Лекции - Основы промышленной безопасности

Подождите немного. Документ загружается.

б) Вычисление среднего времени безотказной работы проведем, предположив, что на

испытании находились только те образцы, которые отказали, т.е. приведены в таблице. В

соответствии с таблицей имеем: N

= 575 и m – количество промежутков времени по

30100  mt

, т.е.:

m = t

/t = 3000/100 = 30; N

= 575,

1400

575

295040280030...150405050

)(















icpi

Полученное значение средней работы (наработки) до первого отказа является заниженным

для 1000 ламп, так как опыт был прекращен после отказа 575 образцов из 1 000, поставленных на

испытание.

Пример 5

В течение некоторого периода времени производилось наблюдение за работой одного

экземпляра радиолокационной станции. За весь период наблюдения было зарегистрировано 15

отказов. До начала наблюдения станция проработала 258 ч, к концу наблюдения наработка

станции составила 1 233 ч. Требуется определить среднюю наработку на отказ.

Решение

Наработка радиолокационной станции за наблюдаемый период равна:

t = t

2 –

=1 233 – 258 = 975 ч.Принимая , находим среднюю наработку на отказ:

, где t

– время исправной работы изделия между (i – 1)-м и i-м отказами; n – число

отказов за некоторое время t.

Пример 6

За наблюдаемый период эксплуатации в аппаратуре было зафиксировано 8 отказов. Среднее

время восстановления составило:

= 12 мин; t

= 23 мин; t

= 15 мин; t

= 9 мин;

= 15 мин; t

= 28 мин; t

= 25 мин;

= 31 мин. 8 отказов .

Требуется определить среднее время восстановления аппаратуры.

Решение Среднее время восстановления аппаратуры равно: :

ЛЕКЦИИ 7-8

КОЭФФИЦИЕНТЫ НАДЕЖНОСТИ ЦИКЛОВОГО ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ТЕХНИЧЕСКОЙ

СИСТЕМЫ

Рассмотренные ранее количественные характеристики одного из работоспособных состояний

надежности позволяют оценить надежность Т.С. . Однако они не позволяют устанавливать соотно-

шения между временными составляющими цикловой работы, циклового функционирования Т.С.,

циклов эксплуатации. В частности, они не учитывают времени, затраченного на профилактические

мероприятия и ремонт, они не учитывают также удобства эксплуатации, готовности аппаратуры к

действию в данный момент времени, стоимости эксплуатации и т.п. Поэтому необходимы

дополнительные количественные характеристики надежности цикловой работы технических систем.

Такими характеристиками могут быть коэффициенты , которые можно объединить в следующие

группы:

1) коэффициенты, учитывающие вынужденный простой Т.С. т.е. соотношение между временем

работы и временем простоя ТС

Здесь выделяют коэффициенты-

готовности К

коэффициент вынужденного простоя К

вп

коэффициент профилактики К

пр

коэффициент, характеризующий частоту профилактических мероприятий (частота профилактики

);

2) коэффициенты, характеризующие влияние надежности элементов, установленных в данную

Т.С., на надежность всей Т.С.

Здесь выделяют

коэффициент отказов элементов К

ОЭ

относительный коэффициент отказов элементов ΔК,

коэффициент расхода элементов К

РЭ

);

3) прочие коэффициенты надежности циклового функционирования Т.С.

коэффициент значимости К

ЗН

коэффициент стоимости эксплуатации К

СЭ

и др.).

1.Коэффициенты, учитывающие вынужденный простой ТС

Коэффициент готовности Т.С. ( К

)

Коэффициентом готовности Т.С. называют отношение времени безотказной работы к сумме

времен безотказной работы и восстановления Т.С., взятых за один и тот же календарный срок. ,т.е.

способность Т.С. участвовать в работе.

Согласно определению

Вp





, (1)

где t

– время безотказной работы аппаратуры, t

– время восстановления, т.е. время, затраченное на

профилактику и ремонт ТС.

Отметим, что в состав времени восстановления t

не входит время простоя на этапе хранения и

время, затрачиваемое на подготовку Т.С. к работе после ее простоя. Это объясняется тем, что время

простоя не связано функционально с ремонтопригодностью Т.С.

Время же, затрачиваемое на подготовку, после хранения очень мало по сравнению со временем

восстановления и оно слабо характеризует t

, так как зависит от множества других факторов (удобства

эксплуатации, квалификации обслуживающего персонала, необходимости заправки горючим,

смазочными материалами и т.п.).

