Курсовая работа - Софізми, паралогізми і парадокси в шкільній математиці

Подождите немного. Документ загружается.

Міністерсво освіти і науки України

Дніпропетровське відділення малої академії наук України

Науково-технічний факультет

Секція: Математика

СОФІЗМИ, ПАРАЛОГІЗМИ І ПАРАДОКСИ

В ШКІЛЬНІЙ МАТЕМАТИЦІ

Науково-дослідницька

робота

учениці 11-А класу

Криворізької

педагогічної гімназії

Дука Марії Олегівни

Науковий керівник –

Ульшин Петро Іванович

к. т. н., Доцент кафедри

математики КДПУ

м. Дніпропетровськ

2008 р.

ЗМІСТ

ВСТУП…………………………………………………………………………….3

РОЗДІЛ 1. ТЕОРЕТИЧНІ ПЕРЕДУМОВИ ДЛЯ ВИНИКНЕННЯ СОФІЗМІВ,

ПАРАЛОГІЗМІВ І ПАРАДОКСІВ

1.1. Виникнення софізмів, паралогізмів і парадоксів у

стародавні часи………………………………………………………5

1.2. Істина та як до неї прийти………………….……………………….9

1.2.1. Істина та форми думки …………………………………...….9

1.2.2. Шляхи до істини …………………………………………....14

1.3. Як обчислити або довести істину………..………………..………18

РОЗДІЛ 2. ДОСЛІДЖЕННЯ ШЛЯХІВ ПОДОЛАННЯ ПАРАДОКСІВ,

ПАРАЛОГІЗМІВ І СОФІЗМІВ В МАТЕМАТИЦІ

2.1. Софізми, паралогізми і парадокси в арифметиці..……………….20

2.2. Виникнення невірних тверджень в алгебрі і початках аналізу….25

2.3. Софізми і чудеса в геометрії та їх пояснення….…………………29

2.4. Логічні катастрофи у філософії і теорії чисел...………………….32

ВИСНОВКИ………………………………...........................................................34

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ……………………………………….36

ВСТУП

Всім, хто вивчає математику, особливо початківцям, слід добре

пам’ятати, що при невиконанні встановлених правил можна потрапити в

пастку, яка приводить до помилок. Але, як не як, ми самі іноді потрапляємо в

подібні пастки, намагаючись швидше і оптимально логічно розв’язати певну

задачу; потім ми намагаємось знайти помилку у розв’язанні і, врешті решт,

як наслідок отримуємо ще одну хибну істину. Тоді виникає питання, яким же

повинен бути розв’язок і якими законами потрібно керуватись, щоб знайти

істину? Або, по можливості, як з декількох хибних тверджень знайти

найбільш приближене до істинного?

Доведення невірних тверджень в математиці не є новиною. Виникнення

таких відхилень від істини були помічені ще математиками Стародавньої

Греції. Ними було встановлено, що всі недоречності є результатом

порушення законів логіки.

Сучасні педагоги і математики-методисти написали велику кількість

статей і книг з аналізом неправильно розв’язаних задач на математичних

олімпіадах, конкурсах різних видів та на вступних екзаменах до ВНЗ. Вони

пропонують, як у різних випадках можна уникати помилок. Людині, як

кажуть, властиво помилятися, і тому дана тема є актуальною.

Об’єктом дослідження є процес вивчення існування парадоксів,

паралогізмів і софізмів.

Предметом дослідження є процес вивчення парадоксів, паралогізмів та

софізмів у шкільній математиці.

Метою роботи є ознайомлення з паралогізмами, парадоксами і софізмами,

які мають місце в шкільній математиці, встановлення природи їх виникнення

та створення шляхів для їх подолання.

Для досягнення поставленої мети в роботі сформульовано наступні

завдання

1. Вивчити джерела, які відповідають даній темі;

2. Дослідити історію виникнення парадоксів і софізмів;

3. Вияснити, що означає істина та якими шляхами її імовірно знайти;

4. Розглянути причини виникнення парадоксів і софізмів в курсі шкільної

математики: в арифметиці, алгебрі, геометрії;

5. Навчитись знаходити шляхи для подолання причин, які сприяють

виникненню парадоксів і софізмів у шкільній математиці.

Методами дослідження є координатний, векторний, дедуктивний,

асоціативний тощо.

Новизна одержаних результатів полягає в тому, що крім наведених

прикладів із літературних джерел про парадокси, софізми і паралогізми, деякі

з них були сформульовані автором цієї роботи самостійно; окрім цього

матеріал було оброблено так, щоб читач зміг самостійно за допомогою даної

роботи навчитися і пояснити «неполадки» у розв’язанні тої чи іншої задачі в

математиці.

Практичне значення даної роботи в тому, що вона буде допомагати

учням, які її читатимуть, ширше розуміти природу математичної науки, легко

долати парадоксальні явища в курсі шкільної математики.

