Леонов И.В., Леонов Д.И. Теория машин и механизмов

Подождите немного. Документ загружается.

3.3. Энергетическая модель машины

и звеньев по координате звена приведения j:

ω=

–

угловая скорость i-го звена.

Напомним, что эти производные численно равны отно-

шению линейных V

и угловых ω

скоростей i-ых звеньев

и точек, к которым приложены реальные силы F

и моменты

, к скорости j-го звена, принятого за звено приведения:

i ii i

qi i j

jjjj

dS V d

 

ϕω

= = ==

 

ϕωϕω

 

Рассмотрим метод приведения сил на примере силового

агрегата (см. рис.1.2), выбирая в качестве звена приведения

кривошип 1 с угловой координатой ϕ

(см. рис. 3.4). Криво-

шипно-ползунный механизм ДВС (см. рис. 3.1) нагружен

силой давления газов p на поршень 3 и силами тяжести зве-

ньев G

и G

. Приведенный момент сил тяжести звеньев 2

и 3 подсчитывается из условия равенства мощностей сил

и приведенного момента

пр

I 2 23 3

cos cos

G qS qB

M GV GV= ⋅ υ+ ⋅ υ

где υ

, υ

– углы между силами G

и G

и скоростями их

точек приложения V

и V

(см. рис. 3.1); V

, V

– аналоги

скоростей.

Приведенный момент сил давления р, действующего

на поршень диаметра d, равен

пр

cos ,

G qB p

Mp V



=υ





где υ

– угол между силой давления и скоростью поршня,

принимающий значения 0 или 180° и определяющий знак

приведенного момента.

В качестве примера на рис. 3.5 изображена диаграмма

приведенного к кривошипу 1 момента

пр

сил, приложен-

ных к поршню одноцилиндрового двухтактного ДВС. Ра-

бота сил в цилиндре за такт сжатия ϕ

=0÷π отрицательна

и соответствует отрицательному значению приведенного

момента. В период расширения газов ϕ

= π÷2π силы давле-

ния на поршень и скорость его совпадают, работа и момент

имеют положительное значение. Суммарная работа газо-

Глава 3. Модели машины с жесткими звеньями

вых сил давления на поршень за цикл (ϕ

цикла

= 2π) положи-

тельна, следовательно, они являются движущими в ДВС.

Можно привести и момент сопротивления M

сопр

прило-

женный к звену 4 со стороны винта (см. рис. 1.2), раскры-

вая равенство элементарных работ моментов в виде

пр

сопр 1 сопр 4

M d Mdϕ= ϕ

где dϕ

и dϕ

– возможные элементарные угловые переме-

щения звеньев 1 и 4.

Учитывая, что отношение возможных перемещений зве-

ньев 1 и 4 представляет собой передаточное отношение зуб-

чатой передачи

ϕω

1 1 14

= = =

получаем значение приведенного к звену 1 момента сопро-

тивления винта

пр

1сопрсопрсопр41

MM Mu







На рис. 3.6 представлены зависимости приведенного

к валу 1 ДВС (см. рис. 1.2) момента сопротивления винта

при различных передаточных отношениях редуктора МА.

сжатие

расширение

пр

A,Дж

M max

цикл

2π

цикл

φ, рад

, радиан

Рис. 3.5. Диаграмма приведенного момента M

1р

пр

и работы А

сил давления, приложенных к поршню одноцилиндрового

двухтактного Двс

3.3. Энергетическая модель машины

Суммарный приведенный к валу 1 момент, заменяющий

действие всех приложенных к МА (см. рис. 1.2) сил и мо-

ментов равен

M MMM

1p 1G1 1сопрΣ

пр пр пр пр

=++ .

Поскольку кинематические передаточные функции зави-

сят от одной координаты ϕ

, то приведенный момент также

зависит от принятой обобщенной координаты. Например,

если в МА (см. рис.1.2) за звено приведения принять вы-

ходное звено 4, то момент сопротивления M

сопр

, приложен-

ный к нему приводить нет необходимости, так как реаль-

ный момент сопротивления M

сопр

действует на звено 4:

пр пр пр пр

4114 114114 сопр

MMUMUMUM

ΣΣ

==++

где –

ϕω

– передаточное отношение редуктора.

