Куликовский П.Г. Справочник любителя астрономии

Подождите немного. Документ загружается.

§ 1.19. Происхождение и эволюция звезд 211

Рис. 143. Расположение переменных некоторых типов на диаграмме «цвет (В— V) — абсолютная

звездная величина (Му)», составленной для ряда звездных скоплений. М — звезды типа

Миры Кита, SR — красные полуправильные переменные (гиганты), SRc — полуправильные

сверхгиганты, RV — переменные типа RV Таи, С<5 — цефеиды плоской составляющей, CW —

цефеиды сферической составляющей, RR — короткопериодические переменные типа RR Lyr,

RRs — карликовые цефеиды (типа SX Phe), 6 — звезды типа 6 Set, Ар — магнитные переменные

(пекулярные А-звезды), Am — А-звезды с усиленными линиями металлов, /3 — звезды типа /3 СМа,

N — новые в минимуме блеска, UG — звезды типа U Gem (My = 4-7)

звезд. Является ли состояние переменности одним из неизбежных этапов эволю-

ционного пути звезды и какое место получают переменные различных типов среди

«нормальных» звезд? Расположение переменных различных типов на диаграмме

«цвет—светимость» (рис. 143), где они занимают целую полосу, пересекаемую (и да-

же не один раз) эволюционными треками, как будто бы говорит о том, что для звезд,

эволюционирующих от начальной главной последовательности к красным гигантам,

состояние переменности оказывается неизбежным.

Решение вопроса о механизме образования звезд и об их эволюции осложня-

ется необходимостью одновременного решения проблемы происхождения двойных

и кратных звезд, число которых превышает число одиночных звезд. К кратным можно

отнести также звезды, обладающие невидимыми спутниками. Солнце с его плане-

тами также можно рассматривать как своеобразную кратную звезду. Нет никаких

оснований считать нашу Солнечную систему особенной или единственной. Многие

факты говорят о том, что образование кратных звезд должно подчиняться тем же

законам, что и образование одиночных звезд. В то же время, сама двойственность

оказывает влияние на эволюцию звезд, что хорошо видно на примере новых звезд,

звезд типа U Gem, многих тесных двойных и некоторых других типов двойных звезд.

212

Глава 1. Общие сведения

Вопрос о происхождении и развитии звезд связан еще с одним не менее важ-

ным вопросом — о происхождении химических элементов. Исследования состава

Земли, метеоритов, атмосфер Солнца и звезд, а также межзвездной среды показа-

ли, что различные химические элементы приблизительно одинаково распределены

во Вселенной. При этом, конечно, учитывается различие структуры и состава планет

земной группы и больших планет, а также различие в содержании тяжелых элемен-

тов у звезд различного возраста (так, например, члены шаровых скоплений имеют

не более 0,3 % тяжелых элементов, а молодые звезды — до 4 %).

Наиболее распространенными являются самые легкие элементы — водород

и гелий. Солнце, звезды, межзвездный газ по числу атомов на 99% состоят из них.

На долю всех других, в том числе и самых сложных «тяжелых элементов», прихо-

дится менее

%. По массе 76,5% приходится на Н, 21,5% — на Не, 0,3% — на Ne,

0,82% - на О, 0,34% - на С, 0,12% - на N, 0,12% - на Fe, 0,07% - на Si,

0,06% — на Mg, 0,04% — на S. Остаток — 0,13% — на все другие элементы, в том

числе и самые сложные и «тяжелые» элементы. Долгое время считалось, что условия,

при которых могут образовываться тяжелые элементы, могли существовать лишь

в некоем дозвездном веществе, которое должно было быть весьма плотным и го-

рячим. Однако даже в земной коре имеются радиоактивные элементы, срок жизни

которых в качестве распадающихся элементов ограничен несколькими миллиардами

лет. В атмосферах звезд также обнаружены радиоактивные элементы с короткими

сроками жизни. Приходится считать, что в некоторых звездах имеются (или созда-

ются) условия для образования тяжелых элементов, а вспышки сверхновых звезд

рассеивают эти элементы в межзвездное пространство. Более легкие элементы, ве-

роятно, могут образовываться в активных областях некоторых звезд, где возникают

сильные магнитные поля, вызывающие ускорение элементарных частиц вещества

до громадных скоростей, способствующих превращению элементов. Усилия астро-

физиков и физиков направлены на решение проблемы образования элементарных

частиц и химических элементов.