РОЗДІЛ І

ТЕОРЕТИЧНІ ПЕРЕДУМОВИ ДЛЯ ВИНИКНЕННЯ СОФІЗМІВ,

ПАРАЛОГІЗМІВ І ПАРАДОКСІВ

1.1. Виникнення софізмів, паралогізмів і парадоксів в стародавні часи

Вчені Стародавньої Греції (IV ст. до н. ери) приділяли велику увагу

логічному мисленню. За допомогою такого мислення їм вдавалося доводити

різні твердження в таких науках як філософія, математика, фізика,

астрономія та ін. Одержані твердження містили в собі нові знання і

збагачували науку.

Проте, вже в ті часи було помічено відхилення від одержаних правильних

висновків, при ніби послідовному міркуванні. Дослідження помилкових

тверджень показали, що вони виникають при порушенні законів логіки.

Для подолання логічних «капканів» вчені почали створювати

«профілактичні заходи». Так давньогрецький вчений-математик Евклід

написав збірник під назвою «Псевдарій», в якому помістив різні хибні

міркування, що траплялися в математиків-початківців. В ньому було описано

пояснення одержаних помилок та вказані можливості їх уникнення [3].

Помилки в міркуваннях, пов’язані з порушенням законів логіки бувають

двох родів: паралогізми і софізми. До паралогізмів відносяться хибні

міркування як результат логічних помилок, допущених не навмисне, а через

втрату послідовності у міркуваннях або при порушенні хоча б одного закону

логіки.

Найрізноманітніші математичні помилки, які допускають і школярі, і

математики, здебільшого є саме паралогізмами. В наші часи написано багато

збірників, в яких аналізуються такі помилки. В окремих випадках

паралогізмами можуть бути і вірні твердження, проте, одержані з

порушенням математичної логіки. Наприклад: потрібно розв’язати рівняння

xx −=− 46

. Піднесемо до квадрата обидві частини рівняння і після

елементарних перетворень одержимо х=5. Проте х=5 не задовольняє

рівняння, тому не є розв’язком. Тут втрачена послідовність міркування.

Спочатку треба було встановити область існування розв’язків:

);6()4;(

∞

∪

−∞

∈

. Отже, рівняння розв’язків не має.

Софізми – це міркування, побудовані так, що містять навмисне допущену

помилку і, звичайно, приводять до хибних висновків.

Першим ввів софізми давньогрецький філософ, засновник школи

філософів у Греції Протагор із Абдери у V столітті до н. е. [3]. Введення

софізмів було великим кроком у розгадуванні закономірностей людського

мислення. Воно сприяло вдосконаленню ораторського мистецтва та

підвищенню логічної культури мислення.

Щоправда диспути софістів перетворилися в безрезультатні суперечки.

Звідки й ідіозне значення слова «софіст» - людина, яка готова за допомогою

будь-яких прийомів захищати певні тези, не рахуючись з об’єктивною

істинністю чи хибністю цих тез.

Дуже часто софістичне міркування ґрунтується на підміні понять, на

двозначності слів, на навмисне неправильному доборі посилок, на зовнішній

подібності. Розглянемо приклад.

Приклад. Доведемо, що 2=3.

159104

−

6159

6104 +−=+−

323

222













+⋅⋅−=













+⋅⋅−













−=













−

2 −=−

. Що і треба було довести.

Даний софізм грунтується на неправомірному поширенні

істинності прямої теореми «Якщо числа рівні, то й їх квадрати рівні» на

обернену «Якщо квадрати двох чисел рівні, то й ці числа рівні». Проте

обернена теорема справджується на множині N, а на інших множинах –

не справджується. Останні перетворення мали бути такими:













−=













−

−=−

. А істинним буде частково

стверджувальне висловлення «Якщо квадрати цілих чисел рівні, то й ці

числа можуть бути рівними».

Досліджуючи софізми різні вчені по різному висловлювалися про них.

Наприклад, Л.М.Толстой зазначав, що «головна перешкода пізнанню істини є

не хибність, а подібність хибності», а припустивши десь помилку можна вже

доводити все, що завгодно, бо, як говорив Блез Паскаль, «істина така

тендітна, що ледь тільки відступиш від неї, помилишся» [7].

Паралогізми найчастіше допускають неуважні або недостатньо

натреновані в складних міркуваннях. Софізми – це навмисне розставлені

логічні пастки. Як паралогізми, так і софізми є результатами якоїсь логічної

помилки. Потрібно виявити в якому місці були порушені правила логіки або

математики і таким чином можна уникнути цих помилок.

Парадокси – це вірні твердження (висновки), але такі, що здаються

невірними в силу наших життєвих і психологічних причин. В перекладі з

грецької мови слово «парадокс» означає – несподіваний, дивовижний. У

випадку парадокса – логічно правильні міркування приводять до взаємно

протилежних висновків, причому,, кожен з них не можна віднести ні до

істинних, ні до хибних.

Своїми парадоксами або апоріями (тупик, безвихідне становище) задав

багато турбот філософам, логікам і математикам відомий давньогрецький

філософ Зенон Елейський (IV ст. до н.е.). Він доводив неможливість

мислимої множинності речей та існування руху. Всього Зенон Елейський

сформував 45 апорій.

