Курсовой проект - Основы теории надежности (вариант 22)
Подождите немного. Документ загружается.
NT
r
2
)2(
2
max
2
=4.975*10
-3
Задача 4.1.9.
При испытаниях по плану [n = 50, Б, d = 6] получены следующие
значения наработки отказов устройств: 80, 150, 250, 300, 350 и 450 часов.
Отказавшие устройства не восстанавливались. Требуется найти оценку
интенсивности отказов и доверительный интервал с вероятностью α=0,90 при
β
1
= β
2
=0,05.
Решение.
d
oi
di
tdntt часов21380450)650(45035030025015080)(
4
1034.2
1
t
d
4
2
)12)(95.01(
1024.1
42760
23.5
2
t
В
3
2
)12)(95.0(
Н
1091.4
42760
0.21
2
t
Задача 4.1.10.
План испытаний [n, Б, t
0
]. За время испытания по плану [n=40,Б, t
0
=400ч]
отказало d=5 устройств, причем отказавшие устройства проработали до
выхода из строя соответственно 150, 200, 320, 350, 400 час. Требуется
определить оценку интенсивности отказов и двухсторонний доверительный
интервал для α = 0,8 и β
1
= β
2
=0,10.
Решение.
d
oi
di
tdntt часов15420400)540(400350320200150)(
4
1024,3
t
d
4
2
)10)(9,0(
101,5
30840
16
2
t
В
3
2
)10)(10,0(
Н
1058,1
30840
87,4
2
t
Задача 4.1.11.
При испытании по плану [n=120,Б, t
0
=120ч] зарегистрировано 6 отказов.
Задача 4.1.20.
Испытания контрольно-измерительной аппаратуры проводилось по
плану [n=30, Б, t=1400]. За время испытаний было зарегистрировано 72
отказа, которые мгновенно устранялись. Оценить λ и найти ее двухсторонний
интервал с вероятностью 0,9 и 0,95, если распределение отказов аппаратуры
экспоненциальное.
Решение.
Под доверительным интервалом понимаются диапазон значений
параметра, в пределах которого с некоторой вероятностью p может
находиться его истинное значение. Вероятность p называется доверительной
вероятностью ил коэффициентом доверия.
Найду доверительный интервал и, подставив данные, получим: для p=0,9
NT
r
2
)2(
2
min
)
1
1(
=5.819*10
-3
NT
r
2
)2(
2
max
2
=4.975*10
-3
для р=0,95
NT
r
2
)2(
2
min
)
1
1(
=6.52*10
-3
NT
r
2
)2(
2
max
2
=4.22*10
-3
Поможет в решении
Задача с исходными данными задачи 1.1
На испытание было N = 850 отказов аппаратуры. Число отказов
*
i
n
фиксировалось
через каждые 200 часов работы. Данные об отказах приведены в таблице 1.
Требуется проверить соответствие экспериментального закона теоретическому по
критерию
2
.
Таблица 1. Данные об отказах.
i
t
100
200
300 400 500 600 700 800 900 1000
*
i
n
69 31 19 14 10 8 7 5 4 4
Решение.
4
i
t
*
i
n
)t(P
*
*
i
q
i
q
i
n
2
i
100 69 0,863 0,137 0,201 101 10,132
200 61 0,741 0,122 0,161 81 4,797
300 56 0,629 0,112 0,128 64 1,106
400 54 0,522 0,108 0,103 51 0,123
500 51 0,420 0,102 0,082 41 2,372
600 49 0,323 0,098 0,065 33 7,940
700 46 0,231 0,092 0,052 26 14,877
800 41 0,149 0,082 0,042 21 19,153
900 38 0,074 0,076 0,033 17 26,977
1000 37 0 0,074 0,027 13 41,718
Сумма: 502 4 1 0,894 449 129,196
1)
N
n(t)N
)t(P
*
863,0
502
69502
)200(P
*
741,0
502
)6169(502
)004(P
*
629,0
502
)566169(502
)600(P
*
Вероятность безотказной работы в зависимости от
времени
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
время t
P(t)
2)
N
tn
TТ
i
срi
*
i
0
*
0
2
tt
t
1-ii
срi
22,445
502
95037..150615069
TТ
0
*
0
ч
3)
N
n
q
*
i
*
i
137,0
502
69
q
*
1
122,0
502
61
q
*
2
112,0
502
56
q
*
3
4)
i
1-i
t
t
i
f(t)dtq
0
T
t
-
0
e
T
1
)t(f
0
i
0
1-i
i
1-i
0
i
1-i
0
i
1-i
0
T
t
-
T
t
-
t
t
T
t
-
t
t
T
t
-
0
0
t
t
T
t
-
0
i
eeee)T(
T
1
dte
T
1
q
201,0e1q
445,22
100
-
1
161,0eeq
445,22
200
-
445,22
100
-
2
128,0eeq
445,22
300
-
445,22
200
-
3
5)
Nqn
ii
101502201,0n
1
81502161,0n
2
64502128,0n
3
6)
i
2*
ii
2
i
n
)nn(
132,10
101
)69101(
2
2
1
797,4
81
)6181(
2
2
2
106,1
64
)5664(
2
2
3
7)
Skr
k = 10; S = 2
8210r
1894,0q
i
i
Условие не выполняется
196,129
i
2
i
2
Такого значения нет в таблице => гипотеза не верна.
