Куцый Н.Н. Теория оптимального управления. Лабораторный практикум

Подождите немного. Документ загружается.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ PОССИЙСКОЙ ФЕДЕPАЦИИ

ИPКУТСКИЙ ГОСУДАPСТВЕHHЫЙ

ТЕХHИЧЕСКИЙ УHИВЕPСИТЕТ

ТЕОРИЯ

ОПТИМАЛЬНОГО

УПРАВЛЕНИЯ

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

Лабораторные работы № 1, 2.

Иркутск - 2001 г.

Куцый Н.Н. Теория оптимального управления. Лабораторный практикум:

Лабораторные работы № 1,2. – Иркутск, изд-во Иркутск. гос. технич. ун-та,

2001. – 25с.

Приведены варианты заданий лабораторных работ по учебной дисциплине

"Теория оптимального управления". Дан необходимый теоретический и спра-

вочный аппарат. Предназначен для студентов специальностей 220100 – "Вычис-

лительные машины, системы, сети и комплексы", 220200 – "Автоматизирован-

ные системы обработки информации и управления", 071900 – "Информацион-

ные системы в технике и технологиях".

Библиогр. 6 назв.

Рецензент: к.т.н. Федорещенко Н.В.

Подготовила к печати: Брянская А.Г.

Подписано в печать Формат 60х84 1/16.

Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л.

Уч.-изд. л. Тираж 100 экз. Зак.

ЛР № 020263 от 30.12.96

Иркутский государственный технический университет

664074, Иркутск, ул. Лермонтова, 83

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

РАСЧЕТ НА ЭВМ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ ПИД-РЕГУЛЯТОРА

Цель работы - ознакомление с методикой расчета оптимальных парамет-

ров регулятора при заданной структурной автоматической системы регулирова-

ния и заданных параметрах объекта регулирования по интегральным критериям

качества процесса регулирования с использованием средств вычислительной

техники.

1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Одной из задач оптимального управления является синтез автоматических

систем по тому или иному интегральному критерию качества (оценке опти-

мальности), различая при этом задачи структурного и параметрического синте-

за.

Под задачей структурного синтеза при заданном объекте регулирования

будем понимать выбор закона формирования регулирующего воздействия, поз-

воляющего обеспечить заданные характеристики процессов протекающих в ав-

томатических системах.

Задача параметрического синтеза предполагает заданной структуру авто-

матической системы и необходимость нахождения настраиваемых параметров

регулятора, обеспечивающих экстремум (обычно минимум) принятого крите-

рия качества процессов регулирования.

Понятно, что с точки зрения процесса решения задача структурного синте-

за более сложна в сравнении с задачей параметрического синтеза.

В данной лабораторной работе рассматривается решение задачи парамет-

рического синтеза (параметрической оптимизации).

На рис. 1 представлена структурная схема автоматической системы, проте-

кающие процессы в которой можно описать

).()()(

),()()( )1(

),()()(

txpWtu

tupWty

tytgtx

рег

об

−=

Здесь

−

)(tx

ошибка регулирования;

−

)(tg

задающее воздействие;

−

)(ty

выход-

ная величина;

−

)(tu

регулирующее воздействие;

−

)( pW

об

передаточная функ-

ция объекта регулирования;

−

)( pW

рег

передаточная функция регулирующего

устройства.

Качество переходных процессов оценивается интегральным критерием, об-

щий вид которого может быть записан

∫

∞

−

+++=

2)1(2

,))(( )2( dtxxxI

µµ





где

−

)1(

,,,

xxx





отклонение регулируемой величины и ее производные по

времени;

−

µµ



весовые коэффициенты.

Первый член в подынтегральной функции (2) запрещает длительное суще-

ствование отклонения

, а последующие члены - длительное существование

больших значений производных. Тем самым минимуму интеграла

соответст-

вует достаточно быстрый и плавный переходный процесс.

(

(-)

(

u(t)

y(t)

Рис. 1.

