Лекции по эконометрике
Подождите немного. Документ загружается.
.
Q
)(
ee
1R;
QQ
Q
R
N
1
2
T
2
eR
R
2
i
i
yy
(3.23)
.
K
detK
1R
n.1,2,....,
jj
j
(3.24)
Последняя формула справедлива только для линейных корреляционных
связей.
Приемы улучшения качества модели:
1). Сделать предварительное сглаживание временного ряда одномерного или
многомерного по методу простой скользящей средней или экспоненциального
сглаживания. Данный прием применяют только при наличии упорядочного
наблюдения во времени, т.е. для использования данных пространственного типа
он не применяется.
2). Использовать нормирование всех переменных и зависимых и
независимых:
.
S
;
S
~
x
i
ii
y
i
ii
xx
x
yy
y
x
y
(3.25)
Выводы:
1. Приемлемость получаемого значения R
2
определяется целями
моделирования: если допустимы грубые (прикидочные) оценки, то можно
принять R
2
0,8, для более точных оценок R
2
> 0,9.
2. Если база данных (БД) сильно зашумлена (или даже сознательно искажена,
что имеет место в задачах налогового и финансового контроля), то может
оказаться, что никакие ухищрения (о них речь позже) не позволяют получить
R
2
>0,9. Что делать тогда?
Рекомендации:
Повысить информативность базы данных за счет различных алгоритмов
предпроцессорной обработки (сглаживание, если база данных упорядочена по
времени; кластеризации данных; компрессия данных (факторный анализ);
расширения бахзы данных как парирование ее зашумленности; накнец – переход
к другим моделям:
-нейросетевым
-нечетким;
-фрактальным.
3.6.5. Скорректированный коэффициент детерминации
Недостаток нескорректированного коэффициента детерминации в том, что R
2
увеличивается при введении новых факторов, хотя качество уравнения регрессии
может и не возрастать, т.е. вводимые регрессоры оказываются малозначимыми.
Скорректированный (адаптивный) коэффициент множественной детерминации
определяется по формуле:
Линия уравнения регрессии
Верхняя граница доверительных
интервалов для индивидуальных
значений Y
0
*
Нижняя граница доверительных
интервалов для расчетного
значения
Временной срез
t
0
=const
31
).R(1
k)(N
1)(N
1R
ˆ
22
(3.26)
В отличие от не скорректированного коэффициента детерминации R
2
этот
коэффициент может в принципе уменьшается при увеличении числа регрессоров
(за счет знаменателя второго члена), если эти дополнительные регрессоры
малозначимы, т.е.
2
R
ˆ
более информативен, чем R
2
, но с одной оговоркой: для
вновь вводимых регрессоров критерий Стьюдента должен быть больше 1 по
модулю:
.nk1,t
k
b
3.6.6. Проверка гипотезы о чисто случайном характере остатков
Здесь может быть два случая:
Случай а): База данных упорядочена по времени: вектор – строки (или
кортежи
tt
, yx
) расположены в порядке возрастания времени, т.е. образует
многомерный временной ряд.
t
i
=t
1
,t
2
,…..t
n
; t
n
>t
i
-1 ,
i
=
N1,
В этом случае можно применить для оценки чисто случайного характера остатков
е два критерия:
- поворотных точек, либо критерий Фостера- Стьюарта (отсутствие тренда в
остатках).
- Критерий Дарбина – Уотсона (отсутствие автокорреляции в остатках)
1) При проверке гипотезы об отсутствии временного тренда в остатках по
критерию поворотных точек проверяется нуль гипотеза:
.числоцелое
;
90
29N16
σ2);(N
3
2
σ1,96;:H
теор
pтеортеор0
p
p
pppp
p
(3.27)
Если неравенство истинно, т.е. экспериментальное число поворотных точек
p, определяемое по графику, меньше теоретического, то означает что имеется
тренд в остатках и остатки не являются чисто случайными.
Если неравенство нарушено, то тренда в остатках нет, и их можно считать
случайными, как не содержащие тренда.
y
t+1
y
t-1
Рис.3.2. Поворотная точка
y
t
«выпячивается»
y
t
t
y
t+1
y
t-1
Рис.3.3. Поворотная точка
y
t
«проваливается»
y
t
t
Линия уравнения регрессии
Верхняя граница доверительных
интервалов для индивидуальных
значений Y
0
*
Нижняя граница доверительных
интервалов для расчетного
значения
Временной срез
t
0
=const
32
Если нуль-гипотеза Н
0
выполняется, то временного тренда нет.
2. Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках по критерию
Дарбина-Уотсона
Автокорреляция – это корреляция между членами одного временного ряда.
