Лапин И.А., Ратафьева Л.С. Кратные интегралы. Теория поля
Подождите немного. Документ загружается.
41
ð˘ÂÒÍÓÈ ÒËÒÚÂÏ˚ ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú Ë ÍÓÓð‰Ë̇ÚÌ˚ ÎËÌËË
ρ
,
ϕ
, Ë z
ËÁÓ·ð‡ÊÂÌ˚ ̇ ðËÒ. 1.4.8.
çÂÔÓÒð‰ÒÚ‚ÂÌÌÓ ËÁ ðËÒ. 1.4.6 ÏÓÊÌÓ ÛÒÚ‡ÌÓ‚ËÚ¸ Ò‚flÁ¸ ÏÂʉÛ
‰Â͇ðÚÓ‚˚ÏË Ë ˆËÎË̉ð˘ÂÒÍËÏË ÍÓÓð‰Ë̇ڇÏË:
cos
sin
x
y
zz
ρ
ϕ
ρ
ϕ
=
⎫
⎪
=
⎬
⎪
=
⎭
.
ç‡È‰ÂÏ flÍÓ·Ë‡Ì ÔðÂÓ·ð‡ÁÓ‚‡ÌËfl ‰Îfl ˆËÎË̉ð˘ÂÒÍËı ÍÓÓð‰Ë-
̇Ú:
0
0
001
cos sin
(,,) sin cos
z
z
z
xxx
Jyyy
zzz
ρϕ
ρϕ
ρϕ
ϕρϕ
ρ
θϕ ϕ ρ ϕ ρ
′′′
−
′′′
== =
′′′
.
çÂÚðÛ‰ÌÓ ÔÓÎÛ˜ËÚ¸ ‚˚ð‡ÊÂÌËfl ‰Îfl
r
ρ
∂
∂
r
,
r
ϕ
∂
∂
r
Ë
r
z
∂
∂
r
‡ Ú‡ÍÊ ÍÓ-
˝ÙÙˈËÂÌÚ˚ ã‡ÏÂ
H
ρ
, H
ϕ
Ë
z
H :
r
cos i sin
j
ϕ
ϕ
ρ
∂
=+
∂
,
r
sin i cos
j
ρ
ϕρ ϕ
ϕ
∂
=− +
∂
,
r
k
z
∂
=
∂
;
1H
ρ
=
, 1H
ϕ
=
,
1
z
H
=
.
C Û˜ÂÚÓÏ ˝ÚËı ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËÈ ÔÓÎÛ˜ËÏ:
0
0
0
cos i sin
j
sin i cos
j
zk
ϕϕ
ϕ
ϕ
⎫
=+
⎪
=− +
⎬
⎪
=
⎭
ρ
ϕ
.
x
z
y
z
к
.л.
êËÒ. 1.4.8
0
ρ
к
.л.
ϕ
0
z
u
ur
0
ϕ
u
ur
0
ρ
uur
ϕ
к
.л.
42
Ç˚˜ËÒÎflfl Ò͇ÎflðÌ˚ ÔðÓËÁ‚‰ÂÌËfl ÓðÚÓ‚
0
ρ
,
0
ϕ
Ë
0
z , ÌÂÚðÛ‰ÌÓ
۷‰ËÚ¸Òfl, ˜ÚÓ
0 0 00 00
0zz⋅=⋅=⋅=ρϕ ρ ϕ , Ú.Â. ÏÓÊÌÓ Ò‰Â·ڸ ‚˚‚Ó‰,
˜ÚÓ ˆËÎË̉ð˘ÂÒ͇fl ÒËÒÚÂχ ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú ÓðÚÓ„Ó̇θ̇.
ÖÒÎË ÔÓÎÓÊËÚ¸
0z = , ÚÓ Ï˚ ÔðˉÂÏ Í ËÁ‚ÂÒÚÌ˚Ï ÛÊ ÔÓÎflðÌ˚Ï
ÍÓÓð‰Ë̇ڇÏ
ρ
,
ϕ
:
cos
sin
x
y
ρ
ϕ
ρ
ϕ
=
⎫
⎬
=
⎭
.