пр

сопр

пр

Рис.3.6. Приведение момента сопротивления к входному звену редуктора:

а – структурная схема МА (1 – редуктор; 2 – рабочая машина);

б – зависимость реального момента сопротивления от скорости;

в – зависимости приведенного момента сопротивления

при различных передаточных отношениях

Глава 3. Модели машины с жесткими звеньями

В этом случае необходимо привести в выходному валу

и момент двигателя. Однако в многоцилиндровых ДВС

движущий момент газовых сил реально зависит от ско-

рости, но часто принимается независящим от угловой

координаты вала 1 (см. рис 1.2). Но при приведении дви-

жущего момента ДВС к выходному валу редуктора (валу

винта 9) он также зависит от передаточного отношения

редуктора как показано на рис. 3.7.

Таким образом, суммарный приведенный момент

позволяет заменить в уравнениях многочисленные ре-

альные силы и моменты, модуль и знак его определяется

суммарной мощностью всех агрегатов МА. При положи-

тельном знаке приведенный момент направлен в сторону

вращения звена приведения, при отрицательном – про-

тивоположную. При выборе другого звена в качестве

звена приведения меняются соответствующие переда-

точные функции и, естественно, значения приведенного

момента.

ДВС

пр

M = constω

Рис. 3.7. Схема приведения движущего момента

к выходному звену редуктора:

а – структурная схема (1 – двигатель; 2 – редуктор);

б – зависимость реального момента двигателя от скорости;

в – зависимости приведенного момента двигателя

при различных передаточных отношениях

3.3. Энергетическая модель машины

3.3.2. метод приведения масс и моментов инерции

Рассмотрим метод приведения масс на примере МА

с кривошипно-ползунным механизмом (см. рис.1.2). При-

ведение, т.е. замена реальных масс механизма на условные

приведенные, осуществляется из условия равенства кине-

тических энергий реальных звеньев и энергии звена при-

ведения, наделяемого условным суммарным приведенным

моментом инерции:

пр

22 2

j iS

TJ m J

== +

∑∑

где: m

– масса и момент инерции относительно цент-

ра масс S

i-го звена; V

– скорость центра масс звена i;

– скорости звеньев механизма (индекс j соответствует

номеру звена, выбранного за звено приведения).

Приведенный к звену j суммарный момент инерции

пр 2 2

1 1 1 1

i ii

n n nn

j i S i qS S i j j

i i ii

J m J mV J U J

= = ==

 

= + =+ +

 

ωω

 

∑ ∑ ∑∑

является квадратичной формой кинематических передаточ-

ных функций. Выбирая вал 1 двигателя в качестве звена

приведения, угловая координата ϕ

которого будет обоб-

щенной координатой ϕ, получаем выражение суммарного

приведенного момента инерции

пр 2 2 2 2

1 3 2 2 41 4 41 1

+ + + + ,

qB qS S

J mVmV JUJUJ

где J

– момент инерции звена 1 относительного центра вра-

щения.

Если в качестве звена приведения выбрать выходное МА

(см. рис.3.6), то выражение для суммарного приведенного

момента инерции примет вид

пр пр 2

4 4 14

.J JU

ΣΣ

Анализ выражения приведенных моментов инерции зве-

ньев позволяет разделить последние на две группы:

1) постоянную составляющую моментов инерции

ПР

первой группы звеньев, играющую в некоторых случаях

положительную роль снижения колебаний скорости звена

приведения на установившемся режиме.

Глава 3. Модели машины с жесткими звеньями

2) периодическую переменную составляющую приведен-

ного суммарного момента инерции

( )

ПР

так называемой

второй группы звеньев, являющуюся внутренним источни-

ком колебаний кинетической энергии за счет изменений

скоростей звеньев даже при постоянном значении скорости

звена приведения. Вторая группа звеньев может быть зна-

чительно снижена или уравновешена. Например, в многоци-

линдровом ДВС выбор формы коленчатого вала позволяет

снизить неравномерность вращения и произвести уравнове-

шивание машины наиболее эффективным способом.