Глава 2

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

§2.1. Обозначения больших и малых чисел

В науке широко используется сокращенное обозначение больших и малых чисел

с помощью десятичных множителей, содержащих различные степени числа 10

(положительные для чисел, больших единицы, и отрицательные — для меньших).

В этой системе число 100 обозначается как 10

, число 1000 как 10

; число 1580

может быть записано как 15,8 • 10

либо 1,58 10

; Ю

-3

— это 0,001; 2 • Ю

-4

—

это 0,0002 и т. д. Другой способ ясен из табл. XIX, в которой показано, что для

наименования больших чисел существует две системы. I система принята в странах

СНГ, США, Франции, Италии и др., II система — в Англии, ФРГ, Дании, Польше

и в большинстве стран Латинской Америки.

Таблица XIX

Наименование чисел

Сокращ.

обознач.

1 система

II система

Сокращ.

обознач.

I система II система

Миллион Миллион 10

Секстиллион Триллиард

Биллион Миллиард 10

Септиллион Квадриллион

(миллиард)

Триллион Биллион 10

Октиллион

Квадриллиард

Квадриллион Биллиард Ю

Нониллион

Квинтиллион

Квинтиллион Триллион 10

Дециллион

Квинтиллиард

Секстиллион

Таблица XX

Множители, приставки и их наименования

Дольные единицы

Обозначение

Дольные единицы

русск.

межлу-

народн.

Кратные единицы

русск.

между-

народ н.

' деци

10' дека

да

10~

санти (центи) с с 10

гекто г

-3

милди

м m

кило

КГ

микро

мк Ю

мега (мег) М

10~

нано н

гига Г G

10~

пико

I0'

тера Т Т

-15

фемто

f 10

пета П Р

|Q-I8

атто

а а

экса Э

Примеры: нанометр (нм), микрофарад (мкФ), мегапарсек (Мпк), мегаом (МОм).

214 Глава 2. Некоторые сведения по математике

Употребительна также система обозначения больших и малых величин пу-

тем использования греческих слов в качестве приставок к названиям различных

единиц (табл. XX).

§ 2.2. Измерение углов

Угол между двумя направлениями в пространстве можно измерить дугой окружности

с центром в вершине угла. Обычно окружность делится на 360 частей, именуемых

градусами (360°), градус делится на 60 минут (60'), минута — на 60 секунд (60").

Деление окружности на 360 частей имеет астрономическое происхождение: еше

в древности было замечено, что Солнце в сутки проходит среди звезд примерно

1/360 часть окружности. Всю окружность принято делить на четыре квадранта. Угол

от 0 до 90° находится в первом квадранте, от 90 до 180° — во втором и т.д. Иногда

окружность делят на 400 частей, именуемых градами (обозн. I

; 10

= 9°); вместо

минут и секунд дуги в этом случае употребляют десятые и сотые доли града. Таким

образом десятичную систему распространяют на измерение углов.

Полезно попрактиковаться в оценках

угловых расстояний на небесной сфере,

пользуясь приводимыми ниже соотноше-

ниями, а также всегда видимым на ясном

ночном небе ковшом Большой Медведи-

цы (рис. 144). Вытянутый к небу кулак у ка-

ждого пропорционально сложенного чело-

века закрывает дугу в ~ 10°, растопыренная

вытянутая к небу рука от кончика большо-

го пальца до кончика мизинца охватывает

дугу ~20°; указательный палец имеет ши-

рину Г.

