Леонов Г.А. Лекции по курсу теории управления I (анализ)
Подождите немного. Документ загружается.
+∞
Z
0
ϕ
T
(t)
t
Z
0
γ(t − τ)ϕ
T
(τ) dτ +
ε −
1
k
ϕ
T
(t)+
+θ
d
dt
t
Z
0
γ(t − τ)ϕ
T
(τ) dτ
dt =
=
1
2π
+∞
Z
−∞
F (ϕ
T
(t))
F (γ(t)) F (ϕ
T
(t)) +
ε −
1
k
F (ϕ
T
(t))+
+θiωF (γ(t)) F (ϕ
T
(t))
dω =
1
2π
+∞
Z
−∞
− (1 + θiω)W (iω)+
+
ε −
1
k
|F (ϕ
T
(t))|
2
dω.
Ясно, что при выполнении неравенства (6.12) величина
+∞
Z
0
ϕ
T
(t)
t
Z
0
γ(t − τ)ϕ
T
(τ) dτ +
ε −
1
k
ϕ
T
(t)+
+θ
d
dt
t
Z
0
γ(t − τ)ϕ
T
(τ)dτ
dt
является отрицательной. Отсюда и из соотношений (6.15) следует неравенство (6.14).
Л е м м а 6.2. Если выполнено неравенство (6.12) с θ > 0, то существует число q, для
которого
+∞
Z
0
ϕ(σ(t))
2
dt ≤ q|x
0
|
2
. (6.16)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условий (6.5) и θ ≥ 0 по лемме 6.1 следует, что
ε
T
Z
0
ϕ(σ(t))
2
dt ≤ −θ
σ(T )
Z
σ(0)
ϕ(σ) dσ +
T
Z
0
ϕ(σ(t))
α(t) + θ ˙α(t)
dt.
Используя очевидное неравенство
uv ≤
ε
2
u
2
+
1
2ε
v
2
∀u, ∀v
и тот факт, что
σ
Z
0
ϕ(σ) dσ ≥ 0 ∀σ
103
(последнее следует из условия (6.5)), получаем оценку
ε
2
T
Z
0
ϕ(σ(t))
2
dt ≤ θ
σ(0)
Z
0
ϕ(σ) dσ +
1
2ε
T
Z
0
(c
∗
e
At
x
0
+ θc
∗
Ae
At
x
0
)
2
dt ≤
≤ k|c|
2
|x
0
|
2
+
1
2ε
T
Z
0
(c
∗
e
At
x
0
+ θc
∗
Ae
At
x
0
)
2
dt.
Отсюда и из устойчивости матрицы A вытекает утверждение леммы 6.2.
Рассмотрим теперь линейную систему
˙x = Ax + f(t), x ∈ R
n
, (6.17)
где A — постоянная устойчивая матрица, f(t) — непрерывная вектор-функция.
Л е м м а 6.3. Если для некоторого числа α
+∞
Z
0
|f(t)|
2
dt < α, (6.18)
то существует такое число β, что выполнено неравенство
|x(t)|
2
≤ β(|x(0)|
2
+ α). (6.19)
Кроме того, выполнены следующие соотношения:
+∞
Z
0
|x(t)|
2
dt < +∞, lim
t→+∞
x(t) = 0. (6.20)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Напомним (см. главу 1), что существует положительно определен-
ная матрица H, для которой
A
∗
H + HA = −I.
Поэтому для функции W (t) = x(t)
∗
Hx(t) справедлива оценка
W (x(t))
•
= −|x(t)|
2
+ 2x
∗
Hf(t) ≤ −|x(t)|
2
+
+|2H| |x(t)| |f(t)| ≤ −
1
2
|x(t)|
2
+ 2|H|
2
|f(t)|
2
.
(6.21)
Отсюда следует, что
x(t)
∗
Hx(t) ≤ x(0)
∗
Hx(0) + 2α|H|
2
. (6.22)
Из этого неравенства и положительной определенности матрицы H следует существование
числа β, для которого выполнено (6.19).
Вновь рассматривая неравенство (6.21) и интегрируя обе его части от 0 до t, получаем
соотношение
W (x(t)) − W (x(0)) +
1
2
t
Z
0
|x(τ)|
2
dτ ≤ 2α|H|
2
.
