Куличенко Т.А., Морозов А.С. Линейные системы автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
T
q
1
Таблица1.1
Переходные функции типовых звеньев и их основных соединений
Окончание таблицы 1.1
1 2
5. Консервативное
2222
/11
)(
qp
k
pT
k
pW
)(1)cos1()( tqtkth
)(th
k
t
q/
q/
6. Интегрирующее
идеальное
p
k
pW )(
)(1)( ttkth
)(th
k
t
7. Интегрирующее
с замедлением
)1(
)(
pTp
k
pW
)(th
t
T
)(1)]1(1[)(
/
teTkth
Tt
8. Изодромное
p
pTk
k
p
k
pW
)1(
)(
1
k
k
T
1
)(1)()(
1
tktkth
)(th
1
k
t
9. Дифференцирующее
с замедлением
1
)(
pT
pk
pW
)(th
)(1)(
/
te
T
k
th
Tt
T
k
t
11
10. Инерционно-
форсирующее
1
)1(
)(
2
1
pT
pTk
pW
21
TT
)(1])1/(1[)(
/
21
teTTkth
Tt
)(th
2
1
T
kT
k
t
2
T
Среди различных соединений звеньев в структурной схеме
можно выделить три основных типа: последовательное, параллельное
согласное и параллельное встречное (с обратной связью).
При последовательном соединении звеньев выходная
величина одного звена является входной величиной другого.
Передаточная функция последовательно соединенных звеньев
представляет собой произведение передаточных функций отдельных
звеньев:
n
i
iэ
pWpW
1
)()(
.
Например, если последовательно соединены инерционное и
интегрирующее звенья с передаточными функциями:
ppW /1)(
и
)1/()( TpkpW
, то передаточная функция соединения
представляет собой интегрирующее звено с замедлением:
))1(/()( TppkpW
.
При параллельном согласном соединении на входы всех
звеньев подается одна и та же величина, а выходные величины
суммируются с соответствующими знаками.
При параллельном согласном соединении звеньев
передаточные и переходные функции складываются:
n
i
i
pWpW
1
)()(
,
n
i
i
thth
1
)()(
.
Примером параллельного соединения простых звеньев
является форсирующее звено
)1()( TpkpW
э
, состоящее из
12
пропорционального
kpW )(
и дифференцирующего
ppW )(
'
звеньев:
)1()()()(
21
TpkpkpWpWpW
э
,
kT /1
,
или инерционно форсирующее звено
)1(
)1(
)(
2
1
pT
pT
pW
,
состоящее из пропорционального
1)(
1
pW
и
дифференцирующего с замедлением
)1/()(
222
pTpkpW
звеньев:
,
1
1
1
)(1
1
1
1
1)()()(
2
1
2
22
2
2
2
2
21
pT
pT
pT
pkT
pT
pkpT
pT
pk
pWpWpW
э
Аналогичным образом получается передаточная функция
изодромного звена при параллельном соединении
пропорционального
11
)( kpW
и интегрирующего
pkpW /)(
22
звеньев:
,
)1(
)(
2212
1
p
pTk
p
kpk
p
k
kpW
2
1
k
k
T
.
Анализ полученных эквивалентных передаточных функций
при параллельном соединении динамического и безынерционного
звеньев позволяет сформулировать отличительное свойство такого
соединения. Эквивалентная передаточная функция сохраняет свойства
динамического звена с добавлением форсирующих.
Параллельно встречным соединением (с обратной связью)
называется соединение, при котором выходной сигнал первого звена
подается на вход второго, а выходной сигнал второго с
соответствующим знаком суммируется с общим входным сигналом и
13
подается на вход первого звена. Общим выходным сигналом является
выход первого звена. Эквивалентная передаточная функция звена с
обратной связью, когда
)(
1
pW
– передаточная функция прямой
связи, а
)(
2
pW
– обратной связи:
)()(1
)(
)(
21
1
pWpW
pW
pW
,
где знак “плюс” соответствует отрицательной обратной связи.
Некоторые из типовых звеньев могут быть приведены к
встречному параллельному соединению более простых звеньев.
