Кулагин В.А., Криволуцкий А.С., Истягина Е.Б. Гидрогазодинамика

Подождите немного. Документ загружается.

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ



Гидрогазодинамика. Метод. указания к самостоятельной работе 31

где S – сечение вихревого шнура, нормальное вихревым линиям. По теореме

Стокса интенсивность вихря равна циркуляции скорости Г по контуру, охва-

тывающему вихрь. Циркуляция скорости по замкнутому контуру:

( )

∫∫∫

++===

zyx

dzudyudxudlulduГ

где

( )

dx, dy, dzld

– элемент контура;

– проекция скорости на касательную

к контуру.

Скорость, вызываемую вихревой нитью в любой точке потока, можно

найти по формуле Био-Савара

[ ]

∫

⋅

Ldr

где

( )

dx, dy, dzLd

– элемент нити; r – расстояние от элемента нити до данной

точки потока.

Проекции скорости, индуцированной в точке элементом вихревой ни-

ти, равны

( )

dyrdxr

dudxrdzr

dudzrdyr

xyzzxyyzx

−

=−

333

Если жидкая частица участвует в нескольких движениях, ее скорость

равна векторной сумме скоростей составляющих движений:

...

++=

∑

uuu

Пример решения задач

Распределение скорости по сечению плоского канала шириной В при

ламинарном установившемся течении вязкой жидкости подчиняется парабо-

лическому закону (рис. 3.19):

( )

max

41 Вyuu

−=

0==

Рис. 3.19

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ



Гидрогазодинамика. Метод. указания к самостоятельной работе 32

Найти характеристики движения жидкой частицы, функцию тока ψ,

уравнение семейства линий тока и секундный расход жидкости в канале.

Решение

По характеристикам вращательного и деформационного движения на-

ходим:

0===ε=ε

yxyx

max

45,0 Byuuu

yxz

=∂∂−=ω

max

45,0 Byuuu

yxz

−=∂∂=θ

Движение вихревое, сопровождающееся деформацией сдвига, без ускорения.

Из уравнения функции тока находим:

( ) ( )

CByyudyByu

+−=−=ψ

∫

max

3441

Уравнение семейства линий тока после решения зависимости относи-

тельно у превратится в уравнение прямых, параллельных оси х, у = С. Расход

в канале:

(

)

322

max

BuQ

=ψ−ψ=ψ−ψ=

−=

Задания

3.1. Определить, каким – потенциальным или вихревым – будет движе-

ние жидкости, заданное проекциями скоростей u, v, w (табл. 3.8).

Найти функцию потенциала скорости

и составить уравнение линии

тока, если движение потенциальное. Найти составляющие угловой скорости

вращения

zyx

ωωω ,,

, если движение вихревое. Примечание: а, в, с – постоян-

ные величины;

222

zyxR ++=

Таблица 3.8

Величина

Вариант

-ay

-2ay

ву

2ву

x+t

ax/R

bx/R

axy

bxy

cxy

2ax

-by

-2bx

-y+t

ay/R

by/R

ayz

byz

cyz

az/R

bz/R

axz

bxz

cxz

3.2. Потенциал скорости плоского течения идеальной несжимаемой

жидкости задан функцией

=х/(х

+у

Найти функцию тока

(х, у) для этого течения.

3.3. Комплексный потенциал потока вокруг вихря, расположенного в

начале координат:

( )

.ln

izF

=ψ+ϕ=

Построить линии тока и эквипотенциали. Получить формулу распреде-

ления скоростей.

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ



Гидрогазодинамика. Метод. указания к самостоятельной работе 33

3.4. Комплексный потенциал диполя (М – момент диполя):

( )

./ zMizF =ψ+ϕ=

Построить линии тока и эквипотенциали. Получить формулу распреде-

ления скоростей.

3.5. Комплексный потенциал плоского потока идеальной несжимаемой

жидкости:

( )

./1

zizF =ψ+ϕ=

Построить линии тока

= const и линии равного потенциала

= const.