Таким образом, при определении приведенных момен-

тов сил и моментов инерции не требуется знания законов

движения звеньев, для расчёта необходимы лишь кинема-

тические передаточные функции. Поскольку значения их

зависят от обобщенной координаты, то параметры динами-

ческой модели в общем случае не постоянны, они являют-

ся функцией обобщенной координаты звена приведения ϕ

и зависят от его выбора. Поэтому в качестве звена приведе-

ния целесообразно принимать то звено, которое не совер-

шает остановки, кинематические передаточные функции

при таком выборе ни при каких положениях механизма не

обращаются в бесконечность. Обычно за звено приведения

выбирают вращающееся звено.

Рассмотрение общих свойств динамической модели

механизма с числом степеней свободы w = 1 и жесткими

звеньями показывает, что при применении одномассовой

динамической модели можно определить закон движе-

ния, проанализировать энергетические процессы в машине

и осуществить на этой основе оптимизацию параметров МА

по динамическим критериям и критериям экономичности

расхода энергии.

3.4. Анализ устойчивости по динамической модели

Динамическая модель механизма с жесткими звеньями

может быть использована для анализа устойчивости МА.

Под устойчивостью режимов работы понимается способ-

ность сохранения выбранных координат состояния, напри-

мер, скорости вращения ω и нагрузки (крутящего момента

кр

), при действии внутренних и внешних возмущений.

Поскольку координаты состояния МА определяют и его

3.4. Анализ устойчивости по динамической модели

экономичность, то параметры, характеризующие устойчи-

вость, оказывают влияние и на экономичность, и на произ-

водительность.

Равновесный режим (равенства движущего момента

и момента сопротивления) может нарушаться по разным

причинам, например, в рассмотренном случае судового МА

на (см. рис.1.2) возмущением может служить кратковре-

менное оголение винта при волнении, которое вызывает

изменения момента сопротивления винта М

и его скорости

вращения. Когда момент сопротивления примет прежнее

значение, МА может вернуться в исходное равновесное со-

стояние. Такой режим называется устойчивым.

Рассмотрим работу МА (см. рис.1.2) при постоянных

значениях суммарного приведенного момента и приведен-

ного момента инерции. Наложение характеристик двига-

теля и модуля момента сопротивления (см. рис. 3.8) даст

параметры равновесного режима как точку их пересечения

М

сопр

 = М

дв

. Естественно, что необходимо накладывать при-

веденные к одному и тому же звену характеристики момен-

тов, но для сокращения записей в дальнейшем индекс звена

приведения указывать не будем. При нелинейных статичес-

ких характеристиках двигателя получим два возможных ре-

жима работы МА в точках 1 и 2.

Из рис. З.8 очевидно, что в случае отклонения от рав-

новесного режима I в сторону возрастания скорости вра-

щения ω происходит резкое снижение момента двигателя

дв

, и даже при постоянном моменте сопротивления М

сопр



МА стремится вернуться под действием отрицательного

суммарного момента М

= (М

дв

+ М

сопр

) < 0 в равновесную

точку 1. При отклонении

от режима I в сторону сни-

жения скорости ω приве-

денный движущий момент

превышает момент сопро-

тивления, поэтому положи-

тельный суммарный при-

веденный момент М

> 0

вызывает действие положи-

тельного ускорения в сторо-

ну увеличения скорости ω

и возвращение к исходному

режиму I.

дв

||M

сопр

Рис. 3.8. Устойчивый (1) и неус-

тойчивый (2) режимы работы

Глава 3. Модели машины с жесткими звеньями

При отклонении от неустойчивого равновесного ре-

жима, например от точки 2 вправо, возникающая раз-

ность движущего момента и момента сопротивления

= (М

дв

–М

сопр

) > 0, что вызывает еще большее отклоне-

ние от равновесного режима, поэтому возникающий поло-

жительный суммарный момент М

> 0 выводит МА на дру-

гой равновесный режим в точке 1. В случае отклонения

от равновесного режима 2 в сторону снижения скорости

ω < ω

отрицательный суммарный момент М

< 0 вызывает

остановку двигателя.

Количественная оценка устойчивости режима характе-

ризуется так называемым фактором устойчивости

пр

сопр

дв

уст



∂

=− −



∂ω ∂ω



где

пр

cопр

дв

∂

∂ω ∂ω

− частные производные соответственно

момента сопротивления и движущего момента по скорости.

