Куличенко Т.А., Морозов А.С. Линейные системы автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
Для нормального функционирования системы
автоматического управления (САУ) необходимо, прежде всего,
обеспечить устойчивость ее движений. Однако при исследовании
важно не только установить, устойчива система или нет, но и
определить граничные значения параметров, при которых сохраняется
устойчивость системы или выполняются требования к виду
переходного процесса.
Как известно, существует целый ряд критериев
устойчивости, в той или иной степени удовлетворяющих
поставленным задачам. Наиболее употребимыми из них являются
алгебраические критерии Рауса и Гурвица, частотный критерий
Найквиста, логарифмический критерий устойчивости. Отметим, что
все критерии в своей основе используют самый общий метод
определения устойчивости по корням характеристического уравнения
замкнутой системы.
Определение устойчивости по корням
характеристического уравнения
Система будет устойчивой, если все корни
характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные
части. Если среди корней характеристического уравнения найдется
хотя бы один, имеющий положительную вещественную часть, то
система неустойчива.
Корни характеристического уравнения принято
представлять в виде точек на комплексной плоскости (корневой
годограф). В этом случае мнимая ось представляет собой граничную
линию, за которую не должны переходить корни из левой
полуплоскости.
Система находится на границе устойчивости, если имеются
чисто мнимые или нулевые корни. В первом случае имеем
колебательную границу устойчивости, во втором – апериодическую.
Критерий Гурвица
Он позволяет судить об отсутствии в характеристическом
уравнении корней с положительной вещественной частью и
представляет собой формулировку необходимых и достаточных
условий, которыми должны удовлетворять определенные соотношения
между коэффициентами характеристического уравнения:
21
0)(
0
1
10
apapapД
nn
.
Сущность критерия сводится к тому, что при выполнении
условия
0
0
a
должны быть положительными все
n
определителей
Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов:
nn
n
aa
a
aa
aa
aaa
aaa
2
1
20
31
420
531
000
0000
......
000
000
00
00
по следующему правилу:
0
11
a
,
и так далее.
Последний определитель включает в себя всю матрицу и
может быть выражен следующим образом:
0
1
nnn
a
, то есть
условие положительности последнего определителя сводится к
положительности свободного члена характеристического уравнения
при
0
1
n
.
Условие нахождения на границе устойчивости может быть
получено из равенства нулю определителя
n
. В результате получим
два возможных случая
0
1
n
,
0
n
a
и
0
n
a
,
0
1
n
.
22
,0
20
31
2
aa
aa
0
0
31
42
531
3
aa
aaa
aaa
Первое условие соответствует апериодической границе
устойчивости, а второе – колебательной. Следовательно, из второго
условия
0
1
n
можно определить коэффициент усиления, при
котором система находится на колебательной границе устойчивости.
Определим условия устойчивости для систем второго и
третьего порядков.
Для системы второго порядка общий вид характеристического
уравнения следующий:
0
21
2
0
apapa
.
По критерию Гурвица необходимо, чтобы выполнялись
следующие условия:
-
;0
0
a
-
;0
11
a
-
0
212
aa
, то есть
0
2
a
.
Следовательно, для систем второго порядка необходимым и
достаточным условием устойчивости является наличие и
положительность всех коэффициентов характеристического
уравнения, причем если
0
2
a
и
0
11
a
, то в системе
существуют автоколебания.
Рассмотрим выполнение этих условий для конкретных
передаточных функций разомкнутой системы.
1.
.)(
2
pkpW
Характеристическое уравнение замкнутой системы
0
2
kp
. По критерию Гурвица получим:
,01
0
a
,0,0
211
kaa
0
121
a
.
Следовательно, в системе существуют незатухающие
колебания.
Этот же вывод можно сделать, найдя корни
характеристического уравнения, которые для данного случая чисто
мнимые:
kjp
2,1
.
2.
)1(/)( pTpkpW
.
23
Характеристическое уравнение:
0
2
kpTp
.
Условие устойчивости:
.0;01;0
212110
kaaTa
Таким образом, система всегда устойчива, в ней существуют
затухающие колебания, так как корни характеристического уравнения
в общем случае комплексные и имеют отрицательную вещественную
часть:
./4/12/1
2
2,1
TkTTjp
Частным случаем является условие существования
вещественных отрицательных корней, то есть
0/4/1
2
TkT
или
14 Tk
, что соответствует апериодическому переходному
процессу.
3.
)1()1/()(
21
pTpTkpW
.