Если в прямой цепи такого соединения находится
динамическое звено, а в обратной связи – безынерционное, то
эквивалентная передаточная функция сохраняет свойства
динамического звена с добавлением инерционных. Например, охватив
дифференцирующее звено
pkpW
11
)(
жесткой обратной связью
22
)( kpW
, получим дифференцирующее звено с замедлением:
pT
pk
pkk
pk
pWpW
pW
pW
11)()(1
)(
)(
1
21
1
21
1
,
где
21
kkT
.
Аналогичную передаточную функцию можно получить
охватом безынерционного звена
11
)( kpW
интегрирующим
звеном
pkpW /)(
22
:
1
1
)()(1
)(
)(
21
1
21
1
pT
pk
p
kk
k
pWpW
pW
pW
,
где
2
1
k
k
,
21
1
kk
T
.
Следовательно, эквивалентная передаточная функция такого
соединения получается инвертированием динамических свойств звена
обратной связи с добавлением инерционных.
14
Таким образом, из приведенных примеров следует, что все
типовые звенья могут быть сведены к различным соединениям
простейших элементарных звеньев: пропорционального,
интегрирующего и дифференцирующего.
Особый интерес представляет влияние жесткой отрицательной
связи
kpW )(
на параметры инерционного звена
)1/()(
111
pTkpW
.
В результате получим передаточную функцию нового
инерционного звена:
11
)(
121
1
pT
k
Tpkk
k
pW
,
где
21
1
1 kk
k
k
,
1
21
1
kk
T
T
, в котором коэффициент
передачи и постоянная времени уменьшены в
21
1 kk
раза.
Отдельно можно выделить случай охвата отрицательной
обратной связью звеньев с очень высоким коэффициентом усиления
)()(
1
pWkpW
э
при
k
, стремящимся к бесконечности. В этом
случае эквивалентная передаточная функция:
)(
1
2
pW
W
э
,
где
)(
2
pW
- передаточная функция обратной связи.
Следовательно, при очень высоком коэффициенте усиления
звена прямой связи эквивалентная передаточная функция не зависит от
свойств прямой цепи и определяется инверсной передаточной
функцией звена обратной связи.
Важнейшей характеристикой динамического звена является
его передаточная функция, описывающая свойства элементов и систем
в режиме установившихся гармонических колебаний.
Амплитудно-фазовая характеристика получается из
передаточной функции заменой символа
p
мнимым числом
j
,
при учете, что гармоническая функция на входе звена может быть
представлена в комплексном виде.
15
Для общего вида уравнений амплитудно-фазовая
характеристика принимает вид:
)(
)(
)(
)(
)(
j
eW
jP
jQ
jW
,
где
|)(|
|)(|
)(
tx
ty
А
A
W
вх
вых
- амплитудно-частотная, а
)(arg)( ty
)(arg)(arg
jWtx
- фазовая
характеристика.
Получить математическую модель звена (системы) в виде
произведения передаточных функций типовых звеньев можно по
экспериментальным частотным характеристикам.
Для определения типа динамического звена и его параметров
наибольшее распространение получили логарифмические частотные
характеристики (ЛЧХ). ЛЧХ состоят из логарифмических
амплитудно-частотной (ЛАЧХ) и фазо-частотной (ЛФЧХ)
характеристик.
ЛАЧХ называется график зависимости
|)(|lg20
jW
от
lg
, ЛФЧХ – график зависимости
)(
от
lg
.
При аппроксимации ЛЧХ передаточной функцией можно
строить только ЛАЧХ, так как для минимально-фазовых систем она
однозначно определяет динамические характеристики. В случае
неустойчивой системы частотные характеристики измерить
невозможно.
Для построения ЛАЧХ на вход исследуемого звена (системы)
подается гармонический сигнал, частота которого изменяется в
определенном диапазоне, и производится измерение амплитуды
выходного сигнала.
Усиление
вх
вых
А
А
L lg20)(
, измеряемое в децибелах,
откладывается в линейном масштабе по оси ординат графика ЛАЧХ.
По оси абсцисс откладывается угловая частота в
логарифмическом масштабе или ее десятичный логарифм. Отрезок
логарифмической шкалы, соответствующий увеличению частоты в
десять раз, называется декадой, а отрезок, соответствующий
увеличению частоты в два раза, – октавой.