Вообще же, при измерении углов имеет значение не сама дуга окружности, а ее

отношение к длине всей окружности. Отношение длины окружности к ее диаметру

обозначается 7Г и выражается бесконечной десятичной дробью:

я* = 3,141592653589793... .

«Отвлеченная мера» угла определяет угол соответствующей ему дугой окружно-

сти, деленной на ее радиус. В этой мере угол, соответствующий полной окружности,

т.е. 360° будет равен 2irR/R = 2тг. Угол в 180° выразится числом я

, угол в Г —

числом 2тг/360 = 0,0174533..., приблизительно равным 1/57,3. Угол в 57,3° стяги-

вается дугой, равной радиусу. Отсюда происходит название этого угла — радиан,

а отвлеченная мера углов часто называется радианной.

Поперечник объекта, который виден под углом в Г, в 57,3 раза меньше

отделяющего нас от него расстояния. Углам в 1' и 1" соответствует 1/3438 и 1/206 265

части расстояния. Табл.85 дает переход от угловой к радианной мере. Обратный

переход совершается умножением на 57,3°, либо на 3438', либо на 206 265", чтобы

выразить угол в градусах, либо в минутах, либо в секундах дуги.

В астрономии весьма употребительно выражение углов в часовой мере. Этот счет

углов связан с тем, что угол поворота вращающейся Земли пропорционален протек-

шему времени. Угол в 360° будет выражаться углом в 24

, 15° = l

, Г = 4

и т.д.

Рис. 144. Угловые расстояния между звез-

дами ковша Большой Медведицы

§2.3. Элементы сферической тригонометрии

215

§ 2.3. Элементы сферической тригонометрии

Плоскость, проходящая через центр сферы, пересекает ее по большому кругу, всякая

иная секущая плоскость дает в пересечении малый круг. Два больших круга пересека-

ются в двух диаметрально противоположных точках, которые делят круги пополам.

Точки на сфере, равноотстоящие от всех точек большого круга, называются полюсами

этого большого круга. Они лежат на расстоянии 90° от большого круга на концах диа-

метра. Три точки сферы, не лежащие на одном большом

круге и соединенные дугами больших кругов, образуют

сферический треугольник. Рассматриваются сферические

треугольники, у которых стороны и углы меньше 180°

(треугольники Эйлера). Сумма сторон будет больше 360°.

Сумма углов такого треугольники всегда больше 180°,

но меньше 540°. При очень малых размерах сферическо-

го треугольника можно пользоваться формулами плоской

тригонометрии, а сумму углов считать равной 180°.

Ниже приводятся основные формулы, из которых легко получить выражения ин-

тересующих нас неизвестных элементов сферического треугольника через известные.

а) Прямоугольный сферический треугольник (рис. 145).

sin b sin с

cos а = cos b cos с, sin В = ——, sin С = . ,

Рис. 145. Прямоугольный

сферический треугольник

cos а = ctg В ctg С, cos В =

sin а

tgc

tg а'

cos С =

sin а

tg b

tg а'

cos

cos с =

cos В

sin С'

cos С

sin В'

tg В =

tg b

sin с

(26)

_ tgc

tgC = -=—.

sin b

б) Косоугольный сферический треугольник (рис. 146).

Формулы синусов:

sin а sin А sin b

sin с

sin В

sin С

sin с sin С

Рис. 146. Косоугольный

сферический треугольник

sin b sin В ' sin с sin с sin а

формулы косинусов:

cos а = cos

cos с + sin

sin с cos A,

cos b = cos с cos а + sin с sin a cos B,

cos с = cos a cos 6 + sin a sin

cos C,

формулы четырех элементов (две стороны и два угла):

' cos с cos А = sin с ctg

- ctg В sin А,

cos a cos В = sin a ctg с - ctg С sin В,

cos

cos A = sin

ctg с - ctg С sin A,

cos

cos С

—

sin

ctg a

—

ctg A sin C,

cos с cos В = sin с ctg a - ctg A sin В,

cos a cos С = sin a ctg b - ctg В sin C.

