Лапин И.А., Ратафьева Л.С. Кратные интегралы. Теория поля

Подождите немного. Документ загружается.

åàçàëíÖêëíÇé éÅêÄáéÇÄçàü à çÄìäà êéëëàâëäéâ

îÖÑÖêÄñàà

îÖÑÖêÄãúçéÖ ÄÉÖçíëíÇé èé éÅêÄáéÇÄçàû

ëÄçäí-èÖíÖêÅìêÉëäàâ ÉéëìÑÄêëíÇÖççõâ

ìçàÇÖêëàíÖí àçîéêåÄñàéççõï íÖïçéãéÉàâ,

åÖïÄçàäà à éèíàäà

à.Ä. ãÄèàç

ã.ë. êÄíÄîúÖÇÄ

äêÄíçõÖ àçíÖÉêÄãõ.

íÖéêàü èéãü.

ì˜Â·ÌÓÂ ÔÓÒÓ·ËÂ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ë‡ÌÍÚ-èÂÚÂð·Ûð„

2009

äÓÎÎÂÍÚË‚ ‡‚ÚÓðÓ‚:

à.Ä. ã‡ÔËÌ, ã.ë. ê‡Ú‡Ù¸Â‚‡

äð‡ÚÌ˚Â ËÌÚÂ„ð‡Î˚. íÂÓðËﬂ ÔÓÎﬂ.

èÓ‰ Ó·˘ÂÈ ðÂ‰‡ÍˆËÂÈ ã.ë. ê‡Ú‡Ù¸Â‚ÓÈ

ì˜Â·ÌÓÂ ÔÓÒÓ·ËÂ. ëè·: ëè·Éì àíåé, 2009 „Ó‰, 112 Ò.

èðÂ‰Î‡„‡ÂÏÓÂ Û˜Â·ÌÓÂ ÔÓÒÓ·ËÂ ÔðÂ‰ÒÚ‡‚ÎﬂÂÚ ÒÓ·ÓÈ ·‡ÁÓ‚˚È

ÍÓÌÒÔÂÍÚ ÎÂÍˆËÈ ÔÓ ‚˚Ò¯ÂÈ Ï‡ÚÂÏ‡ÚËÍÂ ‰Îﬂ ÒÚÛ‰ÂÌÚÓ‚ 1-„Ó ÍÛðÒ‡

(2 ÒÂÏÂÒÚð) ‰ÌÂ‚ÌÓ„Ó Ë ‚Â˜ÂðÌÂ„Ó ÓÚ‰ÂÎÂÌËﬂ Ó·˘ÂËÌÊÂÌÂðÌ˚ı ÒÔÂ-

ˆË‡Î¸ÌÓÒÚÂÈ. Ç ÌÂÏ ð‡ÒÒÏ‡ÚðË‚‡˛ÚÒﬂ ÒÎÂ‰Û˛˘ËÂ ÚÂÏ˚: «Ñ‚ÓÈÌ˚Â

Ë ÚðÓÈÌ˚Â ËÌÚÂ„ð‡Î˚», «äðË‚ÓÎËÌÂÈÌ˚Â Ë ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚÌ˚Â ËÌÚÂ-

„ð‡Î˚», «ùÎÂÏÂÌÚ˚ ÚÂÓðËË ÔÓÎﬂ». ëÓ‰ÂðÊ‡ÌËÂ ÔÓÒÓ·Ëﬂ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ-

‚ÛÂÚ Ó·ð‡ÁÓ‚‡ÚÂÎ¸Ì˚Ï ÒÚ‡Ì‰‡ðÚ‡Ï Ë ÔðÓ„ð‡ÏÏÂ ÔÓ ‚˚Ò¯ÂÈ Ï‡ÚÂÏ‡-

ÚËÍÂ ‰Îﬂ Ì‡Ôð‡‚ÎÂÌËﬂ 550000 — íÂıÌË˜ÂÒÍËÂ Ì‡ÛÍË.

èðË Ì‡ÔËÒ‡ÌËË ÔÓÒÓ·Ëﬂ ËÒÔÓÎ¸ÁÓ‚‡ÎËÒ¸ Ï‡ÚÂðË‡Î˚ ‰ðÛ„Ëı ËÁ-

‰‡ÌËÈ, ÍÓÚÓð˚Â ÔðË‚Ó‰ﬂÚÒﬂ ‚ ÒÔËÒÍÂ ÎËÚÂð‡ÚÛð˚ ·ÂÁ ‰ÓÔÓÎÌËÚÂÎ¸-

Ì˚ı ÒÒ˚ÎÓÍ.