⊗

)( pW

рег

)( pW

об

Структура регулятора задана и представляет собой пропорционально-инте-

грально-дифференциальный закон регулирования (ПИД-закон регулирования),

передаточная функция которого имеет вид

,)()( pq

qpW

рег

++=

где

−

321

qqq ,,

настраиваемые параметры, значения которых необходимо опре-

делить, исходя из минимума заданного критерия качества.

Регулятор с таким алгоритмом работы осуществляет перемещения регули-

рующего органа в каждый момент времени пропорционально отклонению регу-

лируемой величины, интегралу и производной ошибки регулирования.

В случае только пропорционального регулирования, т.е. при формирова-

нии регулирующего воздействия по алгоритму

),()(

txqtu

автоматическая система в общем случае является статической, так как при лю-

бом конечном значении настраиваемого параметра

установившаяся ошибка

будет отличной от нуля.

Интегральный регулятор формирует регулирующее воздействие, величина

которого пропорциональна интегралу ошибки регулирования, т.е.

∫

dttxqtu

,)()(

и тем самым выходной сигнал И-регулятора изменяется до тех пор, пока ве-

личина ошибки

)(tx

не станет равной нулю.

ПИ-регулятор (называемый так же изодромным) совмещает свойства про-

порционального и интегрального способов регулирования; ошибка регулирова-

ния, присущая пропорциональному регулированию, полностью исчезает, в то

время как скорость регулирования уменьшается незначительно.

Регулирование по производной не имеет самостоятельного значения, так

как в установившемся состоянии производная от ошибки равна нулю и тем са-

мым регулирование прекращается. Однако оно может играть весьма большую

роль в переходных процессах, так как такая такое регулирование позволяет

учитывать не только наличие ошибки, но и тенденцию к ее росту или уменьше-

нию.

В некоторых случаях в закон регулирования могут вводиться производные

более высоких порядков - вторая, третья и т.д., что в общем случае обеспечива-

ет улучшение качества процессов регулирования, но техническая реализация

вычисления производных второго порядка и выше, наталкивается на значитель-

ные трудности.

Объект регулирования в зависимости от задания описывается одной из

передаточных функций

pTpT

об

обоб

об

−



)1)(1(

)( )4(

)( )5(

pTpT

об

обоб

об

−



)( )6(

об

−



)1(

)( )7(

kpW

об

обоб

−



при заданных параметрах объекта регулирования

.,,,,,

обобобобоб

TTTk

τζ

В качестве критерия оптимизации в зависимости от номера задания ис-

пользуется один из рассмотренных ниже критериев.

Наиболее широко распространен в практике автоматического регулирова-

ния критерий

∫

∞

.)( )8( dttxI

Этот критерий носит название квадратичный интегральный критерий, ди-

намическая ошибка. Его распространение объясняется тем, что в распоряжение

исследователя (разработчика) автоматической системы теория предоставляет

аналитические зависимости между величиной этого критерия и параметрами

автоматической системы.

Критерий оптимизации вида

∫

∞

)( )9( dttxI

носит название модульного и получает распространение в последнее время в

связи с применением средств вычислительной техники для анализа и синтеза

автоматических систем в случае необходимости сужения числа используемых

аналитических зависимостей.

Конкретизируя выражение (2), запишем наиболее простую форму состав-

ного интегрального критерия

∫

∞

222

.))()(( )10( dttxtxI



Представим кратко каждый из методов градиентной итеративной процеду-

ры, применяемых в лабораторной работе в зависимости от номера варианта.

1.Метод релаксации. Алгоритм метода заключается в отыскании направ-

ления, вдоль которого критерий оптимизации уменьшается наиболее сильно.

Для этого в начальной точке работы алгоритма оптимизации определяются со-

ставляющие градиента по каждому из настраиваемых параметров, т.е.

∂

).,,( 321

По направлению с наибыстрейшим убыванием критерия оптимиза-

ции, которому соответствуют наибольшие по модулю составляющие градиента

производятся шаги до тех пор, пока не будет получено минимальное значение

критерия именно по этому направлению. Тогда вновь определяются составляю-

щие градиента по всем настраиваемым параметрам и вновь находится направ-

ление наибыстрейшего убывания критерия оптимизации, по которому произво-

дятся дальнейшие шаги и т.д.

