Лекции - Моделирование и идентификация объектов управления в НГО

Подождите немного. Документ загружается.

Распределение времени пребывания частиц потока в аппарате (РВП)

имеет стохастическую природу и оценивается статистическим распреде-

лением.

Наиболее существенными источниками неравномерности распределе-

ния элементов потока во времени пребывания в промышленных аппаратах

являются: 1) неравномерность профиля скоростей системы; 2) турбулизация

потоков; 3) наличие застойных областей в потоке; 4) каналообразование,

байпасные и перекрестные токи в системе; 5) температурные градиенты

движущихся сред; 6) тепло- и массообмен между фазами и т.п.

Может оказаться, что истинное время пребывания в аппарате частиц

потока недостаточно для осуществления процесса диффузии, а от этого

зависит эффективностъ всего диффузионного процесса в целом. Поэтому

важным является учет реальной структуры потоков фаз в аппарате (а, сле-

довательно, по времени пребывания) с помощью модельных представлений о

внутренней структуре потоков.

Для процессов массопередачи описание структуры потоков имеет еще и

тот смысл, что позволяет установить перемещение и распределение веществ

в этих потоках. Поэтому все гидродинамические модели потоков

записываются преимущественно в виде уравнений, определяющих изме-

нение концентрации всщества в потоке.

Далее будут рассмотрены экспериментальные методы исследования

структуры потоков в реальных аппаратах, наиболее распространенные

математические модели структуры потоков и методы определения пара-

метров моделей

Л.1 стр.51-81, Л.3,стр. 15-35

/1/ гл.2.1-2.4. /2/ гл. 1.4-1.9.

Контрольные вопросы

1. Математические модели динамики

2. Динамика материальных потоков

3. Динамика массообменных процессов

4. Динамика теплообмена

ЛЕКЦИЯ 5. Преобразование уравнений.

1. Методы линеаризации нелинейных уравнений.

2. Преобразование дифференциальных уравнений к операторному.

1. Методы линеаризации нелинейных уравнений.

Решение систем линейных уравнений- задача, к решению которой хорошо

приспособлены аналоговые вычислительные машины.

Нелинейность резко усложняет решение, и, как правило, в этом случае

требуется использование численных методов.

Часто применяется метод линеаризации нелинейных уравнений. Для

линеаризации нелинейной функции необходимо ее разложить в ряд

Тейлора или Маклорена.

Производная функции определяется разностным отношением:

zfzzf









)()(

lim)(

Если существует предел и не зависит от того, как стремится к нулю, то

функция является аналитической. Следовательно в окрестности некоторой

точки а можно ее разложить в ряд Тейлора:

...)(

)()( 









 af

afzf

Если а=0 , то получаем ряд Маклорена:

...)0(

...)0('

)0()( 

fzf

Учитывая , что последующие слагаемые выше второго достаточно

малые величины, можно заменить функцию линейной частью разложения.

2. Преобразование дифференциальных уравнений к операторному

Результаты моделирования динамических процессов часто сводится к

решению дифференциальных уравнений. Если применить к

дифференциальным уравнениям операционные исчисления, то облегчается

решение дифференциальных уравнений.

К операторным методам относится метод преобразования Лапласа:









 dtetfpF

)()(

Обратное преобразование имеет вид:



 dtepF

)(



F(p)=L[f(t)] – называется изображением функции f(t), называемой

оригиналом.

Основные свойства преобразования Лапласа:

1. Линейность

L[f

(t)+f

(t)]=L[f

(t)]+L[f

(t)]=F

(p)+F

(p)

L[af(t)]=aL[f(t)]=aF(p)

2. Свойство подобия

L[f(at)]=1/a F(p/a)

3. Правило дифференцирования

L[df/dt]=pF(p)-f

L[d

f/dt

]=pF(p)-(pf

)

4. Правило интегрирования

L[∫f(t)dt]= F(p)/p +(f-1)/p

L[ ∫∫ f(t) (dt)

]= F(p)/p

+ (f-1)/p

+(f-2)/p

5. Теорема о предельном значении

lim f(t) = lim p F(p)

t→0 p→0

6. Теорема о начальном значении

lim f(t) = lim F(p)

t→0 p→∞

7. Теорема о запаздывания

L [ f(t-τ) ] =e

-τp

F(p)

8. Теорема о сдвиге

L [ e

± λ t

f(t) ]= F(p ±λ)

9. Теорема о свертке

Если F

(p)= L[ f

(t) ] и F

(p)= L[ f

(t) ] , то

(p) F

(p)= L [ ∫ f

(t- τ) f

(τ) dt ]

Л.1 стр.81-192, Л.3,стр. 25-55

Контрольные вопросы

1. Линеаризация уравнений

2. Оригинал и изображение

3. Свойства преобразования Лапласа

ЛЕКЦИЯ 6. Аналитические методы определения характеристик

объектов.