Характеристическое уравнение:
0)(
21
2
21
kpTTpTT
Условия устойчивости:
;0;0;0
1222111210
aTTaTTa
.0
2
ka
Получаем ситуацию, аналогичную предыдущему случаю.
Для системы третьего порядка общий вид
характеристического уравнения следующий:
0
32
2
1
3
0
apapapa
.
Условие устойчивости по критерию Гурвица:
;0
0
a
;0
11
a
;0
3021
20
31
2
aaaa
aa
aa
24
.0
323
a
Следовательно, для системы третьего порядка условие
0
3
дает условие
0
3
a
, а условие
0
2
при
0,0
10
aa
и
0
3
a
дает
0
2
a
, то есть необходимым условием устойчивости
являются наличие и положительность всех коэффициентов
характеристического уравнения.
Для обеспечения достаточных условий необходимо
выполнение определенного соотношения между коэффициентами
3021
aaaa
. Очевидно, что это же условие
0
3021
aaaa
является исходным для нахождения коэффициента усиления,
определяющего границу устойчивости.
Исследуем системы третьего порядка с типовыми
передаточными функциями разомкнутой системы.
1.
)1(/)(
2
pTpkpW
.
Характеристическое уравнение:
0
23
kppT
.
Условия устойчивости по критерию Гурвица не выполняются,
так как отсутствует коэффициент при первой степени
p
.
Убедимся в правильности вывода:
;0,0
110
aa
;0
0
1
2
kT
T
k
0
233
a
.
Исследуемая система неустойчива, имеются корни
характеристического уравнения с положительной вещественной
частью.
2.
)1()1(
)(
21
pTpTp
k
pW
.
Характеристическое уравнение:
0)(
2
21
3
21
kppTTpTT
.
Применяя критерий Гурвица, получаем:
;0
210
TTa
25
;0
2111
TTa
0)(
1
2121
21
21
2
TTkTT
TT
kTT
, при условии
;
21
21
k
TT
TT
233
a
.
Таким образом, система устойчива при определенных
соотношениях между постоянными времени и коэффициентом
передачи.
Критерий Рауса
Это более общий критерий, так как он позволяет определить
не только наличие, но и число правых корней. Для суждения об
устойчивости системы из коэффициентов характеристического
уравнения составляется таблица 2.1. В первую строку таблицы
вписываются коэффициенты с четными индексами, а во вторую – с
нечетными. Все последующие строки получаются в результате
делений разности перекрестных произведений коэффициентов двух
предыдущих строк на коэффициент первого столбца предыдущей
строки. Всего таблица содержит
1n
строк.
Согласно критерию Рауса для устойчивости системы
необходимо и достаточно, чтобы при
0
0
a
все коэффициенты
первого столбца таблицы были положительны, т.е. чтобы
,0
1
a
,0,0,0
111
dcb
. Если имеет место перемена знаков у
элементов первого столбца, то число правых корней равно числу
перемен знаков.
Таблица 2.1
0
a
2
a
4
a
1
a
3
a
5
a
1
3021
1
a
aaaa
b
1
5041
2
a
aaaa
b
1
7061
3
a
aaaa
b
26
1
2121
1
b
baab
c
1
3151
2
b
baab
c
1
4171
3
b
baab
c
………………. …………….…. ………………..
Критерий Найквиста
Логарифмический критерий устойчивости
Эти критерии позволяют анализировать устойчивость
замкнутой системы по виду частотных характеристик разомкнутой
системы.
Критерий Найквиста дает возможность исследовать
устойчивость замкнутой САР по виду амплитудно-фазовой
характеристики (АФХ) разомкнутой системы. Согласно этому
критерию система в разомкнутом состоянии будет устойчивой в
замкнутом состоянии, если АФХ разомкнутой системы не охватывает
точку с координатами
0,1 j
. Система, неустойчивая в
разомкнутом состоянии и имеющая
q
правых корней, устойчива в
замкнутом состоянии, если АФХ разомкнутой системы охватывает
2/q
раз точку с координатами
0,1 j
в положительном
направлении.
Если система содержит интегрирующие звенья, т.е. является
астатической, то для применения критерия Найквиста АФХ
необходимо дополнить дугой бесконечно большого радиуса в
положительном направлении до вещественной положительной
полуоси.
Логарифмический критерий устойчивости является
модификацией критерия Найквиста и позволяет исследовать
устойчивость замкнутой системы по виду логарифмических
амплитудно-частотной
)(
L
и фазо-частотной характеристик
)(
разомкнутой системы.