êÂÍÓÏÂÌ‰Ó‚‡ÌÓ Í ÔÂ˜‡ÚË ì˜ÂÌ˚Ï ëÓ‚ÂÚÓÏ

ÂÒÚÂÒÚ‚ÂÌÌÓÌ‡Û˜ÌÓ„Ó Ù‡ÍÛÎ¸ÚÂÚ‡ ëè·Éì

àíåé (ÔðÓÚÓÍÓÎ №5 ÓÚ 23 ‰ÂÍ‡·ðﬂ 2008

„Ó‰‡)

Ç 2007 „Ó‰Û ëè·Éì àíåé ÒÚ‡Î ÔÓ·Â‰ËÚÂÎÂÏ ÍÓÌÍÛðÒ‡ ËÌÌÓ‚‡-

ˆËÓÌÌ˚ı Ó·ð‡ÁÓ‚‡ÚÂÎ¸Ì˚ı ÔðÓ„ð‡ÏÏ ‚ÛÁÓ‚ êÓÒÒËË Ì‡ 2007-2008 „Ó-

‰˚. êÂ‡ÎËÁ‡ˆËﬂ ËÌÌÓ‚‡ˆËÓÌÌÓÈ Ó·ð‡ÁÓ‚‡ÚÂÎ¸ÌÓÈ ÔðÓ„ð‡ÏÏ˚ «àÌ-

ÌÓ‚‡ˆËÓÌÌ‡ﬂ ÒËÒÚÂÏ‡ ÔÓ‰„ÓÚÓ‚ÍË ÒÔÂˆË‡ÎËÒÚÓ‚ ÌÓ‚Ó„Ó ÔÓÍÓÎÂÌËﬂ ‚

Ó·Î‡ÒÚË ËÌÙÓðÏ‡ˆËÓÌÌ˚ı Ë ÓÔÚË˜ÂÒÍËı ÚÂıÌÓÎÓ„ËÈ» ÔÓÁ‚ÓÎËÚ

‚˚ÈÚË Ì‡ Í‡˜ÂÒÚ‚ÂÌÌÓ ÌÓ‚˚È ÛðÓ‚ÂÌ¸ ÔÓ‰„ÓÚÓ‚ÍË ‚˚ÔÛÒÍÌËÍÓ‚ Ë

Û‰Ó‚ÎÂÚ‚ÓðËÚ¸ ‚ÓÁð‡ÒÚ‡˛˘ËÈ ÒÔðÓÒ Ì‡ ÒÔÂˆË‡ÎËÒÚÓ‚ ‚ ËÌÙÓðÏ‡ˆË-

ÓÌÌÓÈ, ÓÔÚË˜ÂÒÍÓÈ Ë ‰ðÛ„Ëı ‚˚ÒÓÍÓÚÂıÌÓÎÓ„Ë˜Ì˚ı ÓÚð‡ÒÎﬂı ˝ÍÓ-

ÌÓÏËÍË.

ÓÌÌ˚ı ÚÂıÌÓÎÓ„ËÈ, ÏÂı‡ÌËÍË Ë ÓÔÚËÍË, 2009 „.

é„Î‡‚ÎÂÌËÂ

ÉÎ‡‚‡ 1 Ñ‚ÓÈÌ˚Â Ë ÚðÓÈÌ˚Â ËÌÚÂ„ð‡Î˚ .............. 5

§1 Ñ‚ÓÈÌ˚Â ËÌÚÂ„ð‡Î˚ .......................... 5

§2 íðÓÈÌ˚Â ËÌÚÂ„ð‡Î˚ .......................... 22

§3 èðËÏÂÌÂÌËÂ ‰‚ÓÈÌ˚ı Ë ÚðÓÈÌ˚ı ËÌÚÂ„ð‡ÎÓ‚ ...... 29

§4 äðË‚ÓÎËÌÂÈÌ˚Â ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú˚ Ë Á‡ÏÂÌ‡ ÔÂðÂÏÂÌÌ˚ı

‚ Íð‡ÚÌ˚ı ËÌÚÂ„ð‡Î‡ı ........................ 33

ÉÎ‡‚‡ 2 äðË‚ÓÎËÌÂÈÌ˚Â ËÌÚÂ„ð‡Î˚.................. 50

§1 äðË‚ÓÎËÌÂÈÌ˚Â ËÌÚÂ„ð‡Î˚ I ðÓ‰‡ ............... 50

§2 äðË‚ÓÎËÌÂÈÌ˚Â ËÌÚÂ„ð‡Î˚ II ðÓ‰‡ .............. 55

§3 îÓðÏÛÎ‡ ÉðËÌ‡ .............................. 61

§4 äðË‚ÓÎËÌÂÈÌ˚Â ËÌÚÂ„ð‡Î˚, ÌÂ Á‡‚ËÒﬂ˘ËÂ ÓÚ ÔÛÚË

ËÌÚÂ„ðËðÓ‚‡ÌËﬂ.............................. 65

ÉÎ‡‚‡ 3 èÓ‚ÂðıÌÓÒÚÌ˚Â ËÌÚÂ„ð‡Î˚

.................. 73

§1 èÓ‚ÂðıÌÓÒÚÌ˚Â ËÌÚÂ„ð‡Î˚ I ðÓ‰‡ ............... 73

§2 Ñ‚ÛÒÚÓðÓÌÌËÂ Ë Ó‰ÌÓÒÚÓðÓÌÌËÂ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË. ëÚÓ-

ðÓÌ‡ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË. ............................ 74

