Леонов Г.А. Лекции по курсу теории управления I (анализ)
Подождите немного. Документ загружается.
Рассмотрим сначала линейную дискретную однородную систему с постоянной матрицей
x
k
= Ax
k−1
, k = 0, 1, . . . (5.8)
Здесь A — постоянная n × n-матрица, x — элемент n-мерного векторного пространства.
Очевидно, что решение системы (5.8) имеет вид
x
k
= A
k
x
0
. (5.9)
Так же, как и в теории дифференциальных уравнений, будем называть x
0
начальными
данными.
Часто бывает полезным ввести матрицу B, подобную матрице A:
A = S
−1
BS.
В этом случае формула (5.9) принимает вид
x
k
= S
−1
BSS
−1
BSS
−1
B . . . BS
| {z }
k
x
0
= S
−1
B
k
Sx
0
. (5.10)
Напомним, что в том случае, когда матрица B является жордановой матрицей, т. е.
B =
J
1
0
.
.
.
0 J
m
,
где J
j
— блоки Жордана, матрица B
k
имеет очень простой вид:
B
k
=
J
k
1
0
.
.
.
0 J
k
m
,
где для диагональной матрицы J
j
имеем
J
k
j
=
λ
k
j
0
.
.
.
0 λ
k
j
. (5.11)
Если блок Жордана имеет вид
J
j
=
λ
j
1 0
.
.
.
.
.
.
1
0 λ
j
, (5.12)
то
J
k
j
=
λ
k
j
kλ
k−1
j
1!
k(k−1)λ
k−2
j
2!
. . .
k...(k−l+2)λ
k−l+1
j
(l−1)!
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 λ
k
j
.
Здесь λ
j
— собственные значения матрицы A.
В дальнейшем будем считать, что x является элементом евклидова, или унитарного,
векторного пространства с нормой | · |.
Из приведенных выше рассуждений вытекает следующий результат.
93
Т е о р е м а 5.1. Для того чтобы все решения системы (5.8) стремились к нулю при
k → +∞, необходимо и достаточно, чтобы для всех собственных значений λ
j
матрицы
A выполнялось неравенство
|λ
j
| < 1. (5.13)
Для того чтобы все решения системы (5.8) были ограниченными, необходимо и доста-
точно выполнения неравенства |λ
j
| ≤ 1 для собственных значений матрицы A, соот-
ветствующих блокам Жордана вида (5.11), и неравенства |λ
j
| < 1 для собственных зна-
чений, соответствующих блокам Жордана вида (5.12).
Определение 5.1. Будем говорить, что нулевое решение системы (5.8) устойчиво по
Ляпунову, если для любого δ > 0 существует число ε > 0 такое, что из неравенства
|x
0
| ≤ δ следует соотношение |x
k
| ≤ ε ∀k = 0, 1, . . .
Определение 5.2. Будем говорить, что нулевое решение системы (5.8) асимптоти-
чески устойчиво, если оно устойчиво по Ляпунову и все решения стремятся к нулю при
k → +∞.
Заметим, что здесь в силу линейности свойство стремления к нулю решений с началь-
ными данными из некоторой малой окрестности нуля и свойство стремления к нулю всех
решений при k → +∞ эквивалентны.
Таким образом, условие (5.13) является необходимым и достаточным условием асимп-
тотической устойчивости нулевого решения системы (5.8).
Напомним, что для системы дифференциальных уравнений
dx
dt
= Ax
необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости является неравен-
ство
Re λ
j
< 0
для всех собственных значений λ
j
матрицы A.
Покажем теперь, что переход от формулы (5.9) к формуле (5.10) часто полезен при
решении системы (5.8).
В качестве примера приведем, по-видимому, первую из рассмотренных математиками
дискретную систему вида (5.8). Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в начале XIII века рас-
смотрел дискретное уравнение
f
k
= f
k−1
+ f
k−2
, k > 1, f
0
= f
1
= 1. (5.14)
Это уравнение генерирует так называемые числа Фибоначчи f
k
. Найдем явные выражения
для f
k
, используя описанный выше подход.
Введем обозначение
x
k
=
f
k
f
k+1
, x
0
=
f
0
f
1
=
1
1
.
Тогда уравнение (5.14) запишется в виде системы (5.8) с матрицей
A =
0 1
1 1
.
Легко видеть, что жордановой формой матрицы A является матрица
B =
p
1
0
0 p
2
,
94
где
p
1
=
1 +
√
5
2
, p
2
=
1 −
√
5
2
.
Для определения матрицы S запишем равенство
BS = SA, (5.15)
которое является следствием соотношения A = S
−1
BS.