Рассмотрим структуру цикловой работы Т.С. (см. рисунок).На рисунке t

и t

вi

текущие значения

времени в цикле работы Т.С..

Тогда суммарные значения продолжительности работы и восстановления найдем из соотношений:







pippppp

tttttt

...

121

;







ВВВВВВ

tttttt

1321

...

И общее соотношение для расчета коэффициента готовности можно записать в виде:













(2)

Распределение времени работы и времени восстановления аппаратуры.

Полученное выражение (2) является статистической моделью коэффициента готовности. Для

перехода к вероятностному его определению целесообразно воспользоваться средними величинами

времени безотказной работы и времени восстановления. Тогда этот коэффициент следует записать в

виде:

Вtсp

tсp





)(

, (3)

где t

ср(t)

– среднее время между соседними отказами,

– среднее время восстановления.

Так как t

ср(t)

, есть величина , обратная средней частоте отказов ω(t) ,

т.е. t

ср(t)

=1/ ω(t) , (4)

то для К

получим соотношение:

)(1

)(











, (5)

Анализируя формулу для К

, видим, что К

зависит от времени восстановления, поэтому этот

коэффициент характеризует такие эксплуатационные качества ТС как удобство эксплуатации, качество

обслуживающего персонала и т.д. о времени непрерывной работы ТС без отказов.

Так как коэффициент готовности является также функцией средней частоты отказов, то можно

сделать вывод, что коэффициент готовности будет достаточно удобен для характеристики надежности

цикловой работы Т.С.. Однако по значению К

будет затруднительно проводить расчет времени

непрерывной цикловой работы Т.С.

2)Коэффициент вынужденного простоя К

ВП

Коэффициентом вынужденного простоя называют отношение времени восстановления к

сумме времени восстановления и безотказной работы аппаратуры, взятых за один и тот же

календарный срок. Обозначается этот коэффициент К

вп

и согласно определению записывается

следующим образом:

















ВП

(6)

Оперируя средними временами безотказной работы и восстановления, можно записать:

CPB

ВП





(7)

Сравнивая К

вп

и К

видим, что они связаны зависимостью:

ВП

КK

)(1

)(







. (8)

Коэффициент вынужденного простоя является производным от коэффициента готовности. Он

обладает всеми достоинствами и недостатками, присущими коэффициенту готовности.

3)Коэффициент профилактики К

ПР

Коэффициентом профилактики называют отношение времени восстановления ко времени

безотказной работы, взятых за один и тот же календарный срок. Он обозначается К

пр

. Согласно

определению







ПР

(9)

или в вероятностной трактовке

ПР

K 

. (10)

Сравнивая коэффициенты К

, К

ВП

, К

ПР

видим:

гг

ВП

ПР







(11)

или

BПР

ttК )(





. (12)

Таким образом, так же, как и коэффициент вынужденного простоя, коэффициент профилактики

является производным от коэффициента готовности и, следовательно, обладает теми же достоинствами

и недостатками, что и К

4)Частота профилактики К

Частотой профилактики называют отношение числа осмотров и ремонтов Т.С. к сумме

времени безотказной работы и времени восстановления, взятых за определенный календарный срок.

Частота профилактики обозначается в дальнейшем K



. В соответствии с данным определением

при цикловом характере работы

ОСp

пп















ОСB

пп



(13)

где n

– число ремонтов ТС, n

ос

– число профилактических осмотров, t

– время исправной работы ТС за

определенный календарный срок, t

– время восстановления.

Дадим вероятностную трактовку коэффициенту K



. Разделим числитель и знаменатель выражения

(13) на число ремонтов n

. Тогда получим:

 

ВtСР

ОС

ЕtСР

ОС

ПО

ОС

ttt

)(1

)()(



















(14)

или

)(

tСР

ОС







2. Коэффициенты, характеризующие влияние надежности элементов на надежность

Т.С.

1)Коэффициент отказов элементов одного типа К

оэ

Коэффициентом отказов элементов одного типа называется отношение числа отказов

аппаратуры из-за отказов элементов данного типа к общему числу отказов аппаратуры, взятых за

определенный календарный срок.

Согласно данному определению,

)(

tп

ОЭ



, (15)

где К

– коэффициент отказов элементов; n

– число отказов Т.С. из-за элементов i-го типа за

определенный календарный срок, n(t) – общее число отказов Т.С. за тот же календарный срок.