§3 èÓ‚ÂðıÌÓÒÚÌ˚Â ËÌÚÂ„ð‡Î˚ II ðÓ‰‡............... 76

§4 îÓðÏÛÎ‡ éÒÚðÓ„ð‡‰ÒÍÓ„Ó ...................... 79

§5 îÓðÏÛÎ‡ ëÚÓÍÒ‡ ............................. 82

ÉÎ‡‚‡ 4 ùÎÂÏÂÌÚ˚ ÚÂÓðËË ÔÓÎﬂ ..................... 84

§1 ëÍ‡ÎﬂðÌÓÂ ÔÓÎÂ. Éð‡‰ËÂÌÚ. èðÓËÁ‚Ó‰Ì‡ﬂ ÔÓ Ì‡-

Ôð‡‚ÎÂÌË˛ ................................. 84

§2 ÇÂÍÚÓðÌÓÂ ÔÓÎÂ.............................. 91

§3 íÂÓðÂÏ‡ éÒÚðÓ„ð‡‰ÒÍÓ„Ó (‚ÂÍÚÓðÌ‡ﬂ ÙÓðÏ‡). ÑË-

‚Âð„ÂÌˆËﬂ ‚ÂÍÚÓðÌÓ„Ó ÔÓÎﬂ Ë ÂÂ ÏÂı‡ÌË˜ÂÒÍËÈ

ÒÏ˚ÒÎ ..................................... 95

§4 ëÓÎÂÌÓË‰‡Î¸ÌÓÂ ‚ÂÍÚÓðÌÓÂ ÔÓÎÂ Ë Â„Ó Ò‚ÓÈÒÚ‚Ó.

ìð‡‚ÌÂÌËÂ ÌÂð‡Áð˚‚ÌÓÒÚË. éÔÂð‡ÚÓð ã‡ÔÎ‡Ò‡ ..... 100

§5 ñËðÍÛÎﬂˆËﬂ ‚ÂÍÚÓðÌÓ„Ó ÔÓÎﬂ ÔÓ Á‡ÏÍÌÛÚÓÏÛ ÍÓÌ-

ÚÛðÛ. ÇËıð¸ ‚ÂÍÚÓðÌÓ„Ó ÔÓÎﬂ. ÇÂÍÚÓðÌ‡ﬂ ÙÓðÏ‡

ÚÂÓðÂÏ˚ ëÚÓÍÒ‡.............................. 102

§6 èÓÚÂÌˆË‡Î¸ÌÓÂ ‚ÂÍÚÓðÌÓÂ ÔÓÎÂ ................. 108

Quidquid praecepies, esto brevis

óÂÏÛ ·˚ Ú˚ ÌË Û˜ËÎ, ·Û‰¸ Íð‡ÚÓÍ

á‡ÔÓ‚Â‰¸ ÉÓð‡ˆËﬂ.

ÉÎ‡‚‡ 1

Ñ‚ÓÈÌ˚Â Ë ÚðÓÈÌ˚Â ËÌÚÂ„ð‡Î˚

§1. Ñ‚ÓÈÌÓÈ ËÌÚÂ„ð‡Î

1. éÔðÂ‰ÂÎÂÌËÂ ‰‚ÓÈÌÓ„Ó ËÌÚÂ„ð‡Î‡.

èðÂÊ‰Â ˜ÂÏ ‰‡Ú¸ ÓÔðÂ‰ÂÎÂÌËÂ ‰‚ÓÈÌÓ„Ó ËÌÚÂ„ð‡Î‡, Ò‰ÂÎ‡ÂÏ ÌÂ-

ÒÍÓÎ¸ÍÓ ÔðÂ‰‚‡ðËÚÂÎ¸Ì˚ı Á‡ÏÂ˜‡ÌËÈ Ë ÓÔðÂ‰ÂÎÂÌËÈ.

éÔðÂ‰ÂÎÂÌËÂ 1. äðË‚‡ﬂ

K Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÔðÓÒÚÓÈ ÍðË‚ÓÈ, ÂÒÎË

ÓÌ‡ ð‡ÒÔ‡‰‡ÂÚÒﬂ Ì‡ ÍÓÌÂ˜ÌÓÂ ˜ËÒÎÓ ˜‡ÒÚÂÈ, Í‡Ê‰‡ﬂ ËÁ ÍÓÚÓð˚ı

ËÏÂÂÚ Ûð‡‚ÌÂÌËÂ ‚Ë‰‡

()yfx

ËÎË ()xy

, ÔðË˜ÂÏ ÙÛÌÍˆËË ()fx

()y

ÌÂÔðÂð˚‚Ì˚ Ì‡ ÌÂÍÓÚÓðÓÏ ÔðÓÏÂÊÛÚÍÂ [,]ab ËÎË [,]pq ÒÓ-

ÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ.

