Ларичев О. Теория и методы принятия решений

Подождите немного. Документ загружается.

ся от роли любого сотрудника организации. Можно сказать, что

руководитель дает заказ и получает готовое решение. Все ос-

тгшьное делают аналитики-специгшисты по исследованию опе-

раций. В общем случае заказ руководителя может быть сфор-

мулирован в следующем виде: найти наилучшее (оптимальное),

единственно верное и научно обоснованное решение. Давая та-

кой заказ, руководитель находится в достаточно удобном поло-

жении: он полагается на силу научного подхода.

Существует объективный критерий успехов в примене-

нии методов исследования операций. Если проблема, требующая

решения, ясна и критерий определен, то аналитический метод

сразу показывает, насколько новое решение лучше старого. Оп-

тимгшьное решение проблемы бессмысленно оспаривать.

Опишем две классические задачи исследования операций.

Первая из них получила название обобщенной транспорт-

ной задачи [2]. Пусть имеется большая авиакомпания, перево-

зящая пассажиров по различным маршрутам. Руководство

компании определяет, какие самолеты (по вместительности) и

сколько самолетов должны обслуживать различные маршруты.

Считается, что известны потоки пассажиров между разными

городами и общее число имеющихся самолетов различного ти-

па. Требуется распределить самолеты по маршрутам так, чтобы

минимизировать расходы на их обслуживание.

Вторая задача получила название задачи о назначениях.

Предполагается, что необходимо распределить заданное число

работ среди исполнителей так, чтобы каждый исполнитель вы-

полнял одну работу. Стоимость выполнения каждой из работ

каждым исполнителем известна. Нужно распределить работы

так, чтобы суммарная стоимость их выполнения была мини-

мальной.

Словесному описанию этих двух задач соответствует четкое

математическое описание [2], представляющее собой математи-

ческую модель.

3. Появление многокритериальности

При широком применении методов исследования операций

аналитики стали сталкиваться с задачами, где имеется не один,

а несколько критериев оценки качества решения.

Рассмотрим описанную выше обобщенную транспортную

задачу. Добавим к критерию минимальных расходов на обслу-

живание самолетов вполне естественные критерии максимума

прибыли и максимума комфорта для пассажиров. Если есть три

критерия, то необходимо согласовать их. Какое соотношение

между оценками по критериям является наилучшим? Ответ на

этот вопрос не определен условиями задачи. Нужна дополни-

тельная информация, которая может быть получена только от

руководства авиакомпании.

Обратимся теперь к задаче о назначениях. Возьмем часто

встречаюш;ийся случай, когда работы неодинаковы по своей

важности, а исполнители различаются по качеству выполняе-

мой работы [3]. Тогда к приведенному выше критерию мини-

мальной стоимости можно добавить критерий качественного

выполнения наиболее важных работ. Если есть уже два крите-

рия, по которым следует оценивать качество распределения ис-

полнителей по работам, то необходимо как-то согласовать их.

Какое отклонение от минимума стоимости оправдывает высо-

кокачественное выполнение важных работ? Ответ на этот во-

прос не вытекает из сформированной модели. Этот ответ вообш;е

не может быть получен объективным образом. Информация о

компромиссе может быть дана людьми, принимающими реше-

ния, на основе их опыта и интуиции.

Эти и многие им подобные задачи имеют следующую ха-

рактерную особенность: модель, описывающая множество до-

пустимых решений, объективна, но качество решения оценива-

ется по многим критериям. Для выбора наилучшего варианта

решения необходим компромисс между оценками по различным

критериям. В условиях задачи отсутствует информация, позво-

ляющая найти такой компромисс. Следовательно, он не может

быть определен на основе объективных расчетов.

Анализ многих реальных практических проблем, с которы-

ми сталкивались специалисты по исследованию операций, есте-

ственным образом привел к появлению класса многокритери-

альных задач.

При появлении многих критериев задачи выбора наилуч-

шего решения имеют следующие особенности.

• Задача имеет уникальный, новый характер

—

нет статисти-

ческих данных, позволяющих обосновать соотношения ме-

жду различными критериями.

• На момент принятия решения принципиально отсутствует

информация, позволяющая объективно оценить возможные

последствия выбора того или иного варианта решения. Но

поскольку решение так или иначе должно быть принято, то

недостаток информации необходимо восполнить. Это может

быть сделано лишь людьми на основе их опыта и интуиции.

4. Первые многокритериальные решения:

сколько строить ракет?