3.6. Найти обтекание эллипса (сечение бесконечно длинного эллипти-

ческого цилиндра плоскостью) плоскопараллельным потоком идеальной не-

сжимаемой жидкости. Скорость в бесконечности

∞

направлена параллельно

большой оси эллипса. Отношение полуосей эллипса 3:1. Найти максималь-

ную скорость

max

. Задачу решить методом комфорного преобразования,

применив к внешней окружности единичного радиуса

= 1 преобразование

Жуковского:

zaz +=ζ

,iyxz +=

где а – действительная постоянная.

Подсчитать наибольшее

max

и наименьшее

min

давление на поверхно-

сти эллиптического цилиндра при

∞

= 60 м/с, давлении в бесконечности

∞

=1·10

Па,∙плотности жидкости

= 1,2 кг/м

Динамика невязкой несжимаемой жидкости. Основным объектом

изучения гидродинамики является поток жидкости. Различают объемный

расход Q, м

/с, и массовый расход G, кг/с, жидкости, которые связаны соот-

ношением

QG =ρ

где

– плотность жидкости, кг/м

Скорость потока определяется как объемный расход вещества через

единицу площади сечения потока, F, м

u =

При установившемся движении через любое поперечное сечение пото-

ка в единицу времени проходит одно и то же количество жидкости (уравне-

ние неразрывности потока):

const =Q

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ



Гидрогазодинамика. Метод. указания к самостоятельной работе 34

или

const

2211

=⋅==⋅=⋅ FuKFuFu

Основным уравнением гидравлики, определяющим связь между давле-

нием и скоростью в движущемся потоке жидкости, является уравнение Бер-

нулли, все члены которого имеют размерность длины и измеряются высотой

столба жидкости:

⋅ρ

+=+

⋅ρ

где z – геометрический напор, высота положения частицы над плоскостью

отсчета, м;

⋅ρ

– пьезометрический напор, м;

⋅ρ

– статический напор,

представляющий собой полный запас потенциальной энергии 1 кг жидкости, м;

– скоростной напор, представляющий собой удельную кинетическую

энергию 1 кг жидкости, м.

Таким образом, при установившемся движении идеальной жидкости

для любого сечения справедливо соотношение

const

z =+

⋅

Физически уравнение Бернулли есть математиче-

ская запись закона сохранения и превращения энергии

применительно к движущейся жидкости. Из уравнения

следует, что если на участке потока уменьшается ско-

рость (кинетическая энергия), то на этом участке долж-

но возрастать давление (потенциальная энергия).

Пример решения задач

Считая жидкость невязкой, определить скорость истечения воды из ре-

зервуара в атмосферу (рис. 3.20). Уровень воды в баке Н = 5 м и избыточное

манометрическое давление р

= 490 гПа постоянны.

Решение

Выберем плоскость сравнения (ось х) по оси выходного сечения и при-

меним интеграл Бернулли к двум точкам одной линии тока: 1 – на поверхно-

сти воды и 2 –на выходе струи:

⋅ρ

+=+

⋅ρ

Рис. 3.20

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ



Гидрогазодинамика. Метод. указания к самостоятельной работе 35

В точке 1

иa

ppp +=

Hz =

, так как опускание уровня жидко-

сти в баке, согласно условию задачи, отсутствует. В точке 2 давление р

рав-

но давлению окружающей среды р

= р

, а скорость u

равна искомой скоро-

сти истечения u. Подставив найденные значения в уравнение Бернулли, по-

лучим

⋅ρ













⋅ρ

= Н

Ответ: u = 14 м/с.

Задания

4.1. В шлюзовой камере, имеющей ширину b = 40 м и длину l = 300 м,

уровень воды за время

= 0,5 ч понижается на

∆

h = 8 м. Определить сред-

ний расход Q в водоспускных трубах.

Ответ: Q = 53,3 м

/с.

4.2. По трубопроводу диаметром d = 156 мм перекачивают мазут

удельным весом

= 0,9 т/м

. Определить объемный расход Q и среднюю ско-

рость u, если весовой расход G = 50 т/ч.

Ответ: Q = 0,0154 м

/с; u = 0,808 м/с.

4.3. Теплообменник изготовлен из стальных труб диаметром 76×3 мм.

По трубам проходит газ под атмосферным давлением. Требуется найти необ-

ходимый диаметр при работе с тем же газом, но под давлением р

изб

= 5 кгс/см

если требуется скорость газа сохранить прежней при том же массовом расхо-

де газа и том же числе труб.