Ç ÚÓÏ ÒÎÛ˜‡Â, ÂÒÎË ÍðË‚‡ﬂ

K – ÔðÓÒÚ‡ﬂ, Á‡ÏÍÌÛÚ‡ﬂ, Ò‡ÏÓÌÂÔÂ-

ðÂÒÂÍ‡˛˘‡ﬂÒﬂ ÍðË‚‡ﬂ, ÎÂÊ‡˘‡ﬂ ‚ ÔÎÓÒÍÓÒÚË

xOy , ÚÓ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó

‚ÒÂı ÚÓ˜ÂÍ ÔÎÓÒÍÓÒÚË ð‡Á·Ë‚‡ÂÚÒﬂ Â‰ËÌÒÚ‚ÂÌÌ˚Ï Ó·ð‡ÁÓÏ Ì‡ ‰‚‡

Ò‚ﬂÁÌ˚ı ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡. å˚ ·Û‰ÂÏ ‚ ‰‡Î¸ÌÂÈ¯ÂÏ ð‡ÒÒÏ‡ÚðË‚‡Ú¸ Ó·Î‡Ò-

ÚË, Ó„ð‡ÌË˜ÂÌÌ˚Â ÍðË‚ÓÈ

. íÓ˜ÍË, ÎÂÊ‡˘ËÂ Ì‡ ÍÓÌÚÛðÂ

, Ï˚

·Û‰ÂÏ Ò˜ËÚ‡Ú¸ ÔðËÌ‡‰ÎÂÊ‡˘ËÏË Ó·Î‡ÒÚË

, ÍÓÚÓðÛ˛ Ó„ð‡ÌË˜Ë‚‡ÂÚ

˝ÚÓÚ ÍÓÌÚÛð, Ú.Â. ·Û‰ÂÏ ð‡ÒÒÏ‡ÚðË‚‡Ú¸ Á‡ÏÍÌÛÚÛ˛ Ó·Î‡ÒÚ¸

D , Ó„ð‡-

ÌË˜ÂÌÌÛ˛ ÔðÓÒÚ˚Ï Ò‡ÏÓÌÂÔÂðÂÒÂÍ‡˛˘ËÏÒﬂ ÍÓÌÚÛðÓÏ

K .

/ / / /

Úð‡ÌÒÍðËÔˆËﬂ [Í‚Ë‰Í‚Ë‰ Ôð˝ ˆ˝ÔË˝Ò, ˝ ÒÚÓ ·ð˝ ‚ËÒ]

å˚ ·Û‰ÂÏ Ú‡ÍÊÂ ð‡ÒÒÏ‡ÚðË‚‡Ú¸ ‚ ‰‡Î¸ÌÂÈ¯ÂÏ ÔðÓÒÚ˚Â Ó·Î‡ÒÚË,

ÔÓÌËÏ‡ﬂ ÔÓ‰ ˝ÚËÏ Ó·Î‡ÒÚË, Ó„ð‡ÌË˜ÂÌÌ˚Â ÔðÓÒÚ˚ÏË ÍðË‚˚ÏË Ë Ú‡-

ÍËÂ, ˜ÚÓ Î˛·‡ﬂ ÔðﬂÏ‡ﬂ, Ô‡ð‡ÎÎÂÎ¸Ì‡ﬂ ÍÓÓð‰ËÌ‡ÚÌ˚Ï ÓÒﬂÏ, ÔÂðÂÒÂ-

Í‡ÂÚ „ð‡ÌËˆÛ Ó·Î‡ÒÚË ÌÂ ·ÓÎÂÂ ˜ÂÏ ‚ ‰‚Ûı ÚÓ˜Í‡ı (ðËÒ. 1.1.1).

ÖÒÚÂÒÚ‚ÂÌÌÓ, ˜ÚÓ Í ˜ËÒÎÛ Ú‡ÍËı Ó·Î‡ÒÚÂÈ Ï˚ ·Û‰ÂÏ ÓÚÌÓÒËÚ¸ Ë

Ó·Î‡ÒÚË, ÍÓÚÓð˚Â ÏÓÊÌÓ ð‡Á·ËÚ¸ Ì‡ ÍÓÌÂ˜ÌÓÂ ˜ËÒÎÓ Ó·Î‡ÒÚÂÈ ÛÍ‡-

Á‡ÌÌÓ„Ó ‚˚¯Â ÚËÔ‡ (ðËÒ. 1.1.2).

ê‡ÒÒÏÓÚðËÏ ÔðÓÒÚÛ˛ Ó·Î‡ÒÚ¸

(ðËÒ. 1.1.3), Ó„ð‡ÌË˜ÂÌÌÛ˛ ÍðË-

‚ÓÈ

K , Ë Ó·ÓÁÌ‡˜ËÏ ˜ÂðÂÁ (,)rMN ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ð‡ÒÒÚÓﬂÌËÈ ÏÂÊ‰Û

ÚÓ˜Í‡ÏË

M Ë N , ÎÂÊ‡˘ËÏË Ì‡ ÍðË‚ÓÈ K . ç‡Ë·ÓÎ¸¯ÂÂ ð‡ÒÒÚÓﬂ-

ÌËÂ ÏÂÊ‰Û ÚÓ˜Í‡ÏË

·Û‰ÂÏ Ì‡Á˚‚‡Ú¸ ‚ ‰‡Î¸ÌÂÈ¯ÂÏ ‰Ë‡-

ÏÂÚðÓÏ Ó·Î‡ÒÚË

D . Ñ‡‰ËÏ ÚÂÔÂð¸ ÒÚðÓ„ÓÂ ÓÔðÂ‰ÂÎÂÌËÂ ÔÓÌﬂÚËﬂ

ÔÎÓ˘‡‰Ë Ó·Î‡ÒÚË

D , Ó„ð‡ÌË˜ÂÌÌÓÈ ÍÓÌÚÛðÓÏ K (ðËÒ. 1.1.4).