Одним из первых подходов к принятию решений при двух

критериях является метод «стоимость—эффективность». Он был

разработан в конце 50-х годов в США для решения военных за-

дач.

В годы ракетно-ядерной гонки США

—

СССР одной из ос-

новных была задача о достаточности системы нападения для

преодоления защиты потенциального противника. Метод

«стоимость—эффективность» состоит из трех основных этапов:

1) построения модели эффективности;

2) построения модели стоимости;

3) синтеза оценок стоимости и эффективности.

Пример типичной модели, используемой в методе «стои-

мость—эффективность» для анализа вариантов построения во-

енно-технических систем, дан на рис 14.

Модель состоит из двух частей

—

модели стоимости и моде-

ли эффективности. Эти модели используются для выбора воен-

ной системы с определенным числом ракет. Модель стоимости

представляет зависимость общей стоимости от количества ра-

кет, а модель эффективности

—

зависимость вероятности пора-

жения целей от количества ракет. Обе модели в данном случае

можно рассматривать как объективные: они строятся на базе

фактических данных, надежного статистического материала.

Однако выходные параметры этих моделей не объединяются

посредством заданной зависимости; используется суждение ру-

ководителя, который определяет предельные значения стоимо-

сти,

необходимые значения эффективности. Часто используют

отношение стоимости к эффективности, но при этом рекоменду-

ется обращать внимание на абсолютные значения этих величин.

с ю

е-

•©•

<п

1,0

Вероят-

ность

0,5

пораже-

ния цели

100

300 500

Число ракет

Стоимость

100

300 500

Число ракет

Синтез

стои-

мости

и эффек-

тивно-

сти

Реко-

менда-

ции

Рис.

14. Модели, используемые в методе «стоимость-эффективность»

Основное отличие приведенной модели

от

типичных моде-

лей исследования операций заключается

появлении субъек-

тивных суждений

при

синтезе стоимости

эффективности.

общем случае

на

этапе синтеза стоимости

эффективности

ре-

комендуется использовать

два

основных подхода:

фиксиро-

ванной эффективности

при

минимально возможной стоимости

(при таком подходе выбирается «самая дешевая» альтернатива,

обладающая заданной эффективностью);

фиксированной

стоимости

максимально возможной эффективности (случай

бюджетных ограничений)

[4].

Смысл этих подходов ясен

—

пе-

ревод одного

из

критериев оценки альтернатив

ограничение.

Но

при

этом сразу

же

возникает вопрос:

как, на

каком уров-

не установить ограничение

на

один

из

критериев. Объективный

единственно возможный ответ

на

этот вопрос

общем случае

не

вытекает

из

условий задачи.

Ни

требуемая эффективность,

ни

бюджетные ограничения

не

устанавливаются обычно достаточно

жестко. Очевидно,

что при

нескольких критериях этот

же

вопрос

становится существенно сложнее. Иначе говоря, когда аналитик

сам переводит все критерии, кроме одного,

ограничения,

он со-

вершает произвол, ничем

не

оправданный

точки зрения руко-

водителя, ответственного

за

решение проблемы.

В ряде случаев используют отношение двух указанных

вы-

ше критериев. Авторы метода предостерегают против механиче-

ского использования отношения стоимости

эффективности.

указывая, что оно может быть одним и тем же при разных аб-

солютных значениях числителя и знаменателя.

Третий подход к синтезу стоимости и эффективности при-

водит к построению множества Эджворта—Парето (рис. 15).

Сравним два варианта на множестве Эджворта—Парето. Вари-

ант А менее дорогой, чем вариант В, но и менее эффективный.

Вариант В более эффективный, чем вариант А, но и более доро-

гой.

Сравнивая варианты, находящиеся на множестве Парето,

ЛПР останавливается на одном из них и делает свой оконча-

тельный выбор.

Эффективность

max

Стоимость

max mm

Рис.

15. Множество Эджворта—Парето при двух критериях

5. Разные типы проблем

Подходы исследования операций и принятия решений суще-

ственно различаются, так как они направлены на принципиаль-

но разные проблемы принятия решений, существующие в окру-

жающем нас реальном мире. Эти принципиальные различия

стремились подчеркнуть авторы множества классификаций про-

блем принятия решений. Так, в известной классификации, пред-

ложенной в 1958 г. в статье Г. Саймона и А. Ньюэлла [5], выде-

ляются так называемые хорошо и слабоструктуризованные про-

блемы. Хорошо структуризованные, или количественно сфор-

мулированные проблемы

—

те, в которых существенные зависи-

мости выяснены настолько хорошо, что могут быть вьфажены

в числах или символах, получающих в конце концов численные

оценки. Слабоструктуризованные, или смешанные проблемы

—

те,

которые содержат как качественные, так и количественные

элементы, причем качественные, малоизвестные и неопределен-

ные стороны проблем имеют тенденцию доминировать.