1.Основные уравнения динамики

Можно выделить следующие подходы к разработке математических

моделей технологических объектов: теоретический (аналитический),

экспериментально-статистический, методы построения нечетких моделей и

комбинированные методы. Дадим пояснения к этим методам.

Аналитическими методами составления математического описания

технологических объектов обычно называют способы вывода уравнений

статики и динамики на основе теоретического анализа физических и

химических процессов, происходящих в исследуемом объекте, а также на

основе заданных конструктивных параметров аппаратуры и характеристик

перерабатываемых веществ. При выводе этих уравнений используются

фундаментальные законы сохранения вещества и энергии, а также

кинетические закономерности процессов переноса массы и теплоты,

химических превращений.

Для составления математических моделей на основе теоретического

подхода не требуется проведения экспериментов на объекте, поэтому такие

методы пригодны для нахождения статических и динамических

характеристик вновь проектируемых объектов, процессы которых достаточно

хорошо изучены. К недостаткам таких методов составления моделей можно

отнести сложность получения и решения системы уравнений при достаточно

полном описании объекта.

Детерминированные модели процессов нефтепереработки

разрабатываются на основе теоретических представлений о структуре

описываемой системы и закономерностях функционирования её отдельных

подсистем, т.е. на основе теоретических методов. Располагая даже самыми

обширными экспериментальными данными о системе, нельзя описать её

работу средствами детерминированной модели, если эти сведения не

обобщены и не приведена их формализация, т.е. представлены в виде

замкнутой системы математических зависимостей, отображающих с той или

иной достоверностью механизм исследуемых процессов. В таком случае

следует воспользоваться имеющимися экспериментальными данными для

построения статистической модели системы.

Этапы разработки детерминированной модели представлены на рис. 4.

Постановка задачи

Построение физической модели

Формулировка математической модели

Выбор метода и разработка алгоритма

решения задачи

Выбран аналитический метод?

Аналитическое Программирование и отладка

решение задачи программы на ЭВМ

Выбор параметров вычисли-

тельного процесса

Эксперименталь-

Решение контрольных задач ное определение

констант модели

Нет

Контрольные экспе- Проверка адекватности Корректировка

рименты на натур- модели модели

ном объекте Да

Исследование процесса с Информационная

помощью модели модель

Оптимизационная Оптимизация процесса с Определение целевой

модель помощью модели функции и ограничении

Управление процессом с Модель управления

помощью модели

Рис.4. Этапы разработки детерминированной модели

Несмотря на существенные различия в содержании конкретных задач

моделирования разнообразных процессов нефтепереработки, построение

модели включает определенную последовательность взаимосвязанных

этапов, реализация которых позволяет успешно преодолевать возникающие

трудности.

Первым этапом работы является постановка задачи (блок 1),

включающая формулировку задания на основе анализа исходных данных о

системе и её изученности, оценки выделяемых для построения модели

ресурсов (кадры, финансы, технические средства, время и т.д.) в

сопоставлении с ожидаемым научно-техническим и социально-

экономическим эффектом.

Постановка задачи завершается установлением класса разрабатываемой

модели и соответствующих требований к ее точности и чувствительности,

быстродействию, условиям эксплуатации, последующей корректировки и т.д.

Следующим этапом работы (блок 2) является формулировка модели на

основе понимания сущности описываемого процесса, разделяемого в

интересах его формализации на элементарные составляющие явления

(теплообмен, гидродинамика, химические реакции, фазовые превращения и

т.д.) и согласно принятой степени детализации - на агрегаты (макроуровень),

зоны, блоки (микроуровень), ячейки. При этом становится ясно, какими

явлениями необходимо или нецелесообразно пренебречь, в какой мере надо

учесть взаимосвязь рассматриваемых явлений. Каждому из выделенных

явлений ставится в соответствие определенный физический закон (уравнение

баланса) и устанавливаются начальные и граничные условия его протекания.

Запись этих соотношений с помощью математических символов - следующий

этап (блок 3), состоящий в математическом описании изучаемого процесса,

образующем его исходную математическую модель.