Здесь можно испльзовать d – статистику Дарбина-Уотсона:
.
e
)e(e
d
N
1
2
N
2
2
1
i
i
ii
i
(3.28)
Смысл этого критерия: чем меньше разность суммируемых членов, тем
сильнее проявления «последействия», т.е. влияния предыдущего остатка на
последующий и тем вероятнее наличие автокорреляции остатков.
Замечание:
1. Если d>2, то перед входом в таблицу теоретических значений d-критерия
надо сделать преобразование переменных:
dd
= 4-d
Выводы:
Автокорреляция имеет место, остатки не являются чисто случайными,
нарушена адекватность модели, если d < d
таб.min
.
Ничего сказать об автокорреляции енльзя, нужно использовать другие
критерии, если d d
таб.min
; d
таб.max
.
Автокорреляция отсутствует, нарушений адекватности нет, если
d > d
таб.max
.
При не определенной ситуации применяются другие критерии. В частности,
можно использовать первый коэффициент автокорреляции, т.е. коэффициент
линейной парной корреляции между соседними членами временного ряда е
t
, е
t-1
:
;
е
1t
е,
t
е
(1)
,
N
1t
2
t
N
2t
t
1t
ее
TT
(3.29)
1 2 3 4 5 6 7 8
t
i
e
i
Рис. 3.4. Поворотных точек много
(тренд не просматривается; имеют
место случайные вариации е
i
вокруг
M[e
i
]0).
e
i
t
i
Рис. 3.5. Всего одна поворотная точка.
Наблюдается растущий временной
тренд, т.е. е
i
– явно не случайная
величина.
1 2 3 4 5 6 7 8
Линия уравнения регрессии
Верхняя граница доверительных
интервалов для индивидуальных
значений Y
0
*
Нижняя граница доверительных
интервалов для расчетного
значения
Временной срез
t
0
=const
33
?2)N.;(t
)(
t:H
2N
1
S;
S
)(
t
.табл
1
0
2
(1)
r
r
(1)
1
να
T
T
T
T
(3.30)
Случай б): База данных не упорядочена во времени (например, при
социологических опросах, данные по разным странам т.д.)
В этих случаях упомянутые выше критерии поворотных точек, Фостера-
Стьюарта, Дарбина- Уотсона в принципе неприменимы. Вместо них проверяется
тест на отсутствие гетероскедастичности, т.е. корреляции между регрессорами
i
x
и остатками
i
е
.
Тест Уайта: строится линейное уравнение регрессии для квадратов остатков:
.
1
;c...ccc)(e
ˆ
0
nn221100
2
x
xxxxx
(3.31)
Гипотеза о статистической значимости линейного уравнения регрессии для
квадратов остатков в целом проверяется по критерию Фишера-Стьюдента, точно
так же как и для основного уравнения регрессии.
;eXX)(X
2T1T
0
n
c
c
C
(3.32)
k).N1;k.;(F
k)(NQ
1)(kQ
F
);e,...,e,(ee
табл
E
R
2
n
2
2
2
1
2
(3.33)
Вывод:
Если нуль-гипотеза для критерия Фишера выполняется, то
гетероскедастичности нет
Если неравенство не выполняется, то это означает что гетероскедастичность
есть.
3.6.7. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения остатков
Используется (R/S) - критерий, т.е. нормированный размах остатков:
(R/S) = (е
max
-е
min
)/S
e
, (3.34)
где S
e
определяется формулой (3.20).
Вывод:
Если
,)
S
R
(;)
S
R
()SR(
табл.max.табл.min.
, то гипотеза о нормальном законе
распределение остатков е
i
не отвергается.
В противном случае – отвергается.
Общий вывод: Если все 6 гипотез, рассмотренные выше, о предпосылках
метода наименьших квадратов выполняются и критерии качества модели R
2
Линия уравнения регрессии
Верхняя граница доверительных
интервалов для индивидуальных
значений Y
0
*
Нижняя граница доверительных
интервалов для расчетного
значения
Временной срез
t
0
=const
34
приемлемы для поставленных целей моделирования, то модель считается
адекватной и пригодна для практического применения.
Замечание. Если выборка деформируется (сужается или расширяется) либо
изменяется принимаемый уровень значимости оценок, то проверку
адекватности надо делать заново.
3.7. Точечный прогноз и оценка доверительных интервалов прогноза
Найдем средние квадратические отклонения, которые потребуются нам при
получении полуширины доверительных интервалов прогноза для:
коэффициентов регрессии
j
b
U
;
расчетного значения моделируемой величины
Ó
ˆ
или, что тоже самое
условного математического ожидания M
x
(Y)
y
ˆ
U
;
индивидуальных значений случайной величины Y
.