sin A '

(27)

(28)

(29)

216

Глава 2. Некоторые сведения по математике

формулы пяти элементов (три стороны и два угла):

sin a cos В = cos

sin с

—

sin

cos

cos А,

sin о cos С = cos с sin 6

—

sin

cos

cos А,

sin

cos A = cos a sin с

—

sin a cos с cos В,

sin

cos С = cos

sin a

—

sin с cos a cos В,

sin

cos A = cos a sin

& —

sin a cos

cos C,

sin с cos В = cos

sin a

—

sin

cos a cos C.

Переход от одной системы астрономических координат к другой см. п. 3.1.2.

Определение площадей частей сферы и расстояний на сфере.

Для ряда задач бывает необходимо определить площади различных частей

сферы. Приводим ряд формул.

Поверхность шара радиуса г равна 47Гг

или 47г(360°/2тг)

= 41 253 кв. градуса.

Поверхность шарового сегмента (например, площадь полярной шапки, отсекае-

мой параллелью с широтой

<р):

2жг

(]

—

sin у?) или 20 626(1 -sin<^) кв. градусов.

Поверхность шарового пояса между параллелями с широтами ip\ и 20 626(sin

sin кв. градусов.

Поверхность, ограниченная двумя параллелями с широтами

<р\

и ip

и двумя

меридианами, образующими разность долгот АА°, т. е. площадь трапеции на сфере

S = 57,296°

•

AA°(sin ip

- sin р,).

Площадь сферического треугольника

2 2 о . .о

S = —-ЖГ = Г £ sin ,

180

где г — радиус сферы, е" — сферический избыток: е° = А + В + С— 180°, или

a b

sin -

•

sin -

£ 2 2

sin - = —^—— sin С,

* cos -

или

e A P

P-a P-b p-c

tg т = V tg -

•

tg ——

•

tg ——

•

4 V 2 2 2 2 '

где p — периметр, a, b, с — стороны треугольника, А, В. С — углы треугольника.

Площадь сферического двухсторонника (двуугольника, образованного двумя ме-

ридианами от полюса до полюса)

ж г

А°

где А° — разность долгот меридианов.

Угловое расстояние х° на поверхности сферы между двумя точками с координа-

тами \\,<р\ и А

, определяется из соотношения

cos (х°) = sin ip\ sin (р

+ cos

<p|

cos ip

•

cos (A

- A|).

Линейное расстояние x на поверхности сферы радиуса г по угловому расстоянию х :

—

х г sin

57,3°

'' С благодарностью автор использует простую формулу, предложенную читателем В. Бутенко.

§ 2.4. Конические сечения 217

Рис. 148. Парабола

Рис. 149. Гипербола

§2.4. Конические сечения

В астрономии используется уравнение конического сечения в полярных координа-

тах г и v относительно начала, совпадающего с фокусом,

г = - , (31)

1 + е cos v

где г — радиус-вектор, р — параметр, е — эксцентриситет. Геометрически р есть

половина хорды, проведенной через фокус конического сечения перпендикулярно

к главной оси (рис. 147-149).

К коническим сечениям относятся окружность, эллипс, парабола и гипербола.

Свое общее название они получили от того, что сечение прямого кругового конуса

плоскостью, по-разному наклоненной к его оси, дает одну из этих кривых.

У окружности все ее точки равноудалены от центра, т. е. радиус-вектор г равен

постоянной величине, а эксцентриситет е = 0.

У эллипса (рис. 147) сумма рассто-

яний любой его точки от двух внутрен-

них точек F\ и F

, называемых фоку-

сами, остается величиной постоянной

и равной большой оси эллипса:

MF] + MF

= 2а.

