Лекции - Плоское течение идеальной несжимаемой жидкости
Подождите немного. Документ загружается.
Г л а в а 12
Плоское течение идеальной несжимаемой жидкости
12.1 Функция тока
Дифференциальное уравнение линий тока (см. (3.2) главу 3) для течения в
плоскости [x,y] можно записать в виде
w
y
dx - w
x
dy = 0. (12.1)
Введем функцию тока (x,y), полный дифференциал которой равен
левой части этого равенства:
d(x,y) = w
y
dx - w
x
dy. (12.2)
Тогда в соответствии с уравнением (12.1) на линии тока d =0, т. е.
функция тока d(x,y) сохраняет вдоль линии тока постоянное значение
(x,y) = const = C. (12.3)
Придавая постоянной С различные значения, получим уравнения
семейства линий тока для рассматриваемого течения.
Полный дифференциал любой функции двух переменных, в частности
(x,y), имеет вид
d =
x
dx +
y
dy. (12.4)
Сопоставляя уравнения (12.2) и (12.4), можно утверждать, что для
плоского течения
x
= w
y
;
y
= - w
x.
(12.5)
Интегрируя эти уравнения, можно определить (x,y) для заданных
значений w
x
и w
y
.
Например, пусть w
x
= аx, w
y
= - аy. Тогда из уравнения (12.1) получим
d = аydx + аxdy = 0 ,
или после разделения переменных
dx
x
+
dy
y
= 0.
Интегрирование и последующее потенцирование соответственно приводят к
равенствам
lnx + lny = const;
(x,y) = xy = C,
что соответствует семейству гипербол с ассимптотами - осями координат, рисунок 12.1 (где
изображена лишь верхняя полуплоскость, зеркально симметричная нижней).
Так выглядят линии тока при натекании равномерного потока на поперечную
пластину.
Рисунок 12.1 - Линии тока и эквипотенциали при натекании
равномерного потока на стенку
Контур обтекаемого идеальной жидкостью тела совпадает с одной из
линий тока: в некоторой "критической" точке А набегающий поток
раздваивается и огибает тело.
И наоборот, любую линию тока идеальной жидкости можно заменить
твердой обтекаемой стенкой без изменения остальных линий тока.
Такой принцип отвердевания линий тока широко используется в
гидродинамике идеальной жидкости.
Если в приведенном выше примере (рисунок 12.1) заменить оси x, y твердыми
стенками, получится картина внутреннего обтекания прямого угла.
12.2 Потенциал скорости
2
Потенциалом скорости (x, y, z) называется скалярная функция,
градиент которой равен вектору скорости:
grad i
x
+ j
y
+ k
z
=
= w = i w
x
+ j w
y
+k w
z
, (12.6)
откуда:
x
= w
x
;
y
= w
y
;
z
= w
z
. (12.6
1
)
Полный дифференциал
d =
x
dx +
y
dy +
z
dz, (12.7)
или
d = w
x
dx + w
y
dy +w
z
dz. (12.7
1
)
Интегрируя эти уравнения, можно получить (x,y,z).
Целесообразность введения потенциала скорости (x,y,z),
обусловлена тем, что заменяет векторное поле скорости течения w (x,y,z),
для которого необходимо знать три компоненты по осям координат для
каждой точки течения, одной скалярной функцией (x,y,z). Однако, это
возможно только для безвихревых течений, когда вращение частиц
отсутствует.*
)
Придавая функции определенные значения, получим уравнения
эквипотенциальных поверхностей или поверхностей уровня (для плоского
течения - линий равного потенциала, потенциалей).
_____________________
*
)
С понятием потенциала читатель встречался при изучении электростатического и
гравитационного полей: для вычисления напряженности этих полей достаточно было
вычислить grad. Поэтому напряженность электростатического поля E ( с
противоположным знаком) можно считать аналогом скорости жидкости.
Например, для рассмотренного выше течения (w
x
= аx, w
y
= - аy) приравняем нулю
d:
d = w
x
dx - w
y
dy = аxdx - аydy = a(xdx - ydy) =0,
или, интегрируя
= d = хdx - ydy = x
2
- y
2
= const.
3
Это уравнение семейства гипербол с ассимптотами, наклоненными под углом 45
0
к
координатным осям (на рисунке 12.1 пунктирные линии).
Поскольку grad = w - это вектор. направленный в сторону наиболее
быстрого увеличения функции в пространстве. то вектор w (а,
следовательно, и линии тока, к которым он касателен) будет перпендикулярен,
направлен по нормали к эквипотенциальным поверхностям = const.
