Курсовая работа - Софізми, паралогізми і парадокси в шкільній математиці
Подождите немного. Документ загружается.
11
часів, разом з їх «математичним» званням у більшості випадків стоїть –
«філософ»; чи винна у цьому сама математика?
Перш ніж вирушити у світ парадоксів, софізмів і паралогізмів, потрібно
оснаститися необхідним для такої подорожі інвентарем.
У математичній літературі часто зустрічаються символи
∀
та
∃
:
∀
-
читається «для всіх...» - квантор загальності;
∃
- читається «існують такі...» - квантор існування.
Квантори явно або неявно присутні у кожному означенні, теоремі тощо.
Наприклад:
1. Для будь-яких цілих чисел а та b існує таке ціле число с, що а=b+с (у
даному твердженні квантори існування і загальності названо);
2. Квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів
його катетів (теорема Піфагора) (квантор загальності присутній
неясно, адже дана теорема справедлива лише у прямокутних
трикутників).
Об’єкти (реальні чи абстрактні, зокрема математичні) у тій чи іншій мові
позначають за допомогою певних символів цієї мови – імен цих об’єктів. Сам
об’єкт (реальний чи абстрактний) є носієм, або значенням, свого імені.
Ім’я не тільки означає об’єкт, а й завжди виражає деякий смисл. Смисл
імені – це те, що ми розуміємо, коли засвоїмо ім’я. Наприклад, імена
«Столиця України» та «Київ» позначають один і той самий об’єкт, хоча
відрізняються за смислом. Наприклад, імена «Мавка» та «Пегас» мають
смисл, але не позначають жодного реального об’єкта, тобто не мають
значення. Таким чином ім’я «найменший дійсний корінь рівняння х
2
+1=0»
має смисл, але не має значення (такий корінь не існує). Імена об’єктів у
наукових теоріях використовують, додержуючи ряду принципів.
У реченні мова йде про предмети, імена яких зустрічаються у ньому, а не
про імена предметів. У математиці один і той самий предмет може мати
багато, навіть нескінченну множину імен. Наприклад, символи (2-1), sin
2
π
, 0!,
12
1983
0
, 1, «один» можна розглядати як різні імена одного і того ж числа
(одиниці).
Кожний символ, який використовується в ролі імені, має позначати не
більш як один предмет (з точки зору математичної логіки). Але у природній
мові цей принцип додержується не завжди (як приклад, слово «коса» має
більше трьох значень).
Принцип заміни. Якщо об’єкт, про який говориться в реченні, має кілька
імен, то речення не змінює свого значення при заміні одного імені іншим (у
лінгвістиці такі слова називаються, як відомо, синонімами).
Довільне речення, про яке можна цілком точно і об’єктивно сказати,
хибне воно чи істинне, називається висловленнями.
Імена, які завжди позначають один і той самий предмет, тобто мають
одне значення, називають константами (сталими). Наприклад:
π
, sin, exp
(для позначення функції), N (для позначення множини натуральних чисел)
тощо. На відміну від сталих є змінні символи, які набувають значення будь-
якого предмета з певної множини (області визначення) предметів.
Знакосполучення, які містять одну або декілька змінних, називають
реченнями із змінними, або формами (йдеться про змінні, які входять вільно,
а не пов’язані кванторами).
Вищою формою мислення є логічне, або понятійне, пізнання. Поняття –
це результат абстрагування від певних неістотних для розв’язування
розглядуваної задачі ознак досліджуваного об’єкта. Отже, поняття – це
форма мислення, яка відбиває істотні властивості об’єктів, що вивчаються.
Сукупність істотних ознак об’єктів, які вивчаються, називається змістом
поняття, а множина об’єктів, охоплених поняттям, - його обсягом. Поняття
вводяться за допомогою логічної операції – означення. Найчастіше
користуються так званим класичним означенням – через найближчий рід та
видову ознаку (у математиці виразимося: рід – множина деяких елементів,
вид – підмножина даної множини, що складається з елементів зі спільними
ознаками). Наприклад: ромб – це паралелограм, у якого всі сторони рівні, та
13
діагоналі перетинаються під прямим кутом (рід – «паралелограм», видові
ознаки – «рівність сторін» та «перетин діагоналей під кутом 90
0
»).
Нові математичні поняття вводять також за допомогою описування їх
властивостей. Такі означення називають дескриптивними, або дескрипціями.
Однією з дескрипцій числа
π
може бути така: «Те число, яке, будучи
помноженим на довжину діаметра, дає довжину відповідного кола».
Цікаво знати, щоб поняття були коректними їх означення потрібно
будувати враховуючи ряд вимог:
- не можна опускати («геометрична прогресія – це коли кожен член...»)