Коэффициент отказов позволяет выделить из общего числа отказов отказы элементов ТС одного

типа и, следовательно, определить, надежность каких элементов необходимо повысить для повышения

надежности ТС. В этом заключается основное достоинство коэффициента отказов.

2)Относительный коэффициент отказов элементов ΔК

Относительным коэффициентом отказов элементов называют отношение процента отказов

элементов данного типа, взятых за определенный календарный срок, к проценту этих элементов в ТС.

Эта характеристика обозначается ΔК

Согласно определению,

Ntп

tп









)(

100

)(

. (16)

Сравнивая выражения для К

ОЭ

ΔК

замечаем, что между относительным коэффициентом отказов и

коэффициентом отказов элементов существует зависимость:

ЭЭ

КК 

, (17)

Относительный коэффициент отказов ΔК

характеризует не только надежность элементов, но и

дает представление об элементной структуре Т.С.. В противоположность коэффициенту отказов К

ОЭ

он

учитывает количество элементов в Т.С., а поэтому более полно характеризует надежность элементов. В

этом его основное преимущество как количественной характеристики надежности. Так же, как и

коэффициент отказов, относительный коэффициент отказов элементов характеризует надежность

элементов в Т.С. как длительного, так и разового использования.

3)Коэффициент расхода элементов К

РЕ

Коэффициентом расхода элементов называют отношение числа отказавших и изъятых в

процессе профилактических осмотров и ремонтов элементов в единицу времени к общему числу

данных элементов в аппаратуре.

Этот коэффициент обозначается К

. Согласно определению

iизi

РЭ









, (18)

где n

из

– .число элементов i-го типа, изъятых за время nв процессе профилактических осмотров и

ремонтов аппаратуры.

- см. коэффициент К

ОЭ

–общее число элементов i группы

Коэффициент расхода элементов позволяет определить число элементов, необходимое для

нормальной эксплуатации Т.С. в течение определенного промежутка времени.

Зная К

РЭ

, можно научно обосновать необходимый состав запасных элементов для любой, сколь

угодно сложной аппаратуры. В этом – основное значение данной характеристики.

Указанная особенность коэффициента расхода элементов делает его одной из важнейших

характеристик для ремонтников, а также эксплуатационников. Так же, как и частота отказов, он хорошо

характеризует надежность элементов Т.С.длительного использования, работающей в режиме смены

элементов, и не характеризует надежность элементов Т.С.разового использования.

3.*Прочие коэффициенты надежности циклового функционирования Т.С.

1) Коэффициент стоимости эксплуатации К

СЭ

Коэффициентом стоимости эксплуатации называется отношение стоимости годовой

эксплуатации аппаратуры к стоимости ее изготовления.

Если обозначить этот коэффициент через К

СЭ

. , то согласно данному определению

СЭ

К 

, (19)

где С

с.э

– стоимость годовой эксплуатации Т.С. , C

– стоимость изготовления аппаратуры.

Следует отметить что, спроектировать и изготовить надежную Т.С. достаточно трудно. Для этого

необходимо 1)добиваться максимального упрощения аппаратуры её без ухудшения других ее

характеристик,2) выбирать наиболее надежные элементы, 3)облегчить режимы их работы и т.п. Все это

требует дополнительных средств. Поэтому с увеличением надежности Т.С. стоимость ее изготовления

существенно возрастает.

Эксплуатация надежной Т.С, как правило, не требует большого числа запасных деталей, наличия

специальных ремонтных органов и т.п., поэтому стоимость эксплуатации Т.С.тем ниже, чем надежнее

Т.С.. Таким образом, коэффициент стоимости эксплуатации (К

с.э

) характеризует надежность Т.С.,

причем чем меньше этот коэффициент, тем надежнее аппаратура.

Стоимость изготовления и эксплуатации Т.С. зависит не только от ее надежности, но также от очень

большого числа других факторов: от сложности Т.С. , производительности труда, квалификации

обслуживающего персонала и т.п. Поэтому коэффициент стоимости эксплуатации не может служить

обобщенной характеристикой экономичности Т.С..

Во многих случаях выгодно производить такие Т.С., суммарная стоимость которых (стоимость

эксплуатации и изготовления) минимальна, т.е.