çÂÚðÛ‰ÌÓ Û·Â‰ËÚ¸Òfl, ˜ÚÓ ‰Îfl ÔÓÎflðÌ˚ı Ë ˆËÎË̉ð˘ÂÒÍËı ÍÓÓð-
‰ËÌ‡Ú ‚˚ð‡ÊÂÌËfl ‰Îfl flÍӷˇ̇ ÔðÂÓ·ð‡ÁÓ‚‡ÌËfl ÒÓ‚Ô‡‰‡˛Ú, Ú.Â.
(,,) (,)JzJ
ρ
ϕρϕρ
=
= .
7. á‡Ï˜‡ÌË (Ó „ÂÓÏÂÚð˘ÂÒÍÓÏ ÒÏ˚ÒΠflÍӷˇ̇).
ê‡ÒÒÏÓÚðËÏ ÓðÚÓ„Ó̇θÌÛ˛ ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌÛ˛ ÒËÒÚÂÏÛ ÍÓÓð‰Ë̇Ú
O
ξ
η
, Ë ÔÛÒÚ¸ ‰Â͇ðÚÓ‚˚ ÍÓÓð‰Ë̇Ú˚ x Ë y Ò‚flÁ‡Ì˚ Ò ÍðË‚ÓÎË-
ÌÂÈÌ˚ÏË
ξ
Ë
η
ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËflÏË:
(,)xx
ξ
η
= , (,)yy
ξ
η
=
,
Ôð˘ÂÏ Ôð‰ÔÓ·„‡ÂÚÒfl, ˜ÚÓ flÍÓ·Ë‡Ì ÔðÂÓ·ð‡ÁÓ‚‡ÌËfl
0(,)Jxyxy
ξη ηξ
ξη
′
′′′
=⋅−⋅≠
.
ê‡ÒÒÏÓÚðËÏ ‚ ÔÎÓÒÍÓÒÚË
xOy ÔðÓÒÚÛ˛ ӷ·ÒÚ¸ D , Ó„ð‡Ì˘ÂÌ-
ÌÛ˛ ÍÓÌÚÛðÓÏ
K (ðËÒ. 1.4.9). Ç ÔÎÓÒÍÓÒÚË
1
O
ξ
η
ÂÈ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÛÂÚ
ÌÂÍÓÚÓð‡fl ӷ·ÒÚ¸
Δ
, Ó„ð‡Ì˘ÂÌ̇fl ÍÓÌÚÛðÓÏ
L
.
ÖÒÎË ÙÛÌ͈ËË
(,)x
ξ
η
Ë (,)y
ξ
η
ÌÂÔðÂð˚‚Ì˚ Ë ËÏÂ˛Ú ÌÂÔðÂð˚‚-
Ì˚ ˜‡ÒÚÌ˚ ÔðÓËÁ‚Ó‰Ì˚ ÔÂð‚Ó„Ó ÔÓðfl‰Í‡, ‡ Ú‡ÍÊ ÌÂÔðÂð˚‚Ì˚Â
Òϯ‡ÌÌ˚ ÔðÓËÁ‚Ó‰Ì˚Â, ÚÓ ‚ ˝ÚÓÏ ÒÎÛ˜‡Â ÏÓÊÌÓ ‰Ó͇Á‡Ú¸, ˜ÚÓ
ÔÎÓ˘‡‰Ë
D
S Ë S
Δ
Ò‚flÁ‡Ì˚ ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËÂÏ
x
y
0
êËÒ. 1.4.9
η
1
0
ξ
D
Δ
()
,
ξ
η
L
43
(,)
D
SJ S
ξη
Δ
=
⋅ ,
„‰Â (,)
ξ
η
– ÌÂÍÓÚÓð‡fl «Òð‰Ìflfl» ÚӘ͇ ӷ·ÒÚË Δ . àÁ ˝ÚÓ„Ó ÒÓÓÚ-
ÌÓ¯ÂÌËfl ‚˚ÚÂ͇ÂÚ Ó˜Â‚Ë‰Ì˚È „ÂÓÏÂÚð˘ÂÒÍËÈ ÒÏ˚ÒÎ flÍӷˇ̇
ÔðÂÓ·ð‡ÁÓ‚‡ÌËfl. Ä ËÏÂÌÌÓ: Ï˚ ÏÓÊÂÏ Ò͇Á‡Ú¸, ˜ÚÓ ÏÓ‰Ûθ flÍӷˇ-
̇ ÔðÂÓ·ð‡ÁÓ‚‡ÌËfl
(,)J
ξ
η
ÔðË ÔÂðÂıÓ‰Â Í ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌ˚Ï ÍÓÓð-
‰ËÌ‡Ú‡Ï ‰‡ÂÚ Ì‡Ï ÍÓ˝ÙÙˈËÂÌÚ ËÒ͇ÊÂÌËfl ÔÎÓ˘‡‰ÂÈ ÓÚÓ·ð‡Ê‡Â-
Ï˚ı ӷ·ÒÚÂÈ.
