Курсовая работа - Софізми, паралогізми і парадокси в шкільній математиці

Подождите немного. Документ загружается.

на площині. Це видно з того, що сума внутрішніх кутів сферичного

трикутника більша за 180

, в той час як у простому трикутнику вона

завжди дорівнює 180

. В нашому ж прикладі у сферичному трикутнику

АРВ А=В=90

Плоским аналогом такого трикутника був би

рівнобедрений трикутник з двома прямими кутами, що, як відомо з

практики, неможливо.

Будь-які дві прямі, що лежать в одній площині, паралельні.

Проведемо AD||BC так, щоб вони перетинали дві дані l

і l

. Проведемо

ЕМ||AD і побудуємо відрізки BD і AC (рис 3). З подібності трикутників

AEK і ABC випливає, що EK:BC=AK:AC, а з подібності трикутників KCM

і ACD – що KM:AD=KC:AC. Додавши почленно ці рівності, маємо:

EK:BC+KM:AD=1. Аналогічно з подібності трикутників ВНЕ і ВDA, BDC

і HDM дістанемо: EH:AD+HM:BC=1. Тому

ЕК:ВС+КМ:AD=EH:AD+HM:BC, звідки KM:AD-EH:AD=HM:BC-EK:BC,

тобто (KM-EH):AD=(HM-EK):BC. Оскільки KM-EH=(EM-EK)-(EM-

HM)=HM-EK, то AD=BC. Тому AB||CD, або l

||l

Якщо позначити EK=x, KH=y, HM=z, то KM-EH=(y+z)-(x+y)=z-x, HM-

EK=z-x, а z=x. Тому маємо рівність 0:AD=0:BC, звідки немає підстав

робити висновок, що AD=BC (AD і BC можуть мати будь-яке значення).

5. Цікава задача. Якщо обтягнути дротом земну кулю по екватору, а потім

додати ще 1 м дроту, то між дротяним кільцем і Землею утвориться

певний зазор. Чи зможе крізь нього пробігти миша?

Більшість на це питання відповідають одразу – ні. Здавалося б, що може

означати 1 м дроту порівняно з 40 мільйонами метрів земного екватора!

Давайте розглянемо цю задачу з математичної точки зору.

Позначимо радіус земної кулі через r (r=6400 м), довжину дроту до

подовження l

R), а після подовження l

+∆l). Тоді

πππ

∆

lll

смсммrrh 1628,6:1002:1

=≈=−=

. Пробіжить не

тільки миша, а й кіт!

2.4. Логічні катастрофи у філософії і теорії чисел

Подані далі приклади мають особливий характер. Вони призначені не

стільки для розв’язування задач, скільки для того, щоб дати поштовх для

роздумів про круті перевали людської думки, яка часто прокладала шлях до

істини в лабіринтах здогадів і помилок, у важких поєдинках з очевидністю,

що, траплялося, як міраж в пустелі, заманювала на манівці.

1. Парадокс «Брехун».

Критянин Епіменід сказав: «Усі критяни - брехуни». Епіменід – сам

критянин. Отже, він брехун. Але, якщо Епіменід – брехун, тоді його

висловлення «Всі критяни - брехуни» хибне. Звідси випливає, що й

Епіменід не брехун, і тому його висловлення «Всі критяни - брехуни» -

істинне. Яке ж насправді висловлення Епіменіда – істинне чи хибне?

Цей парадокс приписують Евбуліду. Аналіз Евбулідового «Брехуна»

стимулював у середні віки авторів логічних трактатів про

«нерозв’язувані» висловлення. Антиномії цього типу відіграють велику

роль у сучасній математичній логіці і теорії множин. Зокрема, ідея

парадокса «Брехун» використана при доведенні відомої теореми К. Геделя

про неповноту формалізованих теорій.

2. Давньокитайські літературні джерела розповідають, що один мудрець,

щоб переїхати на своєму білому коні через кордон, який переходити

кіньми заборонялося, застосував у розмові з прикордонником такі

міркування:

Кінь може бути рудим. Білий кінь не може бути рудим. Отже, білий кінь

не є конем.

У першому реченні софізму йдеться про підмножини множини коней

(множину рудих коней), а в останньому реченні маємо усю множину

коней. Таким чином, у міркуваннях допущено помилку еквівокації, яка й

зумовила неправильний висновок «білий кінь не є конем».

3. Колись дуже давно в суді розглядалася справа про спадщину. Суддя

звернувся до свідка, дев’яностолітнього дідуся.

- Скажіть, у вас є брати?

