Леонов Г.А., Шумафов М.М. Проблемы стабилизации линейных управляемых систем

Подождите немного. Документ загружается.

Санкт-Петербургский

государственный университет

Г.А.Леонов, М.М.Шумафов

ПРОБЛЕМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ

ЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

Санкт-Петербург

Издательство С.-Петербургского университета

2002

Леонов Г.А., Шумафов М.М. Проблемы стабилизации линей-

ных управляемых систем. – СПб.: Изд-во С.-Петербургского уни-

верситета, 2002. 308 с., 25 ил.

Книга посвящена систематическому изложению методов и резуль-

татов, развитых для решения проблемы Брокетта.

Приводятся методы низкочастотной и высокочастотной нестацио-

нарной стабилизации линейных управляемых систем. Получены до-

статочные, а в некоторых случаях и необходимые условия стабили-

зации линейных систем. В частности, для двумерных и некоторых

типовых трехмерных систем со скалярными входами и выходами по-

лучены необходимые и достаточные условия стабилизации. На осно-

ве полученных результатов показана возможность низкочастотной и

высокочастотной стабилизации верхнего положения равновесия ма-

ятника. Результаты распространены на линейные дискретные управ-

ляемые системы.

Книга рассчитана на специалистов по теории управления, диффе-

ренциальным уравнениям и динамическим системам, теоретической

и прикладной механике, а также на студентов и аспирантов матема-

тических специальностей.

Leonov G.A. and Shumafov M.M. Stabilization problems of linear

control systems. – SPb.: Isdat. S.-Petersburg university, 2002. 308 p.,

25 ill.

The book is devoted to systematic description of the methods and

results developed for the solution of the Brockett problem.

The methods for the low- and high-frequency stabilization of linear

controllable systems are given. Suﬃcient and, in certain cases, necessary

conditions of stabilization for linear systems are obtained. In particular,

these conditions are obtained for two-dimensional and certain typical

three-dimensional systems with scalar inputs and outputs. Using these

results, the possibility of the low- and high-frequency stabilization of the

pendulum high position are shown. The results obtained are applied to

linear discrete controllable systems.

The book is intended for the specialists in the control theory, diﬀer-

ential equations and dynamic systems, and the theoretical and applied

mechanics. It will be also useful for the students and postgraduate stu-

dents of mathematical specialities.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

ГЛАВА I. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ И

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

§ 1. Описание линейных систем управления. . . . . . . . . . . . . . 10

1. Исходная математическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Частный случай. Уравнение n-го порядка. . . . . . . . . . . . . . . . 14

§ 2. Комплексификация пространства и оператора

действующего в нем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

§ 3. Преобразование Лапласа и некоторые его свойства 22

1. Преобразование Лапласа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2. Основные свойства преобразования Лапласа . . . . . . . . . . . . . 24

§ 4. Передаточные функции и частотные характерис-

тики линейных блоков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1. Оценка норм вектора состояния и вектора выхода. . . . . . . . 31

2. Определение передаточной функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3. Случай одного уравнения n-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4. Определение частотной характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

ГЛАВА II. УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ . . . . . 43

§1. Управляемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

§ 2. Специальная форма систем с полностью управляе-

мой парой (A, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

§ 3. Наблюдаемость. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

ГЛАВА III. СТАЦИОНАРНАЯ СТАБИЛИЗИРУЕМОСТЬ

ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

§ 1. Устойчивость линейной системы с постоянными

коэффициентами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

1. Устойчивость по Ляпунову. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2. Критерий асимптотической устойчивости линейной

системы с постоянной матрицей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

§ 2. Алгебраические критерии устойчивости . . . . . . . . . . . . 86

1. Проблема Рауса–Гурвица. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2. Необходимое условие устойчивости многочлена . . . . . . . . . . 86

3. Критерий Эрмита-Михайлова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4. Критерий Рауса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.1. Индексы Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.2. Алгоритм Рауса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5. Критерий Гурвица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

§ 3. Задача линейной стабилизации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

§ 4. Стабилизируемость полностью управляемой

системы (стабилизируемость пары (A, b)). . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

1. Вспомогательные утверждения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2. Теорема о стабилизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

§ 5. Проблема управления спектром матрицы . . . . . . . . . . 129

§ 6. Критерий Найквиста. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

§ 7. Стабилизируемость полностью наблюдаемой

системы в терминах разрешимости матричного уравне-

ния Лурье-Риккати. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

2. Вспомогательные утверждения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

3. Теорема о стабилизируемости тройки (A, b, c) в терминах

разрешимости специального уравнения Лурье-Риккати.. . . . . . . . . 141

§ 8. Стабилизируемость неполностью управляемых

систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

ГЛАВА IV. НЕСТАЦИОНАРНАЯ НИЗКОЧАСТОТНАЯ

СТАБИЛИЗАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

§ 1. Постановка задачи. Проблема Брокетта . . . . . . . . . . . . 147

§ 2. Линейные системы дифференциальных уравне-

ний с периодической матрицей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