èÛÒÚ¸

R ÂÒÚ¸ ÌÂÍÓÚÓð˚È ÔðﬂÏÓÛ„ÓÎ¸ÌËÍ ÒÓ ÒÚÓðÓÌ‡ÏË, Ô‡ð‡Î-

ÎÂÎ¸Ì˚ÏË ÍÓÓð‰ËÌ‡ÚÌ˚Ï ÓÒﬂÏ, ÒÓ‰ÂðÊ‡˘ËÈ ÍÓÌÚÛð

K ˆÂÎËÍÓÏ

êËÒ. 1.1.3

êËÒ. 1.1.4

êËÒ. 1.1.1

êËÒ. 1.1.2

‚ÌÛÚðË ÒÂ·ﬂ, ÌÂ Á‡‰Â‚‡ﬂ ÚÓ˜ÂÍ ÍÓÌÚÛð‡

K . ê‡ÁÓ·¸ÂÏ ÔðﬂÏÓÛ„ÓÎ¸-

ÌËÍ

R ÒÂÚ¸˛ ÔðﬂÏ˚ı, Ô‡ð‡ÎÎÂÎ¸Ì˚ı ÍÓÓð‰ËÌ‡ÚÌ˚Ï ÓÒﬂÏ, Ì‡ Ôðﬂ-

ÏÓÛ„ÓÎ¸ÌËÍË (ﬂ˜ÂÈÍË). ç‡Ë·ÓÎ¸¯ËÈ ËÁ ‰Ë‡ÏÂÚðÓ‚ ﬂ˜ÂÂÍ Ó·ÓÁÌ‡˜ËÏ

˜ÂðÂÁ

Ë ·Û‰ÂÏ Ì‡Á˚‚‡Ú¸ ð‡Ì„ÓÏ ‰ðÓ·ÎÂÌËﬂ.

é·ÓÁÌ‡˜ËÏ ˜ÂðÂÁ

S ÒÛÏÏÛ ÔÎÓ˘‡‰ÂÈ ﬂ˜ÂÂÍ, ˆÂÎËÍÓÏ ÎÂÊ‡˘Ëı ‚

Ó·Î‡ÒÚË

D Ë ÌÂ Á‡‰Â‚‡˛˘Ëı ÍÓÌÚÛð‡ K , ‡ ˜ÂðÂÁ

S – ÒÛÏÏÛ ÔÎÓ-

˘‡‰ÂÈ ﬂ˜ÂÂÍ, ËÏÂ˛˘Ëı Ò Ó·Î‡ÒÚ¸˛

ËÎË ÂÂ ÍÓÌÚÛðÓÏ ıÓÚﬂ ·˚

Ó‰ÌÛ Ó·˘Û˛ ÚÓ˜ÍÛ. é˜Â‚Ë‰ÌÓ, ˜ÚÓ

≤

. ÖÒÎË ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ Ó·˘ËÈ

ÔðÂ‰ÂÎ

lim lim

SSS

→∞ →∞

== ÔðË ÛÒÎÓ‚ËË, ˜ÚÓ ˜ËÒÎÓ ﬂ˜ÂÂÍ Û‚ÂÎË˜Ë‚‡-

ÂÚÒﬂ, ‡ ð‡Ì„ ‰ðÓ·ÎÂÌËﬂ

ÒÚðÂÏËÚÒﬂ Í ÌÛÎ˛ (Ú.Â. 0

→ ), ÚÓ ˜ËÒÎÓ

S Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÔÎÓ˘‡‰¸˛ Ó·Î‡ÒÚË D , ‡ Ò‡Ï‡ Ó·Î‡ÒÚ¸ D Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ

Í‚‡‰ðËðÛÂÏÓÈ.

ê‡ÒÒÏÓÚðËÏ ÚÂÔÂð¸ ÌÂÍÓÚÓðÛ˛ ÙÛÌÍˆË˛

(,)fxy, ÓÔðÂ‰ÂÎÂÌÌÛ˛ ‚

ÔðÓÒÚÓÈ Ó·Î‡ÒÚË

D , Ó„ð‡ÌË˜ÂÌÌÓÈ ÍÓÌÚÛðÓÏ K (ðËÒ. 1.1.5). Ñ‡‰ËÏ

ÓÔðÂ‰ÂÎÂÌËÂ ‰‚ÓÈÌÓ„Ó ËÌÚÂ„ð‡Î‡.