Задача №4.2.2
Заводом изготовлена серия автоматов в количестве 120 шт. Для выходного контроля
выделено 20 автоматов. Для признания серии надежной в ней должно быть не более 5%
дефективных изделий. Определить приёмочное число с риском α=0.05.
Решение.
Для определения риска контролируемых устройств (партии) есть формула:
1
0
Ao
d
C d D( ) f
d
1 f( )
D d
Где: С(d,D) – число сочетаний, находится по формуле:
f=n/N , где n – выборка изделий;
D=q*N, q – вероятность отказов;
Аo – приёмочное число;
Посчитаем значения α для нескольких приёмочных чисел:
α (0)=0,665
α (1)=0,263
α (2)=0,062
α (3)=0,0087
Условию задачи в большей степени удовлетворяет значение приёмочного числа А=2.
Задача №4,2,3.
Для контроля надежности в интересах заказчика взята выборка n=30 из N=300
устройств однократного действия. Контролируемая партия устройств допускает
максимальную вероятность отказов менее 0,12. Определить браковочное число с риском
β=0,1.
Решение.
Для определения риска контролируемых устройств (партии) есть формула:
Где: С(d,D) – число сочетаний, находится по формуле:
f=n/N , где т – выборка изделий;
D=q*N, q – вероятность отказов;
А – браковочное число;
Посчитаем значения β для нескольких браковочных чисел:
β(1)=0,023
β(2)=0,0113
β(3)=0,288
β(4)=0,509
Условию задачи в большей степени удовлетворяет значение браковочного числа А=2.
C d D( )
D
D d( ) d
Задача 4.2.4.
Из партии изделий объемом N=40 экземпляров извлечена выборка,
объемом который равен 10 экземплярам. При испытаниях выборки с целью
контроля надежности в интересах заказчика обнаружено 2 дефектных
изделия. Следует решить, можно ли принять партию с риском =0,12, если
при числе дефектных изделий в этой партии D>5 она должна быть
забракована.
Решение.
0
00
0
*
1'
A
d
n
N
dn
DN
d
D
C
CC
где N=40
n=10 – объем случайной выборки
А
0
=2 – оценочный норматив, при d=2
d – количество дефектных изделий из выборки
D
0
=5 – число дефектных изделий из партии
2
0
10
40
10
355
*
1'
d
dd
C
CC
=0,0893
Партия с риском =0,12 принять можно, так как расчитаное значение
риска ’=0,0893, что намного меньше заданного значения .
Задача 5.4.
Определить К и Т
ср
для резервированной системы с кратностью
резервирования m=2. Интенсивность отказов как основного так и резервных
блоков =1,5*10
-4
. Восстановление системы ведется одной бригадой с
интенсивностью =3 1/ч.
Решение.
Составим систему уравнений Колмогорова.
)()(
)(
)()()()(
)(
)()()()(
)(
)()(
)(
32
3
321
2
210
1
10
0
tptp
dt
tdP
tptptp
dt
tdP
tptptp
dt
tdP
tptp
dt
tdP
Для оценки эффективности резервирования системы до первого отказа
целесообразно использовать Марковскую схему с поглощающими
состояниями. Поглощающим состоянием является третье. При составлении
уравнений Колмогорова это состояние и переходы из него не учитываются.
Таким образом система уравнений будет иметь следующий вид
)()()()(
)(
)()()()(
)(
)()(
)(
321
2
210
1
10
0
ttptp
dt
tdP
tptptp
dt
tdP
tptp
dt
tdP
умножим каждое из уравнений на dt и проинтегрируем в пределах [0;∞]
0
2
0
1
0
2
0
2
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
)()()()(
)()()()()(
)()()(
dptpdptptdP
dptpdptpdptptdP
dptpdptptdP
Учитывая тот факт, что
0
)( dttp
i
равен математическому ожиданию
времени нахождения системы в i-ом состоянии, а в момент включения
система находится в нулевом состоянии.
0)()[(
0)()[(
1)[(
2002
21001
1000
TTtP
TTTtP
TTtP
Решив систему получим
Т
1
=1,33*10
8
ч.
Т
2
=6666,67 ч.
Т
0
=2,667*10
12
ч.
Математическое ожидание времени от момента включения системы до
первого отказа будет равно.
Т
ср
=Т
0
+Т
1
+Т
2
Т
ср
=2,7*10
12
Для определения коэффициента готовности системы используется
эргодическая Марковская схема, характерной особенностью которой является
то, что система находится в неустойчивом состоянии и многократно
переходит из одного состояния в другое. А потому вероятность нахождения
системы в каком – либо состоянии не зависимо от времени и числено равна
доле времени нахождения системы в данном состоянии.
