при за-

данных параметрах W и t (их значения указаны в таблице).

В а р и а н т

Параметр

8-1 8-2 8-3 8-4 8-5 8-6

W, мм 0,5 2 1 1,25 1,5 0,75

t, мм 0,03 0,035 0,01 0,035 0,03 0,025

L, нГн 25 72 60 37 45 42

Задание 9. Для экспериментально полученной прямой ветви вольт-

амперной характеристики полупроводникового диода при u < 0,6 В подобра-

на аппроксимация в виде степенного многочлена:

2345

,iaubu cu du eu++=+ +

где ток i задан в миллиамперах, напряжение u – в вольтах.

Используя аппроксимацию, найдите напряжение на

диоде, при котором через него будет протекать заданный в таблице ток i.

При составлении уравнения используйте указанные в таблице параметры

a, b, c, d и e.

В а р и а н т

Параметр

9-1 9-2 9-3 9-4 9-5 9-6

i, мА 11 15 22 25 32 47

a, мА/В 0,2 2,3 112 32 39 15

b, мА/В

97 150 215 67 140 22

c, мА/В

88 120 110 275 97 217

d, мА/В

350 457 465 84 192 118

e, мА/В

112 97 149 52 76 56

Задание 10. Коэффициент нелинейности полупроводникового нели-

нейного резистора (варистора) β определяется как отношение статического R

и дифференциального r сопротивлений. При заданном по-

стоянном напряжении зависимость β от температуры описы-

вается выражением

TKTKT

r T KT KT

+−

−+

где Т – температура активной области варистора, Т

– температура окружаю-

щей среды, K – коэффициент температурной чувствительности рабочего слоя

варистора.

Найдите значение Т, при котором обеспечивается заданное значение β

для известных K и Т

В а р и а н т

Параметр

10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6

1,5 2,5 2,0 7,5 1,5 2,5

K, К 700 1200 1000 2780 900 1500

, К 303 300 293 313 299 303

Задание 11. Конструкция радиоэлектронного устройства содержит кон-

сольный тонкий однородный стержень. Частоты механиче-

ских резонансов стержня при таком закреплении определя-

ются из уравнения

cos(x) ch(x) + 1 = 0 ,

где x = kL – безразмерный параметр, k – волновое число, L – длина стержня.

Собственная частота стержня ω связана с параметром k соотношением

Jmkω=

где E – модуль упругости материала, J – момент инерции

сечения, m

– погонная масса стержня.

Найдите первые пять резонансных частот стержня при заданных в таб-

лице исходных данных.

В а р и а н т

Параметр

11-1 11-2 11-3 11-4 11-5 11-6

L, м 0,2 0,1 1,0 0,05 0,1 0,2

Е, Н/м

3⋅10

5⋅10

6⋅10

5⋅10

3⋅10

8⋅10

J, м

1⋅10

−12

2⋅10

−12

1⋅10

−12

2⋅10

−12

1⋅10

−12

1⋅10

−12

, кг/м 1 2 1 0,8 0,7 1,5

Задание 12. Конструкция электронного устройства содержит тонкий

однородный стержень, жестко закрепленный на концах.

Частоты механических резонансов стержня при таком

закреплении определяются из уравнения

cos(x) ch(x) − 1 = 0 ,

где x = kL – безразмерный параметр, k – волновое число, L – длина стержня.

Собственная частота стержня ω связана с параметром k соотношением

,EJ mkω=

где E – модуль упругости материала,

J – момент инерции сечения, m

– погонная масса стержня.

Найдите первые пять резонансных частот стержня при заданных в таб-

лице исходных данных.

В а р и а н т

Параметр

12-1 12-2 12-3 12-4 12-5 12-6

L, м 0,2 0,1 1,0 0,05 0,1 0,2

Е, Н/м

3⋅10

5⋅10

6⋅10

5⋅10

3⋅10

8⋅10

J, м

1⋅10

−12

2⋅10

−12

1⋅10

−12

2⋅10

−12

1⋅10

−12

1⋅10

−12

, кг/м 1 2 1 0,8 0,7 1,5

Задание 13. Линии связи в высокочастотных интегральных схемах вы-

полняют в виде полосковых структур. При их расчете используют вспомога-

тельный параметр − эффективную ди-

электрическую проницаемость ε

эфф

, учи-

тывающую вклад диэлектрической про-

ницаемости подложки и находящегося

над ней воздуха. Для узкой полоски ме-

талла (W/h < 1) эта величина определяет-

ся по формуле

(

)

(

)

()

эфф

ln ln

21ln8/hW





/2 + π/4 /ε

εε

ε= + ⋅









+−

где ε

− относительная диэлектрическая проницаемость материала подложки,

h − толщина подложки, W − ширина проводящей полоски.

