Лекции - Плоское течение идеальной несжимаемой жидкости
Подождите немного. Документ загружается.
A = Q/2.
Рисунок 12.4 а) источник б) сток
Тогда комплексный потенциал для расположенного в начале координат
источника или стока мощности Q можно записать в виде:
(z) = (Q/2)lnz. (12.16)
б) Предположим теперь, что А чисто мнимая величина, равная Вi, где В
- действительное.
Как уже указывалось, сетка течения не изменится, но линии тока и
изопотенциали поменяются местами, рисунок 12.5. Картина соответствует
циркуляционному движению вокруг изолированного точечного вихря (точнее
вихревой линии) в начале координат.
11
Рисунок 12.5 - Циркуляционный поток
Чтобы выяснить физический смысл постоянной В, вычислив по (12.14)
циркуляцию скорости по замкнутому контуру, охватывающему начало
координат:
Г = Re
Вi
dz
z
= Re (Вi 2i) = - 2В.
Откуда:
В = - Г/2.
Комплексный потенциал потока с циркуляцией Г будет:
= - (Гi
/ 2) lnz = (Г/ 2i)lnz, (12.17)
причем знак Г определяется в предположении, что направление интегрирования
выбрано так, чтобы площадь, ограниченная контуром, оставалась слева.
Как и в случае источника (стока), так и в случае рассмотренного
циркуляционного течения распределение абсолютной величины скорости будет
w = Q/ 2r
или
w = Г/ 2r,
т.е. величина скорости обратнопропорциональна расстоянию от источника
(стока) или вихря. Такое циркуляционное течение качественно было описано в
предыдущей главе. В начале координат скорость бесконечно велика: это особая
точка поля скоростей, а точечные источник (сток) и вихрь - гидродинамические
особенности потока. Эти течения безвихревые во всех точках, кроме начала
координат (особой точки). Поэтому выполняются соотношения, выражающие
потенциальность и непрерывность плоского течения
w
y
x
-
w
x
y
=0;
w
x
x
+
w
y
y
=0.
В этом легко убедиться непосредственным дифференцированием. В начале
координат производные приобретают бесконечные значения; это особая точка.
12
Сложение комплексных потенциалов циркуляционного потока и стока
(источника) приводит к вихревому стоку (источнику) - течению, которое
можно наблюдать у сливного отверстия ванны.
12.4.3 Комплексный потенциал вида (z) =
z
1
соответствует диполю,
расположенному в начале координат.
Отделяя в этом случае действительную часть от мнимой, получим:
= + i= 1 / (x + iy) = (x - iy) / (x
2
+ y
2
),
= x / (x
2
+ y
2
); = - y / (x
2
+ y
2
).
Приравнивая различным постоянным, получим семейство линий тока
x
2
+ y
2
= Сy.
Если это уравнение представить в тождественном виде
x
2
+ (y -
C
2
)
2
= (
C
2
)
2
,
то становится понятным, что линии тока - окружности с центрами,
расположенными на оси OY, проходящие через начало координат (рисунок
12.6, сплошные кривые). Аналогичным образом можно убедиться , что
изопотенциальные линии - окружности с центрами на оси OX (рисунок 12.6 -
пунктирные линии). Семейства эти ортогональны.
Такое течение можно получить сложением течений от источника и стока
одинаковой мощности Q, расположенных зеркально на расстояние h от
начала координат, если устремляя h к нулю, увеличивать мощность Q так. что
Qh стремилось бы к некоторому постоянному пределу m, называемому
моментом диполя. Комплексный потенциал такого диполя имеет вид:
(z) = m / 2z. (12.18)
13
Рисунок 12.6 - Схема течения, порождаемая диполем, расположенным в начале
координат вдоль оси х: сплошные линии - линии тока; пунктирные - эквипотенциали
12.4.4 Бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра
Такое течение получим, если наложим однородный поток, параллельный
оси OX со скоростью w
и комплексным потенциалом
1
= w
z
на скоростное поле диполя с комплексным потенциалом
2
= m / 2z
и положительным моментом (m > 0), что соответствует вытеканию жидкости
из диполя навстречу набегающему потоку (рисунок 12.7). Комплексный
потенциал такого течения
=
1
+
2
= w
z + (m / 2)(1/z).
Выделяя в этом выражении мнимую часть, определим функцию тока
= w
y - (m / 2) (y / (x
2
+ y
2
)).
Для "нулевой" линии тока = 0, очевидно, получим уравнение
[w
- (m / 2) (1/ (x
2
+ y
2
))]y = 0,
14
которое распадается на два:
1) уравнение окружности
x
2
+ y
2
= m/2w
и 2) ось OX:
y = 0.
Выбирая произвольную до сих пор величину момента диполя равной
m = 2a
2
w
,
получим "нулевую" линию тока в виде совокупности окружности радиуса а с
центром в начале координат и оси OX, рисунок 12.7.
Остальные линии тока получаются заданием различных значений
константы в уравнении линий тока (полученным подстановкой значения m =
2a
2
w
):
[1 - a
2
/ (x
2
+ y
2
)] y = const.
Рисунок 12.7 - Картина линий тока бесциркуляционного
обтекания цилиндра (радиуса а)
15
Картина течения состоит из двух областей - вне и внутри круга
(цилиндра). Первую область можно рассматривать как обтекание круглого
цилиндра радиуса a плоскопараллельным потоком со скоростью на удалении от
цилиндра w
; этому течению соответствуют условия
= w
(z +
2
a
z
); z a. (12.19)
Вторая область - течение, образуемое диполем с моментом m внутри
круга радиуса а:
= (m / 2a
2
) (z +
2
a
z
); z a. (12.19
1
)
Рассмотрим внешний поток ( z a).