åÓÊÌÓ ‰Ó͇Á‡Ú¸ Ú‡ÍÊÂ, ˜ÚÓ ‰Îfl ÔðÓÒÚð‡ÌÒÚ‚ÂÌÌÓ„Ó ÒÎÛ˜‡fl, ÍÓ-
„‰‡ ÓÒÛ˘ÂÒÚ‚ÎflÂÚÒfl ÔÂðÂıÓ‰ ÓÚ ‰Â͇ðÚÓ‚˚ı ÍÓÓð‰Ë̇Ú
x
,
y
Ë
z
Í
ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌ˚Ï
ξ
,
η
,
ζ
ÔðË ‚˚ÔÓÎÌÂÌËË ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘Ëı Ôð‰-
ÔÓÎÓÊÂÌËÈ (ÌÂÔðÂð˚‚ÌÓÒÚ¸ ÙÛÌ͈ËÈ, Ëı ˜‡ÒÚÌ˚ı ÔðÓËÁ‚Ó‰Ì˚ı Ë
Ú.Ô.) ËÏÂÂÚ ÏÂÒÚÓ ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËÂ
(,, )
TT
vJ v
ξηζ
′
=
⋅ , „‰Â
T
v – Ó·˙ÂÏ
ӷ·ÒÚË ‚ ÒËÒÚÂÏ ÍÓÓð‰Ë̇Ú
Oxyz
,
T
v
′
– Ó·˙ÂÏ ÓÚÓ·ð‡ÊÂÌÌÓÈ Ó·-
·ÒÚË
T
′
‚ ÒËÒÚÂÏ ÍÓÓð‰Ë̇Ú
1
O
ξ
ηζ
. Ç ‰‡ÌÌÓÏ ÒÎÛ˜‡Â, Ò „ÂÓÏÂÚðË-
˜ÂÒÍÓÈ ÚÓ˜ÍË ÁðÂÌËfl, ̇ ÏÓ‰Ûθ flÍӷˇ̇ ÔðÂÓ·ð‡ÁÓ‚‡ÌËfl
(,, )J
ξ
ηζ
ÏÓÊÌÓ ÒÏÓÚðÂÚ¸ Í‡Í Ì‡ ÍÓ˝ÙÙˈËÂÌÚ ËÒ͇ÊÂÌËfl Ó·˙Â-
ÏÓ‚.
8. á‡ÏÂ̇ ÔÂðÂÏÂÌÌ˚ı ‰‚ÓÈÌ˚ı ‚ ÚðÓÈÌ˚ı ËÌÚ„ð‡Î‡ı.
èÛÒÚ¸ ÓÒÛ˘ÂÒÚ‚ÎflÂÚÒfl ÔÂðÂıÓ‰ ÓÚ ‰Â͇ðÚÓ‚˚ı ÍÓÓð‰Ë̇Ú
x Ë y
Í ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌ˚ÏË
ξ
Ë
η
:
(,)
(,)
xx
yy
ξ
η
ξ
η
=
⎫
⎬
=
⎭
.
èð‰ÔÓÎÓÊËÏ, ˜ÚÓ ‚˚ÔÓÎÌÂÌ˚ ÛÒÎÓ‚Ëfl Ôð‰˚‰Û˘Â„Ó Ô‡ð‡„ð‡Ù‡
ÓÚÌÓÒËÚÂθÌÓ ÙÛÌ͈ËÈ
(,)x
ξ
η
, (,)y
ξ
η
, (,)xy
ξ
ξ
=
Ë (,)xy
η
η
= Ë Ëı
˜‡ÒÚÌ˚ı ÔðÓËÁ‚Ó‰Ì˚ı Ë ËÏÂÂÚ ÒËÎÛ ‚Ò Ò͇Á‡ÌÌÓ ӷ ӷ·ÒÚflı
D
Ë
Δ
. èÛÒÚ¸, ÍðÓÏ ÚÓ„Ó, ‚ ӷ·ÒÚË
D
Á‡‰‡Ì‡ ÌÂÔðÂð˚‚̇fl ÙÛÌ͈Ëfl
(,)fxy.