- Сто сорок років тому, - відповів дідусь – у мене був брат.

- Як це так? - здивувався суддя.

- Дуже просто. У мене був брат, але сто сорок років тому він помер.

- Ви помиляєтесь. Ви, очевидно не можете покластися на Вашу пам’ять.

Адже вам дев’яносто два роки.

- Ні, я нітрохи не помиляюся, і пам’ять у мене відмінна, - наполягав

свідок. – Це ви не вмієте лічити і міркувати логічно.

- Утримуйтесь від подібних висловлень, інакше на Вас буде накладено

штраф за зневажливе ставлення до судді.

- Але ось доведення моєї правоти, - наполягав дідусь, показуючи папір

про смерть свого брата і власну метрику.

Що розповів дідусь?

Батько 92-літнього дідуся одружився дуже молодим і в 18 років став

батьком. У нього народився син, який в тому ж році помер. Батько

одружився вдруге в 65 років і через рік у нього народився син, який нині

виступав у суді. Від смерті першого сина до народження другого

пройшло 48 років (65+1-18=48), отже, від смерті брата до судового

процесу справді пройшло 140 років (92+48=140), хоча на перший погляд

це здається неймовірним.

ВИСНОВКИ

Дана наукова робота присвячена дослідженню, пов’язаному з

виникненням в математиці помилкових тверджень (софізмів, паралогізмів і

парадоксів). Була розглянута теоретична частина щодо помилок у

математиці, історія виникнення софізмів, паралогізмів і парадоксів та їх

спростування в арифметиці, алгебрі, геометрії тощо.

Учні часто допускають помилки під час вирішення якоїсь проблеми, в

тому числі і математичної. Як наслідок – хибні висновки. Було встановлено,

що наші міркування також підпорядковані певним законам (законам логіки),

порушення яких знецінює результати, здобуті в таких міркуваннях.

Найчастішою помилкою в учнів є дія ділення на нуль (несвідомо учень

ділить вираз на інший вираз, що містить зміну; не враховується те, що вираз-

дільник може дорівнювати нулю). Але, як відомо, для кожного правила є свої

виключення, тому (рідко) отримуються істинні твердження інтуїтивно. Ще у

давні часи гостро постало питання про систему «профілактичних заходів» -

додержання певних правил міркувань з метою уникнення логічних пасток.

На основі проведених досліджень можна зробити наступні висновки:

1. Вивчено історичні і літературні джерела про виникнення в математиці

помилкових тверджень;

2. Проведено пошуки логічних міркувань, які сприяють знаходженню

істини.

3. Розглянуто можливості виникнення хибних тверджень в арифметиці;

4. Вивчено природу виникнення парадоксів і софізмів в алгебрі і

математичному аналізі;

5. Розглянуто софізми і парадокси в геометрії та шляхи їх подолання;

6. Зібрано біля 30 текстів, що містять софізми, парадокси і паралогізми в

різних розділах математики та знайдено їм спростування.

Матеріал з даної роботи може бути використано на гуртковій роботі з

математики, на уроках математики в класах з поглибленим її вивченням, а

також як дидактичний матеріал при підготовці до математичних олімпіад,

конкурсів тощо.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Больяй Янош. Appendix. Приложение. М. – Л., ГИТТЛ, 1950, с. 18-19.

2. Дубнов Я. С. Ошибки в геометрических доказательствах. 4-е изд. М.:

Наука, 1969. – 63 с.

3. История математики с давнейших времен до начала нового времени.

М.: Наука, Т. 2, 1971. – 300 с.

4. Конфорович А. Г. Нескінченність у математиці. К.: Рад. школа, 1978. –

93 с.

5. Конфорович А. Г. Математичні софізми і парадокси. – К.: Рад. школа,

1983. – 208 с.

6. Кудрин А. К. Логика и истина. М.: Политиздат, 1980. – 144 с.

7. Лицман В. Где ошибка? М.: - Физматгиз, 1962. -192 с.

8. Математики о математике. Сб. статей / Сост. проф. В. И. Левин. М.,

Знание, 1972. – 47 с.

9. Обреимов В. И. Математические софизмы. 2-е изд. Петербург, изд.

Ф.Павленкова, 1889 -79 с.

10. Перельман Я. І. Цікава алгебра. К.: Техніка, 1973. – 187 с.

11. Ханагов А. А. Существуют ли в формальной логике парадоксы? –

Природа, 1978, № 10, с. 118 -124.

12. Яглом И. М. Необыкновенная алгебра – М.: Наука, 1968.