Важно подчеркнуть, что в типичных задачах исследования

операций объективно существует реальность, допускающая

строгое количественное описание и определяющая существова-

ние единственного очевидного критерия качества. Изучение ре-

альной ситуации может требовать большого труда и времени.

Необходимая информация может быть дорогостоящей (напри-

мер,

требуются специальные исследования, чтобы определить

значения ряда параметров). Однако при наличии средств и хо-

рошей квалификации аналитиков имеются все возможности

найти адекватное количественное описание проблемы, количе-

ственные связи между переменными и критерий качества.

Можно сказать, что типичные проблемы исследования опе-

раций являются хорошо структуризованными.

По-иному обстоит дело в многокритериальных задачах.

Здесь часть информации, необходимой для полного и однознач-

ного определения требований к решению, принципиально от-

сутствует. Исследователь часто может определить основные пе-

ременные, установить связи между ними, т. е. построить мо-

дель,

адекватно отражающую ситуацию. Но зависимости между

критериями вообще не могут быть определены на основе объек-

тивной информации, имеющейся в распоряжении исследовате-

ля.

Такие проблемы являются слабоструктуризованными, так

как здесь недостаток объективной информации принципиально

неустраним на момент принятия решения.

Более того, существуют проблемы, в которых известен

только перечень основных параметров, но количественные свя-

зи между ними установить нельзя (нет необходимой информа-

ции).

Иногда ясно лишь, что изменение параметра в определен-

ных пределах сказывается на решении. В таких случаях струк-

тура, понимаемая как совокупность связей между параметрами,

не определена, и проблема называется неструктуризованной.

Типичными неструктуризованными проблемами являются про-

блема выбора профессии, проблема выбора места работы и мно-

гие другие проблемы выбора. Слабоструктуризованные и не-

структуризованные проблемы исследуются в рамках научного

направления, называемого принятием решений при многих

критериях.

6. Два пространства

Появление многокритериальности привело к принципиаль-

ному изменению характера решаемой задачи. Предпочтения

ЛПР стали основой выработки решений. Они во многом опреде-

ляют результат решения. Из наблюдателя и заказчика ЛПР

превратился в решателя задачи. Решение теперь можно назвать

субъективным, хотя в процессе решения используются объек-

тивные модели.

Характерной особенностью многокритериальных задач с

объективными моделями является одновременное рассмотрение

двух пространств - пространства переменных, используемых

при построении модели, и пространства критериев.

Приведем иллюстративный пример: построим нарочито

простую модель с двумя параметрами и двумя критериями. Из

множества переменных, описываюш;их экономическую систему

современного государства, выберем два: х\

—

увеличение объема

денежной массы; хг — увели-

чение количества рабочих

мест.

Предположим, что опреде-

ленное количество рабочих

мест может быть создано без

увеличения объема денежной

массы, но дальнейшее их уве-

личение пропорционально объе-

му денежной массы (рис. 16).

На рисунке заштрихованная

область D может быть названа

областью допустимых значе-

ний параметров (xi и хг изме-

няются от

до 1).

Введем два критерия: Ci

—

уменьшение безработицы (в %);

Сг - увеличение ВНП (в %).

Заметим, что при одном критерии оптимальное решение

очевидно. При большом числе переменных и одном критерии

решение может быть найдено при помош;и стандартных про-

грамм линейного программирования (см. список литературы в

конце лекции).

0,5

у / / / / \/ / 7 / / !

/ / / / \ / / / / J',

// / / /'/ / ///\

/ / / / / ./ / / / /\

/ / // / / / / / л

/ / / / , ^/ / / / / у

0,5 1 ^1

Рис.

16. Связь количества рабочих

мест с увеличением денежной массы

Пусть критерии связаны с переменными следующими зави-

симостями:

Ci= 0,1л:, + 0,9x2; С2= 0,5xi + 0,5x2.