Отсюда и из соотношения (6.22) следует, что
+∞
Z
0
|x(t)|
2
dt < ∞. (6.23)
104
Рассмотрим теперь интеграл
t
Z
0
x(τ)
∗
˙x(τ) dτ =
1
2
|x(t)|
2
−
1
2
|x(0)|
2
. (6.24)
Имеем очевидные соотношения
t
Z
0
|x(τ)
∗
˙x(τ)|dτ ≤
t
Z
0
|x(τ)|
2
dτ +
t
Z
0
|˙x(τ )|
2
dτ =
=
t
Z
0
|x(τ)|
2
dτ +
t
Z
0
|Ax(τ) + f(τ)|
2
dτ ≤
≤
t
Z
0
|x(τ)|
2
dτ +
t
Z
0
|A| |x(τ )| + |f (τ )|
2
dτ ≤
≤ (1 + 2|A|
2
)
t
Z
0
|x(τ)|
2
dτ + 2
t
Z
0
|f(τ)|
2
dτ.
Отсюда и из соотношений (6.18) и (6.23) следует, что интеграл
t
Z
0
x(τ)
∗
˙x(τ) dτ
сходится абсолютно. Значит, существует предел
lim
t→+∞
t
Z
0
x(τ)
∗
˙x(τ) dτ.
Но тогда в силу (6.24) получим существование предела
lim
t→+∞
|x(t)|.
Отсюда и из (6.23) вытекает, что
lim
t→+∞
|x(t)| = 0.
Лемма доказана.
Из лемм 6.2 и 6.3 сразу следует, что система (6.1) устойчива в целом.
Отметим, что в случае θ < 0 следует воспользоваться указанной выше заменой и свести
рассмотрение к случаю θ ≥ 0.
Геометрическая интерпретация теоремы Попова. Рассмотрим годограф модифи-
цированной частотной характеристики X(ω) = Re W (iω), Y (ω) = ω Im W (iω) (рис. 6.1).
Рис. 6.1
Если через точку X = −1/k, Y = 0 можно провести прямую X −θY = −1/k так, чтобы
весь годограф {X(ω), Y (ω)} был расположен справа от этой прямой, то будет выполнено
условие (6.6) теоремы Попова.
Интересно сравнить этот результат с критерием Найквиста, являющимся необходимым
и достаточным условием устойчивости линейных систем. Для устойчивости линейных
систем (6.1) с ϕ(σ) = µσ при µ ∈ (0, k) и при устойчивой матрице A необходимо и
105
достаточно, чтобы годограф {X(ω), Y (ω)} не пересекал “запрещенный луч"{X, Y | X ∈
(−∞, −1/k), Y = 0}.
Частотное условие Попова является более жестким. “Запрещенной зоной"является по-
луплоскость слева от прямой X − θY = −1/k, где θ — варьируемый параметр. Однако
для двухмерных систем можно показать, что если максимальный сектор устойчивости,
выделенный по критерию Найквиста, имеет вид [0, k
0
), то для любого k < k
0
существует
варьируемый параметр θ, для которого выполнено частотное неравенство (6.6).
Устойчивые в целом системы (6.1) с нелинейностями, удовлетворяющими условию (6.5),
часто называют абсолютно устойчивыми.
О теории абсолютной устойчивости и различных применениях метода Попова можно
прочитать в книгах [11, 17, 21, 44].
106
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
[ 1.] Айзерман М. A. Об одной проблеме, касающейся устойчивости в большом дина-
мических систем // Успехи математических наук. 1949. Т. 4. Вып. 4. С. 187–188.
[ 2.] Андронов А. А. Собрание сочинений. М.: Изд-во АН СССР, 1956. 539 c.
[ 3.] Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз,
1959. 915 c.
[ 4.] Баленко Ю. К., Бухтеев П. И., Кротов А. А., и др. Справочник по корабель-
ной автоматике. М.: Воениздат, 1974. 326 с.
[ 5.] Барбашин Е. А., Табуева В. А. Динамические системы с цилиндрическим фа-
зовым пространством. М.: Наука, 1969. 300 с.
[ 6.] Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. 367 с.
[ 7.] Ботвинник М. М. Регулирование возбуждения и статическая устойчивость син-
хронной машины. М.; Л.: Госэнергоиздат, 1950. 63 с.
[ 8.] Вольтерра В.Математическая теория борьбы за существование. M.: Наука, 1976.
286 с.
[ 9.] Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука,
1967. 472 с.
[10.] Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 571 с.
[11.] Гелиг А. Х., Леонов Г. А., Якубович В. А. Устойчивость нелинейных систем
с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука. 1978. 400 с.
[12.] Губарь Н. А. Исследования одной кусочно-линейной динамической системы тре-
тьего порядка// Прикл. мат. и мех. 1961, Т. 25, N
o
6. С. 1011—1023.
[13.] Косякин А. А., Шамриков Б. М. Колебания в цифровых автоматических си-
стемах. М.: Наука, 1983. 336 с.