чи підміняти родове поняття («геометрична прогресія – це
прогресія...», замість «послідовність»);
- нечітко задавати видову ознаку («просте число – це натуральне число,
яке має два різні дільники» замість поняття «натуральне число, яке має
лише два дільники – одиницю і самого себе.») та ін.
14
1.2.2. Шляхи до істини
У повсякденній роботі і в процесі наукових досліджень людина весь час
міркує, думає, прагнучи із уже відомих їй знань дістати нові. Ці нові знання
називають вивідними. Давньоіндійські логіки часто наводили такий приклад.
Нехай ми знаємо, що «там, де є дим, є і вогонь» і що «на пагорбі є дим», то на
основі цих відомостей дістаємо нове, вивідне знання: «на пагорбі є вогонь».
Якщо вивідні дані істинні, то не має потреби збиратися на пагорб, щоб
переконатися в існуванні там вогню.
Правильні міркування дають істинне знання в усіх випадках. Адже далеко
не завжди можна перевірити, істинне чи хибне знання дістали в результаті
проведених міркувань. Найчастіше ми йдемо до нового знання лише від
правдоподібної гіпотези, істинність якої саме і мають підтвердити наші
міркування. Тоді єдиною надійною гарантією істинності висновків є
впевненість в істинності вихідних посилок, а також у тому, що закони, на
основі яких будувалися висновки (форми думки), гарантують їх істинність.
Наука про закони і форми мислення називається логікою.
Умовивід – сукупність висловлень (наприклад, В), які випливають з інших
висловлень (наприклад, А і С). Тобто В істинне завжди, коли істинні А і С. У
цьому випадку А і С – посилки (висловлення, які містять вихідну
інформацію), В – висновки (висловлення, яе містить нове знання, добуте з
вихідного).
Умовиводи можна розділити на безпосередні (мають тільки одну
посилку) та опосередковані (мають декілька посилок).
За формою умовиводи поділяються на цілий ряд видів, із яких найчастіше
розглядаються дедуктивні та індуктивні.
Умовиводи
Дедуктивні
(від лат deductio - виведення)
Міркування переходять від
Індуктивні
(від лат. inductio - наведення)
Міркування на підставі знань про
15
загальних положень до вужчих.
Факт → загальне правило →
умовивід
окремі об’єкти певного класу дістають
загальний висновок, який стосується
всіх об’єктів цього класу.
Окремі висловлення → загальний
умовивід
Повна індукція
На підставі знань
про всі окремі
об’єкти класу
дістають знання
про цілий клас
цих об’єктів.
Неповна індукція
Загальний
висновок про
весь клас
об’єктів робиться
на підставі
знання лише про
деякі його
об’єкти
Величезне значення для формування логічних основ математики мали
праці визначного давньогрецького філософа Аристотеля (384-322 рр. до н.е.).
У логічних трактатах «Категорії», «Про тлумачення», «Топіка» та ін. він
заклав основи формальної логіки. Він показав, що правильні міркування
підпорядковані невеликому числу законів, які залежать тільки від форми
висловлень. Тому традиційну Аристотелеву логіку називають ще
формальною.
Закон тотожності (один з чотирьох основних законів формальної
логіки) вимагає, щоб одна і та ж думка, яка наводиться у даному умовиводі,
при повторенні мала один і той самий зміст. Багато помилок у міркуваннях
пов’язано саме з порушенням цього закону. Ці помилки можна поділити на
три види:
- еквівокація (від лат. аequus – рівний, vocalis – голосний, такі, що
звучать однаково) – використання в міркуванні багатозначності назви,
вважаючи цю назву однозначною;
16
- логомахія (від грецьк. «логос» - слово і «махе» - суперечка) – диспут,
який можна продовжувати безкінечно довго (не уточнюючи значення
імен) або такий, що не дає суттєво важливого;
- амфіболія (від грецьк. «амфіболія» - двозначність) – використання
речень, що можна тлумачити по-різному, в залежності від обставин (як
приклад, речення «Страчувати не можна помилувати», яке міняє своє
значення на протилежне при різному розташуванні розділових знаків).
Закон суперечності (латинська назва – Les contradictionis) – не можуть
бути одночасно істинними два протилежні висловлення про один і той самий
об’єкт, взятий в одному й тому самому часі та розумінні. Цей закон
пов’язаний з контрарними протилежностями (зіставляється
загальностверджувальне і загальнозаперечувальне висловлення).
Закон виключення третього (латинська назва – Lex exclusi tertii sive medii
inter duo contradictoria, давня латинська назва – tertium non datur – третього не
дано) – з двох суперечливих висловлень, де розглядаються один і той самий
об’єкт в один і той самий час, одне обов’язково істинне, а третього бути не
може. Поширюється на контрадикторні протилежності – зіставляються
загальностверджувальне і частиннозаперечувальне або
загальнозаперечувальне і частинностверджувальне висловлення.
