Куличенко Т.А., Морозов А.С. Линейные системы автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
протекающее от момента приложения на вход единичного скачка до
момента, после которого имеет место неравенство
)()( yty
, где
- заданная малая постоянная величина,
представляющая собой допустимую ошибку. Как правило
,
составляет от 1 до 5 % величины сигнала на выходе.
Точность системы в типовых режимах
Для оценки точности системы уравнения используется
величина ошибки в различных типовых режимах. В качестве типовых
используются следующие сигналы:
а) полиномиальный сигнал порядка “
r
”, определяемый
выражением:
,2,1,0),(1
!
)( rtt
r
a
tz
r
r
;
б) гармонический (синусоидальный) сигнал:
tAtz
sin)(
;
в) медленно меняющийся сигнал произвольной формы.
Под медленно меняющимся понимается такой сигнал, у
которого существует небольшое число отличных от нуля
производных, каждая из которых ограничена в любой момент времени.
При этом сам сигнал также ограничен. Например, сигнал:
)()( tarctgtz
является медленно меняющимся, так его производные
322
223
3
222
3
2
22
)1(
)13(2
)(;
)1(
2
)(;
1
)(
t
t
tzp
t
t
tzp
t
tpz
быстро убывают с ростом порядка и ограничены.
Для каждого типового сигнала используется своя методика
определения величины установившейся ошибки.
Полиномиальный типовой сигнал
Показателем точности в установившемся режиме служит
величина полной установившейся ошибки:
)]()([lim tt
f
t
n
уст
,
31
где
)(t
- ошибка, обусловленная неточностью воспроизведения
входного сигнала при отсутствии возмущения, а
)(t
t
- ошибка,
вызванная возмущением. При полиномиальных внешних воздействиях
составляющие
)(lim t
t
уст
,
)(lim t
f
t
f
уст
полной
установившейся ошибки для линейных систем можно вычислить
отдельно, используя теорему о конечном значении вида
),(lim)(lim
0
ppztz
pt
известную в теории преобразования Лапласа. Так как
)()()();()()( pFpФppXpФp
ff
, то
);()(lim
0
pXppФ
p
уст
).()(lim
0
pFppФ
f
p
f
уст
При учете возмущающего воздействия структурную схему
системы приводят к виду регулятор-объект с передаточными
функциями
)( pW
p
и
)( pW
об
соответственно, а передаточные
функции элементов структурной схемы системы приводятся к виду:
)()();()(
02
2
2
01
1
1
pW
p
k
pWpW
p
k
pW
обp
,
где
1
k
и
2
k
представляют собой коэффициенты усиления регулятора
и объекта, причем
1)(lim)(lim
02
0
01
0
pWpW
pp
.
Передаточные функции
)( pФ
и
)( pФ
f
в свою очередь
представляют так:
)()(
)(
0201
pWpWkp
p
pФ
;
)()(
)(
)(
0201
022
1
pWpWkp
pWkp
pФ
f
,
где
21
- порядок астатизма по управлению;
1
- порядок
астатизма по возмущению;
21
kkk
- коэффициент усиления
разомкнутой системы.
Полиномиальным сигналам
32
,2,1,0,,
!
)(;
!
)( srt
s
b
tft
r
a
tx
ssr
r
соответствуют изображения
11
)(;)(
s
s
r
r
p
b
sF
p
a
pX
.
Подставляя их в выражение для установившейся ошибки,
получим
;lim
1
0
kp
pa
r
r
p
уст
.lim
1
2
0
1
kp
pbk
s
s
p
f
уст
Отсюда следует:
а) если
r
, то
0
уст
, аналогично, если
s
1
, то
0
уст
f
;
б) если
r
, то
уст
, аналогично, если
s
1
, то
уст
f
.
Конечные значения установившихся ошибок, зависящие от
величины коэффициента усиления, имеют место лишь в случаях, когда
r
и, соответственно
s
1
, тогда
,3,2,1,
0,
1
0
r
k
a
r
k
a
k
уст
,3,2,1,
0,
1
1
02
s
k
b
s
k
bk
s
f
уст
При
0r
ошибка
уст
называется статической (
ст
) или
ошибкой по положению, при
1r
уст
- скоростной (
ск
), а при
2r
уст
- ошибкой по ускорению (
уск
).
Гармонический типовой сигнал
При гармонических воздействиях установившиеся ошибки
устойчивых систем являются гармоническими сигналами с частотой
внешнего воздействия. В этом случае точность систем оценивается по
амплитуде сигнала ошибки.
33
Пусть входной сигнал
tAtx
1
sin)(
, где
1
,
A
-
амплитуда и частота. Изображение
)(
jE
сигнала ошибки по Фурье
определяется выражением
)()()(
111
jXjФjE
,
где
)(
jФ
- АФХ системы по ошибке;
)(
jX
- изображение по
Фурье входного сигнала.