Эти зависимости позволяют построить допустимую область

изменения значений критериев S (рис. 17) при изменении пе-

ременных. Область S зависит от уравнений связи между пере-

менными и критериями. В реальных задачах число переменных

велико (до десятков тысяч), а число критериев невелико (обыч-

но не более 10). ЛПР работает с критериями, определяя свои

требования к качеству решения и анализируя область S. Отме-

тим еще раз, что область S появляется только в многокритери-

альных задачах.

(О,

45,

О,

25)

в(0,

5,0, 5)

Т 1 "Г

0,25 0,5 0,75 1 Ci

Рис.

17. Допустимая область S изменения значений критериев

7. Многокритериальный анализ

экономической политики

От чисто иллюстративной (и примитивной) модели перей-

дем к макроэкономической модели экономики Финляндии [6],

построенной в начале 70-х годов. Эта модель представляет со-

бой совокупность линейных уравнений и ограничений. Некото-

рые переменные в модели были управляющими, т. е. могли

быть изменены ЛПР. При определенных значениях управляю-

щих переменных получаем одно из возможных решений. Каче-

ство решений оценивалось по четырем критериям:

Ci - увеличение валового национального продукта (в %);

С2 - уменьшение инфляции (в %);

Сз - уменьшение безработицы (в %);

С4 - уменьшение дефицита внешней торговли (млрд фин-

ских марок).

Используя специальные человекомашинные процедуры

(см.

далее), несколько ЛПР получали при помощи макроэконо-

мической модели различные варианты экономической полити-

ки.

В табл. 3 приведены три варианта, полученные одним из

ЛПР.

Таблица 3

Значения критериев оценки вариантов экономической политики

Вариант решения

Наилучшие значения

-2,74

0,57

1,81

7,18

Са

8,16

9,00

8,88

8,16

Сз

3,28

2,81

2,64

1,88

С4

2,24

5,27

6,54

1,21

В нижней строке табл. 3 приведены наилучшие значения

каждого из критериев, которые можно получить, если взять

один из критериев как основной, а на другие не обращать вни-

мания. Наилучшие значения по всем критериям одновременно

не достижимы. Модель, т. е. совокупность зависимостей между

многочисленными переменными, описывающими экономику

Финляндии, не позволяет получить такое решение. Это означа-

ет, что соответствующая точка лежит за пределами области до-

пустимых значений.

Варианты экономической политики, представленные в

табл. 3, показаны также на рис. 18, где шкалы критериев по-

строены от лучших (нижних) к худшим (верхним) значениям.

Рисунок позволяет легко обнаружить, что три варианта эконо-

-3 -,

10 -,

3,5 -,

Рис.

18. Три варианта экономической политики

мической политики являются точками множества Э—П в четы-

рехмерном пространстве критериев. Действительно, первый ва-

риант дает минимальное значение инфляции, но отрицатель-

ный прирост ВНП и большую безработицу. Второй и третий ва-

рианты допускают большую инфляцию. Они приводят к росту

ВНП, но вырастает и дефицит внешней торговли. Эти противо-

речия отражают типичный характер вариантов многокритери-

альных решений. Для окончательного выбора нужен компро-

мисс:

приходится чем-то пожертвовать, чтобы что-то получить.

8. Две трудности для ЛПР

Приведенный выше пример позволяет объяснить, почему

многокритериальные задачи с объективными моделями сложны

для ЛПР.

Чтобы принять решение, необходимо, во-первых, устано-

вить,

насколько хорошие значения по '^критериям достижимы

одновременно. Сделать это совсем не просто. В отличие от ил-

люстративного примера на рис. 16, число переменных, описы-

ваюш;их область D допустимых значений, равно сотням и тыся-

чам. Получая каким-то из способов (см. далее) решение задачи,

ЛПР видит соотношения между критериями. Для поведения

ЛПР типичны попытки достичь «всего сразу* (т. е. получить

наилучшие значения по всем критериям одновременно). Ре-

зультаты таких попыток позволяют понять, чего можно дос-

тичь и чего нельзя. Наряду с этим ЛПР вырабатывает компро-

мисс между оценками по критериям, определяя желательное

для него отношение между ними в точке решения.

Выработка такого компромисса достигается тоже путем

проб, ошибок и затрат времени. На первых этапах решения

ЛПР обычно стремится к идеальному результату, но потом, с

опытом, его притязания становятся более реалистичными.

9. Исследование решений на множестве Э-П

При появлении многокритериальных задач возникла идея

построения пространства Э-П и организации работы ЛПР на

этом множестве.

Из современных направлений исследований, идуш;их по

этому пути, необходимо выделить два подхода. Первый из них