1. Фазовые потоки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

2. Примеры фазовых потоков простейших дифференциаль-

ных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

3. Основные свойства фазового потока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

4. Отображение за период . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5. Устойчивость отображения монодромии . . . . . . . . . . . . . . . . 160

§ 3. Низкочастотная стабилизация верхнего положения

равновесия маятника. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

§ 4. Проблема Брокетта в классе кусочно-постоянных

периодических матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

1. Основная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

2. Случай скалярной функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

§ 5. Некоторые предложения, обеспечивающие эффек-

тивную проверку "условия вложения многообразий" . . . . 184

§ 6. Стабилизация линейной системы в скалярном

случае (когда вход и выход — скалярные функции) . . . . . 190

§ 7. Проверка "условия вложения многообразий", осно-

ванная на импульсном воздействии на неустойчивое

интегральное многообразие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

1. Импульсное воздействие на неустойчивое многообразие . 195

2. Случай размерности n − 1 (коразмерности 1) устойчи-

вого многообразия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

3. Случай размерности n − 2 (коразмерности 2) устойчи-

вого многообразия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

§ 8. Необходимые условия стабилизации. . . . . . . . . . . . . . . . . 211

§ 9. Низкочастотная стабилизация двумерных и трех-

мерных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

1. Двумерные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

2. Трехмерные системы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

ГЛАВА V. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ВЫСОКОЧАСТОТНАЯ

СТАБИЛИЗАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

§ 1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

§ 2. Некоторые предварительные факты. . . . . . . . . . . . . . . . . 230

1. Теорема об экспоненциальной устойчивости . . . . . . . . . . . . . 230

2. Теорема об экспоненциальной устойчивости линейной

системы с малым параметром. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

3. Экспоненциальная устойчивость линейной системы с

большим параметром. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

§ 3. Высокочастотная стабилизация верхнего поло-

жения равновесия маятника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

1. Стабилизация с помощью кусочно-постоянных

периодических функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

2. Стабилизация с помощью непрерывных периодических

функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

§ 4. Высокочастотная стабилизация линейных систем . 245

1. Приведение замкнутой системы к специальной форме . . 246

2. Стабилизация в случае c

∗

b 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

3. Стабилизация в случае c

∗

b = c

∗

Ab = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

§ 5. Высокочастотная стабилизация двумерных и трех-

мерных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

1. Двумерные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

2. Трехмерные системы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

ГЛАВА VI. ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

§ 1. Линейные дискретные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

1. Основная математическая модель. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

2. Свойства линейных дискретных систем. . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

2.1. Устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

2.2. Пример. Числа Фибоначчи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

2.3. Линейные неоднородные дискретные системы. . . . . . . 267

2.4. Z-преобразование и передаточная функция . . . . . . . . . 268

§ 2. Управляемость, наблюдаемость и стабилизи-

руемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

1. Управляемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

2. Наблюдаемость. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

3. Стабилизируемость. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

§ 3. Проблема Брокетта для линейных дискретных

систем управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

2. Основная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

3. Скалярный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

4. Стабилизация систем второго порядка со скалярной

обратной связью. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

ЛИТЕРАТУРА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

ВВЕДЕНИЕ

Проблема стабилизации является классической в теории и практи-

ке управления. Достаточно напомнить здесь широко известные про-

блемы стабилизации паровой машины с регулятором Уатта и стаби-

лизации социума в революционный и постреволюционный периоды.

Для решения первой Дж.К.Максвеллом [255], И.А.Вышнеградским

[42,289], А.Стодолой [281] и другими известными учеными была раз-

работана теория устойчивости систем регулирования (см. библиогра-

фию) и на ее основе были предложены различные стабилизирующие

устройства.

Для решения второй Наполеоном, Николаем I и Ельциным при-

менялась артиллерия в центре Парижа (1795), Санкт-Петербурга

(1825) и Москвы (1993). Теория, которая в этих случаях предлагала

бы другие способы стабилизации, еще далека от своего завершения.

В настоящее время имеется много книг и обзоров, в которых об-

суждается проблема стабилизации управляемых систем (см. библио-

графию). Недавно появившееся и активно развиваемое направление

в теории управления — управление хаосом – имеет в своей основе

стабилизацию нестационарных траекторий (см. библиографию).

Новым мощным стимулом изучения управляемых систем явилась

сформулированная Р.Брокеттом [198] проблема стабилизации линей-

ной стационарной системы путем синтеза нестационарной линейной

обратной связи. Настоящая книга посвящена систематическому из-

ложению методов и результатов, развитых для решения проблемы

Брокетта.