4.4. Определить (пренебрегая потерями) теоретическое разрежение, ко-

торое может быть создано рабочей струей воды в камере А водоструйного

насоса (рис. 3.21). Давление на выходе из диффузора атмосферное (1,013∙10

Па, или 760 мм рт. ст.), скорость струи в этом месте 2,7 м/с. Диаметр струи в

сечении I – 23 мм, в сечении II – 50 мм.

4.5. По горизонтальной трубе переменного сечения протекает идеаль-

ная жидкость удельного веса

0,95 т/м

в количестве Q = 10 л/с. Опреде-

лить пьезометрические высоты в сечениях 1, 2, 3, если d

= d

= 100 мм, d

25 мм, p

= 3 атм (рис. 3.22).

Ответ:

= 31,6 м;

= 10,48 м.

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ



Гидрогазодинамика. Метод. указания к самостоятельной работе 36

Рис. 3.21

Рис. 3.22

4.6. Пожарный, стоя на лестнице, тушит огонь из брандспойта, диаметр

которого у устья d = 2 см, а у корня (точка A) D = 8 см. Скорость струи на

выходе из брандспойта v = 15 м/с (рис. 3.23). Пренебрегая сопротивлением в

стволе, найти силу R, с которой пожарному приходится удерживать бранд-

спойт у точки А.

Ответ: R = 6,75 кгс.

Рис. 3.23

4.7. Определить абсолютное давление в диффузоре горизонтальной

трубы (рис. 3.24), размеры и расход которых приведены в табл. 3.9. Показа-

ния открытого пьезометра h, а плотность жидкости

. Потерями напора по

длине трубы пренебречь.

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ



Гидрогазодинамика. Метод. указания к самостоятельной работе 37

Рис. 3.24

Таблица 3.9

Параметр Вариант

, мм

200

190

180

170

160

150

140

130

120

110

, мм

0,80

0,76

0,72

0,68

0,64

0,60

0,56

0,52

0,48

0,44

, мм

1,80

1,75

1,70

1,65

1,60

1,55

1,50

1,45

1,40

1,35

, кг/м

1000

990

980

970

960

950

940

930

920

910

4.8. Вода вытекает из открытого бака большого объема в атмосферу че-

рез короткое сопло. Уровень воды в баке над соплом Н = 3 м поддерживается

постоянным. Найти массовый расход G воды через сопло, если выходная

площадь сопла F = 10 см

4.9. Вода вытекает из большого закрытого бака в атмосферу (давление

= 1·10

Па) через сопло с выходной площадью F = 10 см

. Высота воды в

баке над соплом h = 12 м. Над уровнем воды находится воздух давлением p

5·10

Па. Определить скорость истечения воды из сопла.

4.10. Определить массовый расход горячей воды в трубопроводе с

внутренним диаметром d

вн

= 412 мм, если известно, что средняя скорость во-

ды u = 3 м/с, а плотность

= 917 кг/м

4.11. На прямом участке реки одновременно сделаны замеры попереч-

ного сечения и определены живые сечения в плоскостях А, В, С (рис. 3.25).

При этом F

= 50 м

; F

= 60 м

; F

= 65,5 м

. Расход воды в момент опреде-

ления живых сечений составлял Q = 60 м

/с. Определить средние скорости

течения в плоскостях А, В, С.

4.12. По трубопроводу подаётся 0,314 м

/с воды. Определить диаметр

трубопровода, если скорость воды равна 2 м/с.

Рис. 3.25

4.13. Пар от двух котлов одинаковой производительности поступает в

общий сборный коллектор и далее в турбину (рис. 3.26). Определить диаметр

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ



Гидрогазодинамика. Метод. указания к самостоятельной работе 38

паропровода от коллектора к турбине d

, если диаметры паропроводов от

коллектора равны d

= d

= 150 мм, а скорость пара на всех участках одинако-

вая.

4.14. По условиям гидравлического испытания водопровода диаметром

d = 200 мм и длиной l = 1000 м давление должно быть поднято от атмосфер-

ного до 2 МПа. Определить объём воды, который потребуется дополнительно

подать в водопровод. Деформацией труб пренебречь.