Критерием останова алгоритма оптимизации является достижение таких

значений настраиваемых параметров, т.е. точки в пространстве

при движе-

нии из которой по любому направлению дальнейшего убывания критерия опти-

мизации не происходит. На практике в качестве признака достижения

часто

применяется условие, которое для рассматриваемого случая может быть пред-

ставлено

. )(

доп

∆≤













∂

∑

При

→∆

доп

выражение (11) превращается в точное условие равенства

нулю составляющие градиента в точке оптимума.

Алгоритм изменения значений настраиваемых параметров для выбранного

направления может быть записан в виде следующей формулы

])[[(

][][][ )(

llI

signlhlqlq

∂

−∂

×−−=

112

где

−

][lq

значение настраиваемого параметра на

−

ом шаге работы алгоритма

оптимизации;

−

][lh

величина

−

го шага, которая может изменяться по тому

или иному алгоритму;

−

sign

функция знака.

Графическое изображение движения алгоритма оптимизации от начально-

го значения вектора настраиваемых параметров

][0

к оптимуму

∗

в случае

двух настраиваемых параметров показано на рис. 2.

gradI

I=C

Рис. 2.

2.Метод градиента. При использовании этого метода шаги совершаются в

направлении наибыстрейшего уменьшения целевой функции, что, в общем слу-

чае, ускоряет процесс вычисления алгоритмом оптимизации значения

∗

Каждый шаг алгоритма оптимизации при использовании метода градиента

состоит из двух этапов. На первом вычисляются значения частных производ-

ных

))(( mj

∂

по каждому из настраиваемых параметров. Величины

))(( mj

∂

определяют направление градиента в рассматриваемой точке.

На втором этапе осуществляется шаг в направлении, обратном направлению

градиента, т.е. в направлении наибыстрейшего убывания целевой функции.

При выполнении шага одновременно изменяются значения всех настраива-

емых параметров. Каждый из них получает приращение, пропорциональное со-

ответствующей составляющей градиента.

Алгоритм градиентного метода может быть записан следующим образом

]))[,((

])[,((

][][][ )(

∑

∂

−∂

∂

−∂

−−=

ltxI

lhlqlq

113

В этом алгоритме для градиентного поиска применяется нормализованный

вектор градиента, который указывает лишь направление наискорейшего изме-

нения целевой функции, но не указывает скорости ее изменения по этому

направлению. При использовании нормализованного вектора-градиента шаг

спуска определяется величиной

],[lh

стратегию изменения которой можно

строить независимо от абсолютной величины градиента.

В случае использования алгоритма градиентного поиска в виде

),)(( ,

][(

][][][ )( mj

hlqlq

110114

∂

−−=

величина шага

][lq

∆

при постоянном значении параметра

][0h

изменяется в

соответствии с изменением абсолютной величины градиента. Длина шага опре-

деляется выражением

).)(( ,

][(

][][ )( mj

hlq

11015

∂

−=∆

Алгоритм градиентного поиска (14) обладает тем достоинством, что при

приближении к оптимуму длина

][lq

∆

автоматически уменьшается.

3.Метод наискорейшего спуска. Идея метода наискорейшего спуска за-

ключается в следующем. После того как в начальной точке работы алгоритма

оптимизации вычислен градиент целевой функции и тем самым определено

направление ее наибыстрейшего убывания в этой точке, в данном направлении

делается шаг спуска. Если значение целевой функции в результате этого шага

уменьшилось, то производится очередной шаг в этом же направлении, и так до

тех пор, пока не будет найден минимум именно в этом направлении, после чего

вычисляется новое направление наибыстрейшего убывания целевой функции.

На рис. 3 показаны возможные траектории движения к оптимуму при при-

менении метода наискорейшего спуска (ломаная линия 1) и траектория движе-

ния к оптимуму при использовании метода градиента (ломаная линия 2).