éÔðÂ‰ÂÎÂÌËÂ 2 (ÓÔðÂ‰ÂÎÂÌËÂ ‰‚ÓÈÌÓ„Ó ËÌÚÂ„ð‡Î‡). ê‡ÁÓ·¸ÂÏ

Ó·Î‡ÒÚ¸

D ÒÂÚ¸˛ ÔðÓÒÚ˚ı ÍðË‚˚ı ÔðÓËÁ‚ÓÎ¸Ì˚Ï Ó·ð‡ÁÓÏ Ì‡

ﬂ˜ÂÈÍË

D ,

D , ...,

D Ò ÔÎÓ˘‡‰ﬂÏË

, ...,

SΔ Ë ‰Ë‡ÏÂÚ-

ð‡ÏË

, ...,

. ç‡Ë·ÓÎ¸¯ËÈ ËÁ ‰Ë‡ÏÂÚðÓ‚ Ó·ÓÁÌ‡˜ËÏ ˜ÂðÂÁ

–

ð‡Ì„ ‰ðÓ·ÎÂÌËﬂ.

êËÒ. 1.1.5

:(,)Sz fxy=

(,)

fx y

(,)

kkk

Mxy

Ç Í‡Ê‰ÓÈ ˜‡ÒÚÌÓÈ ﬂ˜ÂÈÍÂ

‚ÓÁ¸ÏÂÏ ÔðÓËÁ‚ÓÎ¸ÌÛ˛ ÚÓ˜ÍÛ

(,)

kkk

Mxy Ë ‚˚˜ËÒÎËÏ ‚ ÌÂÈ ÁÌ‡˜ÂÌËÂ ÙÛÌÍˆËË (,)

fx y . ìÏÌÓ-

ÊËÏ Á‡ÚÂÏ

(,)

fx y Ì‡ ÔÎÓ˘‡‰¸ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘ÂÈ ﬂ˜ÂÈÍË

SΔ Ë

ÔðÓÒÛÏÏËðÛÂÏ ‚ÒÂ Ú‡ÍËÂ ÔðÓËÁ‚Â‰ÂÌËﬂ, Ú.Â. ÒÓÒÚ‡‚ËÏ ÒÛÏÏÛ

(,)

nkkk

fx y S

=⋅Δ

∑

, ÍÓÚÓð‡ﬂ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ËÌÚÂ„ð‡Î¸ÌÓÈ ÒÛÏÏÓÈ

ËÎË ÒÛÏÏÓÈ êËÏ‡Ì‡. àÁÏÂÎ¸˜‡ﬂ ‰‡Î¸¯Â ‰ðÓ·ÎÂÌËÂ ÔðË ÛÒÎÓ‚ËË,

˜ÚÓ ð‡Ì„ ‰ðÓ·ÎÂÌËﬂ

→ , Ë˘ÂÏ ÔðÂ‰ÂÎ ÔÓÒÎÂ‰Ó‚‡ÚÂÎ¸ÌÓÒÚË ËÌ-

ÚÂ„ð‡Î¸Ì˚ı ÒÛÏÏ

lim

→∞

→

= . ÖÒÎË ˝ÚÓÚ ÔðÂ‰ÂÎ ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ Ë ÌÂ

Á‡‚ËÒËÚ ÓÚ ÒÔÓÒÓ·‡ ‰ðÓ·ÎÂÌËﬂ Ë ‚˚·Óð‡ ÚÓ˜ÂÍ

M , ÚÓ ÓÌ Ì‡Á˚‚‡-

ÂÚÒﬂ ‰‚ÓÈÌ˚Ï ËÌÚÂ„ð‡ÎÓÏ ÓÚ ÙÛÌÍˆËË

(,)

fx y ÔÓ Ó·Î‡ÒÚË D

Ë Ó·ÓÁÌ‡˜‡ÂÚÒﬂ Ú‡Í:

(,)

I f x y dxdy=

∫

ë‡Ï‡ ÔÓ‰˚ÌÚÂ„ð‡Î¸Ì‡ﬂ ÙÛÌÍˆËﬂ

(,)fxy ÔðË ˝ÚÓÏ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ

ËÌÚÂ„ðËðÛÂÏÓÈ ÔÓ Ó·Î‡ÒÚË

àÚ‡Í, ÔðËÌËÏ‡ﬂ ‚Ó ‚ÌËÏ‡ÌËÂ ÔðË‚Â‰ÂÌÌÓÂ ‚˚¯Â ð‡ÒÒÛÊ‰ÂÌËÂ,

Ï˚ ÏÓÊÂÏ ÍÓðÓÚÍÓ ÓÔðÂ‰ÂÎËÚ¸ ‰‚ÓÈÌÓÈ ËÌÚÂ„ð‡Î ÓÚ ÙÛÌÍˆËË

(,)fxy ÔÓ Ó·Î‡ÒÚËD Í‡Í ÔðÂ‰ÂÎ ÔÓÒÎÂ‰Ó‚‡ÚÂÎ¸ÌÓÒÚË ËÌÚÂ„ð‡Î¸Ì˚ı

ÒÛÏÏ êËÏ‡Ì‡, Ú.Â.