Поэтому семейства линий тока (x,y) = const и эквипотенциалей (x,y)
= const взаимно ортогональны (см. рисунок 12.1). Это позволяет по известным
линиям тока строить эквипотенциали и наоборот.
Вспоминая уравнение неразрывности несжимаемой жидкости (см. главу 3
формулу (3.11))
div w
x
+
y
+
z
= 0, (3.11)
и подставив в него выражения для компонентов скорости через потенциал
(12.6
1
) получим
2
2
x
+
2
2
y
+
2
2
z
= 0 (12.8)
или
= 0, (12.8
1
)
где
2
2
x
+
2
2
y
+
2
2
z
- оператор Лапласа.
Уравнение (12.8) в математической физике называется уравнением
Лапласа. Оно имеет бесконечное множество решений. Поэтому его решение
для какого - либо конкретного случая предполагает задание граничных условий.
Эти условия, кроме задания скорости набегающего на тело невозмущенного
потока, предполагают "непроницаемость" обтекаемых твердых стенок -
равенство нулю нормальной составляющей скорости жидкости на поверхности
4
обтекаемого тела. При этом предполагается, что обтекание тела происходит без
отрыва потока.
Потенциалы различных течений
1
;
2
. можно складывать (принцип
суперпозиции), получая новые течения:
=
1
+
2
+ ... +
n
. (12.9)
Это свойство (с которым читатель знаком на примерах
электростатических и гравитационных полей) вытекает из того, что уравнение
(12.8) является однородным линейным дифференциальным уравнением в
частных производных.
Таким образом, решение уравнения (12.8) при заданных граничных
условиях позволяет определить поле потенциального течения идеальной
несжимаемой жидкости. Однако, реальную жидкость можно считать идеальной
(невязкой) лишь вдали от обтекаемых твердых поверхностей. Непосредственно
у стенок, в так называемом пограничном слое влияние вязкости всегда
существенно и приводит к вращению жидких частиц - нарушению
потенциальности потока. Поэтому практически решение уравнения Лапласа для
течений имеет смысл лишь при достаточном удалении от стенок.
12.3 Комплексный потенциал плоского безвихревого течения
Выражая составляющие скорости плоского течения w
x
, w
y
через
функции (по уравнениям (12.5)) и (по уравнениям (12.6
1
)), получим
соотношения
x
=
y
,
y
= -
x
, (12.10)
которые в математике называются условиями Коши - Римана. При их
выполнении комплексная величина
= + i = (x, y) + i (x,y) (12.11)
будет не просто функцией двух переменных (координат x,y, а функцией одной
комплексной переменной z = x + iy.*
)
Действительно, если (z) есть
5
функция только положения точки М с координатой z = x + iy (на плоскости
[x; iy]), то производная от нее в этой точке в свою очередь должна быть
функцией только координаты z, и не зависеть от направления
дифференцирования в плоскости [x, iy]:
d
dz
=
d
dx
=
d
d( y)
i
. (12.12)
В этом можно убедиться, замечая, что
d
dx
=
( + )
x
i
=
x
+ i
x
,
d( y)i
= - i
( +
y
i )
=
y
- i
y
,
(12.12
1
)
и, приравнивая согласно (12.12) друг другу правые части этих равенств, получим те же
условия Коши - Римана (12.10).
Отделяя в функции (z) действительную (Re) и мнимую (Jm) части,
получим потенциал скоростей (x,y) и функцию тока (x,y) плоского
безвихревого течения:
(x,y) = Re(z); (x,y) = Jm (z). (12.13)
____________________
*
)
Координата z , перпендикулярная к плоскости [x, y], в плоском движении не
встречается; это позволяет использовать букву z, в данном случае, для обозначения
комплексной величины x + iy.
с изопотенциальными линиями
(x,y) = С,
и линиями тока (x,y) = С
!
.
Функция (z) = (x,y) + i(x,y) называется комплексным
потенциалом течения, а величина w
x
+ iw
y
- комплексной скоростью.
6
Так, для рассмотренного выше течения w
x
=
x
=ax; w
y
=
y
= -ay
комплесный потенциал
(z) =
a
2
z
2
=
a
2
(x + iy)
2
=
a
2
(x
2
- y
2
) + iaxy,
где =
a
2
(x
2
- y
2
); = axy.