ê‡ÒÒÏÓÚðËÏ ‰‚ÓÈÌÓÈ ËÌÚ„ð‡Î
(,)
D
I f x y dxdy=
∫
∫
.
ëÓÒÚ‡‚ËÏ ËÌÚ„ð‡Î¸ÌÛ˛ ÒÛÏÏÛ ‰Îfl ˝ÚÓ„Ó ‰‚ÓÈÌÓ„Ó ËÌÚ„ð‡Î‡:
1
(,)
k
n
nkkD
k
fx y S
σ
=
=⋅Δ
∑
.
44
èðÓËÁ‚ÓθÌÓÏÛ ð‡Á·ËÂÌ˲ ӷ·ÒÚË
D ̇ fl˜ÂÈÍË
1
D ,
2
D , ...,
n
D
ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÛÂÚ ð‡Á·ËÂÌË ӷ·ÒÚË
Δ
̇ fl˜ÂÈÍË
1
Δ
,
2
Δ
, ...,
n
Δ
, ‡
ÚӘ͇Ï
(,)
kk
xy ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛Ú ÚÓ˜ÍË (,)
kk k
ξ
η
∈
Δ (ðËÒ. 1.4.9). ëΉÓ-
‚‡ÚÂθÌÓ, ÏÓÊÂÏ Ì‡ÔËÒ‡Ú¸:
(,)
kk
D
SJ S
ξη
Δ
Δ= ⋅Δ,
‡ ÚÓ„‰‡
()
1
(,),(,) (,)
k
n
nkkkkkk
k
fx y J S
σξηξηξη
Δ
=
=⋅Δ
∑
.
àÁÏÂθ˜‡fl ‰ðÓ·ÎÂÌËÂ Ë ÛÒÚðÂÏÎflfl ð‡Ì„ ‰ðÓ·ÎÂÌËfl Í ÌÛβ, ÔÓ-
ÎÛ˜ËÏ:
(
)
0
lim ( , ), ( , ) ( , )
n
n
fx y J dd
λ
σ
ξη ξη ξη ξ η
→∞
Δ
→
=⋅
∫∫
.
èðËÏÂð 1. Ç˚˜ËÒÎËÚ¸:
2
()
D
I x xy dxdy=+
∫∫
,
„‰Â
D ÂÒÚ¸ ÍðÛ„
22 2
xyR+≤ (ðËÒ. 1.4.10).
ê¯ÂÌËÂ. èÂðÂȉÂÏ Í ÔÓÎflðÌ˚Ï ÍÓÓð‰Ë̇ڇÏ.
cos
sin
xr
yr
ϕ
ϕ
=
⎫
⎬
=
⎭
ç‡È‰ÂÏ Ûð‡‚ÌÂÌË ÓÍðÛÊÌÓÒÚË
22 2
xyR+= ‚ ÔÓÎflðÌ˚ı ÍÓÓð‰Ë-
̇ڇı. àÏÂÂÏ:
2222222
( cos ) ( sin ) (cos sin ) r r Rr RrR
ϕϕ ϕϕ
+=⇔ +=⇔=
x
y
êËÒ. 1.4.10
D
r
к
.л.
ϕ
к
.л.
R
R
R
−
R
−
45
ÔðË Î˛·ÓÏ
ϕ
, (Ú.Â.
ϕ
ËÁÏÂÌflÂÚÒfl ÓÚ 0 ‰Ó 2
π
), ‡ r fl‚ÎflÂÚÒfl ÔÓÒÚÓ-
flÌÌ˚Ï. àÚ‡Í, ÓÍðÛÊÌÓÒÚ¸
22 2
xyR+= ‚ ÔÓÎflðÌ˚ı ÍÓÓð‰Ë̇ڇı
ËÏÂÂÚ Ûð‡‚ÌÂÌËÂ
rR=
[
]
(
)
02,
ϕ
π
∈ . ì˜ËÚ˚‚‡fl, ˜ÚÓ (, )Ir r
ϕ
= , ÔÓ-
ÎÛ˜ËÏ:
(
)
()()
222
2
232 3
00
() coscossin
cos cos sin cos cos sin .