В зависимости от физической природы процессов в системе и характера

решаемой задачи математическая модель может включать уравнения баланса

массы и энергии для всех выделенных подсистем (блоков) модели, уравнения

кинетики химических реакций и фазовых переходов и переноса вещества,

импульса, энергии и т.д., а также теоретические и (или) эмпирические

соотношения между различными параметрами модели и ограничения на

условия протекания процесса. В связи с неявным характером зависимости

выходных параметров Y от входных переменных X в полученной модели

необходимо выбрать удобный метод и разработать алгоритм решения задачи

(блок 4), сформулированной в блоке 3. Для реализации принятого алгоритма

используются аналитические и численные средства. В последнем случае

необходимо составить и отладить программу для ЭВМ (блок 5), выбрать

параметры вычислительного процесса (блок 6) и осуществить контрольный

счёт (блок 8). Аналитическое выражение (формула) или программа,

введенная в ЭВМ, представляют новую форму модели, которая может быть

использована для изучения или описания процесса, если будет установлена

адекватность модели натурному объекту (блок 11).

Для проверки адекватности необходимо собрать экспериментальные

данные (блок 10) о значениях тех факторов и параметров, которые входят в

состав модели. Однако проверить адекватность модели можно только в том

случае, если будут известны (из табличных данных и справочников) или

дополнительно экспериментально определены некоторые константы,

содержащиеся в математической модели процесса (блок 9).

Отрицательный результат проверки адекватности модели

свидетельствует о её недостаточной точности и может быть следствие целого

набора различных причин. В частности, может потребоваться переделка

программы с целью реализации нового алгоритма, не дающего столь

большой погрешности, а также корректировка математической модели или

внесение изменений в физическую модель, если станет ясно, что

пренебрежение какими-либо факторами является причиной неудачи. Любая

корректировка модели (блок 12) потребует, конечно, повторного

осуществления всех операций, содержащихся в нижележащих блоках.

Положительный результат проверки адекватности модели открывает

возможность изучения процесса путём проведения серии расчётов на модели

(блок 13), т.е. эксплуатации полученной информационной модели.

Последовательная корректировка информационной модели с целью

повышения её точности путём учёта взаимного влияния факторов и

параметров, введения в модель дополнительных факторов и уточнение

различных «настроечных» коэффициентов позволяет получить модель с

повышенной точностью, которая может быть инструментом для более

глубокого изучения объекта. Наконец, установление целевой функции (блок

15) с помощью теоретического анализа или экспериментов и включение в

модель оптимизирующего математического аппарата (блок 14) для

обеспечения целенаправленной эволюции системы в область оптимума даёт

возможность построить оптимизационную модель процесса. Адаптация

полученной модели для решения задачи управления производственным

процессом в реальном масштабе времени (блок 16) при включении в систему

средств автоматического регулирования завершает работу по созданию

математической модели управления.

Л.1 стр.111-122, Л.4,стр. 47-65

Контрольные вопросы

1. Аналитические методы разработки математических моделей.

2. Этапы разработки детерминированных моделей.

ЛЕКЦИЯ 7. Виды упрощений математических моделей

1. Упрощение математических моделей.

2. Качественный анализ уровня адекватности моделей..

1. Упрощение математических моделей

После перехода от описания моделируемой системы S к ее модели M

построенной по блочному принципу, необходимо построить математические

модели процессов, происходящих в различных блоках. Математическая

модель представляет собой совокупность соотношений (например,

уравнений, логических условий, операторов), определяющих характеристики

процесса функционирования системы S в зависимости от структуры системы,

алгоритмов поведения, параметров системы, воздействий внешней среды E,

начальных условий и времени. Математическая модель является результатом

формализации процесса функционирования исследуемой системы, т.е.

построения формального (математического) описания процесса с

необходимой в рамках проводимого исследования степенью приближения к

действительности.

Для иллюстрации возможностей формализации рассмотрим процесс

функционирования некоторой гипотетической системы S, которую можно

разбить на m подсистем с характеристиками y

(t), y

(t), …, y

(t) с

параметрами h

, h

, …, h

при наличии входных воздействий x

, x

, …, x

воздействий внешней среды



,...,,

. Тогда математической моделью

процесса может служить система соотношений вида

)1(

......................

);;...,,,;...,,,;...,,,()(

21212122

21212111













thhhxxxfty

nHnVnX



Если бы функции f

, f

, …, f

были известны, то соотношения (1)

оказались бы идеальной математической моделью процесса

функционирования системы S. Однако на практике получение модели

достаточно простого вида для больших систем чаще всего невозможно,

поэтому обычно процесс функционирования системы S разбивают на ряд

элементарных подпроцессов. При этом необходимо так проводить разбиение

на подпроцессы, чтобы построение моделей отдельных подпроцессов было

элементарно и не вызывало трудностей при формализации. Таким образом,

на этой стадии сущность формализации подпроцессов будет состоять в

подборе типовых математических схем. Например, для стохастических

процессов это могут быть схемы вероятностных автоматов (P-схемы), схемы

массового обслуживания (Q-схемы) и т.д., которые достаточно точно

описывают основные особенности реальных явлений, составляющих

подпроцессы, с точки зрения решаемых прикладных задач.

