Лекции по эконометрике

Подождите немного. Документ загружается.

называется уравнением регрессии. Заметим, что вид истинной функции

)X(





уравнении (1.6) нам пока неизвестен.

Замечание: Эконометрическая модель (1.6) не всегда является

регрессионной, т.е. объясненная часть случайной величины

не всегда равна

своему условному математическому ожиданию:

 М

(Y).

Пример: Пусть независимые переменные



измерены с систематическими

ошибками. Тогда неизвестная нам случайная функция

)X(





в наблюдениях будет

деформирована (искажена). В эконометрике это встречается часто. Существуют

специальные методы борьбы с этим неприятным обстоятельством, которые будут

рассмотрены ниже.

Критерием того, что модель (1.6) является регрессионной является условие

(E) = 0. Действительно, записав основную предпосылку эконометрического

анализа (1.5),

Вычислим математическое ожидание от обеих частей уравнения:

(Y) = М

М

(Y) + М

(E);

 М

(E) = 0 (1.6)

Условие (1.6) является наиболее существенным условием получения

качественной модели. Статистически это условие означает отсутствие

систематического смещения наблюдений

),( Ni

1Ó

, относительно линии (или

поверхности в многомерном случае) регрессии.

1.5. Построение параметрической регрессионной модели

Будем аппроксимировать (приближено описывать) М

(Y) некоторой заранее

выбранной непрерывной функцией с параметрами

.,.....,

;,....,,....,

).(y

(Y)M

n1n1

bbbxxxx

bx,







(1.7)

Пусть неизвестный вектор параметров



находится (оценивается) каким-

либо методом, например методом наименьших квадратов (МНК).[ ].

Вид функции

() выбирается заранее, а еще лучше подбирается с учетом

имеющихся наблюдений с использованием «Мастера диаграмм» в программной

среде Excel.

Пример:

Y(x,b)

Верхняя

граница

коридора

Нижняя

граница

коридора

Линия уравнения регрессии

Верхняя граница доверительных

интервалов для индивидуальных

значений Y

Нижняя граница доверительных

интервалов для расчетного

значения

Временной срез

=const

Здесь подходящей аппроксимирующей функцией является парабола:

1.;

 xxbxbxbb,x

)(y



(1.8)

Подставляя уравнение (1.7) в уравнение (1.5) получаем конкретное уравнение

регрессии (параметрическую модель):

(

Y ebx Ó

(1.9)

где е – случайные ошибки аппроксимации (остатки), которые включают в себя

как ошибки аппроксимации (неточного описания), так и случайные возмущения

данных, в частности вызванные неучтенными в модели регрессорами.

В i – ом наблюдении

iii

e ÓÓ



– расчетное значение по уравнению регрессии; y

– наблюдаемое значение

для свободного члена Y.

Параметрическая регрессионная модель (1.9) описывает усредненную

зависимость Y от



в некотором коридоре своего случайного разброса. Другими

словами – линия регрессии

)(y x

– это средняя линия трубки в случае одной

переменной.

Рис. 1.3. Подбор структуры модели:

линия регрессии; – фактические наблюдения

Рис. 1.4 . Параметрическая регрессионная модель и коридор разброса

случайной величины Y

Y(x,b)

Верхняя

граница

коридора

Нижняя

граница

коридора

Линия уравнения регрессии

Верхняя граница доверительных

интервалов для индивидуальных

значений Y

Нижняя граница доверительных

интервалов для расчетного

значения

Временной срез

=const

В случае многих независимых переменных

)(y bx



описывает серединную

поверхность. Ее называют «поверхность отклика» (реакции объекта на

воздействие



– следствие;



– причина (воздействие на объект).

1.6. Классификация эконометрии.

Отметим, что существует множество классификаций эконометрических

моделей в зависимости от выбранных признаков классификации. Ниже

приводится достаточно простая и удобная классификация.

1.6.1. По структуре уравнений регрессии

1). Аддитивные (полиноминальные) уравнения регрессии представляются в

виде суммы базисных функций с соответствующими коэффициентами:

,xfb

)(





(1.10)

где, 

(х

) - совокупность базисных (координаторных) функций.

Пример:

322110

eblnxbxbb



Ó

2). Мультипликативная форма в виде произведения базисных функций

const.A);(xfA)x(









(1.11)

Примером такой модели является модель Брандона:

)(xf).........(x.........fx)f(xf)x(

mmjj2211

ÓÓ

ˆˆ





– математическое ожидание (среднее).