D
R
I x xy dxdy r r r r drd
rdrd d rdr
π
ϕϕϕ ϕ
ϕϕϕ ϕ ϕϕϕϕ
Δ
Δ
=+ = + ⋅ ⋅ =
=+⋅⋅=+⋅
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫ ∫
Ç˚˜ËÒÎËÏ ‚ÌÛÚðÂÌÌËÈ ËÌÚ„ð‡Î
44
3
0
0
44
внутр
R
R
rR
Irdr===
∫
.
íÓ„‰‡
()
2
4
2
0
22
4
00
2
22
424
00
0
4
12
42
11
2
42 4 2 4
cos cos sin
cos
sin (sin )
sin
sin .
R
Id
R
dd
RR
π
ππ
π
ππ
ϕϕϕϕ
ϕ
ϕϕϕ
ϕπ
ϕϕ
=⋅ + ⋅ =
⎡⎤
+
=⋅ + =
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
⎢⎥
=⋅ + + =
⎢⎥
⎣⎦
∫
∫∫
á‡ÏÂÚËÏ, ˜ÚÓ ‰Îfl ÚÓ„Ó, ˜ÚÓ·˚ ð‡ÒÒÚ‡‚ÎflÚ¸ Ôð‰ÂÎ˚ ËÌÚ„ðËðÓ‚‡-
ÌËfl, ‰ÓÒÚ‡ÚÓ˜ÌÓ ‚˚flÒÌËÚ¸, Í‡Í ÔðÓıÓ‰flÚ (‚ÓÁð‡ÒÚ‡˛Ú) ˜ÂðÂÁ ӷ·ÒÚ¸
D ÍÓÓð‰Ë̇ÚÌ˚ ÎËÌËË r Ë
ϕ
.
èð‰ÔÓÎÓÊËÏ ‰‡ÎÂÂ, ˜ÚÓ ÌÛÊÌÓ ‚˚˜ËÒÎËÚ¸ ÚðÓÈÌÓÈ ËÌÚ„ð‡Î
(,,)
T
Ifxyzdxdydz=
∫
∫∫
,
Ë ÔÛÒÚ¸ ÓÒÛ˘ÂÒÚ‚ÎflÂÚÒfl ÔÂðÂıÓ‰ Í ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌ˚Ï ÍÓÓð‰Ë̇ڇÏ
ξ
,
η
,
ζ
ÔÓ ÙÓðÏÛ·Ï:
(,, )
(,, )
(,, )
xx
yy
zz
ξ
ηζ
ξ
ηζ
ξ
ηζ
=
⎫
⎪
=
⎬
⎪
=
⎭
.
èð‰ÔÓÎÓÊËÏ, ˜ÚÓ ÓÚÌÓÒËÚÂθÌÓ ÙÛÌ͈ËÈ
(,, )x
ξ
ηζ
,
(,, )yy
ξ
ηζ
= , (,, )zz
ξ
ηζ
= , (,,)xyz
ξ
ξ
=
, (,,)xyz
η
η
=
, (,,)xyz
ζ
ζ
= Ë
Ëı ˜‡ÒÚÌ˚ı ÔðÓËÁ‚Ó‰Ì˚ı ËÏÂÂÚ ÏÂÒÚÓ, Ò͇Á‡ÌÌÓ ‚ Á‡Ï˜‡ÌËË Ô. 7.
46
ÑÓÔÛÒÚËÏ Ú‡ÍÊÂ, ˜ÚÓ ‚ ӷ·ÒÚË
T ÙÛÌ͈Ëfl (,,)fxyz ÌÂÔðÂð˚‚̇.