Из равенства (12.12), (12.12
1
) и (12.6) следует. что
/
(z)
d
dz
представляет сопряженное значение вектора комплексной скорости:
~
w
= w
x
- iw
y
плоского течения. Сопряженная скорость имеет ту же величину
(модуль), но направлена по зеркальному отображению комплексной скорости,
рисунок 12.2.
Рисунок 12.2 - Вектора скорости и сопряженной скорости
на плоскости годографа [w
x
; w
y
]
Для рассматриваемого примера =
a
2
z
2
имеем:
d
dz
=
~
w
= ax + iay = w
x
- iw
y
,
откуда w
x
= ax; w
y
= - ay.
7
Таким образом, задание комплексного потенциала (z) плоского
безвихревого течения полностью определяет его.
Если вместо функции (z) рассмотреть функцию i(z), то в новом
движении потенциал скоростей поменяется местами с функцией тока, а
изопотенциальные линии - с линиями тока. Этот прием часто используется при
построении картины (сетки) течений. Отсюда следует, что
(x,y) всегда
играет сопряженную роль с функцией
(x,y); каждая из них может быть как
функцией тока, так и потенциалом скоростей в двух сопряжениях между собою
безвихревых плоских течениях идеальной жидкости.
Для дальнейшего полезно рассмотреть контурный интеграл от
сопряженной скорости
~
w
по замкнутому контуру в плоскости течения, равный
с одной стороны,
~
w
dz,
а с другой, если перейти в плоскость комплексного потенциала,
d
dx
dz =
~
w
dz =
(d + id).
Выделяя Re и Jm части этого интеграла, найдем, что действительная
часть его определяет циркуляцию Г скорости по замкнутому контуру, а мнимая
- секундный объемный расход Q жидкости через этот контур:
Re
~
w
dz =
(w
x
dx - w
y
dy ) =
d = Г,
Jm
~
w
dz =
~
w
dz = (w
x
dy - w
y
dx ) =
d = Q
}
*
)
(12.14)
12.4 Примеры плоских потоков
К уже рассмотренному, добавим еще несколько простых примеров:
12.4.1 Комплексный потенциал - линейная функция:
(z) = az = (a
1
+ ia
2
) (x + iy) = (a
1
x - a
2
y) + i(a
1
y + a
2
x) =
8
= (x,y) + i(x,y). (12.15)
Откуда:
линии тока = a
1
y + a
2
x = C,
эквипотенциали = a
1
x + a
2
y = C
1
,
комплексно сопряженная скорость:
~
w
=
d
dz
= a = a
1
+ ia
2
= w
x
- iw
y
= w
o
(cos - isin) =
= w
o
e
-i
.
Откуда:
w
x
= a
1
= w
o
cos;
w
y
= -a
2
= w
o
sin.
Сетка на рисунке 12.3. Это - однородный поток под углом к оси x.
В частных случаях = 0 (a
1
= w
o
; a
2
= 0) и = /2(a
1
= 0;
_____________________
*
)
Напомним, что циркуляцией Г вектора А называется интеграл от этого вектора по
замкнутому контуру С - вдоль замкнутой кривой С:
Г =
Аdr
(A
x
dx + A
y
dy + A
z
dz).
Здесь dr -элемент дуги контура, направленный по касательной к нему в данной точке,
а dx, dy, dz - его проекции на оси координат.
a
2
= - w
o
) однородные потоки, направленные вдоль осей x и y
соответственно:
= w
o
x ; = w
o
y при = 0;
= w
o
y ; = -w
o
x при = /2.
9
Рисунок 12.3
12.4.2 Логарифмическая функция = Alnz
а) Сначала предположим, что А - действительное и полагая
z = re
i
, получим
= + i = Alnr + iA,
Откуда
= Alnr; = A.
Линиями тока являются лучи = const, выходящие из начала
координат, эквипотенциали - окружности r = const, рисунок 12.4.
Картина линий тока соответствует плоскому истечению жидкости из
точечного источника рисунка 12.4а или стока - рисунок 12.4б, находящегося в
начале координат. Чтобы выяснить физический смысл величины А, введем в
рассмотрение мощность (интенсивность) источника или стока Q, определив
эту величину как секундный объемный расход жидкости сквозь замкнутый
контур, охватывающий источник или сток - положительный для источника и
отрицательный для стока. По (12.14) найдем
Q = J
m
A
z
dz
= J
m
(2iA) = 2A.
Откуда следует
10