В установившемся режиме при гармоническом входном
сигнале
)sin()(
1 em
tt
, где
em
,
- соответственно
амплитуда и фаза. В качестве показателя точности систем при
гармоническом сигнале используют амплитуду
m
, определяемую по
формуле
)(
)(1
1
)()()(
1
1
111
jX
jW
jXjФjE
m
,
так как
AjX )(
1
, то
m
A
jW
)(1
1
.
Для качественных систем всегда имеет место неравенство
1
m
A
.
Поэтому, пренебрегая единицей в левой части, получаем
приближенное выражение для ошибки:
m
A
jW
)(
1
,
которое удобно использовать при наличии логарифмических
амплитудных характеристик разомкнутой системы.
Медленноменяющийся сигнал произвольной формы
Величину установившейся ошибки при произвольной форме
задающего воздействия
)(tx
можно записать в виде:
)(
!
)(
!2
)()(
)(
..
2
1
tx
i
c
tx
c
txctxc
ii
уст
,
где коэффициенты
2,1,0, ic
i
называются коэффициентами
ошибок, а
,2,1,
)(
ix
i
- производные входного сигнала.
34
Число первых коэффициентов ошибок, равных нулю, равно
порядку астатизма
системы. Имеет место следующая
закономерность:
k
c
1
1
,0
0
;
k
cc
1
,0,1
10
;
k
ccc
1
,0,2
210
.
Используя эти формулы, требуемую точность в
установившемся режиме можно обеспечить путем выбора величины
одного из коэффициентов ошибки. Если задан коэффициент
0
c
, то
проектируемая система должна быть статической с коэффициентом
усиления
1
1
0
c
k
.
Если задана величина
1
c
, то проектируемая система должна
иметь первый порядок астатизма и коэффициент усиления
1
1
c
k
.
Аналогично, при заданной величине
2
c
- второй порядок
астатизма и
2
1
c
k
.
По известной передаточной функции по ошибке, раскладывая
ее в ряд Тейлора по возрастающим степеням, можно найти численные
значения коэффициентов ошибок. Эта процедура может быть
выполнена делением многочлена числителя на многочлен знаменателя
или общим правилом разложения.
Интегральная оценка качества
Интегральная оценка качества относится к аналитическим
методам исследования качества системы и дает общую оценку
скорости затухания и отклонения управляемой величины.
Простейшей интегральной квадратичной оценкой является
35
0
2
)( dtteI
, где
)()()( tytgte
- ошибка системы,
)(tg
- входное воздействие,
)(ty
- регулируемая величина.
Интегральная квадратичная оценка может быть вычислена по
теореме Релея:
0
22
0
2
0
0
)]([)]([
1
)(
1
)(
djGjФdjEdtteI
.
В большинстве случаев подынтегральное выражение –
дробно-рациональная функция и ее можно представить в виде
0
)()(
)()(
1
d
jCjC
jBjB
J
,
где
01
1
1
)()()()( bjbjbjbjB
m
m
m
m
,
01
1
1
)()()()( cjcjcjcjC
n
n
n
n
.
Интегралы такого вида вычислены для различных значений
1nm
и
10,,1 n
и приведены в справочных таблицах.
В частности, для
3n
:
)(2
)2(
302130
32
2
03020
2
110
2
2
0
cccccc
ccbccbbbccb
J
.
В лабораторной работе исследуется система, объект
управления которой описывается передаточной функцией вида
)1()1(
)(
21
pTpT
k
pW
об
.
В качестве управляющего устройства используется три типа
регуляторов:
пропорциональный (П) регулятор
п
kpR )(
;
интегральный (И) регулятор
pT
pR
и
1
)(
;
пропорционально-интегральный (ПИ)
pTpT
kpR
ии
п
1
1
1
)(
.
36
Так как параметры объекта не меняются, с помощью критерия
Гурвица несложно определить критический коэффициент передачи и
область возможных значений постоянной времени интегратора,
гарантирующих устойчивость системы, учитывая, что коэффициент
передачи П-регулятора
пp
kk
, а для И и ПИ-регуляторов
и
p
T
k
1
.
Изменяя величину
p
k
, можно получить требуемый вид переходного
процесса.
Проведем анализ точности системы с П-регулятором. Так как
система имеет статический объект и статический регулятор, то
0,0
f
, следовательно присутствует статическая ошибка по
входному и возмущающему воздействию и общая ошибка равна
алгебраической сумме
оьp
об
fссстст
kk
kF
k
A
11
, где
A
- амплитуда входного сигнала,
F
- амплитуда возмущающего
воздействия.