+ С

= С = min. (20)

Так как с повышением надежности стоимость эксплуатации понижается, а стоимость

изготовления возрастает, то очевидно, что суммарная стоимость будет иметь минимум при

определенном значении надежности. Таким образом, Т.С., имеющая малый коэффициент стоимости

эксплуатации т.е К

СЭ

, может оказаться в определенных условиях невыгодной, так как ее суммарная

стоимость может оказаться большой.

Однако приведенное условие во многих случаях может служить удобным критерием качества

аппаратуры. На основании анализа критерия минимума суммарной стоимости можно выработать

оптимальные количественные характеристики Т.С.. , изменять значения стоимости эксплуатации и

стоимость изготовления, а, следовательно, находить оптимальные значения коэффициента стоимости

эксплуатации. Отсюда коэффициент стоимости эксплуатации аппаратуры, спроектированной по

минимуму суммарной ее стоимости, будет производным от других количественных характеристик

надежности, и его использование целесообразно лишь для экономических расчетов. В этом случае он теряет

смысл количественной характеристики надежности.

Из сказанного становится ясным, что использование коэффициента стоимости эксплуатации в

качестве количественной характеристики надежности ограничено.

Тестовые вопросы к разделу «Коэффициенты надежности циклового

функционирования ТС»

Вопрос

Ответ ( с пояснениями почему этот параметр является

ответом , а другой -нет )

1. К коэффициентам надежности

не относятся:…

1. Коэффициент эффективности2. Коэффициент

готовности3. Коэффициент отказов4. Коэффициент

значимости

2. Коэффициент готовности

зависит: …

1. От времени эксплуатации аппаратуры2. От качества

составляющих материалов3. От времени простоя4. От

квалификации рабочих

3. Время восстановления зависит

от: …

1 Надежности 2 Интенсивности использования

3 Качества материалов 4 Квалификации

обслуживающего персонала

4. К чему может привести

уменьшение числа

профилактических осмотров?

1. К уменьшению среднего времени между соседними

отказами 2. К экономии ресурсов предприятия3. К

увеличению цикла использования оборудования4. К

повышению коэффициента готовности аппаратуры

5. К коэффициентам,

характеризующим частоту

профилактических

мероприятий относятся: …

1. Частота профилактики2. Коэффициент готовности3.

Коэффициент значимости4. Коэффициент

профилактики

6. Что позволяет сделать

коэффициент отказов?

1. Выделить элементы, надежность которых необходимо

повысить2. Определить качество аппаратуры3.

Провести анализ степени готовности оборудования к

работе4. Такого коэффициента нет

7. Коэффициент расхода

позволяет определить: …

1. Число элементов? необходимых для нормальной

эксплуатации оборудования2. Количество затрат3.

Степень загруженности оборудования4. Стоимость

эксплуатации

8. Коэффициент отказов

характеризует: …

1. Элементарную структуру системы2. Количественный

состав материалов3. Качественный состав

материалов4. Эффективность использования

оборудования

9. Общая черта коэффициента

отказов и относительного

коэффициента отказов: …

1. Характеризуют надежность элементов в аппаратуре2.

Взаимозаменяемы3. При расчете используют одни и

те же данные4. Общих черт нет

10. При определении какого

коэффициента учитывается

условие:

+ С

= С = min?

1. Стоимости эксплуатации2. Готовности3. Отказа

элемента4. Профилактики

Контрольные вопросы

1. Группы коэффициентов надежности циклового функционирования Т.С.. 2. Коэффициент

готовности. 3. Коэффициент вынужденного простоя.4. Коэффициент профилактики. 5. Частота

профилактики .6. Коэффициент отказов. 7. Относительный коэффициент отказов. 8. Коэффициент

расхода элементов.9. Коэффициент значимости. 10. Коэффициент стоимости эксплуатации.

Пример 1

Техническая система имела среднюю наработку на отказ t

cр

= 65 ч и среднее время

восстановления t

= 1,25 ч. Требуется определить коэффициент готовности.

Решение

Коэффициент готовности равен:.

98,0

019,01















вcp

ЛЕКЦИЯ 9

Законы распределения отказов

9.1.Введение.Понятие о законе распределения случайной дискретной величины.

1.Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой есть отдельные

изолированные числа, которые эта величина принимает с определенными вероятностями. Другими

словами, возможные значения дискретной случайной величины можно пронумеровать. Число

возможных значений случайной величины может быть конечным или бесконечным.