Закон достатньої підстави – в природі, частиною якої є людина, немає
безпричинних явищ, кожне явище виникає із якихось інших фактів та явищ
(вимагає, щоб кожна істинна думка була обґрунтована іншими думками,
істинність яких доведена).
Несподіваними і надзвичайно важливими для проблем логічного
обміркування математики були дві знамениті теореми австрійського
математика Курта Геделя (1906-1978), опубліковані в 1931 році. Перша
теорема стверджувала: якщо формальна аксіоматична теорія формально
несуперечлива, то вона неповна (тобто в такій теорії Т знайдуться такі
змістовно-істинні твердження, які формально не доводжувані в ній). Друга
теорема Геделя стверджувала: якщо формалізована аксіоматична теорія Т
17
несуперечлива, то довести її несуперечливість засобами, які можна в ній
формалізувати, неможливо. Виявилося, що аксіоматичний метод не
всесильний, а лише необхідний і надзвичайно корисний на своєму місці
інструмент пізнання реальної дійсності, який все ж має пені межі
застосувань.
18
Таблиця 4
Таблиця 3
Таблиця 1
Таблиця 2
1.3. Як обчислити або довести істину
Ми розглянемо мінімум понять формальної і математичної логіки. В
математичній логіці за допомогою логічних операторів (словесних виразів
або знаків, які позначають певні логічні операції над висловленнями) можна
певним чином конструювати нові висловлення і знаходити значення
істинності результату. Істина – 1, хибність – 0. Прості висловлення – А, В, С.
Логічний добуток (кон’юнкція) висловлень А і В
називають складне висловлення «А
∧
В» (А і В), яке
істинне тоді і тільки тоді, коли істинне кожне з
висловлень А і В, хибне, коли хоча б одне з висловлень
хибне (таблиця 1)
Логічна сума (диз’юнкція) висловлень А і В
називають складне висловлення «А
∨
В» (А або В), яке
істинне тоді, коли хоча б одне з висловлень істинне,
хибне, коли обидва висловлення хибні (таблиця 2).
Заперечення висловлення А називається висловлення
¬
А (не А), яке істинне, коли А хибне, хибне, коли А
істинне (таблиця 3).
Імплікація висловлень А і В називається
висловлення «А
→
В» (Якщо А, то В), яке хибне тоді,
коли А (посилка) істинне, а В (наслідок) – хибне
(таблиця 4).
Еквівалентність висловлень А і В називається складне висловлення
А
↔
В (А тільки тоді, коли В; А еквівалентне В), яке істинне тоді, і тільки
А В А
В
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
А В А В
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
А
А
1
0
0
1
А В А В
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
19
тоді, коли обидва висловлення набувають однакових значень (або істинні,
або хибні). Якщо висловлення А
↔
В істинне, то А і В називаються
еквівалентними, або рівносильними.
20
РОЗДІЛ 2
ДОСЛІДЖЕННЯ ШЛЯХІВ ПОДОЛАННЯ ПАРАДОКСІВ,
ПАРАЛОГІЗМІВ І СОФІЗМІВ В МАТЕМАТИЦІ
2.1. Софізми, паралогізми і парадокси в арифметиці
В арифметиці часто трапляються неправильні доведення. Розглянемо
деякі з них.
1. 3=5.
Перший спосіб. Маємо очевидну нерівність 25-15-10=15-9-6, звідки
5(5-3-2) = 3(5-3-2), або 5=3.
Другий спосіб. 6х+15=10х+25, або 3(2х+5)=5(2х+5), звідки 3=5.
В обох способах доведення цього прикладу типово нехтувалася заборона
ділення на нуль. Варіації теми цього софізму дуже часто зустрічаються в
шкільній математиці.
2. 1=2.
2=2, 3-1=6-4, 1-3=4-6, 1-3+
4
9
=4-6+
4
9
,
−
−=
−
−
2
3
2
2
3
2
2
3
1
2
3
1
,
22
2
3
2
2
3
1
−=
−
, 1-
2
3
=2-
2
3
, 1=2.
Софізм заснований на неправомірному поширенні істинності прямої
теореми «Якщо числа рівні, то й квадрати їх рівні» на обернену «Якщо
квадрати двох чисел рівні, то й ці числа рівні». На множині Z пряма
теорема справджується, а обернена ні. Останні перетворення мали бути
такими:
22
2
3
2
2
3
1
−=
−
,
−=
−
2
3
2
2
3
1
,
2
3
21
2
3
−=−
,
2
1
2
1
=
.
3. 4=5.
У лівій частині рівності 4:4=5:5 винесемо за дужки число 4, а в правій – 5,
тоді матимемо 4(1:1)=5(1:1), або 4*1=5*1, звідки 4=5.