Первые три главы являются вводными. В них излагаются основ-

ные понятия линейной теории управления: передаточные функции,

частотные характеристики, управляемость, наблюдаемость, стаби-

лизируемость. Приводятся критерии управляемости, наблюдаемости,

стабилизируемости линейных стационарных систем.

В четвертой главе изложены методы низкочастотной стабилиза-

ции. Здесь используются оценки решений линейных систем на устой-

чивых и неустойчивых многообразиях и синтезируются отображе-

ния Пуанкаре, осуществляющие вложения неустойчивых многообра-

зий в устойчивые многообразия. Существование таких отображений

является основой для низкочастотной стабилизируемости линейных

управляемых систем. Необходимые условия стабилизируемости по-

лучены в духе теорем Четаева: строится положительно инвариант-

ный конус, внутри которого все решения стремятся к бесконечности

при любой нестационарной обратной связи.

Такой подход позволил получить необходимые и достаточные усло-

вия низкочастотной стабилизируемости двумерных систем со ска-

лярными входами и выходами. Аналогичное рассмотрение проведено

для ряда типовых трехмерных систем.

В пятой главе рассмотрены методы высокочастотной стабилиза-

ции. Они основаны на широко известном методе усреднения и спе-

циальных нестационарных линейных преобразованиях векторов со-

стояния. Здесь излагаются результаты, полученные недавно Моро

и Аэлсом [259]. Для двумерных систем со скалярными входами и

выходами этот подход дает необходимые и достаточные условия вы-

сокочастотной стабилизации.

В шестой главе проведено обобщение методов, изложенных в чет-

вертой главе, на дискретные управляемые системы.

Авторы пытались сделать изложение замкнутым и как можно бо-

лее простым. Все используемые в книге факты доказаны. Для пони-

мания книги достаточно знания основных курсов алгебры, анализа

и обыкновенных дифференциальных уравнений.

По мнению авторов, книга будет полезна специалистам, работа-

ющим в области теории управления, дифференциальных уравнений

и динамических систем, теоретической и прикладной механики. Она

может быть использована в качестве учебного пособия для студентов

и аспирантов математических специальностей.

Настоящая работа выполнена на кафедре теоретической кибер-

нетики Санкт-Петербургского государственного университета, в ла-

боратории математического моделирования и теоретической кибер-

нетики Адыгейского государственного университета, в лаборатории

управления сложными системами Научно-исследовательского инсти-

тута проблем машиноведения РАН.

При написании книги авторы чувствовали постоянную поддержку

В.А.Якубовича, Р.Д.Хунагова, А.Х.Гелига, Д.К.Мамия, А.Л.Фрад-

кова.

Мы благодарны также Л.П.Виноградовой, Ю.К.Зотову, Н.К.Куз-

нецову, С.Н.Пакшину за помощь при окончательном оформлении

книги.

Настоящая работа частично финансировалась из средств гран-

та РФФИ (проект № 01-01-00317), гранта поддержки ведущих науч-

ных школ (№ 00-15-96028), программы "Университеты России", ком-

плексной программы № 17 "Математическое моделирование интел-

лектуальных систем и управление нелинейными механическими си-

стемами (проект 3.1.4).

Санкт-Петербург Г.А.Леонов

октябрь 2002 М.М.Шумафов

e-mail: leonov@math.spbu.ru

magomet_shumaf@yahoo.com

ГЛАВА I

ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ И

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

§ 1. Описание линейных систем управления

1. Исходная математическая модель.

Основное предположение, которое мы делаем здесь, состоит в том,

что в качестве основной математической модели для описания линей-

ных систем управления принимаем систему линейных дифференци-

альных уравнений вида

j=1

k=1

, i = 1, . . . , n,

i=1

, s = 1, . . . , `,

или в векторно-матричной форме

= Ax + bu, y = c

∗

x, (1)

где A = {a

}, b = {b

}, c = {c

}, i, j = 1, . . . , n, k = 1, . . . , m,

s = 1, . . . , ` — вещественные постоянные матрицы порядков n × n,

n×m, n×` соответственно, x = (x

, . . . , x

)

∗

∈ R

— вектор фазовых

переменных состояния, u = (u

, . . . , u

)

∗

∈ R

— вектор входных

воздействий, y = (y

, . . . , y

)

∗

∈ R

— вектор выходных переменных.

В уравнении (1) векторы u, x и y являются функциями веществен-

ного переменного t, обозначающего время, причем t ∈ [t

, T ] (T > t

где [t

, T ] — отрезок времени, на котором происходит управление си-

стемой.

(Здесь знак ∗ означает операцию транспонирования; в случае ком-

плексных матриц или векторов — эрмитово сопряжение).

Таким образом, в модель (1) входят n линейных дифференциаль-

ных уравнений 1-го порядка относительно переменных состояния x

(i = 1, . . . , n), m различных управляющих (входных) переменных u