При постановке И и ПИ регуляторов повышается на единицу
астатизм системы по входному и возмущающему воздействию (
1,1
f
), следовательно статическая ошибка равна нулю, а при
подаче линейно-изменяющегося входного и возмущающего
воздействия будет наблюдаться ошибка по скорости:
p
fссскск
k
f
k
a
,
где
a
- крутизна линейного входного сигнала,
f
- крутизна
линейного возмущающего воздействия.
Используя интегральную оценку качества можно оценить
оптимальное значение
и
T
, гарантирующее минимум интеграла
0
I
.
Для этого запишем изображение ошибки для ПИ-регулятора, положив
21
TT
, при единичном ступенчатом входном воздействии:
обобиии
иии
kpkTpTTpTT
TpTTpTT
p
)1(2
2
)(
2
1
32
1
1
2
1
и определим соответствующие коэффициенты
2
12110
,2, TTbTTbTb
иии
,
2
131210
,2),1(, TTcTTсkTсkс
ииобиоб
.
37
После подстановки коэффициентов получим выражение
интегральной квадратичной оценки для ПИ-регулятора
))1(2(2
))3(2(
1
1
0
TkkTk
TkkTT
J
обобиоб
обобии
.
Аналогично определим выражение для И-регулятора
)2(2
)32(
1
1
0
TkTk
TkTT
J
обиоб
обии
.
Дифференцируя полученные выражения для
0
J
и
и
T
и
приравнивая производную нулю, получим оптимальное значение
постоянной времени интегратора. Окончательно имеем:
1) для ПИ-регулятора
)1(2
)3(
1
об
обоб
опти
k
Tkk
T
;
2) для И-регулятора
обопти
kTT
1
5,1
.
Лабораторное задание
1. Провести исследование устойчивости системы по
критерию Гурвица с П-, И- и ПИ-регулятором, определить
kp
k
и
кри
T
при
2.0,2.0
21
об
kcTT
.
2. Рассчитать значения
опти
T
для И- и ПИ-регуляторов
при
2
об
k
, сравнить с результатами п.1.
3. Установить на модели базовый вариант. Для системы с П-
регулятором, изменяя
p
k
, подобрать переходной процесс с
%30%
, зафиксировав
p
k
и запас по фазе.
4. Изменяя
p
k
в определенных по п.1 пределах, рассчитать,
а затем снять зависимость
)(
pcm
kf
при амплитуде входного
воздействия
)(1 tA
и возмущающего -
)(5.0 tF
.
5. Для систем с И- и ПИ-регуляторами, изменяя
pи
kT /1
,
подобрать переходной процесс с
%30%
, зафиксировав
и
T
и
запас по фазе.
38
6. Провести исследование систем с выбранным
p
k
на
точность отработки ступенчатых входных и возмущающих
воздействий.
7. Рассчитать, а затем исследовать скоростную ошибку при
отработке линейных входных и возмущающих воздействий при
1a
,
5.0f
.
8. Провести исследование системы с ПИ-регулятором и
выбранным
p
k
на точность отработки синусоидальных входных
воздействий
ttx 1sin1)(
, рассчитать ошибку системы
теоретически и сравнить ее с полученным результатом.
9. Исследовать системы с И- и ПИ-регуляторами по
интегральному критерию, на модели сравнить полученные значения
и
T
с расчетными.
10. Исследовать переходные процессы в системе с И- и ПИ-
регуляторами при
оптиоптиоптии
TTTT 5.0,2,
. Определить
величину перерегулирования и время регулирования.
Контрольные вопросы
1. Как связаны между собой установившаяся ошибка,
передаточная функция системы и входной сигнал?
2. Влияют ли на установившуюся ошибку системы
коэффициент усиления и вид входного сигнала?
3. Как связаны между собой передаточная функция системы
по возмущению, возмущающее воздействие и установившаяся
ошибка?
4. Как определяются по переходной характеристике
основные показатели динамических свойств системы:
%
и
p
t
?
5. Как влияет астатизм системы на установившуюся
ошибку?
Библиографический список
1. Теория автоматического управления: Учебник для
машиностроительных специальностей вузов /В.Н. Брюханов, М.Г.
39
Косов, С.П. Пропотанов и др.; Под ред. Ю.М. Соломенцова. 2-е изд.,
испр. М.: Высш.шк., 2000. 268 с.
2. Солодовников В.В., Плотников В.И., Яковлев А.В.
Основы теории и элементов систем автоматического регулирования.
М.: Машиностроение, 1985. 535 с.
Содержание
Краткое описание пакета……………………………………….. 1
Лабораторная работа 1. Типовые звенья линейных систем
автоматического управления и их основные соединения…... 6
18
Лабораторная работа 2. Исследование устойчивости
линейных систем автоматического
управления……………………..
Лабораторная работа 3. Исследование качества линейной
системы автоматического управления…………………………
27
40