( , ) lim ( , )

def

kk k

fxydxdy fx y S

→∞

→

⋅Δ

∑

∫∫

íÂÓðÂÏ‡ ÒÛ˘ÂÒÚ‚Ó‚‡ÌËﬂ ‰‚ÓÈÌÓ„Ó ËÌÚÂ„ð‡Î‡. ÖÒÎË ÔÓ‰˚ÌÚÂ-

„ð‡Î¸Ì‡ﬂ ÙÛÌÍˆËﬂ

(,)fxy ÌÂÔðÂð˚‚Ì‡ ‚ Í‡Ê‰ÓÈ ÚÓ˜ÍÂ ÔðÓÒÚÓÈ

Á‡ÏÍÌÛÚÓÈ Ó·Î‡ÒÚË

, ÚÓ ÓÌ‡ ‚ ˝ÚÓÈ Ó·Î‡ÒÚË ËÌÚÂ„ðËðÛÂÏ‡.

(ÅÂÁ ‰ÓÍ‡Á‡ÚÂÎ¸ÒÚ‚‡.)

2. ÉÂÓÏÂÚðË˜ÂÒÍËÈ ÒÏ˚ÒÎ ‰‚ÓÈÌÓ„Ó ËÌÚÂ„ð‡Î‡.

ÖÒÎË

0(,)fxy > ‚ Í‡Ê‰ÓÈ ÚÓ˜ÍÂ ÔðÓÒÚÓÈ Ó·Î‡ÒÚË D , ÔÓ ÍÓÚÓðÓÈ

‚Â‰ÂÚÒﬂ ËÌÚÂ„ðËðÓ‚‡ÌËÂ, ÚÓ ÌÂÔÓÒðÂ‰ÒÚ‚ÂÌÌÓ ËÁ ÓÔðÂ‰ÂÎÂÌËﬂ ‰‚ÓÈ-

ÌÓ„Ó ËÌÚÂ„ð‡Î‡ ÒÎÂ‰ÛÂÚ (ðËÒ. 1.1.5), ˜ÚÓ ‰‚ÓÈÌÓÈ ËÌÚÂ„ð‡Î

(,)

fxydxdy

∫∫

‰‡ÂÚ Ì‡Ï Ó·˙ÂÏ ÚÂÎ‡, Ó„ð‡ÌË˜ÂÌÌÓ„Ó ÒÌËÁÛ Ó·Î‡ÒÚ¸˛

D , Ò‚ÂðıÛ – ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸˛, Ûð‡‚ÌÂÌËÂ ÍÓÚÓðÓÈ (,)zfxy

, ‡ Ò ·ÓÍÓ‚

– ˆËÎËÌ‰ðË˜ÂÒÍÓÈ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸˛, Ó·ð‡ÁÛ˛˘ËÂ ÍÓÚÓðÓÈ Ô‡ð‡ÎÎÂÎ¸-

Ì˚ ÓÒË

Oz , ‡ Ì‡Ôð‡‚Îﬂ˛˘ÂÈ ÒÎÛÊËÚ „ð‡ÌËˆ‡ Ó·Î‡ÒÚË D (ÍÓÌÚÛð

K ), Ú.Â.

(,)

v f x y dxdy=

∫

ÖÒÎË ÔÓ‰˚ÌÚÂ„ð‡Î¸Ì‡ﬂ ÙÛÌÍˆËﬂ

1(,)fxy

, ÚÓ

Sdxdy=

∫

„‰Â

S – ÔÎÓ˘‡‰¸ Ó·Î‡ÒÚË D .

3. ë‚ÓÈÒÚ‚‡ ‰‚ÓÈÌÓ„Ó ËÌÚÂ„ð‡Î‡.

ÑÓÔÛÒÚËÏ ‰‡ÎÂÂ, ˜ÚÓ

cconst

, ‡

(,)fxy Ë

(,)fxy –

ÙÛÌÍˆËË, ËÌÚÂ„ðËðÛÂÏ˚Â ‚ Ó·Î‡ÒÚË

íÓ„‰‡ ÌÂÔÓÒðÂ‰ÒÚ‚ÂÌÌÓ ËÁ

ÓÔðÂ‰ÂÎÂÌËﬂ ‰‚ÓÈÌÓ„Ó ËÌÚÂ„ð‡Î‡ Ó˜Â‚Ë‰Ì‡ ÒÔð‡‚Â‰ÎË‚ÓÒÚ¸ Ò‚ÓÈÒÚ‚

1-5, ÍÓÚÓð˚Â Ï˚ ÔðË‚Â‰ÂÏ ·ÂÁ ‰ÓÍ‡Á‡ÚÂÎ¸ÒÚ‚‡.

(,) (,)

c f xydxdy c f xydxdy⋅=

∫∫ ∫∫

[]

11 2 2 1 1 2 2

(,) (,) (,) (,)

DDD

c f x y c f x y dxdy c f x y dxdy c f x y dxdy±= ±

∫∫ ∫∫ ∫∫

3. ÖÒÎË Ó·Î‡ÒÚ¸

D ð‡Á·ËÚ¸ ÔðÓÒÚÓÈ ÍðË‚ÓÈ Ì‡ ‰‚Â ˜‡ÒÚË

D (ðËÒ. 1.1.6), ÚÓ:

(,) (,) (,)

DDD

fxydxdy fxydxdy fxydxdy=+

∫∫ ∫∫ ∫∫

Ú.Â. ‰‚ÓÈÌÓÈ ËÌÚÂ„ð‡Î ÔÓ Ó·Î‡ÒÚË

D ð‡‚ÂÌ ÒÛÏÏÂ ‰‚ÓÈÌ˚ı ËÌÚÂ-

„ð‡ÎÓ‚ ÔÓ ˜‡ÒÚﬂÏ Ó·Î‡ÒÚË

D .