Не умаляя общности, запишем матрицу S в виде
S =
1 S
12
S
21
S
22
.
Из равенства (5.15) получим
S
12
= p
1
,
p
1
S
12
= 1 + S
12
,
p
2
S
21
= S
22
,
p
2
S
22
= S
22
+ S
21
.
Эти равенства выполнены при S
12
= p
1
, S
21
= 1, S
22
= p
2
.
Таким образом,
S =
1 p
1
1 p
2
.
Используя правила нахождения обратной матрицы, получаем
S
−1
=
1
p
2
− p
1
p
2
−p
1
−1 1
.
Из формулы (5.10) имеем
x
k
= S
−1
p
k
1
0
0 p
k
2
S
1
1
=
=
1
−
√
5
p
2
−p
1
−1 1
p
k
1
0
0 p
k
2
p
1
+ 1
p
2
+ 1
=
=
1
√
5
−p
2
p
1
1 −1
p
k
1
0
0 p
k
2
p
2
1
p
2
2
=
=
1
√
5
−p
2
p
k+2
1
+ p
1
p
k+2
2
p
k+2
1
− p
k+2
2
!
=
1
√
5
p
k+1
1
− p
k+1
2
p
k+2
1
− p
k+2
2
!
.
Отсюда сразу следует формула для чисел Фибоначчи f
k
f
k
=
1
√
5
1 +
√
5
2
!
k+1
−
1 −
√
5
2
!
k+1
.
Внимательный читатель легко увидит здесь полную аналогию с интегрированием ли-
нейных дифференциальных уравнений путем приведения системы к жордановой форме с
последующим возвращением в исходное фазовое пространство.
Для линейной неоднородной дискретной системы
x
k
= Ax
k−1
+ f
k−1
(5.16)
95
справедливо следующее представление решений:
x
k
= A
k
x
0
+
k−1
X
j=0
A
k−j−1
f
j
. (5.17)
Доказательство этого представления проводится подстановкой правой части выражения
(5.17) в левую и правую части уравнения (5.16). Заметим, что в отличие от теории диффе-
ренциальных уравнений ответы на вопросы о существовании, единственности и продол-
жимости решений дискретных систем
x
k
= F (x
k−1
, k − 1), k = 0, 1, . . .
являются очевидными и положительными.
Рассмотрим теперь систему
x
k+1
= Ax
k
+ bξ
k
, σ
k
= c
∗
x
k
, (5.18)
где A — постоянная n × n-матрица, b и c — постоянные n × m- и n × l-матрицы соответ-
ственно. Как и в главах 2 и 3, будем рассматривать ξ
k
как вход линейного блока, σ
k
— как
выход и x
k
— как вектор состояния блока в дискретные моменты времени k = 0, 1, . . .
Определение 5.3. Будем говорить, что система (5.18) вполне управляема, если для
любой пары векторов y ∈ R
n
, z ∈ R
n
существуют натуральное число N ≤ n и векторная
последовательность ξ
k
такие, что для решения x
k
системы (5.18) с этой последователь-
ностью ξ
k
и начальными данными x
0
= y выполнено равенство x
N
= z.
В отличие от непрерывного случая здесь не гарантируется возможность достижения
конечного целевого состояния z за любое время T . Требуется некоторое число тактов N,
чтобы привести систему в требуемое состояние z.
Т е о р е м а 5.2. Система (5.18) вполне управляема тогда и только тогда, когда пара
(A, b) вполне управляема.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Напомним, что полная управляемость пары (A, b) эквивалентна
соотношению
rank(b, Ab, . . . , A
n−1
b) = n. (5.19)
Примем N = n и воспользуемся формулой (5.17):
x
n
= A
n
x
0
+
n−1
X
j=0
A
n−1−j
bξ
j
. (5.20)
Перепишем это соотношение следующим образом:
bξ
n−1
+ Abξ
n−2
+ . . . + A
n−1
bξ
0
= z −A
n
y. (5.21)
Равенство (5.21) можно записать также в виде
(b, Ab, . . . , A
n−1
b)
ξ
n−1
.
.
.
ξ
0
= z −A
n
y. (5.22)
Разрешимость этого линейного уравнения относительной неизвестной матрицы
ξ
n−1
.
.
.
ξ
0
следует из равенства (5.19).
96
Таким образом, если пара (A,b) полностью управляема, то из (5.22) находим последова-
тельность управляющих входов ξ
0
, . . . . . . , ξ
n−1
, которые переводят вектор состояния x из
состояния x
0
= y в состояние x
n
= z.