Динамика вязкой жидкости [1, 5, 13, 14]. Реальные

жидкости характеризуются эффектами вязкости (внутренне-

го трения), что приводит к различию в скоростях по сече-

нию потока: на стенках трубы u = 0 (эффект прилипания), на

оси трубы

max

uu =

. Это обстоятельство учитывается введе-

нием поправочного коэффициента

в уравнение Бернулли

(1,0 <

< 2).

Вследствие вязкостных свойств жидкости удельная

энергия не может сохраняться неизменной вдоль потока,

поэтому в уравнение Бернулли вводят потери энергии на

гидравлическое сопротивление h

, м.

Тогда для потока реальной жидкости уравнение Бернулли приобретает

вид

z +

⋅ρ

222

111

Различают два режима движения жидкости: ламинарный, при котором

частицы жидкости движутся, не перемешиваясь, и турбулентный, при кото-

ром частицы жидкости движутся неупорядоченно, хаотически. Критерием,

определяющим режим движения жидкости, является число Рейнольдса:

,Re

где u – скорость потока, м/с; d – диаметр трубы, м;

– кинематическая вяз-

кость жидкости, м

/с.

В круглых гладких трубах при Re < 2300 режим движения ламинарный,

при Re > 2300 –турбулентный.

Гидравлические потери h

складываются из потерь энергии на трение

и потерь на местные сопротивления h

hhh +=

Линейные потери определяются по формуле Дарси

Рис. 3.26

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ



Гидрогазодинамика. Метод. указания к самостоятельной работе 39

⋅λ=

где l – длина трубы, м;

– коэффициент сопротивления трения по длине.

Для ламинарного движения жидкости коэффициент сопротивления

определяется по формуле Пуазейля

=λ

При турбулентном движении в трубах с гладкими стенками

рассчи-

тывается по формуле Блазиуса, если Re = 10

–10

316,0

=λ

При Re > 10

определяют по формуле Никурадзе:

237,0

221.0

0032,0 +=λ

Для шероховатых труб, когда 2300 < Re < Re

npeд

25.0

11,0













+=λ

,568Re

пред

где k – абсолютная шероховатость труб, м.

Для шероховатых труб в квадратичной зоне применяется формула

Шифринсона

25.0

11,0













=λ

Коэффициенты сопротивления могут быть найдены по номограммам при из-

вестных значениях Re и относительных шероховатостях труб













(прил. 3).

Местные сопротивления обусловлены наличием по длине трубопрово-

дов задвижек, вентилей, сужений или расширений труб, поворотов и т. д.

Потери напора h

в местных сопротивлениях определяются по формуле

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ



Гидрогазодинамика. Метод. указания к самостоятельной работе 40

ζ=

где

– коэффициент местного сопротивления (приложение 4).

Мощность N, кВт, потребляемая двигателем насоса (вентилятора), рас-

считывается по формуле

1000

∆

где Q – объемный расход жидкости, м

/с;

∆

р – повышение давления, сооб-

щаемое насосом перекачиваемому потоку и равное гидравлическому сопро-

тивлению, Па;

– КПД насоса.

допподск

pppppp

МL

∆+∆+∆+∆+∆=∆

где

ск

p∆

– затраты давления на создание скорости потока;

p∆

– потеря дав-

ления на трение в трубах;

p∆

– потеря давления на преодоление местных

сопротивлений;

под

∆

– затраты давления на подъем жидкости;

доп

p∆

– раз-

ность давлений в пространстве всасывания (р

)и нагнетания (р

ск

ρ⋅υ

=∆p

ρ⋅υ

⋅

=∆

∑

ρ⋅υ

ζ=∆

где

∑

– сумма коэффициентов местных сопротивлений.

ghp ρ=∆

под

12доп

ppp −=∆

Пример решения задач

Определить удельное линейное падение давления в трубопроводе теп-

ловой сети. Внутренний диаметр трубопровода d = 100 мм, температура воды

t = 150 °C, скорость u = 2 м/с, абсолютная шероховатость труб k = 0,5 мм.

Решение

Удельное линейное падение давления определяется по формуле