Задавшись приведенными в таблице параметрами h и W, определите

проницаемость ε

, удовлетворяющую указанному значению ε

эфф

В а р и а н т

Параметр

13-1 13-2 13-3 13-4 13-5 13-6

h, мм 2 0,5 1 0,5 0,5 1

W, мм 1 0,2 0,3 0,4 0,1 0,3

эфф

5,3 4,8 5,5 3,5 4,3 4,8

Задание 14. Для защиты от вибрации блок само-

летной радиолокационной станции установлен на четы-

рех амортизаторах. Система амортизации при этом мо-

жет иметь до шести собственных механических резонан-

сов, частоты которых определяются уравнения

12 10 8 6 4 2

0,ABCDEFGω+ω+ω+ω+ω+ω+ =

где A, B, C, D, E, F, G − коэффициенты, определяющиеся параметрами кон-

струкции, ω – частота колебаний.

Найдите резонансные частоты для заданных коэффициентов уравнения.

В а р и а н т

Параметр

14-1 14-2 14-3 14-4 14-5 14-6

0,01 0 0 0,1 1 0

1 0,01 0,02 –20 0 0

–78 1 0,1 102 –29900 1

2,1⋅10

–1,25⋅10

–2,56⋅10

–8,98⋅10

0 –116

–2,5⋅10

1,85⋅10

3,45⋅10

8,76⋅10

26400

4,3⋅10

1,2⋅10

–8,75⋅10

–9,95⋅10

–7,5⋅10

9,12⋅10

–5,3⋅10

–1,9⋅10

8,9⋅10

2,7⋅10

–3,3⋅10

–1,75⋅10

8,9⋅10

Задание 15. Волновое сопротивление двухпроводной линии рассчиты-

вается по формуле

276

lg 1



=++





где ε − относительная диэлектрическая проницае-

мость среды, в которой находится двухпроводная линия, d и D – соответст-

венно диаметры проводников и расстояние между их осями.

Определите параметр D, обеспечивающий требуемое сопротивление Z

при заданных ε и d. Исходные данные приведены в таблице.

В а р и а н т

Параметр

15-1 15-2 15-3 15-4 15-5 15-6

, Ом 600 150 350 225 150 100

ε 1 4 1 3,5 2,5 3

d, мм 0,5 1,5 1 2 1 1,5

Задание 16. Погонные потери мощности в проводниках коаксиальной

линии, выполненной из меди, определяются по формуле

(

)

()

1, 898 10 1

−

⋅ε+

α=

DDd

где потери α определяются в дБ/м (децибелл на метр), d и D − соответственно

диаметры центрального проводника и экрана (измеряются в метрах),

ε − относительная диэлектрическая проницаемость среды между проводни-

ком и экраном, f − частота (измеряется в гигагерцах).

Задавшись указанными в таблице параметрами ε, f и d, определите

диаметр D,

удовлетворяющий заданному значению α.

В а р и а н т

Параметр

16-1 16-2 16-3 16-4 16-5 16-6

ε 2,5 3 7 2,7 1 4

f, ГГц 0,1 0,01 0,05 0,2 0,2 0,07

d, м

1⋅10

–3

2⋅10

–3

0,5⋅10

–3

2⋅10

–3

0,5⋅10

–3

1,5⋅10

–3

α, дБ/м 0,1 0,02 0,2 0,14 0,22 0,05

Задание 17. Погонные потери мощности в прямоугольном металличе-

ском волноводе, выполненном из меди, для основного типа волны H

опре-

деляются по формуле

()

0,14 1















α=

λ−λ

где потери α определяются в дБ/м (децибелл

на метр), a и b − поперечные размеры волно-

вода, λ − длина волны. Величины a, b и λ в

формулу следует подставлять в сантиметрах.

Задавшись указанными в таблице размерами a и b, определите длину

волны λ,

удовлетворяющую заданному значению α и условию a < λ < 2a.

В а р и а н т

Параметр

17-1 17-2 17-3 17-4 17-5 17-6

a, cм 2,3 1,6 1,3 1,1 0,9 0,72

b, см 1 0,8 0,65 0,55 0,45 0,34

α, дБ/м 0,4 0,3 0,5 0,4 0,7 1,2

Задание 18. Погонные потери мощности в

круглом металлическом волноводе, выполненном из

меди, для основного типа волны H

определяются по

формуле

()

0,14 0,418 0,086

10,086



+λ



α=

λ− λ

где потери α определяются в дБ/м (децибелл на метр), R − радиус волновода,

λ − длина волны. Величины a и λ в формулу следует подставлять в сантимет-

рах.

Задавшись указанным в таблице радиусом a, определите длину волны

λ,

удовлетворяющую заданному значению α и условию 2,1 R < λ < 3,4 R.

В а р и а н т

Параметр

18-1 18-2 18-3 18-4 18-5 18-6

R, cм 10 8 6 5 5 2,5

α, дБ/м 0,01 0,012 0,02 0,03 0,05 0,04

Задание 19. Экспериментально установлено, что зависимость деформа-

ции z конусной пружины от приложенной силы F можно рассчитать по

формуле

432

,zAF BF CF DF=+++

где A, B, C и D − постоянные, определяющиеся конструкцией

пружины. При подстановке в формулу значения силы F в нью-

тонах деформация z определяется в миллиметрах.