16
Построенную в указанных координатах экспериментальную
характеристику аппроксимируют ЛАЧХ типовых звеньев, которые
приведены в табл. 1.2.
Из таблицы видно, что асимптотические ЛАЧХ типовых
динамических звеньев представляют собой либо одну асимптоту, либо
соединение нескольких асимптот, наклоны которых кратны
20 дВ/
дек.
Основываясь на этом, экспериментальная ЛАЧХ
аппроксимируется отрезками прямых, наклон которых равен n (
20
дВ/дек), где n=0,1,2. Значения частот, соответствующие точкам
пересечения отрезков, определяют постоянные времени составляющих
звеньев.
Таблица 1.2
ЛАЧХ типовых звеньев и их основные соединения
Передаточная
функция
)( pW
Аппроксимация логарифмических
характеристик динамических звеньев
1 2
1.
1
)(
pT
k
pW
)(
L
, дВ асимптотическая
20 1 дВ 3 дВ ЛАЧХ
6 дВ
10 1 дВ
T/1
lg
1 октава 1 октава
2.
17
1
)(
pT
pk
pW
)(
L
, дВ
20
1 дВ 3 ДВ
10
k/1
1
T/1
2
lg
1 октава 1 октава
3.
12
)(
22
TppT
k
pW
)(
L
, дВ
20
2lg20
10
klg20
lg
T/1
Окончание таблицы 1.2
1 2
4.
)1(
)1(
)(
2
1
pT
pTk
pW
21
TT
)(
L
, дВ
20
+20 дВ/дек
10
klg20
lg
11
/1 T
22
/1 T
5.
)(
L
, дВ
18
)1(
)1(
)(
2
1
pT
pTk
pW
12
TT
20
-20 дВ/дек
10
lg
11
/1 T
22
/1 T
6.
)1()1(
)(
TpTp
k
pW
)(
L
, дВ
20
-20 дВ/дек
10
klg20
lg
11
/1 T
22
/1 T
Лабораторное задание
1. Для исследования динамических характеристик типовых
звеньев, приведенных в табл. 1.1, использовать программу Linsys.
2. Исследования провести для
1k
. В звенья с одной
постоянной времени установить
cT 1.0
, а затем
cT 5.0
, с
двумя постоянными времени -
cT 1.0
1
,
cT 5.0
2
, затем
cT 5.0
1
,
cT 0.1
2
, коэффициент затухания
3.0
.
3. Пронаблюдать значения корней, характер и изменение
графиков весовых функций.
4. Построить графики переходных функций, сопоставить
полученные результаты с заданными параметрами, отметить влияние
величин постоянных времени.
5. Для первых значений постоянных времени построить
графики амплитудно-частотных характеристик, точно зафиксировав
19
значения на сопрягающих частотах. Отметить влияние величин
постоянных времени.
6. По полученным данным построить логарифмические
амплитудно-частотные характеристики, провести аппроксимацию
асимптот.
7. Для типовых звеньев 2, 4, 5, 8, 9, 10 рассмотреть
возможность получения передаточных функций на основе
параллельных согласных и встречных соединений элементарных
звеньев. Привести примеры таких соединений.
Контрольные вопросы
1. Что понимается под передаточной функцией звена? Как
связаны между собой дифференциальные уравнения звена и его
передаточная функция?
2. Что представляет собой переходная функция звена?
Какова связь между передаточной и переходной функциями?
3. Какие параметры типового звена могут быть определены
по переходной функции?
4. Какие основные типы соединений вам известны? Как
получить эквивалентные передаточные функции этих соединений?
5. Какие частотные характеристики звена вам известны?
6. Что вы понимаете под логарифмическими
характеристиками звена? Как получить
)(
L
,
)(
?
7. Каковы основные сомножители передаточной функции
типовых звеньев, их асимптотические логарифмические
характеристики?
Лабораторная работа № 2
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Цель работы: теоретическое и экспериментальное
исследование влияния коэффициента передачи на устойчивость
систем второго и третьего порядков.
Теоретические сведения
20