Уравнение описывающие эргодическую Марковскую схему.
0)()(
0)()()()(
0)()()()(
0)()(
32
321
210
10
tptp
tptptp
tptptp
tptp
эта система избыточна. Любое из уравнений может быть получено путем
преобразований остальных уравнений. Поэтому заменим одной из уравнений
и получим систему
0)()(
0)()()()(
0)()()()(
0
32
321
210
3210
tptp
tptptp
tptptp
pppp
решив систему
р
0
=0,99995
р
1
=4,9*10
-5
р
2
= 2,5*10
-9
р
3
=1,25*10
-13
коэффициент готовности резервированной системы будет равен сумме
вероятностей нахождения системы в тех состояниях, в которых система
продолжает функционировать
К
г
=р
0
+р
1
+р
2
≈1
Задача №5 раздел.
Для дублированной системы с облегченным режимом работы резервного элемента при
λ=2*10
-5
1/ч, λ
р
=2*10
-5
1/ч определить вероятность безотказной работы.
Решение.
Основным параметром резервирования является его кратность. Под кратностью
резервирования m понимается отношение числа резервных элементов к числу
резервируемых (основных). Различают резервирование с целой и дробной кратностью.
Т.к. у нас резервирование с постоянно включенным резервом, то вероятность
безотказной работы можно посчитать по формуле:
Где: P
i
(t)=e
-λt
– вероятность безотказной работы i го элемента.
m – кратность резервирования.
n – общее количество элементов.
Подставляя в формулу получаем:
Задача №5.2
Для нерезервированной системы требуется определить коэффициент готовности при
интенсивности отказов системы λ=1.5*10
-5
1/ч и интенсивности восстановления µ=0.5 1/ч.
Решение.
Для определения коэффициента готовности системы используется эргодическая
Марковская схема, характерной особенностью которой является то, что система находится
в устойчивом состоянии и многократно осуществляет переходы из одного состояния в
другое, а поэтому вероятность нахождения системы в каком-либо состоянии не зависит от
времени и численно равна доле времени нахождения системы в данном состоянии.
В этом случае уравнения Колмогорова составляются для всех состояний, но левые
части этих уравнений равны нулю.
В нашем случае:
Однако эта система уравнений избыточна. Любое из уравнений может быть получено
путем преобразований остальных уравнений. Поэтому выбрасываем любое уравнение и
добавляем:
В общем случае коэффициент готовности системы будет равен сумме вероятностей
нахождения системы в тех состояниях, в которых система продолжает функционировать. В
нашем примере: К
г
= Р
0
К
г
= 0,99997
Задача 5.4.
Определить К и Т
ср
для резервированной системы с кратностью
резервирования m=2. Интенсивность отказов как основного так и резервных
блоков =1,5*10
-4
. Восстановление системы ведется одной бригадой с
интенсивностью =3 1/ч.
Решение.
Составим систему уравнений Колмогорова. По графу:
1
0
0
10
01
10
PP
PP
PP
1
0
1
i
i
P
0
P
)()(
)(
)()()()(
)(
)()()()(
)(
)()(
)(
32
3
321
2
210
1
10
0
tptp
dt
tdP
tptptp
dt
tdP
tptptp
dt
tdP
tptp
dt
tdP
Для оценки эффективности резервирования системы до первого отказа
целесообразно использовать Марковскую схему с поглощающими
состояниями. Поглощающим состоянием является третье. При составлении
уравнений Колмогорова это состояние и переходы из него не учитываются.
Таким образом система уравнений будет иметь следующий вид
)()()()(
)(
)()()()(
)(
)()(
)(
321
2
210
1
10
0
ttptp
dt
tdP
tptptp
dt
tdP
tptp
dt
tdP
умножим каждое из уравнений на dt и проинтегрируем в пределах [0;∞]
0
2
0
1
0
2
0
2
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
)()()()(
)()()()()(
)()()(
dptpdptptdP
dptpdptpdptptdP
dptpdptptdP
Учитывая тот факт, что
0
)( dttp
i
равен математическому ожиданию
времени нахождения системы в i-ом состоянии, а в момент включения
система находится в нулевом состоянии.
0)()[(
0)()[(
1)[(
2002
21001
1000
TTtP
TTTtP
TTtP
Решив систему, получим:
Т
1
=1,33*10
8
ч.
Т
2
=6666,67 ч.
Т
0
=2,667*10
12
ч.
Математическое ожидание времени от момента включения системы до
первого отказа будет равно.
Т
ср
=(Т
0
+Т
1
+Т
2
)/3
T
ср
=0,9*10
12
Для определения коэффициента готовности системы используется
эргодическая Марковская схема, характерной особенностью которой является
то, что система находится в неустойчивом состоянии и многократно
переходит из одного состояния в другое. А потому вероятность нахождения