2.Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень её возможных

значений и соответствующих им вероятностей. Закон распределения дискретной случайной величины Х

может быть задан виде таблицы, первая строка которой содержит значение xj, а вторая – вероятности pi;

например

Х х1 х2 … хn

Р p1 p2 … pn

Где





Если множество возможных значений Х бесконечно (счетно), то ряд р1+р2… сходится и его сумма

равна 1

3, Закон распределения дискретной случайной величины X может быть также задан аналитически (в

виде формулы)

)()(

xxXP





, т.е.

с помощью некоторой функции распределения.

4. Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически для чего в

прямоугольной системе координат строят точки возможных значений X, и соответствующих

вероятностей и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником

распределения.

Пример.

Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента

в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

Решение.

Дискретная случайная величина X (число отказавших элементов в одном опыте) имеет следующие

возможные значения:

= 0 (ни один из элементов устройства не отказал),

= 1 (отказал один

элемент),

= 2 (отказали два элемента) и

= 3 (отказали три элемента).

Отказы элементов независимы один от другого, вероятности „отказа каждого элемента равны между

собой, поэтому за функцию распределения можно принять формулу Бернулли. Учитывая, что, по

условию, n = 3, р = 0.1 (следовательно, q = 1-0.1 =0.9), получим: "" $>

)0(

;243.09.0*7.0*3)1(;729.09.0

221

 pgСРg

;027.09.0*1.0*3)2(

222

 gpCP

.001.01.0)3(

P

Контроль: 0,729 + 0,243+0,027+0,001 = 1. "Напишем искомый закон распределения X: (Для функций

Бернулли)

Х 0 1 2 3

p 0.729 0.243 0.027 0.001

9.2.Методы построения кривых отказа

В общем случае анализа ТС , оценки динамики её эксплуатации т.е. изменения во времени функция

распределения одной из характеристик надежности например, φ(t), f(t) может быть приближенна

определена из опыта. Для чего ставится эксперимент: наблюдается работа большого числа N

однородных элементов, каждый из которых работает до момента отказа. Время, в течение которого

работал элемент, регистрируется. Полученные значения выхода из строя элементов для каждого

времени: t

, t

, … , t

обрабатываются методами математической статистики: строится график,

выравнивается плавной кривой. (Например, рис. 1)

На графике значения ординаты графика могут быть различными, и зависят от принятой

количественной характеристики одной из ординат.

Например

1) n – доработавших до отказа деталей элементов ТС.

Тогда это просто график распределения отказавших элементов.

2) n/N – тогда ордината графика на каждом элементарном участке времени

t

представляет собой не

что иное, как среднее число (частоту)отказов за единицу времени, приходящееся на один испытанный

элемент т.е. ее можно определить из соотношения:

tttn







),(

)(

где

tttn ,(

)

-число элементов, отказавших на участке времени

t

;N-общее число элементов.

nN 

- тогда ордината графика на каждом элементарном участке представляет среднее число

безотказно работающих элементов в единицу времени

В результате построений могут быть получены различные по форме и сущности графики

распределения случайных величин: отказов элементов, безотказной работы и т.д.. И очень важно на

этом этапе правильно проводить оценку графиков с понятийной и математической стороны.

9.3.Примеры стандартных кривых- графиков распределения отказов

В теории эксперимента и вероятности для экспериментальной оценки опытов используют целый ряд

стандартных кривых, к которым стараются привести эмпирические данные.

Например:

)(tf

функция распределения времени работы изделия до отказа.

)()( tfmtf 

, где m абсолютное значение частностей (абсолютных или относительных) работы

изделия до отказа.

m- количество изделий, безотказно работающих за время t,

m/n- отношение абсолютного значения количества изделий к общему количеству исследованных, в

этом случае m/n=P(t), где P(t)- вероятность события.

2)F(t)- функция распределения времени работы изделия, строящая на основе относительных значений

количеств изделий, безотказно работающих заданное время t.

)()(

tft

tF 











































Так как (m/n)t

-частота выхода из строя отказа на этапе t

- кривая F(t)- есть функция отказов .

3)Q

- Функция распределения времени работы изделия, строящаяся на основе f(t) и Q(t)=1-F(t)

Общие соотношения между полигамами распределения f(t) и комулятивными функциями F(t).

)()( tFtTP 

)()()(

1221

tFtFtTtP 

)()( tftF 







)()()(

tPdttftTtP

4)Пример. Закон экспоненциального распределения

etf





)(

- функция распределения отказов.

etP





)(

-вероятность отказов

etPtF





 1)(1)(

-функция распределения времени безотказной работы.

5)Закон Вейбулла