Важливим результатом Зенона Елейського є висловлення ідеї просторової

і математичної нескінченості. Нею він поставив глибинні питання

діалектичної суперечливості понять: скінченого і нескінченого. За його

теорією просторова нескінченість не має межі, а математична нескінченість

представляється у вигляді ділення скінченого числа на нуль.

Розглядаємо парадокс «Купа» (купа – це таке об’єднання елементів, в

якому невідомо скільки їх). Одне зерно купи не становить. Додавши ще

зернину, купи знову не матимемо. Як же дістати купу, додаючи кожного разу

по одному зерну, з яких ні одне не становить купи?

Досить цікавий парадокс було знайдено учнями Піфагора в IV ст. до н.е.

Ними було доведено, що число

не є дробово-раціональним. Це

протирічило тодішній теорії чисел, в якій розглядалися лише числа цілі та

раціональні – звичайні дроби. Цей парадокс створив першу математичну

кризу. Число

не сприймалося числом серед цілих і дробово-раціональних

чисел. Інших чисел тоді не було.

1.2. Істина та як до неї прийти

1.2.1.

Істина та форми думки

Істиною називають відображення людиною реальної дійсності,

відтворення предмета пізнання таким, яким він є поза нашою свідомістю і

незалежно від неї [6].

Істина посідає значне місце в житті людини. Вона може порадувати чи

засмутити, захопити або викликати негативні емоції, паралізувати волю

слабких і спонукати на подвиги сильних. На шляху пошуку істини людина

створювала й створюватиме дивовижні прилади, які допомагають їй глибше

проникати в сутність досліджуваних об’єктів.

Видатний давньогрецький філософ-матеріаліст Демокріт (бл. 460 –

- бл. 370 р. н.е) говорив, що доведення теореми йому дорожче за перський

престол. Великий італійський вчений Джордано Бруно (1548-1600 рр.) зазнав

жорстких тортур і зійшов на вогонь інквізиції заради наукової істини. Але,

нажаль, тодішня влада була в руках церкви, й усі парадоксальні протиріччя

щодо їх віри устроїв світу знищувалися жорстоким шляхом, а їх носії –

визнавались єретиками.

У 1820 році угорський математик Фаркаш Больяй писав своєму синові

Яношу, коли довідався, що той береться довести V постулат Евкліда:

«Ти не повинен намагатися подолати теорію паралельних ліній на цьому

шляху: я знаю цей шлях, я пройшов його до кінця, я пережив цю

безпросвітну ніч, і всякий світоч, всяку радість мого життя я поховав у ній.

Молю тебе, облиш вчення про паралельні лінії... воно позбавить тебе

здоров’я, дозвілля, спокою – воно тобі загубить всю радість життя. Ця

безпросвітна імла може поглинути тисячу «ньютонівських» башт, і ніколи на

землі не розійдеться; ніколи... рід людський не досягне довершеної істини,

навіть в геометрії!.. Я готовий був стати мучеником цієї істини, що тільки

очистити геометрію від цієї плями, щоб передати роду людському

бездоганну науку. Я проробив страшенну, гігантську роботу; я досяг значно

більшого, ніж те, що було знайдено до мене, але повного задоволення я не

дістав!». Але перестороги були марними. Захоплений ідеєю знаходження

істини та людською цікавістю до неї, Янош пройшов увесь тяжкий шлях до

розкриття таємниці паралельних прямих, пізнав гіркі години, навіть роки

невизнання своїх парадоксальних на той час результатів, та все таки отримав

ті недовгі радісні хвилини першовідкривача [1].

Все ж приклади тільки збагачували, загострювали або ж підсилювали

людські відчуття. А чуттєве пізнання в науці часто приводило людину до

помилкових висновків. Те, що здавалося очевидним, правильним та цілком

зрозумілим (очам видно!), часто виявлялося помилкою, і знов таки

призводило до ще нових і нових відкриттів, теорем і парадоксальних явищ.

Щоб уникнути таких «хибних істин» людина з перших кроків своєї

діяльності, задовго до винайдення різноманітних приладів, вдавалася до

іншого методу пізнання світу, який допомагав не тільки критикувати, а й

коригувати чуттєве пізнання. Цим методом стало мислення. Тільки завдяки

мисленню вдається пояснити та уточнити факти, виявлені в результаті

спостережень і дослідів. Тільки воно виявляє найважливіші, найглибші

характеристики об’єктів і відношення між ними.

Вищою формою розумової діяльності людини є теоретичне мислення.

Серед різних теоретичних методів пізнання світу надзвичайно потужним і

своєрідним став математичний метод. Він зайняв особливе місце в пізнанні і

за масштабами застосовності, і за мірою довіри до істин, які дістає

математика. Так визначний філософ і математик П’єр Гассенді (1592-

-1655 рр.) писав: «Той, хто з дитинства пройнявся математикою, засвоївши її

неспростовні доведення, так підготовлений до сприймання істини, що легко

відкине будь-яку фальш» [8]. Можливо це і є однією з причин того, що

математика є провідним предметом у школі, у подальшому нашому житті

відзначає велику роль окрім того, що в неї безмежне застосування. Виникає

тоді питання: коли ми, наприклад, читаємо довідник відомих людей усіх