Задавшись приведенными в таблице параметрами A, B, C и D,

определите силу силу F, удовлетворяющую указанному значению z.

В а р и а н т

Параметр

19-1 19-2 19-3 19-4 19-5 19-6

0,02 0,01 0,01 0,005 0,003 0,01

0,4 0,04 0,3 0,01 0,02 0,05

0,1 0,5 0,1 0,1 0,4 0,2

1,2 1,3 2,1 1,9 1,1 3

z, мм 6 5 3 2 4 5

Задание 20. Экспериментально установлено, что

зависимость угла закручивания φ плоской спиральной

пружины от приложенной силы F можно рассчитать по

формуле

exp( ),

FB CF

где A, B и C − коэффициенты, определяющиеся конструктивными парамет-

рами пружины. При подстановке в формулу значения силы F в ньютонах

угол φ определяется в градусах.

Задавшись приведенными в таблице коэффициентами A, B и C, опреде-

лите силу F, удовлетворяющую указанному значению φ.

В а р и а н т

Параметр

20-1 20-2 20-3 20-4 20-5 20-6

1 2 2 0,5 1,3 2,2

2 1 1,5 1,2 4,8 2,4

0,5 0,8 0,5 1 0,2 0,7

φ, град. 10 18 15 25 16 17

Лабораторная работа № 2

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Инженерные и научные задачи часто связаны с решением дифференци-

альных уравнений, так как с помощью последних описываются многие физи-

ческие явления. Соответственно процессы в технических устройствах так же

описываются дифференциальными уравнениями.

Природа этих процессов различна. При анализе тепловых режимов ап-

паратуры рассчитывают тепловые потоки, при изучении электромагнитных

процессов – электрические и магнитные поля, при оценке прочности изделий

вычисляют механические напряжения и деформации.

К сожалению, для многих практически важных случаев задачи, описы-

ваемые дифференциальными уравнениями, весьма сложны, и получить их

точное решение оказывается затруднительно или невозможно. Эти трудности

могут быть связаны с видом уравнения, например, с его нелинейным харак-

тером. Однако решить подобные сложные задачи также как и более простые

можно с помощью компьютера. Поэтому методы решения дифференциаль-

ных уравнений на ЭВМ широко применяются в инженерной практике.

1.1. Задача Коши и краевая задача

Методы решения задач, содержащих обыкновенные дифференциаль-

ные уравнения, зависят от их математической формулировки. Рассмотрим их.

1.1.1. Классификация уравнений

Дифференциальные уравнения принято делить на две группы: обыкно-

венные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных.

В данной лабораторной работе рассматриваются методы решения за-

дач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Эти

уравнения содержат только одну независимую переменную, в качестве кото-

рой может выступать время или пространственная координата. Иначе говоря,

в таких уравнениях все функции зависят только от одной переменной и их

производные по этой переменной являются полными.

Уравнения в частных производных содержат более одной независимой

переменной. Этими переменными могут быть, например, одновременно про-

странственные координаты и время или только пространственные координа-

ты для статической задачи. В таких уравнениях производные от функций по

любой из независимых переменных являются частными. Кроме того, уравне-

ние может содержать смешанные производные. Подобного рода задачи и ме-

тоды их решения будут рассмотрены в следующей лабораторной работе.

1.1.2. Задача Коши

Важным элементом задач, содержащих дифференциальные уравнения,

являются дополнительные условия, которые необходимы для получения коли-

чественного решения.

Применительно к обыкновенным дифференциальным уравнениям раз-

личают два вида задач: задачу с начальными условиями (задачу Коши) и

задачу с краевыми условиями (краевую задачу).

Задачу Коши можно сформулировать следующим образом. Дано обык-

новенное дифференциальное уравнение

()

du x

= (1)

и начальное условие

u(x

)=u

. (2)

Требуется найти функцию u(x), удовлетворяющую уравнению (1) и

начальному условию (2).

На практике подобные задачи обычно связаны с расчётом переходных

электрических, нестационарных тепловых или механических процессов при

заданном в некоторый начальный момент времени исходном состоянии сис-

темы. Формулировка краевой задачи будет рассмотрена в п. 1.4.

1.2. Одношаговые методы решения задачи Коши

К одношаговым относятся метод Эйлера (первого порядка), его моди-

фикация (второго порядка) и методы Рунге–Кутта (более высоких порядков).

1.2.1. Метод Эйлера

Этот метод является простейшим численным методом решения задачи

Коши. Рассмотрим его на примере решения обыкновенного дифференциально-

го уравнения первого порядка (1) с соответствующим начальным условием (2).

Расчетную формулу метода Эйлера можно получить, используя разло-

жение функции u(x) в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки x

()()

22 33

() () ()

...

2! 3!

iii

du x h d u x h d u x

ux h ux h

dx dx dx

+= + + + + . (3)

Если приращение h мало (то есть h << x

), то члены ряда, начиная со

слагаемого, включающего h во второй степени, могут быть отброшены как

малые величины. Тогда из (3) в первом приближении получим