1.6.2. По способу учета динамики:

1. Динамические многофакторные.

),b(t),x,f(t,





Ó

(1.12)

где, t – время.

2. Квазистатические.

(t).x(t),...,f(x

Ó

(1.13)

3. Динамические с лаговыми переменными.

;

z;......,z

t)(t),z(t),....,z(t),(

m*τtmtτt1t







ÓÓ



(1.14)

здесь  – временной лаг (запаздывание).

Линия уравнения регрессии

Верхняя граница доверительных

интервалов для индивидуальных

значений Y

Нижняя граница доверительных

интервалов для расчетного

значения

Временной срез

=const

4. Статические.

.b,x )(









(1.15)

Замечание: Введение в модель лаговых переменных – весьма эффективный

прием, который позволяет наряду с основным («быстрым») временем t учесть

динамические процессы с большей постоянной времени, т.е. «медленное» время

а, значит, предысторию процесса, что важно в эконометрических объектах [ , ].

1.6.3. По виду связи между

xč



Можно выделить модели:

1. Регрессионные (аддитивные и мультипликативные).

2. Системы одновременных уравнений – когда модель состоит не из одного

уравнения, а нескольких, т.е. в правой части этих уравнений стоят компоненты

векторов

x č



, т.е. четко не разделены причины и следствия.

3.Рекурсивные – частичный случай системы одновременных уравнений. В

рекурсивных моделях система одновременных уравнений «расщепляются » по

рекуррентному алгоритму.

1.6.4. По алгоритму оценки параметров модели.

1. Неадаптивные (метод наименьших квадратов, поисковые методы,

алгоритмы нечеткой регрессии, и др.)[ ].

2. Адаптивные (обучаемые, включая нейросенсорный метод).

Замечание: На практике классификационные признаки могут

«переплетаться», т.е. использоваться комбинированные (гибридные) модели,

например нейро-нечеткие [ ], нечеткие регрессионные и др.

1.7. Типы данных

1.7.1. Данные пространственного типа

База данных состоит из кортежей:

,N1,y  i,,x



которые образуют матрицу. Каждая строка матрицы – это кортеж (или вектор

строка таблицы исходных данных).

Здесь основное требование – независимость наблюдений y

 между собой,

т.е. y

 – случайные (измеренные независимо) величины в данном

фиксированном временном срезе, где t=const, это влечет за собой условие

отсутствие коррелированности возмущений.

.к, .

 j

(1.16)

ęj

– коэффициент корреляции.

Как определить, является ли база данных серией независимых наблюдений?

Однозначного ответа нет, т.е. это условие реально труднопроверяемо. Считается,

что Y

 не должны быть связаны причинно [ ].

Совокупность кортежей для всех наблюдений i= (таблица) в

фиксированном временном срезе есть входные данные пространственного типа.

Линия уравнения регрессии

Верхняя граница доверительных

интервалов для индивидуальных

значений Y

Нижняя граница доверительных

интервалов для расчетного

значения

Временной срез

=const

1,N

1.7.2. Временной (динамический) ряд

Здесь наблюдения упорядочены во времени: У

, t=t

,….t

,…t

; где t

i-1

а). Чаще всего t = t

- t

i-1

= const. Тогда в записи указывается только номер

временного интервала У

- временной ряд.

б). Временной ряд может быть многомерным: У

, х

,…x

 (

N1,t 

), т.е.

другими словами:

если наблюдаются одновременно несколько независимых случайных

величин в каждом временном срезе, t=t

, то имеем многомерный временной ряд:

Данные типа многомерного временного ряда

Таблица 1.1.

…. t

…. y

…. х

…. z

Данные типа многомерных временных рядов имеются часто в

многофакторных прогнозных моделях.

1.8. Этапы построения эконометрической модели

Можно условно выделить следующие основные этапы построения

эконометрической модели:

 описание проблемы экономической ситуации;

 спецификация переменных;

 мониторинг данных (наблюдение с целью контроля и управления);

 идентификация – выбор структуры модели и определение ее параметров;

 оценка адекватности модели;

 верификация модели;

 проверка модели на практике;

 внесение поправок, для корректировки модели на основе данных

полученных при практическом использовании.