Пусть пара (A, b) не является полностью управляемой. Тогда согласно теореме 3.2 из
главы 3 существует неособая матрица S такая, что
S
−1
AS =
A
11
A
12
0 A
22
, S
−1
b =
b
1
0
.
Проведем в уравнениях (5.18) замену x
k
= Sy
k
:
y
k+1
= S
−1
ASy
k
+ S
−1
bξ
k
, σ
k
= c
∗
Sy
k
. (5.23)
Переписав уравнения для y
k
в виде
y
(5.8)
k
= A
11
y
(5.8)
k
+ A
12
y
(5.9)
k
+ b
1
ξ
k
, y
(5.9)
k
= A
22
y
(5.9)
k
,
где
y
k
=
y
(5.8)
k
y
(5.9)
k
!
,
получим, что управлением ξ
k
невозможно переводить вектор y
(5.9)
k
из произвольной на-
чальной точки y
(5.9)
0
= z
(5.9)
1
в произвольную конечную точку y
(5.9)
N
= z
(5.9)
2
.
Таким образом, если пара (A, b) не полностью управляема, то и система (5.18) не пол-
ностью управляема.
Так же, как и в непрерывном случае, будем говорить, что система (5.18) полностью на-
блюдаема, если по последовательности σ
k
можно однозначно определить последователь-
ность x
k
.
Здесь соотношения между σ
k
и x
0
определяются следующим образом:
σ
0
= c
∗
x
0
,
σ
1
= c
∗
Ax
0
+ c
∗
bξ
0
,
.
.
.
σ
n
= c
∗
A
n−1
x
0
+
n−1
P
j=0
c
∗
A
n−1−j
bξ
j
.
Из этих уравнений можно однозначно определить начальное состояние блока тогда и
только тогда, когда
rank
c
∗
.
.
.
c
∗
A
n−1
= n.
Таким образом, нами доказан следующий результат.
Т е о р е м а 5.3. Для полной наблюдаемости системы (5.18) необходимо и достаточ-
но, чтобы пара (A, c) была вполне наблюдаемой.
Для дискретных систем имеются также аналоги теорем о линейной стабилизации. При-
ведем один из них.
Пусть ξ
k
= s
∗
x
k
. Тогда из уравнений (5.18) получим
x
k+1
= (A + bs
∗
)x
k
.
Напомним, что в предположении, что m = 1 (т. е. b — n-вектор) и (A, b) полностью
управляема, получен следующий результат.
97
Т е о р е м а 5.4. Для любого полинома
ψ(p) = p
n
+ ψ
n−1
p
n−1
+ . . . + ψ
0
существует вектор s ∈ R
n
такой, что
det(pI − A − bs
∗
) = ψ(p).
Эта теорема вместе с теоремой об устойчивости линейной однородной дискретной си-
стемы решает вопрос о стабилизации с помощью линейной обратной связи вида ξ = s
∗
x.
Для дискретных систем часто используется Z-преобразование, являющееся некоторым
аналогом преобразования Лапласа для непрерывных систем.
Рассмотрим последовательность f
k
, возрастающую при k → +∞ не быстрее, чем d
k
,
где d — некоторое число. Определим Z-преобразование последовательности f
k
в функцию
комплексной переменной z следующим образом:
Z{(f
k
)} = F (z) =
∞
X
k=0
z
−k
f
k
.
Здесь z принадлежит внешности круга {z| |z| > d}.
Заметим, что часто в различных разделах математики используются производящие
функции последовательностей G(z) =
∞
X
k=0
z
k
f
k
. Ясно, что G(z) = F (z
−1
).
Очевидно также, что f
k
может быть векторной последовательностью некоторой размер-
ности.
Применим Z-преобразование к обеим частям уравнений (5.18) в предположении x
0
= 0:
∞
X
k=0
z
−k
x
k+1
= A
∞
X
k=0
z
−k
x
k
+ b
∞
X
k=0
z
−k
ξ
k
,
∞
X
k=0
z
−k
σ
k
= c
∗
∞
X
k=0
z
−k
x
k
.
Эти уравнения можно переписать следующим образом:
∞
X
k=0
z
−k
σ
k
= −c
∗
(A − zI)
−1
b
∞
X
k=0
z
−k
ξ
k
. (5.24)
Так же, как и в непрерывном случае, дробно-рациональную матричную функцию W (z) =
c
∗
(A − zI)
−1
b будем называть передаточной функцией системы (5.18).
Передаточная функция связывает Z-преобразования входа и выхода линейного дис-
кретного блока так же, как в непрерывном случае такая же функция W (z) связывала
преобразования Лапласа входа и выхода.