íÓ„‰‡, ‡Ì‡Îӄ˘ÌÓ ‚˚¯ÂÒ͇Á‡ÌÌÓÏÛ ÓÚÌÓÒËÚÂθÌÓ ‰‚ÓÈÌÓ„Ó ËÌÚÂ-
„ð‡Î‡, ËÏÂÂÚ ÏÂÒÚË ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËÂ:
[]
(,,)
(,,),(,,),(,,) (,,)
T
T
f x y z dxdydz
fx y z J ddd
ξ
η
ζ
ξη
ζ
ξη
ζ
ξη
ζ
ξη
ζ
=
=⋅
∫∫∫
∫∫∫
,
„‰Â
(,, )J
ξ
ηζ
– flÍÓ·Ë‡Ì ÔðÂÓ·ð‡ÁÓ‚‡ÌËfl.
ÑÎfl ð‡ÒÒÚ‡ÌÓ‚ÍË Ôð‰ÂÎÓ‚ ËÌÚ„ðËðÓ‚‡ÌËfl ÔÓ ÔÂðÂÏÂÌÌ˚Ï
ξ
,
η
,
ζ
ÒΉÛÂÚ ‚˚flÒÌËÚ¸, Í‡Í ÔðÓıÓ‰flÚ ÍÓÓð‰Ë̇ÚÌ˚ ÎËÌËË
ξ
,
η
,
ζ
˜ÂðÂÁ ӷ·ÒÚ¸
T .
èðËÏÂð 2. Ç˚˜ËÒÎËÚ¸ ÔÎÓ˘‡‰¸ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË ÒÙÂð˚
222 2
xyzR++= (ðËÒ. 1.4.11).
ê¯ÂÌËÂ. Ç˚˜ËÒÎËÏ ‚ÓÒ¸ÏÛ˛ ˜‡ÒÚ¸ ÔÎÓ˘‡‰Ë ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË ÒÙÂ-
ð˚, ÎÂʇ˘Û˛ ‚ ÔÂð‚ÓÏ ÓÍÚ‡ÌÂ:
22
1
1
8
(,) (,)
D
Spxyqxydxdy=++
∫∫
,
„‰Â
(,)
(,)
zxy
pxy
x
∂
=
∂
,
(,)
(,)
zxy
qxy
y
∂
=
∂
. Ç Ì‡¯ÂÏ ÒÎÛ˜‡Â
222
zRxy=−−.
ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ,
222
(,)
x
pxy
Rxy
−
=
−−
,
222
(,)
y
pxy
Rxy
−
=
−−
.
êËÒ. 1.4.11
x
z
y
0
ϕ
R
R
R
222
zRxy
=
−−
47
àÚ‡Í, ËÏÂÂÏ:
22
222
222
1
1
8
DD
xy Rdxdy
Sdxdy
Rxy
Rxy
+
=+=
−−
−−
∫∫ ∫∫
.
èÂðÂȉÂÏ Í ÔÓÎflðÌ˚Ï ÍÓÓð‰Ë̇ڇÏ
cosxr
ϕ
= , sinyr
ϕ
=
, (, )Jr r
ϕ
=
.
üÒÌÓ, ˜ÚÓ
2
222 22 22
00
R
DD
Rdxdy Rr drd rdr
Rd
Rxy Rr Rr
π
ϕ
ϕ
==
−− − −
∫∫ ∫∫ ∫ ∫
.
Ç˚˜ËÒÎËÏ
(
)
22
22
22 22
0
00
1
2
внутр
RR
R
dR r
rdr
IRrR
Rr Rr
−
==− =−−=
−−
∫∫
,
ÚÓ„‰‡
2
22
0
1
84
8
SRd R
π
ϕπ
==
∫
͂. ‰.,
Ú.Â. ÔÎÓ˘‡‰¸ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË ÒÙÂð˚ ð‡‰ËÛÒ‡ ð‡‚̇
2
4 R
π
.
èðËÏÂð 3. ç‡ÈÚË Ó·˙ÂÏ Ú·, ÎÂʇ˘Â„Ó ‚ ÔÂð‚ÓÏ ÓÍÚ‡ÌÂ Ë Ó„-
ð‡Ì˘ÂÌÌÓ„Ó ÒÌËÁÛ ÍÓÌ˘ÂÒÍÓÈ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸˛
222
xyz+=, Ò‚ÂðıÛ
¯‡ðÓ‚ÓÈ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸˛
222 2
xyzR++=, ‡ Ò ·ÓÍÓ‚ ÍÓÓð‰Ë̇ÚÌ˚ÏË
ÔÎÓÒÍÓÒÚflÏË
0x = Ë
0y
=
(ðËÒ. 1.4.12).