Для случая замкнутой одноконтурной системы, устойчивой в
разомкнутом состоянии, условие устойчивости заключается в том,
чтобы
)(
L
пересекала ось абсцисс на частоте среза
c
, меньшей,
чем частота
, при которой
)(
пересекает линию на уровне
0
180
, т.е.
c
.
27
Использование АФХ и ЛЧХ для исследования устойчивости
систем по амплитуде и фазе
Так, величина отрицательной ординаты
)(
L
на частоте
представляет собой значение запаса устойчивости по амплитуде
, а величина отрезка между осью
и значение ЛФЧХ,
соответствующее
c
, будет определять запас устойчивости по фазе
.
Лабораторное задание
1. Исследовать устойчивость систем второго порядка,
используя критерий Гурвица.
,
)1()1(
)(,
)1(
)(,)(
211
2
pTpT
k
pW
pTp
k
pW
p
k
pW
где
cTcT 3.0,5.0
21
.
Получить условия устойчивости систем и условия
существования апериодического переходного процесса, определив
k
.
2. Провести проверку полученных результатов на
модели, используя программу Control.
2.1. Задав базовый вариант схемы и
Ak
,
исследовать устойчивость по корням характеристического уравнения,
выбрать
k
и осуществить проверку по переходной характеристике.
2.2. Для выбранных значений
k
исследовать устойчивость
по критерию Найквиста и логарифмическому критерию, зафиксировав
запас по фазе.
3. Исследовать устойчивость систем третьего порядка,
используя критерий Гурвица.
28
,
)1()1(
)(
,
)1(
)1(
)(,
)1(
)(,)(
21
1
2
1
23
pTpT
k
pW
pTp
pTk
pW
pTp
k
pW
p
k
pW
где
cTcT 3.0,5.0
21
.
Получить условия устойчивости в общем виде, определить
kp
k
.
4. Провести проверку полученных результатов на модели.
4.1. Исследовать устойчивость по корням характеристического
уравнения, выбрав и осуществив проверку по переходной
характеристике (апериодический переходный процесс, колебательный,
неустойчивый режим).
4.2. Для выбранных значений
k
исследовать устойчивость
по критерию Найквиста и логарифмическому критерию,
зафиксировать запасы по фазе.
5. Пункты 1 и 3 выполнить при подготовке к
лабораторной работе.
6. В отчете привести асимптотические ЛАЧХ исследуемых
систем.
Контрольные вопросы
1. Что понимается под устойчивостью линейной системы
автоматического регулирования?
2. Чем определяется характер переходных процессов
линейной системы автоматического регулирования?
3. Какие свойства корней характеристического уравнения
являются необходимыми и достаточными для того, чтобы система
была устойчивой?
4. Какие критерии устойчивости вам известны?
5. Можно ли по ЛАЧХ системы оценить ее устойчивость?
6. Какой критерий необходимо использовать для получения
аналитического выражения условий устойчивости?
29
Лабораторная работа № 3
ИССЛЕДОВАНИЕ КАЧЕСТВА ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Цель работы: экспериментальное исследование статического
и астатического регулирования. Определение оптимальных
параметров управляющего устройства.
Теоретические сведения
Задачи исследования качества САУ заключаются в
определении косвенных или прямых показателей качества, таких как
время переходного процесса
p
t
, максимальное перерегулирование,
оценка точности работы системы в установленном режиме и т.д.
В более общем случае критерием качества может служить
минимум некоторого критерия оптимальности, чаще всего задаваемого
в виде интегрального квадратичного функционала от функции ошибки
системы.
Определение запаса устойчивости и быстродействия
по переходной характеристике
В качестве типового входного сигнала при оценке
динамических свойств системы обычно рассматривается единичный
скачок как задающего, так и возмущающегося воздействия, поэтому
кривая переходного процесса представляет собой переходную
характеристику, которая может строиться как для регулируемой
величины
)(ty
, так и для ошибки
)(tE
.
Склонность системы к колебаниям, а следовательно, и запас
устойчивости характеризуется перерегулированием
%100
)(
)(
%
max
y
yy
,
где
0)( y
представляет собой установившееся значение
регулируемой величины после завершения переходного процесса. В
большинстве случаев допустимое перерегулирование не превышает
10-30 %. Быстродействие системы определяется по длительности
переходного процесса
p
t
, которая определяется как время,
30