4. ÖÒÎË ‚ Í‡Ê‰ÓÈ ÚÓ˜ÍÂ Ó·Î‡ÒÚË

0(,)fxy ≥ , ÚÓ

0(,)

fxydxdy≥

∫

êËÒ. 1.1.6

5. ÖÒÎË ‚ Í‡Ê‰ÓÈ ÚÓ˜ÍÂ Ó·Î‡ÒÚË

(,) (,)fxy fxy

≤

, ÚÓ

(,) (,)

fxydxdy f xydxdy≤

∫∫ ∫∫

6. ÖÒÎË ‚ Í‡Ê‰ÓÈ ÚÓ˜ÍÂ Ó·Î‡ÒÚË

D ÒÔð‡‚Â‰ÎË‚Ó ÌÂð‡‚ÂÌÒÚ‚Ó

(,)mfxy M≤≤, ÚÓ

(,)

mS fxydxdy MS⋅≤ ≤⋅

∫∫

„‰Â

S – ÔÎÓ˘‡‰¸ Ó·Î‡ÒÚË D.

ÑÓÍ‡Á‡ÚÂÎ¸ÒÚ‚Ó. Ç ÒËÎÛ Ò‚ÓÈÒÚ‚‡ 5 Ó˜Â‚Ë‰ÌÓ, ˜ÚÓ

(,)

DD D

mdxdy f x y dxdy Mdxdy≤≤

∫∫ ∫∫ ∫∫

ÓÚÍÛ‰‡ ÒÎÂ‰ÛÂÚ:

(,)

DD D

mdxdy fxydxdyMdxdy⋅≤ ≤⋅

∫

∫∫∫ ∫∫

éÒÚ‡ÂÚÒﬂ Û˜ÂÒÚ¸, ˜ÚÓ

dxdy S=

∫∫

7. íÂÓðÂÏ‡ Ó ÒðÂ‰ÌÂÏ. ÖÒÎË ‚ Í‡Ê‰ÓÈ ÚÓ˜ÍÂ Á‡ÏÍÌÛÚÓÈ Ó·Î‡ÒÚË

D (,)fxy ÌÂÔðÂð˚‚Ì‡, ÚÓ ÚÓ„‰‡ ‚ Ó·Î‡ÒÚË D Ì‡È‰ÂÚÒﬂ ÚÓ˜Í‡

(,)P

Ú‡Í‡ﬂ, ˜ÚÓ

(,) (,)

fxydxdy f S

ξη

⋅

∫∫

„‰Â

– ÔÎÓ˘‡‰¸ Ó·Î‡ÒÚË D .

ÑÓÍ‡Á‡ÚÂÎ¸ÒÚ‚Ó. í‡Í Í‡Í ÙÛÌÍˆËﬂ

(,)fxy ÌÂÔðÂð˚‚Ì‡ ‚ Á‡ÏÍ-

ÌÛÚÓÈ Ó·Î‡ÒÚË

D , ÚÓ ‚ ÌÂÈ ÓÌ‡ ‰ÓÒÚË„‡ÂÚ Ò‚ÓÂ„Ó Ì‡ËÏÂÌ¸¯Â„Ó m Ë

Ì‡Ë·ÓÎ¸¯Â„Ó

M ÁÌ‡˜ÂÌËﬂ, Ú.Â. ÒÔð‡‚Â‰ÎË‚Ó ÌÂð‡‚ÂÌÒÚ‚Ó

(,)mfxy M≤≤, ÓÚÍÛ‰‡ ‚ ÒËÎÛ Ò‚ÓÈÒÚ‚‡ 5 ‚˚ÚÂÍ‡ÂÚ

(,)

mS fxydxdy MS⋅≤ ≤⋅

∫∫

ê‡Á‰ÂÎË‚ ÔÓ˜ÎÂÌÌÓ ÔÓÎÛ˜ÂÌÌÓÂ ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËÂ Ì‡ ÔÓÎÓÊËÚÂÎ¸ÌÛ˛

‚ÂÎË˜ËÌÛ

, ÔÓÎÛ˜ËÏ

(,)

m f x y dxdy M

≤≤

∫∫

Ç‚Ë‰Û ÚÓ„Ó, ˜ÚÓ ÙÛÌÍˆËﬂ

(,)fxy ÌÂÔðÂð˚‚Ì‡ ‚ Á‡ÏÍÌÛÚÓÈ Ó·Î‡Ò-

ÚË

, ‡

– ÂÂ Ì‡ËÏÂÌ¸¯ÂÂ Ë Ì‡Ë·ÓÎ¸¯ÂÂ ÁÌ‡˜ÂÌËﬂ ÒÓÓÚ‚ÂÚ-