êËÒ. 1.4.12
x
y
z
0
θ
к
.л.
ρ
к
.л.
ψ
к.л.
48
ê¯ÂÌËÂ. àÒÍÓÏ˚È Ó·˙ÂÏ
T
vdxdydz=
∫
∫∫
. èÂðÂȉÂÏ Í ÒÙÂð˘Â-
ÒÍËÏ ÍÓÓð‰Ë̇ڇÏ:
sin cos
sin sin
cos
xr
yr
zr
θ
ψ
θ
ψ
θ
=
⎫
⎪
=
⎬
⎪
=
⎭
,
2
(,, ) sinJr r
θ
ψθ
=
.
ìð‡‚ÌÂÌËÂ
22
zxy=+ ‚ ÒÙÂð˘ÂÒÍËı ÍÓÓð‰Ë̇ڇı ËÏÂÂÚ ‚ˉ:
22
cos (sincos) (sinsin)rr r
θ
θψ θψ
⋅=⋅⋅ +⋅⋅
ËÎË
sin cosrr
θ
θ
⋅=⋅,
ÓÚÍÛ‰‡
4
π
θ
=
.
çÂÚðÛ‰ÌÓ ‰Ó„‡‰‡Ú¸Òfl, ˜ÚÓ Ûð‡‚ÌÂÌË ¯‡ðÓ‚ÓÈ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚË
222 2
xyzR++= ‚ ÒÙÂð˘ÂÒÍËı ÍÓÓð‰Ë̇ڇı ËÏÂÂÚ Ú‡ÍÓ Ûð‡‚ÌÂÌËÂ:
rR= . àÚ‡Í, ËÒÍÓÏ˚È Ó·˙ÂÏ:
24
22
00 0
sin sin
R
T
vr drddd drdr
ππ
θψθψθθ
==
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
.
Ç˚˜ËÒÎËÏ:
3
2
0
3
1 внутр
R
R
Irdr==
∫
;
33 3
4
4
3
0
0
222
1
33 32 6
2 внутр
sin ( cos ) ( )
RR R
Id R
π
π
θθ θ
⎛⎞
−−
==−=−−=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫
.
éÍÓ̘‡ÚÂθÌÓ:
2
233
0
22 22
612
()
sin
T
vr drdd Rd R
π
π
θψθ ψ
−−
===
∫∫∫ ∫
Í
Û
·. ‰.
èðËÏÂð 4. Ç˚˜ËÒÎËÚ¸ Ó·˙ÂÏ Ú·, Ó„ð‡Ì˘ÂÌÌÓ„Ó ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸˛
22 2
2()xy z+=−Ë ÔÎÓÒÍÓÒÚ¸˛ xOy (ðËÒ. 1.4.13).
ê¯ÂÌËÂ. íÂÎÓ ÒËÏÏÂÚð˘ÌÓ, ÔÓ˝ÚÓÏÛ ‚˚˜ËÒÎËÏ Ó·˙ÂÏ Â„Ó ˜ÂÚ-
‚ÂðÚÓÈ ˜‡ÒÚË, ÎÂʇ˘ÂÈ ‚ ÔÂð‚ÓÏ ÓÍÚ‡ÌÂ:
49
1
4
T
vdxdydz=
∫∫∫
.
èÂðÂȉÂÏ Í ˆËÎË̉ð˘ÂÒÍËÏ ÍÓÓð‰Ë̇ڇÏ:
cos
sin
xr
yr
zz
ϕ
ϕ
=
⎫
⎪
=
⎬
⎪
=
⎭
.
ìð‡‚ÌÂÌË ÍÓÌÛÒ‡ ‚ ˆËÎË̉ð˘ÂÒÍËı ÍÓÓð‰Ë̇ڇı
22
2()rz=− .
ó‡ÒÚ¸ ÍÓÌÛÒ‡, Ó„ð‡Ì˘˂‡˛˘‡fl ÚÂÎÓ, ËÏÂÂÚ Ûð‡‚ÌÂÌËÂ
2zr=−. íÓ-
„‰‡ ·Û‰ÂÚ:
22
2
00 0
1
4
r
T
vrdrddzddrrdz
π
ϕϕ
−
==
∫
∫∫ ∫ ∫ ∫
.