Линия уравнения регрессии

Верхняя граница доверительных

интервалов для индивидуальных

значений Y

Нижняя граница доверительных

интервалов для расчетного

значения

Временной срез

=const

Глава II. Корреляционный анализ

2.1. Цель корреляционного анализа

Цель корреляционного анализа – количественная оценка тесноты связи

между случайными величинами.

2.2. Числовые меры корреляционной связи

2.2.1. Ковариация

Приставка «Ко» означает «совместный» (ковариация – взаимосвязанная или

совместная вариация). Генеральное значение ковариации определяется формулой:

].YXM[M(Y))](YM(X))M[(XY)cov(X,





(2.1)

Здесь М - оператор вычисления математического ожидания, нуль вверху

означает центрирование величины.

Заметим что в формуле (2.1) вариация случайных величин Y и X измеряется

их отклонением от математических ожиданий, а условие «совместности»

измерения вариаций реализуется операцией умножения внутри квадратных

скобок.

2.2.2. Выборочная оценка коэффициента линейной парной корреляции

На практике вместо генеральной совокупности мы имеем выборку из неё.

Будем считать выборку репрезентативной, а связь между случайными величинами

Y и X – линейной:

y =



x, (2.2)

где 

, 

– генеральные (теоретические) значения параметров линейного

уравнения регрессии (2.2.), которые будем обозначать греческими буквами, а их

выборочные оценки 

, 

– латинскими малыми буквами.

Если нормировать ковариацию (2.1), т.е. разделить ее на произведение

средних квадратических отклонений (СКО)

, то получим коэффициент

парной корреляции. Генеральное значение коэффициента равно:

XY,

σσ

X)cov(Y,

S 

(2.3.)

а выборочная оценка:

N)y)(yx(x







1i

(2.4.)

y,x

- выборочные оценки математических ожиданий m

, m

;

– выборочные СКО.

Линия уравнения регрессии

Верхняя граница доверительных

интервалов для индивидуальных

значений Y

Нижняя граница доверительных

интервалов для расчетного

значения

Временной срез

=const

N)y(yN)x(x

;

)y(y

)x(x













(2.5)

Знак при T определяет форму (характер) корреляционной связи в уравнении

(2.2):

(+) положительный знак соответствует возрастающему виду (при росте

случайной величины х другая случайная величина тоже работает в среднем);

( - ) отрицательный знак соответствует убывающему виду, зависимости (2.2).

Таким образом коэффициент линейной парной корреляции изменяется в

пределах

11 

Y,X

2.2.3. Математический смысл коэффициента линейной парной корреляции

Предположим, что между двумя случайными величинами X и Y в среднем

существует линейная связь (2.2), т.е. они связаны линейным уравнением

регрессии для математических ожиданий

.Y xbb



(2.6)

При взгляде на уравнение регрессии видно, что измерителем связи Y и X

может служить коэффициент b

. Действительно, вычисляя производную от

функции

)(xY

, получим:



т.е. b

оценивает скорость изменения функции Y при изменении аргумента

X. Однако b

неудобен как измеритель связи тем, что b

зависит от единиц

измерения X и Y. Хотелось бы иметь безразмерный показатель. Сделаем это,

переходя к нормированным переменным в уравнении регрессии:

;

;SXX

;SYY

yx,

T



xbby

:следуетотсюда

(2.7)

Коэффициент корреляции T

x,y

есть скорость изменения (производная)

нормированной функции

)X(Y

при вариации нормированного аргумента

линейной связи между ними.

2.2.4. Статистический смысл коэффициента линейной парной корреляции

Запишем производную в приращениях:

Линия уравнения регрессии

Верхняя граница доверительных

интервалов для индивидуальных

значений Y

Нижняя граница доверительных

интервалов для расчетного

значения

Временной срез

=const

βb

1yx,

T

(2.8)

Заметим, что здесь



– это так называемый в регрессионном анализе бэтта-

коэффициент [ ].

Коэффициент линейной парной корреляции показывает на сколько

процентов (%)(в долях от СКО S

) изменяется случайная величина Y, если другая

величина X измениться на 1% в долях от своего СКО S

2.2.5. Геометрическая интерпретация коэффициента корреляции

Геометрическую интерпретацию коэффициента линейной парной корреляции

как измерителя силы связи между случайными величинами Y и X можно уяснить

из рисунку 2.1.