Степень вытянутости эллипса характе-

ризуется величиной эксцентриситета

Рис.147. Эллипс

-Ъ

т. е. отношением расстояния фокуса

от центра эллипса с к большой его

полуоси а. Эксцентриситет эллипса всегда больше нуля, но меньше единицы. Зная

эксцентриситет эллипса и его большую полуось, можно определить малую полуось

эллипса по формуле

b = aV

-е

. (33)

При е = 1 получаем незамкнутую кривую — параболу (рис. 148). Характерным

свойством параболы является постоянное равенство расстояний любой точки кривой

от фокуса и от неподвижной прямой АА' (не про-

ходящей через фокус), называемой директрисой:

MB = MF.

218 Глава 2. Некоторые сведения по математике

Точка О называется вершиной параболы: ОF есть перигельное расстояние q.

Параметр параболы р = 2q.

Гипербола (рис. 149) — незамкнутая кривая (состоящая из двух отдельных ветвей)

с эксцентриситетом е > I. У гиперболы разность расстояний любой ее точки

от двух фокусов — величина постоянная: F

M — MF\ = 2а. Параметр гиперболы

р = а(е

- 1). Прямые ВВ' и СС', симметричные относительно оси гиперболы F\F

называются ее асимптотами.

§2.5. Интерполяция и экстраполяция

При пользовании числовыми таблицами, выражающими зависимость одной ве-

личины (функции) от другой (аргумента), часто приходится находить значения

функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента, — производить

интерполяцию.

Ее можно производить графическим путем или вычислениями по специальным

интерполяционным формулам. При графическом решении задачи надо по данным

таблицы составить в достаточно большом масштабе

график непрерывного и плавного изменения функ-

ции у в зависимости от изменения аргумента х

и с него снимать значения у для нужных промежу-

точных значений х.

Когда функция меняется строго пропорцио-

нально изменению аргумента, она называется ли-

нейной функцией, так как график ее — прямая ли-

ния (рис. 150). Здесь мы имеем задачу линейной

интерполяции, которая легко решается путем соста-

вления простой пропорции.

Чтобы удостовериться в том, что у представляет

собой линейную функцию х, надо составить стол-

бец разностей первого порядка или, иначе, первых

разностей ai значений функции для соседних рав-

ноотстоящих значений аргумента (т.е. при постоянном шаге) и убедиться в том, что

все они являются приблизительно одинаковыми. Среднее значение ее а = £

Тогда для некоторого значения

Аргумент Функция Первые разности

®2

®4

У\

У2

Уз

У4

«1

«3

аргумента х, находящегося, например, между х\ и х

, функция будет иметь значение

Х-Х\

У = У\ + а. (34)

— Х\

Пример линейной интерполяции. Найти у для х = 2,25, если функция у

от аргумента х дана следующей таблицей:

г,о 7,5 г,о г, 5 з,о х

Рис. 150. Пример графической

интерполяции

§ 2.5. Интерполяция и экстраполяция

219

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0,41

0,59

0,81

1,01

1,20

0,18

0,22

0,20

0,19

Среднее 0,20

Решение: у(2,25) = </(2,00) + ^ _ ^0,20 = 0,81 + 0,5

•

0,20 = 0,91.

По всем значениям у, которые получались из наблюдений с некоторыми

случайными погрешностями, проводим прямую, лучше всего удовлетворяющую со-

вокупности точек (см. рис. 150). Если функция меняется неравномерно, то первые

разности не равны друг другу. В этом случае функция не может быть представлена

на графике прямой линией. Тогда при графическом решении надо по всем значе-

ниям функции, взятым из таблицы поблизости от того места, где нужно получить

ее промежуточное значение, провести плавную кривую и для требуемого значения

аргумента снять с кривой значение функции. Для вычислительного решения надо та-

блицу дополнить столбцом вторых разностей b\, Ь

, &з и т. д., представляющих собой

разности двух соседних значений первых разностей, столбцами третьих (это разно-

сти вторых разностей) и, если нужно, четвертых разностей и т.д. Число в индексе

при букве указывает строку, в которой стоит разность, а прибавление к нему 1/2

указывает, что она стоит между соответственными строками. Полученные значе-

ния разностей подставляют в одну из интерполяционных формул (о них см. книги

по математической обработке наблюдений, либо гл.6 ПЧАК. М.: Наука, 1981).