Ç˚˜ËÒÎËÏ ‚ÌÛÚðÂÌÌË ËÌÚ„ð‡Î˚:
2
2
2
0
0
2
1 внутр
r
r
Irdzrzrr
−
−
=
=⋅ = −
∫
;
2
2
3
22
0
0
4
2
33
2 внутр
()
r
Irrdrr
⎛⎞
=
−=−=
⎜⎟
⎝⎠
∫
.
éÍÓ̘‡ÚÂθÌÓ:
2
0
14 2
43 3
vd
π
π
ϕ
==
∫
.
éÚ‚ÂÚ:
8
3
v
π
= Í
Û
·. ‰.
êËÒ. 1.4.13
x
y
z
D
z
к
.л.
ϕ
к
.л.
002(,,)
2
2
50
É·‚‡ 2
äðË‚ÓÎËÌÂÈÌ˚ ËÌÚ„ð‡Î˚
§1. äðË‚ÓÎËÌÂÈÌ˚ ËÌÚ„ð‡Î˚ I ðÓ‰‡
1. éÔð‰ÂÎÂÌË ÍðË‚ÓÎËÌÂÈÌÓ„Ó ËÌÚ„ð‡Î‡ ÔÂð‚Ó„Ó ðÓ‰‡.
èÛÒÚ¸ ‚ ÔÎÓÒÍÓÒÚË
xOy ÎÂÊËÚ ÍðË‚‡fl AB , Û ÍÓÚÓðÓÈ ÒÛ˘ÂÒÚ-
‚ÛÂÚ ‰ÎË̇ ‰Û„Ë, Ë ÔÛÒÚ¸ ‚ ͇ʉÓÈ ÚӘ͠˝ÚÓÈ ÍðË‚ÓÈ ÓÔð‰ÂÎÂ̇
ÌÂÍÓÚÓð‡fl ÙÛÌ͈Ëfl
(,)fxy (ðËÒ. 2.1.1).
ê‡ÁÓ·¸ÂÏ ÍðË‚Û˛
AB
ÔðÓËÁ‚ÓθÌ˚Ï Ó·ð‡ÁÓÏ ÚӘ͇ÏË, ÒÎÂ‰Û˛-
˘ËÏË ‰ðÛ„ Á‡ ‰ðÛ„ÓÏ ÓÚ
A Í B , ̇ n ˜‡ÒÚÂÈ.
èÛÒÚ¸
k
SΔ
– ‰ÎË̇ ‰Û„Ë
1kk
MM
+
. ç‡Ë·Óθ¯Û˛ ËÁ ‰ÎËÌ ‰Û„
k
SΔ
̇ÁÓ‚ÂÏ ð‡Ì„ÓÏ ‰ðÓ·ÎÂÌËfl Ë Ó·ÓÁ̇˜ËÏ
λ
. ç‡ Í‡Ê‰ÓÈ ‰Û„Â
1kk
MM
+
‚ÓÁ¸ÏÂÏ ÔðÓËÁ‚ÓθÌÛ˛ ÚÓ˜ÍÛ (, )
kk
P
ξ
η
Ë ‚˚˜ËÒÎËÏ ‚ ÌÂÈ
Á̇˜ÂÌË ÙÛÌ͈ËË
(, )
kk
f
ξ
η
.
ëÓÒÚ‡‚ËÏ ÔðÓËÁ‚‰ÂÌËÂ
(,)
kk k
fS
ξ
η
⋅
Δ
Ë ÔðÓÒÛÏÏËðÛÂÏ ‚Ò ڇÍËÂ
ÔðÓËÁ‚‰ÂÌËfl, Ú.Â. Ó·ð‡ÁÛÂÏ ËÌÚ„ð‡Î¸ÌÛ˛ ÒÛÏÏÛ (ÒÛÏÏÛ êËχ̇):
1
0
(,)
n
nkkk
k
fS
σξη
−
=
=⋅Δ
∑
.
êËÒ. 2.1.1
x
y
0
0
AM=
1
M
k
M
1k
M
+
n
BM
=
1k
x
+
k
x
(,)
kk
P
ξ
η