Различные аспекты развития теории дискретных динамических систем и их применения
изложена в книгах [13, 20, 23, 32, 33, 36].
98
Г л а в а 6
ПРОБЛЕМА АЙЗЕРМАНА.
МЕТОД ПОПОВА
В 1949 году известный специалист по теории управления
М. А. Айзерман в журнале “Успехи математических наук"[1] сформулировал проблему,
которая стимулировала разработку новых математических методов исследования нели-
нейных дифференциальных уравнений. В настоящее время эти методы вышли далеко за
рамки математической теории управления и применяются для решения многих приклад-
ных задач.
Рассмотрим систему
dx
dt
= Ax + bϕ(σ),
σ = c
∗
x,
(6.1)
где A — постоянная n ×n-матрица, b и c — постоянные n-мерные векторы, ϕ(σ) — непре-
рывная функция.
Наряду с системой (6.1) рассмотрим линейные системы
dy
dt
= Ay + bµσ,
σ = c
∗
x
(6.2)
и предположим, что при
α < µ < β (6.3)
системы (6.2) являются устойчивыми, т. е. все их решения стремятся к нулю при t → +∞.
Будет ли нулевое решение системы (6.1) устойчиво в целом, если выполнено условие
α < ϕ(σ)/σ < β (6.4)
для всех σ 6= 0?
Мы будем говорить здесь, что нулевое решение системы (6.1) устойчиво в целом (или
система (6.1) устойчива в целом), если это нулевое решение устойчиво по Ляпунову и
любое решение системы (6.1) стремится к нулю при t → +∞.
М. А. Айзерман высказал предположение, что поставленный выше вопрос всегда имеет
положительное решение.
В работах Н. Н. Красовского, В. А. Плисса, Е. Нолдуса и
Г. А. Леонова были приведены классы нелинейных систем, где гипотеза М. А. Айзермана
была неверна, т. е. было выполнено неравенство (6.4), все линейные системы (6.2) с µ,
удовлетворяющими (6.3), были устойчивы, а система (6.1) обладала решениями, не стре-
мящимися к нулю при t → +∞. Эти результаты подробно изложены в книге [15, 16].
Здесь будет продемонстрирован метод получения критериев устойчивости в целом, ко-
торый был предложен в 1958 году В. М. Поповым [25]. Исследования В. М. Попова были
во многом стимулированы проблемой Айзермана.
99
Рассмотрим систему (6.1), дополнительно предполагая, что
A — устойчивая матрица, т. е. все ее собственные значения имеют отрицательные веще-
ственные части. Слегка изменим условие (6.4). Будем здесь предполагать, что выполнено
неравенство
0 ≤ ϕ(σ)/σ ≤ k ∀σ 6= 0, (6.5)
где k — некоторое число.
Так же, как и в главе 2, введем передаточную функцию линейной части системы (6.1)
W (p) = c
∗
(A − pI)
−1
b, p ∈ C.
Т е о р е м а П о п о в а. Пусть существует число θ такое, что для всех вещественных
ω выполнены неравенства
1
k
+ Re
(1 + θiω)W (iω)
> 0,
lim
ω→+∞
1
k
+ Re
(1 + θiω)W (iω)
> 0.
(6.6)
Тогда система (6.1) устойчива в целом.
Перед тем как доказывать теорему, напомним определение преобразования Фурье и
некоторые его свойства.
В главе 2 мы приводили два разных определения преобразования Фурье
F(f (t)) =
1
√
2π
+∞
Z
−∞
e
iωt
f(t) dt, F (f(t)) =
+∞
Z
0
e
−iωt
f(t) dt
для абсолютно интегрируемой и кусочно-непрерывной на интервале (−∞, +∞) (а для
F — на (0, +∞)) функции f (t). Для преобразования Фурье хорошо известна формула
обращения
f(t) =
1
2π
+∞
Z
−∞
+∞
Z
−∞
e
iω(τ −t)
f(τ) dτ
dω, (6.7)
которая доказана в [30].
Здесь внешний интеграл понимается в смысле главного значения, т. е. как предел
lim
M→+∞
M
Z
−M
(. . .) dω.
Из формулы (6.7) следует, что для абсолютно интегрируемого произведения f(t)g(t),
абсолютно интегрируемых и кусочно-непрерывных функций f(t) и g(t) справедливы ра-
венства
+∞
Z
−∞
f(t)g(t) dt =
+∞
Z
−∞
g(t)
2π
+∞
Z
−∞
+∞
Z
−∞
e
iω(τ −t)
f(τ) dτ
dω
dt =
=
+∞
Z
−∞
1
√
2π
+∞
Z
−∞
e
−iωt
g(t) dt
1
√
2π
+∞
Z
−∞
e
iωτ
f(τ) dτ
dω.