Аргумент

Функция

Первые

разности

Вторые

разности

Третьи

разности

Четвертые

разности

Хц

Хб

У1

Уг

Уз

У4

У5

Уь

«1 + 1/2

«2+1/2

"3+1/2

&з

2+1/2

З+1/2

<*з

Хц

Хб

У1

Уг

Уз

У4

У5

Уь

«4+1/2

«5+1/2

4+|/2

Если табличные данные являются функциями двух аргументов (так называемая

таблица с двумя входами), то сначала производят интерполяцию по одному аргументу,

получая ряд значений табличных данных для нескольких значений другого аргумента

при выбранном промежуточном значении первого аргумента (т.е. получаем одно-

мерную таблицу по второму аргументу). Затем производим вторую интерполяцию

для нужного промежуточного значения второго аргумента.

Отметим нередко встречающиеся частные случаи нелинейной интерполяции:

1. Интерполяция на середину:

+ Vi-и \Ь

{

+ Ь

1+]

2/.+1/2 = г . (35)

220 Глава 2. Некоторые сведения по математике

2. Интерполяция на треть:

1 1 b

i + 1

2/.+I/3 = Vi + J®'

9 2 ' ^ '

3. Интерполяция на две трети:

bj + b

№+2/з = 2/. + j - г j '

При этом значения в; вычисляются как средние арифметические двух соседних

разностей того же столбца:

_ «1-1/2 + «1+1/2

а. -

Экстраполяция — нахождение значения функции для аргумента, находящегося

за пределами таблицы, — представляет собой задачу, требующую особой осторожно-

сти. Во всех случаях экстраполяция дает лишь приближенные значения. Не следует

далеко выходить за пределы имеющихся в таблице значений. Лучше всего пред-

ставить функцию графиком и, руководствуясь характером ее изменения, снимать

нужные значения прямо с графика. Так, например, приходится поступать в случае

экстраполяции хода часов для предвычисления поправки часов (см. рис.217).

§ 2.6. О погрешностях наблюдений

При измерении любых величин неизбежны погрешности измерений. Рациональным

устройством измерительных приборов и продуманной методикой измерений надо

стремиться устранить или уменьшить влияние причин, вызывающих системати-

ческие погрешности, либо изучить их, чтобы учесть при обработке результатов

измерений. Пример: зенитное расстояние звезды и ее часовой угол связаны строгим

соотношением; можно вычислить совершенно точно, каковы должны быть зенитные

расстояния звезды при различных часовых углах. Однако если бы мы захотели про-

верить это соотношение, измерив большой ряд зенитных расстояний для различных

значений t, то убедились бы, что все измеренные зенитные расстояния меньше

вычисленных, причем различие между ними возрастает с величиной самого зенит-

ного расстояния. Причиной этой систематической погрешности является рефракция

в земной атмосфере. Учтя рефракцию, т. е. придав необходимую поправку каждому

измеренному значению z, мы найдем, что и теперь измерения не совпадают точно

с вычислениями, причем измеренные значения то больше, то меньше вычисленных,

а большие отклонения встречаются реже, чем малые. Это случайные погрешности.

Причина каждой такой погрешности не поддается строгому учету, но случайные

погрешности подчиняются законам, которые дают возможность из нескольких из-

мерений получить более надежный результат, чем из одного измерения, и оценить

точность этого результата. Теория случайных ошибок показывает, что при доста-

точно большом числе отдельных равноточных измерений наиболее вероятный

результат x

равен среднему арифметическому из всех измерений:

ж,

+ х

+х

+... + х

I -А _

= = = (38)

i=l

Для оценки точности измерений может служить средняя абсолютная погрешность,

равная среднему арифметическому изабсолютных величин отклонений отдельных