Скорость движения к

зависит от того, насколько удачно выбрана ве-

личина шага

][lh

изменения независимых настраиваемых параметров

).3,2,1(

При слишком малой величине

число шагов, которое необходи-

мо для достижения оптимума, будет большим, и, следовательно, потребуется

множество вычислений.

Если же величина шага с самого начала работы алгоритма параметриче-

ской оптимизации выбрана слишком большой, то вблизи оптимума, может воз-

никнуть "рыскание", так как при большой величине шага мала вероятность по-

падания в окрестность оптимума, в которой выполняется условие окончания

поиска (11).

gradI

I=C

Рис. 3.

При проведении параметрической оптимизации применяют алгоритмы из-

менения величины шага в процессе движения к

Суть одного из них доста-

точно простого и вместе с тем и эффективного состоит в следующем. пусть в

начале проведения параметрической оптимизации по направлению с наибы-

стрейшим убыванием критерия оптимизации задается некоторая величина шага

],0[h

равная например 0.1, что соответствует изменению значения настраивае-

мого параметра на 10% от принятого диапазона его изменения. С этим шагом

производится спуск по направлению с наибыстрейшим убыванием критерия оп-

тимизации до тех пор, пока для двух последующих вычисления значений крите-

рия оптимизации выполняется условие

]).[(])1[(( lIlI

16)

При нарушении этого условия на каком-либо

−

м шаге направление дви-

жения алгоритма параметрической оптимизации изменяется на обратное и дви-

жение продолжается с уменьшенной вдвое величиной шага, т.е.

при

)











−>

−≤

])1[(])[(

][

])1[(])[(][

]1[17(

lIlI

lIlIlh

В результате использования такой стратегии величина шага спуска по

направлению с наибыстрейшим убыванием критерия оптимизации будет

уменьшаться в районе минимума критерия оптимизации по этому направлению

и поиск минимума можно прекратить, когда величина

][lh

обеспечивает изме-

нение величины критерия оптимизации меньше заданной точности определе-

ния минимума в этом направлении. Затем отыскивается новое направление с

наибыстрейшим убыванием критерия оптимизации и начальный шаг в этом но-

вом направлении уже можно выбрать не как заданную долю диапазона измене-

ния независимой переменной, а как заданную долю расстояния, пройденного

вдоль предыдущего направления с наибыстрейшим убыванием критерия. Это

позволит автоматически уменьшать начальный шаг по каждому следующему

направлению наибыстрейшего убывания критерия оптимизации.

В градиентном методе направление движение обуславливается величина-

ми частных производных критерия оптимизации в рассматриваемой точке. Все-

гда следует иметь ввиду, что градиент ортогонален к поверхности постоянного

уровня критерия оптимизации только в точке его вычисления, да и то с некото-

рой погрешностью, которая обусловлена многими факторами, например ис-

пользованием численных методов.

В точке

],1[

как результат выполнения шага от точки

][l

градиента

])[( lI

∇

в общем случае не ортогонален поверхности постоянного уровня кри-

терия оптимизации, проходящей через точку

].1[

Тем самым, градиент

])[( lI

∇

])1[(

+∇

отличаются по направлению, что может быть исполь-

зовано в стратегии изменения величины шага; например в соответствии с пра-

вилом











>⋅

при

,][],[5,0

,][],[

,][],[2

]1[)18(

max

maxmin

min

αα

ααα

αα

llh

где

−

][l

угол поворота градиента на l-ом шаге, определяемый выражением

])1[(])[(

][cos)19(

∑ ∑

∑

= =













∂

−∂













∂

−∂

∂

j j

−

maxmin

αα

допустимые пределы угла поворота градиента.

Достоинством алгоритма изменения величины шага (19) является то, что

при его использовании возможно как увеличение, так и уменьшение величины

шага.

Рассмотрим еще одну стратегию выбора величины шага в заданном

направлении, в котором используется информация, полученная на предыдущих

шагах по этому же направлению. В основу положено то, что в процессе движе-

ния вдоль заданного направления характер изменения критерия оптимизации

аппроксимируется по результатам трех последних шагов полиномом второго

порядка.