Таким образом, формализация процесса функционирования любой

системы S должно предшествовать изучение составляющих его явлений. В

результате появляется содержательное описание процесса, которое

представляет собой первую попытку четко изложить закономерности,

характерные для исследуемого процесса, и постановку прикладной задачи.

Содержательное описание является исходным материалом для последующих

этапов формализации: построения формализованной схемы процесса

функционирования системы и математической модели этого процесса. Для

моделирования процесса функционирования системы на ЭВМ необходимо

преобразовать математическую модель процесса в соответствующий

моделирующий алгоритм и машинную программу.

Подэтапы первого этапа моделирования. Рассмотрим более подробно

основные подэтапы построения концептуальной модели системы M

и ее

формализации.

1.1. Постановка задачи машинного моделирования системы. Дается

четкая формулировка задачи исследования конкретной системы S и основное

внимание уделяется таким вопросам, как: а) признание существования задачи

и необходимости машинного моделирования; б) выбор методики решения

задачи с учетом имеющихся ресурсов; в) определение масштаба задачи и

возможности разбиения ее на подзадачи.

Необходимо также ответить на вопрос о приоритетности решения

различных подзадач, оценить эффективность возможных математических

методов и программно-технических средств их решения. Тщательная

проработка этих вопросов позволяет сформулировать задачу исследования и

приступить к ее реализации. При этом возможен пересмотр начальной

постановки задачи в процессе моделирования.

1.2. Анализ задачи моделирования системы. Проведение анализа задачи

способствует преодолению возникающих в дальнейшем трудностей при ее

решении методом моделирования. На рассматриваемом втором этапе

основная работа сводится именно к проведению анализа, включая: а) выбор

критериев оценки эффективности процесса функционирования системы S; б)

определение эндогенных и экзогенных переменных модели M; в) выбор

возможных методов идентификации; г) выполнение предварительного

анализа содержания второго этапа алгоритмизации модели системы и ее

машинной реализации; д)выполнение предварительного анализа содержания

третьего этапа получения и интерпретации результатов моделирования

системы.

1.3. Определение требований к исходной информации об объекте

моделирования и организация ее сбора. После постановки задачи

моделирования системы S определяются требования к информации, из

которой получают качественные и количественные исходные данные,

необходимые для решения этой задачи. Эти данные помогают глубоко

разобраться в сущности задачи, методах ее решения. Таким образом, на этом

подэтапе проводится: а) выбор необходимой информации о системе S и

внешней среде E; б) подготовка априорных данных; в) анализ имеющихся

экспериментальных данных; г) выбор методов и средств предварительной

обработки информации о системе.

При этом необходимо помнить, что именно от качества исходной

информации об объекте моделирования существенно зависят как

адекватность модели, так и достоверность результатов моделирования.

1.4. Выдвижение гипотез и принятие предположений. Гипотезы при

построении модели системы S служат для заполнения «пробелов» и

понимания задачи исследователем. Выдвигаются такие гипотезы

относительно возможных результатов моделирования системы S,

справедливость которых проверяется при проведении машинного

эксперимента. Предположения предусматривают, что некоторые данные

известны или их нельзя получить. Предположения могут выдвигаться

относительно известных данных, которые не отвечают требованиям решения

поставленной задачи. Предположения дают возможность провести

упрощения модели в соответствии с выбранным уровнем моделирования.

При выдвижении гипотез и принятия предположений учитываются

следующие факторы: а) объем имеющейся информации для решения задач; б)

подзадачи, для которых информация недостаточна; в) ограничения на

ресурсы времени для решения задачи; г) ожидаемые результаты

моделирования.

Таким образом, в процессе работы с моделью системы S возможно

многократное возвращение к этому подэтапу в зависимости от полученных

результатов моделирования и новой информации об объекте.

1.5. Определение параметров и переменных модели. Прежде чем

перейти к описанию математической модели, необходимо определить

параметры системы

,,1,

nkh 

входные и выходные переменные

,,1,,,1,

yjXi

njynix 

воздействия внешней среды

.,1,

1 V

nl 



Конечной

целью этого подэтапа является подготовка к построению математической

модели системы S, функционирующей во внешней среде E, для чего

необходимо рассмотрение всех параметров и переменных модели и оценка

степени их влияния на процесс функционирования системы в целом.

Описание каждого параметра и переменной должно даваться в следующей

форме: а) определение и краткая характеристика; б) символ обозначения и

единица измерения; в) диапазон изменения; г) место применения в модели.