*
0
Ó
U
1) Среднее квадратичное отклонение фактических наблюдений
i
Ó
относительно срединной поверхности регрессии
)X(
Ó
ˆ
( в одном случае –
относительно линии регрессии
)(хÓ
ˆ
:
,
kN
ee
S
T
e
(3.35)
где k – число членов в уравнении регрессии;
е
– вектор случайных остатков.
2) Среднее квадратическое отклонение для случайных величин –
коэффициентов регрессии:
1T
e
X)(XSS
jj
j
b
(3.36)
Здесь
1T
X)(X
jj
– диагональный элемент с номером строки j в
информационной матрице Фишера.
3) Среднее квадратическое отклонение расчетного значения
(Y)M),X(
x
b
Ó
ˆ
:
,xX)(XxSS
0
1TT
0ey
ˆ
(3.37)
где
0
x
– значение вектора регрессоров в точке прогноза; «Т» – знак
транспортирования.
4) Среднее квадратическое отклонение для индивидуальных значений
*
0
Ó
случайной величины Y в точке прогноза
0
xx
:
xX)(Xx1SS
1TТ
*
0
e
y
(3.38)
5) Полуширина доверительного интервала
j
b
U
:
jj
bb
Sk)N;(tU
таб
(3.39)
6) Полуширина доверительного интервала
Ó
ˆ
U
:
.
ˆˆ
Sk)N;(tU
таб
yy
(3.40)
7) Полуширина доверительного интерваладля разброса индивидуальных
значений Y:
.
*
0
таб
*
0
Sk)N;(tU
ÓÓ
(3.41)
Линия уравнения регрессии
Верхняя граница доверительных
интервалов для индивидуальных
значений Y
0
*
Нижняя граница доверительных
интервалов для расчетного
значения
Временной срез
t
0
=const
35
3.8. Оценка погрешностей расчета по уравнению регрессии
Традиционно используются две числовые меры для оценки погрешностей
расчета:
Среднеквадратическая ошибка S
e
по формуле (3.35).
Средняя по модулю ошибка.
100%.
e
N
1
σ
N
1
i
i
i
y
(3.42)
Замечание: Числовые меры ошибок расчета S
e
по (3.35) и
σ
по (3.42)
оценивают точность модели внутри области эксперимента, где мы имеем
информацию о поведении моделируемой зависимости
)X((Y)M
f
x
. Более важной
является информация о погрешности расчета в области прогноза, где никаких
наблюдений нет. В этом аспекте более информативна оценка погрешности
расчета по данным ретроспективного анализа.
Идея ретроспективного анализа заключается в следующем. Пусть имеется
многомерная выборка из N наблюдений, упорядоченных во времени. При оценке
вектора параметров
b
в уравнении регрессии (3.6) будем пользовать не все
NKточек базы данных, а только N
1
точек (N
1
-N). Оставшиеся N-(N
1
-1) точек
используются для объективного ретроспективного тестирования модели, ибо в
этих точках мы знаем и экспериментально измеренные значения
i
Ó
и расчетные
значения
i
Ó
ˆ
(i= N
1
+1,…,N).
Получим оценки погрешности:
среднеквадратичную
X
0
Х
Y
Линия уравнения регрессии
Верхняя граница доверительных
интервалов для индивидуальных
значений Y
0
*
Нижняя граница доверительных
интервалов для расчетного
значения
Рис. 3.6. Точечный прогноз и доверительный интервал прогноза
для однофакторного уравнения регрессии
Ó
ˆ
U
Ó
ˆ
U
)(X
ˆ
0
Ó
Временной срез
t
0
=const
36
k)1)(N(N
)
ˆ
(
S
1
1
N
1N
p.e
i
ii
yy
(3.43)
среднюю по модулю
1
1
1
N
1N
100%.
e
1)(NN
1
σ
i
i
i
p
y
(3.44)
3.9. Коэффициент эластичности, бета-коэффициент и дельта-коэффициент
для линейного уравнения регрессии
.N;N;
ˆ
Э
N
1
N
1
i
i
i
jij
j
j
jj
xx
x
x
y
y
y
x
b ÓÓ
(3.45)
N1,i
- номер опыта;
j - номер объясняющей переменной;
nj 1,
Коэффициент эластичности показывает: на сколько единиц (либо
процентов) в долях от среднего значения
Ó
измениться выходная величина
Ó
ˆ
,
если объясняющая переменная х
j
измениться на одну единицу (либо процент) в
долях от среднего значения
j
x
.
Таким образом, Э
j
измеряет чувствительность
Ó
ˆ
к вариации х
j
.
Замечание. В учебниках по эконометрике почему-то умалчивается вопрос: в
долях от чего измеряются вариации
Ó
ˆ
и х
j
? Без этой информации определения
для Э
j
становиться для студентов малопонятным.