Распределение скоростей (комплексно сопряженную скорость) получим
дифференцированием
~
w
=
d
dz
= w
(1 -
2
a
2
z
).
На поверхности цилиндра можно положить
z = ae
i
,
где - полярный угол между радиусом - вектором и осью OX.
Подставляя это значение z в предыдущую формулу, получим
~
w
z=
a
= w
(1 - e
-2i
) = w
e
-i
(e
i
- e
-i
) =
= 2iw
e
-i
sin,
откуда определяется модуль скорости на контуре круга
w = 2w
sin.
Такое синусоидальное распределение скорости по поверхности цилиндра
означает, что в точках А ( = ) и В ( = 0) разветвления потока(они
16
называются критическими точками: А - передней; В - задней) скорость
равна нулю. Максимальное значение скорости на поверхности цилиндра
достигается в точках С и D (при = /2), где
w
max
= 2w
,
т. е. в два раза больше, чем невозмущенного потока.
Имея распределение скоростей и используя уравнение Бернулли, которое
в данном случае упрощается из - за отсутствия влияния сил гравитации
p + (w
2
) / 2 = const = p
+ (w
2
) / 2,
можно определить коэффициент давления (число Эйлера), характеризующий
относительную роль сил давления и инерции:
p
= (p - p
)/(
1
2
w
2
) =1 - w
2
/w
2
= 1 - 4sin
2
(12.20)
Величина
p
зависит только от угла (и не зависит от плотности
жидкости, давления и скорости набегающего потока, радиуса цилиндра). Это
(как и следовало ожидать из теории подобия, см. гл. 7), для идеальной
жидкости делает
p
единственной характеристикой распределения давлений по
поверхности цилиндра для всех случаев.
Теоретическая кривая (12.20) на рисунке 12.8 не совпадает с
экспериментальными зависимостями (при 30
0
). В зависимости от
условий, на опыте получаются две разных формы кривых распределения
давлений (1 и 11). Причина этого заключается в невозможности безотрывного
обтекания цилиндра реальной жидкостью. Цилиндр гидродинамически
представляет собой плохо обтекаемое тело. Для случая 1 отрыв (точки S)
начинается примерно при = 84
0
, т.е. до максимального (миделевого)
сечения цилиндра, в случае II - при = 120
0
.
17
Рисунок 12.8 - Теоретическое и экспериментальное обтекание цилиндра
(угол отсчитывается от точки А)
Был бы неправильным вывод, что теория потенциального движения
идеальной жидкости вообще неприменима для реальных случаев обтекания тел.
В случаях хорошо обтекаемых тел без отрыва потока (например, для крылового
профиля, расположенного вдоль потока), совпадение теоретических и
экспериментальных данных по распределению давления оказывается вполне
удовлетворительным.
12.4.5 Циркуляционное обтекание круглого цилиндра
Такое обтекание получается, если на только что рассмотренное течение
наложить циркуляционный поток вокруг вихря, поместив его а центр контура
цилиндра - в начало координат.
Комплексный потенциал, соответствующий такому сложному течению,
имеет вид:
(z) = w
(z + a
2
/z) + (Г/2i) ln z, (12.21)
18
что при Г > 0 соответственно циркуляции против часовой стрелки.
Определим сопряженную скорость дифференцированием
~
w
= d / dz = w
(1 - a
2
/z
2
) + Г/2iz (12.22)
и найдем положение критических точек из уравнения:
w
(1 - a
2
/z
2
) + Г/2iz = 0,
которое можно переписать в виде
z
2
+ (Г/2iw
) z - a
2
= 0.
Его корни будут
z = Гi /4w
2
16
2
a
-
`
w
2
2
o
. (12.23)
В зависимости от величины циркуляции возможны три типа обтекания.
а) Циркуляция велика: Г > 4aw
. В этом случае под радикалом в
выражении 12.23) будет отрицательная величина, и можно написать
z = (Г/4w
)
16
2
2
2
2
2
a
w
a
i.
Оба корня - мнимые, причем модуль одного больше, другого - меньше
радиуса цилиндра. Первый из них дает критическую точку А (рисунок 12.8 а)
вне круга на положительной стороне мнимой оси, второй - точку В внутри
круга.
б) Предельный (граничный) случай : Г = 4aw
.
Корни z
1
= z
2
=
ai,
т.е критические точки А и В совпадают и лежат на мнимой оси сверху на
контуре круга (рисунок 12.8 б).
в) Циркуляция мала: Г < 4 aw
.
19
В этом случае корни комплексные
z =
2
2
2
2
16
wp
a
+ (Г/4w
) i,
имеют общую ординату Г/(4aw
) и отличаются лишь знаком абсцисс,
по модулю меньших а, рисунок 12.8 в.
При дальнейшем уменьшении Г точки А и В будут стремится занять при
Г 0 положение на пересечении окружности с осью ОХ (как это и должно
быть при отсутствии циркуляции).
Как видно. при циркуляционном обтекании цилиндра сохраняется
симметрия относительно оси ОУ, но нарушается относительно оси ОХ.
Отсюда следует, что равнодействующая сил давления жидкости на цилиндр
будет направлена вдоль оси ОУ. Заметим, что под цилиндром скорости
бесциркуляционного потока и циркуляции складываются, а над цилиндром
20