[14.] Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпу-
нова. М.: Мир, 1964. 168 с.
[15.] Леонов Г. А., Буркин И. М., Шепелявый A. И. Частотные методы в теории
колебаний: В 2-х ч. Многомерные аналоги уравнения Ван-дер-Поля и динамические си-
стемы с цилиндрическим фазовым пространством. CПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1992.
Ч. 1. 368 с.
[16.] Леонов Г. А., Буркин И. М., Шепелявый A. И. Частотные методы в теории
колебаний: В 2-х ч. Проблема Айзермана и частотные оценки хаусдорфовой размерности
аттракторов. CПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1992. Ч. 2. 164 с.
[17.] Лефшец С. Устойчивость нелинейных систем автоматического управления. М.:
Мир, 1967. 183 с.
[18.] Линдсей В. С.Системы синхронизации в связи и управлении. M.: Сов. радио,
1978. 598 с.
[19.] Микро-ЭВМ/ Под ред. А. Дирксена. М.: Энергоиздат, 1982. 328 с.
[20.] Острем К., Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ. М.: Мир, 1987. 480 с.
[21.] Справочник по теории автоматического управления/ Под. ред. А. А. Красовского.
М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. 712 с.
107
[22.] Странные аттракторы: Cб. статей/ Под ред. Я. Г. Синая, Л. П. Шильникова// Ма-
тематика. Новое в зарубежной науке. Т. 22. M.: Мир, 1981. 253 с.
[23.] Первозванский А. А. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1986.
615 с.
[24.] Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965.
331 с.
[25.] Попов В. М. Гиперустойчивость автоматических систем. М.: Наука, 1970. 453 с.
[26.] Постников М. М. Устойчивые многочлены. М.: Наука, 1981. 176 с.
[27.] Раушенбах Б. В., Токарь Е. Н. Управление ориентацией космических аппара-
тов. М.: Наука, 1974. 598 с.
[28.] Ройтенберг Я. Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978. 551 с.
[29.] Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.:
Наука, 1985. 224 с.
[30.] Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа: В 2-х т. М.: Наука, 1964.
Т. 2. 463 с.
[31.] Хендель А. Основные законы физики. М.: Физматгиз, 1959. 284 с.
[32.] Цыпкин Я. З. Теория импульсных систем. М.: Физматгиз, 1958. 124 с.
[33.] Цыпкин Я. З. Основы теории автоматических систем. М.: Наука, 1977. 559 с.
[34.] Черноусько Ф. Л., Акуленко Л. Д., Соколов Б. Н. Управление колебаниями.
М.: Наука, 1980. 383 с.
[35.] Шахгильдян В. В., Ляховкин А. А. Системы фазовой автоподстройки частоты.
М.: Связь, 1972. 447 с.
[36.] Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988. 240 с.
[37.] Щегляев А. В., Смильницкий С. Г. Регулирование паровых турбин. М.; Л.:
Госэнергоиздат, 1962. 447 с.
[38.] Янко-Триницкий A. A. Новый метод анализа работы синхронных двигателей
при резкопеременных нагрузках. М.; Л.: Госэнергоиздат, 1958. 103 с.
[39.]
◦
Astr¨om K. J. Automatik control — the hidden technology// Adv. Control Highlights
of ECC’99. Berlin: Springer, 1999. 449 p.
[40.] D’Azzo J. J., Houpis C. H. Linear control systems. Analysis and design. N.Y.: Mc
Graw-Hill, 1995. 757 p.
[41.] Driels M. Linear control systems engineering. N.Y.: Mc Graw-Hill Ins, 1996. 623 p.
[42.] Golten J., Verwer A. Control system. Design and simulation. N.Y.: Mc Graw-Hill
Ins, 1991. 384 p.
[43.] Isidori A. Nonlinear control systems. Berlin: Springer, 1995. 550 p.
[44.] Leonov G. A., Ponomarenko D. V., Smirnova V. B. Frequency-domain methods
for nonlinear analysis. Theory and applications. Singapure: World Scientific, 1996. 500 p.
[45.] Nelson R. C. Flight stability and automatic control. N.Y.: Mc Graw-Hill Ins, 1998.
440 p.
[46.] Nijmeijer H., Van der Schaft A. J. Nonlinear dynamical control systems. Berlin:
Springer, 1996. 456 p.
[47.] Rohrs C. E., Melsa J. L., Schultz D. G. Linear control systems. N.Y.: Mc Graw-Hill,
1993. 554 p.
[48.] Vaccaro R. J. Digital control. N.Y.: Mc Graw-Hill Ins, 1995. 449 p.
108