Бета-коэффициент выражается формулой
.
S
S
y
x
j
jj
bβ
(3.46)
Это
– коэффициент отличается от коэффициента эластичности только
масштабами нормировки х
j
и
Ó
ˆ
: вместо средних взяты их средние
квадратические отклонения.
– коэффициент показывает: на сколько % в долях от S
y
измениться
Ó
ˆ
,
если х
j
измениться на 1% в долях от
j
x
S
.
.
1)(N
)(
S;
1)(N
)(
S
N
1
2
N
1
2
i
i
y
i
jij
xj
xx
ÓÓ
(3.47)
Дельта-коэффициент определяется по формуле
.
R
Δ
2
jxy,
β
j
j
T
(3.48)
Временной срез
t
0
=const
37
Здесь
j
Y,x
T
– коэффициент парной корреляции между j-м фактором и
зависимой переменой Y.
Дельта-коэффициент показывает долю влияния каждого фактора в
суммарном влиянии всех факторов на зависимую переменную Y.
Временной срез
t
0
=const
38
Глава IV. Временные ряды
4.1. .
Последовательность наблюдений моделируемого показателя, упорядоченная
в порядке возрастания времени называется временным рядом (ВР):
У
t
, t=t
1
,t
2
,…,t
i
,…,t
n
;
t
i
>t
i-1
.
Обычно в экономических задачах временной интервал отсчетов постоянен
(t=const). Тогда можно указывать просто номер отсчета.
У
t
, i=1,2,...,N.
Замечание:
1). Уровни временных рядов У
t
не являются взаимно независимыми, как
того требует первая предпосылка метода наименьших квадратов. Поэтому
разработаны специальные методы оценки параметров уравнения регрессии. В
этом отличие временных рядов от базы данных пространственного типа.
4.2. Компонентный анализ временных рядов
У
t
=U
t
+ V
t
+ C
t
+ E
t
, t=1,2, (4.1)
4.3. Понятие случайного процесса
Стационарные временные ряды
Случайный процесс (или случайная функция) неслучайного аргумента t –
называется функция, которая при любом t является случайной величиной.
Определение 1:
Y
t
называется строго стационарным (стационарным в
узком смысле), если в различных временных срезах t=var выполнено два условия:
1. Вид закона распределения свободных величин Y один и тот же (например
– нормальный закон распределения остатков);
t
Y
Рис. 4.1.
P
2
(t)
P
1
(t)
P
3
(t)
t
0
P
4
(t)
P
1
>P
2
>P
3
и т.д.- является
реализацией случайного
процесса
Временной срез
t
0
=const
2. Числовые параметры закона распределения (числовые характеристики)
одинаковы:
M(Y(t))=a=const; D[Y(t]=
2
= const.
Определение 2: Если выполнено только условие № 2 то временные ряды
называются стационарными в широком смысле или эргодическим. Другими
словами эргодический случайный процесс протекает однородно по времени.
Замечание: В дисциплине «Теория вероятности и математическая
статистика» показано что «Выборочные оценки вероятностных характеристик
эргодического процесса могут быть вычислены по одной фиксированной
реализации для наблюдений в разные моменты У
t
, р=const.
.
1N
)(
S;
N
N
1t
2
tt
2
t
N
1t
t
t
ÓÓÓ
Ó
(4.2)
Пример:
Стационарного случайного процесса – «белый шум», т.е. возмущения E
i
при условии:
M[E
i
]=0
M[E
i
E
k
]=0 – отсутствие корреляции.
Если EN(0;
E
2
), то шум нормальный (гауссовский) белый.
4.4. Понятие о коэффициенте корреляции во временном ряде (АКФ)
Степень тесноты связи между последовательными уровнями временного
ряда У
1
, У
2
…, У
n
и сдвинутыми на
уровнями У
1+
, У
2+
…, У
n+
(
-лаг)
измеряется с помощью коэффициента автокорреляции.
Его генеральное (теоретическое) значение определяется по формуле:
;
))((M
)()(
))((M
)(
2
ÓÓÓÓÓÓÓÓ
tt
yy
tt
tt
(4.3)
Здесь благодаря свойству эргодичности временного ряда, которое
постулируется:
.
const)()(
const;]M[]M[
tt
a
yy
tt
ÓÓ
(4.4)
Термин автокорреляции означает что () измеряет корреляцию между
членами одного и того же временного ряда.
При измерении лагового сдвига
(
=1,2,3,…) получим функцию
(t)
называемую автокорреляционной функцией (АФК.)
Автокорреляционная функция () не зависит от t, а зависит только от ,
причем:
4.5. Выборочная оценка коэффициента автокорреляции
для числа степеней свободы
40