где:

а) – связь между Y и X в среднем отсутствует (коэффициент b

в (2.6) равен

нулю);

б) – возрастающая (в среднем) статистическая зависимость Y от X (b

>0);

в) – возрастающая детерминированная (функциональная) связь Y и X;

Рис. 2.1. Графическая интерпретация коэффициента корреляции



yy 





)(xy







)(xy





Линия уравнения регрессии

Верхняя граница доверительных

интервалов для индивидуальных

значений Y

Нижняя граница доверительных

интервалов для расчетного

значения

Временной срез

=const

г) – падающая детерминированная (функциональная) зависимость;

д) – падающая статистическая зависимость.

2.3. Проверка статистической значимости коэффициента корреляции

Для проверки этой гипотезы используется критерий Стьюдента для

статистики:

;





(2.9)

Критическое (табличное значение критерия Стьюдента

2)Nυ(α .;

табл

определяется при выбранном уровне значимости  и числе степеней свободы

Уровень значимости – это вероятность, с которой мы не гарантируем

правильности статистических оценок. Соответственно, доверительная

вероятность

αp 1

(2.10)

Это вероятность, с которой мы гарантируем правильность этих оценок.

Величина  (либо p) задается «Заказчиком» расчетов, либо самим

аналитиком, строящим модель, исходя из экономического смысла постановки

задачи.

2.4. Множественный корреляционный анализ

Как правило экономический процесс описывается числом показателей, более

двух, т.е. вектором случайных величин:

X=(X

, X

….., X

…., X

)

j - номер показателя (фактора)

2.4.1. Корреляционная матрица

Пусть совокупность Xj имеет совместный нормальный закон

распределения. Тогда, как и ранее, взаимосвязь между двумя показателями Xi и

Xj можно описать коэффициентом парной линейной корреляции Tij. Множество

всех возможных сочетанийTij , i,j=

m1,

образует квадратную корреляционную

матрицу:

 

nnnjn2n1

iniji2i1

2n2j2221

1n1j1211

rr...rr

...............

rr...rr

 К;К

(2.11)

Отметим важные свойства корреляционной матрицы

1). Все диагональные элементы этой матрицы равны единице:

daig K = Tji = 1

2). Корреляционная матрица – симметричная, т.е. ее элементы,

симметричные относительно главной диагонали, равны друг другу:

Линия уравнения регрессии

Верхняя граница доверительных

интервалов для индивидуальных

значений Y

Нижняя граница доверительных

интервалов для расчетного

значения

Временной срез

=const

Tij = Tji,

так как произведение в формуле (2.4) для Tij не зависит от порядка следования

сомножителей.

2.4.2. Выборочный коэффициент множественной корреляции

Коэффициент множественной корреляции определяет тесноту связи одного

показателя с совокупностью остальных (n-1) показателей при их одновременном

действии:.

(2.12)

Kjj – алгебраическое дополнение элемента Tjj матрицы К.

Коэффициент множественной корреляции изменяется от 0 до +1, т.е. всегда

неотрицателен.

2.4.3. Частный коэффициент корреляции

Частный коэффициент корреляции служит количественной мерой связи

случайных величин Xi и Xj при условии исключения влияния других случайных (m-2)

величин, т.е. при их фиксации.

Выборочная оценка коэффициента частной корреляции определяется по

формуле:

jjii

1,2,...,mij

K





(2.13)

где Kij, Kjj – алгебраическое дополнение соответствующих элементов матрицы

К.

Частный коэффициент корреляции так же, как и парный коэффициент

линейной парной корреляции, изменяется от -1 доK+K1, т.е. может быть

отрицательным.

Гипотеза о значимости частного коэффициента корреляции проверяется так

же, как и для парного коэффициента корреляции:

: t

< t

таб

(; N-2)?

2.4.4. Коэффициент детерминации

Коэффициент детерминации равен квадрату множественного

коэффициента корреляции и показывает: какую долю общей дисперсии

исследуемого показателя Xj объясняет (формирует) вариация всех остальных (n-

1) показателей X

,…,X

при их совместном действии:

 

1,2,...,mj





(2.14)

2.4.5. Оценка значимости множественного коэффициента детерминации

Используется F – статистика Фишера для R

Линия уравнения регрессии

Верхняя граница доверительных

интервалов для индивидуальных

значений Y

Нижняя граница доверительных

интервалов для расчетного

значения

Временной срез

=const

det(K)

1RR





 m1,2,...,j

x,...,

xxj