100
Таким образом, выполнено равенство
+∞
Z
−∞
f(t)g(t) dt =
+∞
Z
−∞
F(f (t)) F(g(t)) dω. (6.8)
Равенство (6.8) является очень важным свойством преобразования Фурье. Оно означает,
что преобразование Фурье является унитарным оператором в пространстве суммируемых
с квадратом функций L
2
(−∞, +∞). Другими словами, если для множества суммируемых
с квадратом функций f и g ввести скалярное произведение
(f, g) =
+∞
Z
−∞
f(t)g(t) dt,
то оператор F действует на этом множестве функций, сохраняя скалярное произведение.
Из формулы (6.8) сразу следует, что для преобразования Фурье F справедливо равен-
ство
+∞
Z
0
f(t)g(t) dt =
1
2π
+∞
Z
−∞
F (f(t))F (g(t)) dω. (6.9)
Напомним также, что в главе 2 доказаны следующие формулы (предложения 2.1 и 2.2):
F
˙
f(t)
= iω F (f(t)) − f(0), (6.10)
F
t
Z
0
f(t − τ)g(τ) dτ
= F (f (t)) F (g(t)). (6.11)
Теперь мы можем приступить к доказательству теоремы Попова.
Заметим, что если выполнены неравенства (6.6), то существует число ε > 0, для которого
1
k
− ε + Re
(1 + θiω)W (iω)
> 0 ∀ω ∈ R
1
. (6.12)
Заметим также, что заменой ϕ(σ) = kσ − ψ(σ) и рассмотрением вместо (6.1) системы
˙x = (A + bc
∗
k)x − bψ(σ), σ = c
∗
x (6.13)
можно свести условие (6.6) к формально более ограничительному условию (6.6) с θ ≥ 0. В
самом деле, в результате такой замены система (6.13) будет иметь передаточную функцию
U(p) =
−W (p)
1 + kW (p)
,
а ψ(σ) будет удовлетворять вновь условию (6.5):
0 ≤ ψ(σ)/σ ≤ k ∀σ 6= 0.
Неравенство (6.6) для системы (6.13) примет вид
1
k
+Re
(1+θiω)U(iω)
=
= Re
(1+kW (iω)−kθiωW (iω)−k
2
θiω|W (iω)|
2
)
k|1+kW (iω)|
2
=
=
1
k
+ Re ((1 − θiω)W (iω))
|1 + kW (iω)|
2
> 0.
101
Таким образом, если неравенство (6.6) выполнено для θ < 0, то можно с помощью указан-
ной выше замены прийти к системе вида (6.1) с нелинейностью, удовлетворяющей условию
(6.5), и с выполненным неравенством (6.6), где θ > 0.
Л е м м а 6.1. Если выполнено неравенство (6.12), то для любого числа T > 0 справед-
ливо соотношение
T
Z
0
ϕ(σ(t))
σ(t) −
1
k
ϕ(σ(t))
+ εϕ(σ(t))
2
+
+θϕ(σ(t))
˙
σ(t)
dt ≤
T
Z
0
ϕ(σ(t))
α(t) + θ ˙α(t)
dt.
(6.14)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем в рассмотрение функции
ϕ
T
(t) =
ϕ(σ(t)) при t ∈ [0, T ],
0 при t > T,
σ
T
(t) = α(t) +
t
Z
0
γ(t − τ)ϕ
T
(τ) dτ.
Здесь T — некоторое положительное число,
α(t) = c
∗
e
At
x
0
, γ(t) = c
∗
e
At
b.
Иногда функцию ϕ
T
(t) называют срезкой функции ϕ(σ(t)).
Очевидно, что выполнены равенства
T
Z
0
ϕ(σ(t))
σ(t) −
1
k
ϕ(σ(t))
+εϕ(σ(t))
2
+ θϕ(σ(t))
˙
σ(t)
dt=
=
+∞
Z
0
ϕ
T
(t)
σ
T
(t) −
1
k
ϕ
T
(t)
+εϕ
T
(t)
2
+θϕ
T
(t) ˙σ
T
(t)
dt=
=
+∞
Z
0
ϕ
T
(t)
t
Z
0
γ(t − τ)ϕ
T
(τ) dτ +
ε −
1
k
ϕ
T
(t)+
+θ
d
dt
t
Z
0
γ(t − τ)ϕ
T
(τ) dτ
dt+
+∞
Z
0
ϕ
T
(t)
α(t)+θ ˙α(t)
dt.
(6.15)
Используя соотношения (6.9)—(6.11), получаем
102