При положительном значении фактора устойчивости F

уст

равновесный режим устойчив, если

уст

< 0, то режим неус-

тойчив.

Мы рассмотрели несколько идеализированный случай

равновесного режима при равенстве работ движущих сил

и сил сопротивления в каждый момент движения. Одна-

ко на практике это равенство работ в течение всего цикла

движения наблюдается чрезвычайно редко, а чаще обес-

печивается только в отдельные моменты. Обычно проис-

ходит непрерывное колебание скорости движения, напри-

мер, из-за изменения приведенного момента сил и момента

инерции ДВС. Но описанные выше закономерности со-

храняются, а фактор устойчивости будет оказывать вли-

яние на амплитуду колебаний скорости. Таким образом,

анализ устойчивости позволяет сделать вывод об устой-

чивости работы МА на выбранном режиме и его склон-

ности к колебаниям. Рассмотренные условия статической

устойчивости являются необходимыми, но не достаточны-

ми. Окончательный вывод может быть сделан только при

анализе дифференциального уравнения системы управле-

ния МА с учетом динамических характеристик двигателя

и рабочей машины.

3.5. Определение уравнения движения

Динамическая модель механизма с жесткими звеньями

может быть представлена в виде одного звена, к которому

приведены силы и массы (см. рис. 3.4). Закон движения

выбранного звена может быть найден по приведенным па-

раметрам динамической модели. Применим теорему об из-

менении кинетической энергии к динамической модели и,

опустив для упрощения записи номер звена в обозначении

угла поворота ϕ, угловой скорости

ω=

и ускорения

ε=

получим

( ) ( )

нач

= ,AT Tϕ− ϕ

∑

где

( )

ωϕ

– текущее значение кинетической энергии;

( ) ( )

нач

нач нач

ϕ= ϕ

− начальное значение кинетичес-

кой энергии; ϕ

нач

, ω

нач

∑

(ϕ

нач

) – начальные значения соот-

ветственно угловой координаты, скорости и суммарного

приведенного момента инерции.

Сумму работ можно представить в виде интеграла с пе-

ременным верхним пределом φ от суммарного приведенно-

го момента М

(ϕ) по углу поворота, поэтому

нач

пр

A Md

= ϕ= −

∑

∫

Закон движения ω(ϕ) звена приведения представляет

решение предыдущего уравнения в виде функции обобщен-

ной координаты ϕ

нач

2 ( ) +

() .

()

ωϕ =

∑

Продифференцировав выражение суммы работ по коор-

динате ϕ, получим дифференциальное уравнение движения

= .

∂

∂ϕ

Глава 3. Модели машины с жесткими звеньями

Учитывая, что Τ

нач

– величина постоянная, получим

дифференцированием

ΣΣ

= ε+

угловое ускорение звена приведения

M dJ

dt J J d

ΣΣ

ωϕ ω

ε= = = −

Каким бы сложным не был МА с одной степенью сво-

боды, выполнив приведение сил и масс, его можно пред-

ставить как одно звено с переменным моментом инерции,

в общем случае зависящим от обобщенной координаты ϕ.

Поэтому алгоритм расчета динамической модели строит-

ся в виде функции ϕ, принимаемой за независимую пере-

менную. Как правило, возникает необходимость связать

расчетные значения координаты ϕ со временем. Для этого

запишем известное соотношение угловой скорости

ω=

откуда выразим бесконечно малый интервал времени

. Проинтегрируем его и получим

t dt

∫∫

Таким образом, определение соответствующих момен-

тов времени движения связано с интегрированием обрат-

ной функции

( )

ωϕ

3.6. Анализ законов движения машин

Для анализа возможных режимов движения машин рас-

смотрим полученное в предыдущем параграфе уравнение

движения, отметив, что суммарная работа А

(ϕ) и суммар-

ный приведенный момент инерции J

(ϕ) зависят от обоб-

щенной координаты ϕ или времени. Проанализировав

уравнения движения, можно сделать вывод, что процесс ра-

боты МА делится на установившийся и неустановившийся

режимы (см. рис.3.9).